專題37 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系原卷版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測(cè)

Page專題37空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 4【考點(diǎn)突破】 6【考點(diǎn)1】基本事實(shí)的應(yīng)用 6【考點(diǎn)2】空間位置關(guān)系的判斷 8【考點(diǎn)3】異面直線所成的角 9【分層檢測(cè)】 11【基礎(chǔ)篇】 11【能力篇】 14【培優(yōu)篇】 15考試要求：1.借助長方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問題.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.與平面有關(guān)的基本事實(shí)及推論(1)與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)基本事實(shí)1過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l(2)基本事實(shí)1的三個(gè)推論推論內(nèi)容圖形作用推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面確定平面的依據(jù)推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面2.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a，b是異面直線a?α3.基本事實(shí)4和等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).4.異面直線所成的角(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).1.證明點(diǎn)共線與線共點(diǎn)都需用到基本事實(shí)3.2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·全國·高考真題）設(shè)為兩個(gè)平面，為兩條直線，且.下述四個(gè)命題：①若，則或

②若，則或③若且，則

④若與,所成的角相等，則其中所有真命題的編號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④2．（2024·天津·高考真題）若為兩條不同的直線，為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則與相交3．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．4．（2021·全國·高考真題）在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2022·全國·高考真題）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為6．（2021·全國·高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（

）A． B．C． D．三、解答題7．（2021·北京·高考真題）如圖：在正方體中，為中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)．（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．8．（2021·浙江·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】基本事實(shí)的應(yīng)用一、單選題1．（2002·全國·高考真題）已知，為異面直線，平面，平面，，則（

）A．與，都相交 B．與，中至少一條相交C．與，都不相交 D．至多與，中的一條相交2．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在正方體中，M是棱上一點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)N.給出下面幾個(gè)結(jié)論，其中所有正確的結(jié)論是（

）①四邊形是平行四邊形；②四邊形可能是正方形；③存在平面與直線垂直；④任意平面都與平面垂直.

A．①② B．③④ C．①④ D．①②④二、多選題3．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體的棱長為1，O為底面ABCD的中心，交平面于點(diǎn)E，點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)，則（

）A．三點(diǎn)共線 B．異面直線BD與所成的角為C．點(diǎn)到平面的距離為 D．過點(diǎn)的平面截該正方體所得截面的面積為4．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（

）A．，，三條直線不可能交于一點(diǎn)，平面平面B．，，三條直線一定交于一點(diǎn)，平面平面C．直線與直線異面，平面平面D．直線與直線相交，平面平面三、填空題5．（2024·山東濟(jì)南·三模）在正四棱柱中，，，M，N分別是，的中點(diǎn)，則平面截該四棱柱所得截面的周長為．6．（2021·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，，D，E分別為，分如中點(diǎn)，則過點(diǎn)A，D，E的截面與三棱柱的側(cè)面的交線的長為．反思提升：共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi).(2)證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上.(3)證明線共點(diǎn)問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).【考點(diǎn)2】空間位置關(guān)系的判斷一、單選題1．（2023·浙江嘉興·二模）已知正方體的棱長為為空間內(nèi)一點(diǎn)且滿足平面，過作與平行的平面，與交于點(diǎn)，則（

）A．1 B． C． D．2．（2021·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，，是三條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．若，，，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則二、多選題3．（2024·浙江·三模）已知平面，，直線，若，，與所成的角為，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．內(nèi)垂直a的直線必垂直于B．內(nèi)的任意直線必垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線C．b與所成的角為D．b與內(nèi)的任意一條直線所成的角大于等于4．（23-24高二上·湖北恩施·期中）在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（）A．異面直線與所成角的余弦值為B．點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，的最大值為C．過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面周長為D．當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上時(shí)，球的表面積為三、填空題5．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知是兩個(gè)不同的平面，是平面外兩條不同的直線，給出四個(gè)條件：①；②；③；④，以下四個(gè)推理與證明中，其中正確的是.（填寫正確推理與證明的序號(hào)）（1）已知②③④，則①成立（2）已知①③④，則②成立（3）已知①②④，則③成立（4）已知①②③，則④成立6．（2022·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)棱長為2的正方體，是中點(diǎn)，點(diǎn)、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，給出以下四個(gè)結(jié)論：①存在；②存在平面；③存在無數(shù)個(gè)等腰三角形；④三棱錐的體積的取值范圍是.則所有結(jié)論正確的序號(hào)是.反思提升：空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面，平行和垂直的判定.異面直線的判定可采用直接法或反證法；平行直線的判定可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、基本事實(shí)4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；垂直關(guān)系的判定往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來解決.【考點(diǎn)3】異面直線所成的角一、單選題1．（2024·江西南昌·二模）在三棱錐中，平面，，，，分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，是異面直線， B．，是相交直線，C．，是異面直線，與不垂直 D．，是相交直線，與不垂直2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是一個(gè)正方體的平面展開圖，在該正方體中，下列命題正確的是（

）

A． B． C． D．二、多選題3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正三棱錐和正三棱錐的側(cè)棱長均為．若將正三棱錐繞旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，且四點(diǎn)共面，點(diǎn)分別位于兩側(cè)，則下列說法中正確的是（

）

A．多面體存在外接球 B．C．平面 D．點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的最短軌跡長大于4．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則（）A．平面平面B．三棱錐的體積為定值C．異面直線與所成角的取值范圍是D．當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為三、填空題5．（2024·上海崇明·二模）已知底面半徑為1的圓柱，是其上底面圓心，、是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn)，是母線．若直線與所成角的大小為，則．6．（2022·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，是相互垂直的兩條異面直線，直線與，均相互垂直，且，動(dòng)點(diǎn)，分別位于直線，上，若直線與所成的角，三棱錐的體積的最大值為.反思提升：1.綜合法求異面直線所成角的步驟：(1)作：通過作平行線得到相交直線.(2)證：證明所作角為異面直線所成的角(或其補(bǔ)角).(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.2.向量法：利用向量的數(shù)量積求所成角的余弦值.分層分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·安徽蕪湖·三模）下列說法正確的是（

）A．正方體各面所在平面將空間分成27個(gè)部分B．過平面外一點(diǎn)，有且僅有一條直線與這個(gè)平面平行C．若空間中四條不同的直線滿足，則D．若為異面直線，平面平面，且與相交，若直線滿足，則必平行于和的交線2．（2024·上?！と＃┤鐖D，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段EB的中點(diǎn)，則（

）A．DM≠EN，且直線DM、EN是異面直線B．DM＝EN，且直線DM、EN是異面直線C．DM≠EN，且直線DM、EN是相交直線D．DM＝EN，且直線DM、EN是相交直線3．（2020·四川眉山·二模）給出以下四個(gè)命題：①依次首尾相接的四條線段必共面；②過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；③空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角必相等；④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（2024·山東日照·一模）已知l，m是兩條不同的直線，為平面，，下列說法中正確的是（

）A．若l與不平行，則l與m一定是異面直線B．若，則l與m可能垂直C．若，且，則l與m可能平行D．若，且l與不垂直，則l與m一定不垂直二、多選題5．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在該正方體中（

）A． B．C．與成60°角 D．與是異面直線6．（2024·山西運(yùn)城·一模）設(shè)a、b是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．（2024·廣東深圳·二模）已知m，n是異面直線，，，那么（

）A．當(dāng)，或時(shí)，B．當(dāng)，且時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，，或D．當(dāng)，不平行時(shí)，m與不平行，且n與不平行三、填空題8．（20-21高二上·山西太原·階段練習(xí)）下列命題中正確的命題為.①若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于，則三點(diǎn)共線；②若三條直線互相平行且分別交直線于三點(diǎn)，則這四條直線共面；③若直線異面，異面，則異面；④若，則.9．（2024·江蘇南通·二模）已知二面角為直二面角，，，，，則與，所成的角分別為，，與所成的角為.10．（2005·山東·高考真題）已知m、n是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④m，n是兩條異面直線，若，則．上面的命題中，真命題的序號(hào)是．（寫出所有真命題的序號(hào)）四、解答題11．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正四面體A-BCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G，H分別在CD，AD上，且，．(1)求證：直線EH，F(xiàn)G必相交于一點(diǎn)，且這個(gè)交點(diǎn)在直線BD上；(2)若，求點(diǎn)B到平面EFGH的距離．12．（2023·廣東汕頭·二模）如圖，正方體中，直線平面，，.(1)設(shè)，，試在所給圖中作出直線，使得，并說明理由；(2)設(shè)點(diǎn)A與（1）中所作直線確定平面.①求平面與平面ABCD的夾角的余弦值；②請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中作出平面截正方體所得的截面，并寫出作法.【能力篇】一、單選題1．（2023·天津和平·三模）已知正方體的棱長為6，點(diǎn)，分別在棱，上，且滿足，點(diǎn)為底面的中心，過點(diǎn)，，作平面，則平面截正方體所得的截面面積為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則（

）A．若，則 B．若，則與為異面直線C．若，則 D．若，則三、填空題3．（2006·四川·高考真題），是空間兩條不同的直線，，是空間兩個(gè)不同平面，下面有四個(gè)命題：①，，；②，，③，