專題58 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理原卷版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測(cè)

Page專題58分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)1】分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 3【考點(diǎn)2】分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 4【考點(diǎn)3】?jī)蓚€(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 6【分層檢測(cè)】 8【基礎(chǔ)篇】 8【能力篇】 10考試要求：1.通過(guò)實(shí)例，了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.3.分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟中的方法相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事.分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決排列組合問(wèn)題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終.(1)分類加法計(jì)數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理中，各個(gè)步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨(dú)立，分步完成”.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．202．（2023·全國(guó)·高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種3．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種4．（2023·全國(guó)·高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2024·上海·高考真題）設(shè)集合中的元素皆為無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩個(gè)不同元素之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值．6．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用一、單選題1．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，甲?乙等4名杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者到游泳?射擊?體操三個(gè)場(chǎng)地進(jìn)行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少一名志愿者，若甲不去游泳場(chǎng)地，則不同的安排方法共有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種2．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）2024年3月16日下午3點(diǎn)，在貴州省黔東南苗族侗族自治州榕江縣“村超”足球場(chǎng)，伴隨平地村足球隊(duì)在對(duì)陣口寨村足球隊(duì)中踢出的第一腳球，2024年第二屆貴州“村超”總決賽階段的比賽正式拉開(kāi)帷幕.某校足球社的五位同學(xué)準(zhǔn)備前往村超球隊(duì)所在村寨調(diào)研，將在第一天前往平地村、口寨村、忠誠(chéng)村，已知每個(gè)村至少有一位同學(xué)前往，五位同學(xué)都會(huì)進(jìn)行選擇并且每位同學(xué)只能選擇其中一個(gè)村，若學(xué)生甲和學(xué)生乙必須選同一個(gè)村，則不同的選法種數(shù)是（

）A．18 B．36 C．54 D．72二、多選題3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，16枚釘子釘成4×4的正方形板，現(xiàn)用橡皮筋去套釘子，則下列說(shuō)法正確的有(不同的圖形指兩個(gè)圖形中至少有一個(gè)頂點(diǎn)不同)（

）A．可以圍成20個(gè)不同的正方形B．可以圍成24個(gè)不同的長(zhǎng)方形(鄰邊不相等)C．可以圍成516個(gè)不同的三角形D．可以圍成16個(gè)不同的等邊三角形三、填空題4．（22-23高三下·浙江杭州·階段練習(xí)）在一個(gè)圓周上有8個(gè)點(diǎn)，用四條既無(wú)公共點(diǎn)又無(wú)交點(diǎn)的弦連結(jié)它們，則連結(jié)方式有種.5．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）有序?qū)崝?shù)組稱為維向量，為該向量的范數(shù)，范數(shù)在度量向量的長(zhǎng)度和大小方面有著重要的作用．已知維向量，其中．記范數(shù)為奇數(shù)的的個(gè)數(shù)為，則；．（用含的式子表示）6．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）第33屆奧運(yùn)會(huì)于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行，某高校需要選派4名大學(xué)生去當(dāng)志愿者，已知該校現(xiàn)有9名候選人，其中4名男生，5名女生，則志愿者中至少有2名女生的選法有種（用數(shù)字作答）.反思提升：分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.(1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn).(2)分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才是不同的方法，不能重復(fù).(3)分類時(shí)除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏.【考點(diǎn)2】分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用一、單選題1．（23-24高二上·遼寧·期末）某校高三年級(jí)有8名同學(xué)計(jì)劃高考后前往武當(dāng)山?黃山?廬山三個(gè)景點(diǎn)旅游.已知8名同學(xué)中有4名男生，4名女生.每個(gè)景點(diǎn)至少有2名同學(xué)前往，每名同學(xué)僅選一處景點(diǎn)游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點(diǎn)游玩，女生與女生去同一處景點(diǎn)游玩，則這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為（

）A．564 B．484 C．386 D．6402．（2023·河南開(kāi)封·模擬預(yù)測(cè)）有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到三個(gè)工廠實(shí)習(xí)，每人必須去一個(gè)工廠且每個(gè)工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A．12 B．14 C．36 D．72二、多選題3．（23-24高二上·四川·階段練習(xí)）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)周六?周天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則（

）A．只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是30種B．恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是40種C．只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是60種D．恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是60種4．（2024·甘肅·一模）下列說(shuō)法正確的有（

）A．?dāng)?shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是40B．若，則C．4名學(xué)生選報(bào)3門校本選修課，每人只能選其中一門，則總選法數(shù)為種D．展開(kāi)式中項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為56三、填空題5．（2024·福建廈門·一模）《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》、《周髀算經(jīng)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作，甲、乙、丙三名同學(xué)計(jì)劃每人從中選擇一種來(lái)閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有種．6．（2024·山東濰坊·一模）第40屆濰坊國(guó)際風(fēng)箏會(huì)期間，某學(xué)校派人參加連續(xù)天的志愿服務(wù)活動(dòng)，其中甲連續(xù)參加天，其他人各參加天，則不同的安排方法有種．（結(jié)果用數(shù)值表示）一、單選題1．（23-24高二上·遼寧·期末）某校高三年級(jí)有8名同學(xué)計(jì)劃高考后前往武當(dāng)山?黃山?廬山三個(gè)景點(diǎn)旅游.已知8名同學(xué)中有4名男生，4名女生.每個(gè)景點(diǎn)至少有2名同學(xué)前往，每名同學(xué)僅選一處景點(diǎn)游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點(diǎn)游玩，女生與女生去同一處景點(diǎn)游玩，則這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為（

）A．564 B．484 C．386 D．6402．（2023·河南開(kāi)封·模擬預(yù)測(cè)）有2男2女共4名大學(xué)畢業(yè)生被分配到三個(gè)工廠實(shí)習(xí)，每人必須去一個(gè)工廠且每個(gè)工廠至少去1人，且工廠只接收女生，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A．12 B．14 C．36 D．72二、多選題3．（23-24高二上·四川·階段練習(xí)）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)周六?周天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則（

）A．只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是30種B．恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是40種C．只有1人未參加服務(wù)的選擇種數(shù)是60種D．恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)是60種4．（2024·甘肅·一模）下列說(shuō)法正確的有（

）A．?dāng)?shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是40B．若，則C．4名學(xué)生選報(bào)3門校本選修課，每人只能選其中一門，則總選法數(shù)為種D．展開(kāi)式中項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為56三、填空題5．（2024·福建廈門·一模）《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》、《周髀算經(jīng)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作，甲、乙、丙三名同學(xué)計(jì)劃每人從中選擇一種來(lái)閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有種．6．（2024·山東濰坊·一模）第40屆濰坊國(guó)際風(fēng)箏會(huì)期間，某學(xué)校派人參加連續(xù)天的志愿服務(wù)活動(dòng)，其中甲連續(xù)參加天，其他人各參加天，則不同的安排方法有種．（結(jié)果用數(shù)值表示）反思提升：1.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事.2.分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.【考點(diǎn)3】?jī)蓚€(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用一、單選題1．（23-24高三上·江西南昌·階段練習(xí)）某植物園要在如圖所示的5個(gè)區(qū)域種植果樹(shù)，現(xiàn)有5種不同的果樹(shù)供選擇，要求相鄰區(qū)域不能種同一種果樹(shù)，則共有（

）種不同的方法.

A．120 B．360 C．420 D．4802．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）“142857”這一串?dāng)?shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個(gè)數(shù)之一，當(dāng)142857與1至6中任意1個(gè)數(shù)字相乘時(shí)，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字組成．若從1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字中任選4個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5200的偶數(shù)個(gè)數(shù)是（

）A．87 B．129 C．132 D．138二、多選題3．（22-23高二下·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）甲?乙?丙?丁4人做傳接球訓(xùn)練，球從甲手中開(kāi)始，等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第次傳球之前球在甲手中的概率為，易知.下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．為等比數(shù)列C．設(shè)第次傳球之前球在乙手中的概率為D．第4次傳球后，球落在乙手中的傳球方式有20種4．（22-23高二下·山東棗莊·階段練習(xí)）現(xiàn)有4個(gè)興趣小組，第一、二、三、四組分別有6人、7人、8人、9人，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為30B．每組選1名組長(zhǎng)的選法種數(shù)為3024C．若推選2人發(fā)言，這2人需來(lái)自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為335D．若另有3名學(xué)生加入這4個(gè)小組，可自由選擇小組，且第一組必有人選，則不同的選法有35種三、填空題5．（22-23高二下·湖北·期中）用0~9十個(gè)數(shù)字排成三位數(shù)，允許數(shù)字重復(fù)，把個(gè)位?十位?百位的數(shù)字之和等于9的三位數(shù)稱為“長(zhǎng)久數(shù)”，則“長(zhǎng)久數(shù)”一共有個(gè)．6．（2023·陜西寶雞·一模）七巧板是古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶.如圖是某同學(xué)用木板制作的七巧板，它包括5個(gè)等腰直角三角形?一個(gè)正方形和一個(gè)平行四邊形.若用四種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨(dú)一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊的板塊不同色，則不同的涂色方案有種.反思提升：1.在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意：(1)一般是先分類再分步.在分步時(shí)可能又用到分類加法計(jì)數(shù)原理.(2)對(duì)于較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問(wèn)題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問(wèn)題形象化、直觀化.2.解決涂色問(wèn)題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成.分層分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）小明在某一天中有七個(gè)課間休息時(shí)段，為準(zhǔn)備“小歌手”比賽他想要選出至少一個(gè)課間休息時(shí)段來(lái)練習(xí)唱歌，但他希望任意兩個(gè)練習(xí)的時(shí)間段之間都有至少兩個(gè)課間不唱歌讓他休息，則小明一共有（

）種練習(xí)的方案.A．31 B．18 C．21 D．332．（2023·河北唐山·一模）將英文單詞“”中的6個(gè)字母重新排列，其中字母b不相鄰的排列方法共有（

）A．120種 B．240種 C．480種 D．960種3．（2022·遼寧·二模）重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨(dú)特的烹飪方式．九宮格下面是相通的，實(shí)現(xiàn)了“底同火不同，湯通油不通”它把火鍋分為三個(gè)層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋具抽象成數(shù)學(xué)形狀如圖（同一類格子形狀相同）：“中間格“火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質(zhì)地嫩脆、頃刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長(zhǎng)時(shí)間加熱以鎖住食材原香；“四角格”屬文火，火力溫和，適合燜菜，讓食物軟糯入味．現(xiàn)有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格．現(xiàn)將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同時(shí)可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（

）A．108 B．36 C．9 D．64．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示某城區(qū)的一個(gè)街心花園，共有五個(gè)區(qū)域，中心區(qū)域E已被設(shè)計(jì)為代表城市特點(diǎn)的一個(gè)標(biāo)志性塑像，要求在周圍ABCD四個(gè)區(qū)域中種植鮮花，現(xiàn)有四個(gè)品種的鮮花可供選擇，要求每個(gè)區(qū)域只種一個(gè)品種且相鄰區(qū)域所種品種不同，則不同的種植方法的種數(shù)為（

）A．12 B．24 C．48 D．84二、多選題5．（2023·湖南·三模）已知一組數(shù)據(jù)：0，1，2，4，則下列各選項(xiàng)正確的是（

）A．該組數(shù)據(jù)的極差，中位數(shù)，平均數(shù)之積為10B．該組數(shù)據(jù)的方差為2.1875C．從這4個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)不同的數(shù)字可以組成8個(gè)兩位數(shù)D．在這4個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)不同的數(shù)字組成兩位數(shù)，從這些兩位數(shù)中任取一數(shù)，取得偶數(shù)的概率為三、填空題6．（2023·河北保定·一模）某校為促進(jìn)拔尖人才培養(yǎng)開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、信息學(xué)五個(gè)學(xué)科競(jìng)賽課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)要報(bào)名競(jìng)賽課程，由于精力和時(shí)間限制，每人只能選擇其中一個(gè)學(xué)科的競(jìng)賽課程，則恰有兩位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)競(jìng)賽課程的報(bào)名方法數(shù)為．7．（22-23高三·廣東汕頭·階段練習(xí)）如果一個(gè)四位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，且各位數(shù)字之和等于10，則稱此四位數(shù)為“完美四位數(shù)（如1036），則由數(shù)字0，1，2，3，4，5，6，7構(gòu)成的“完美四位數(shù)”中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為．8．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)課上，老師出了一道智力游戲題.如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)3乘3方格圖（小正方形邊長(zhǎng)為1），一共有十六個(gè)紅色的格點(diǎn)，游戲規(guī)則是每一步可以改變其中一個(gè)點(diǎn)的顏色（只能由紅變綠或綠變紅），如將其中任何一個(gè)點(diǎn)由紅色改成綠色，則這個(gè)點(diǎn)周圍與之相鄰的點(diǎn)也要從原來(lái)的顏色變成另外一種顏色，比如選擇變成綠色，則與之相鄰的，，，四個(gè)點(diǎn)也要變成綠色，那么最少需要步，才能使得位于直線上的四個(gè)點(diǎn)變成綠色，而其他點(diǎn)都是紅色.【能力篇】一、單選題1．（23-24高三上·山西·期末）某小組兩名男生和兩名女生邀請(qǐng)一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（

）A．48種 B．32種 C．24種 D