《畫法幾何與機械制圖》課件第4章

第4章立體的投影4.1三視圖的形成及投影規(guī)律

4.2平面立體

4.3常見回轉體

4.1三視圖的形成及投影規(guī)律

4.1.1三視圖的形成

國家標準規(guī)定，用正投影法繪制的物體的圖形稱為視圖。同時規(guī)定，物體在投影時，可見的輪廓線用粗實線表示，不可見的輪廓線用虛線表示。因此，物體的視圖與物體的投影實際上是相同的，只是換了一種描述方法，即物體的三面投影也稱為三視圖，如圖4-1(a)所示。其中，

主視圖－物體的正面投影(由前向后投射所得)；

俯視圖－物體的水平投影(由上向下投射所得)；

左視圖－物體的側面投影(由左向右投射所得)。在三投影面體系中，物體的正面投影通常用來表示物體的主要形狀特征，稱為主視圖；物體的水平投影稱為俯視圖；物體的側面投影稱為左視圖。這樣，我們就得到了物體在互相垂直的三個投影面上的三個視圖。為了把空間的三個視圖畫在同一張圖紙上，還必須把三個投影面展開(圖4-1(b))。展開的方法與第2章中投影面的展開方法相同，即V面保持不動，沿OY軸將H面和W面分開，H面繞OX軸向下旋轉90°，W面繞OZ軸向后旋轉90°，使三個投影面展開在一個平面中。展開后的三視圖如圖4-1(c)所示。為了簡化作圖，在三視圖中不畫投影面的邊框線，視圖之間的距離可根據(jù)具體情況自行確定，視圖的名稱也不必標出(圖4-1(d))。

4.1.2三視圖的投影規(guī)律

圖4-1(d)所示物體的三視圖，反映出該物體長、寬、高三個方向的尺寸大小，而每一個視圖則反映了物體兩個方向的尺寸大小。若將物體左右方向的尺寸稱為長，前后方向的尺寸稱為寬，上下方向的尺寸稱為高，則：主視圖反映了物體的長度和高度；

俯視圖反映了物體的長度和寬度；

左視圖反映了物體的寬度和高度；

主視圖和俯視圖同反映了物體的長度；

主視圖和左視圖同反映了物體的高度；

俯視圖和左視圖同反映了物體的寬度。

因而，三視圖之間存在下面的投影規(guī)律：

①主、俯視圖——長對正；

②主、左視圖——高平齊；

③俯、左視圖——寬相等。圖4-1三視圖的形成和投影規(guī)律該投影規(guī)律反映了三視圖間的位置關系和度量關系：

(1)主、俯視圖：長對正：

位置關系：主視圖與俯視圖左右對正；

度量關系：主視圖與俯視圖長度相等。

(2)主、左視圖——高平齊：

位置關系：主視圖與左視圖上下平齊；

度量關系：主視圖與左視圖高度相等。

(3)俯、左視圖——寬相等：

位置關系：俯視圖與左視圖前后對應；

度量關系：俯視圖與左視圖寬度相等。應該特別注意，俯、左視圖除了反映寬相等以外，還有物體前、后位置的對應關系，俯視圖的下方和左視圖的右方表示立體的前面；俯視圖的上方和左視圖的左方表示立體的后面，如圖4-1(d)所示。

另外，在三視圖中，可見的輪廓線畫成粗實線；不可見的輪廓線畫成虛線。例如，圖4-1(d)中左端的方槽，在主視圖中的投影不可見，畫成虛線。視圖的對稱中心線畫成點畫線，例如，圖4-1(d)中的物體前后對稱，在俯視圖中的對稱中心線畫成了點畫線。

4.2平面立體

棱柱和棱錐是常見的平面立體，它們都是由棱面和底面圍成的，相鄰兩棱面的交線稱為棱線，底面與棱面的交線稱為底邊。本節(jié)討論平面立體三視圖的畫法及表面取點、取線的方法。

4.2.1棱柱

1．棱柱的三視圖

現(xiàn)以六棱柱為例，分析棱柱三視圖的畫法。如圖4-2(a)所示，當六棱柱位于圖示位置時，其上、下兩個底面平行于H面，在俯視圖上反映實形(正六邊形)；在六棱柱的六個棱面中，前、后兩個棱面為正平面，在主視圖中反映實形(矩形)，在俯視圖中積聚在正六邊形的前、后兩條邊上，在左視圖中積聚為前、后兩條直線；其余四個棱面為鉛垂面，在俯視圖中積聚在正六邊形的相應邊上，在主視圖和俯視圖中反映類似形(矩形)。

作圖步驟：

(1)畫出三個視圖的對稱中心線：主視圖左右對稱，左視圖前后對稱，各畫出一條對稱中心線；俯視圖前后、左右對稱，畫出兩條垂直相交的對稱中心線(圖4-2(b))。

(2)畫出反映兩底面實形(正六邊形)的俯視圖(圖4-2(c))。

(3)根據(jù)棱柱的高度，按照“長對正”畫出主視圖；根據(jù)主視圖和俯視圖，按照“高平齊”和“寬相等y＝y(tǒng)”畫出左視圖(圖4-2(d))。

說明：當視圖對稱時，一般應先用點畫線畫出對稱中心線。例如，六棱柱處在圖4-2(a)所示位置時，主視圖左右對稱，俯視圖前后、左右均對稱，左視圖前后對稱，應首先畫出三個視圖的對稱中心線，以確定三個視圖的位置，如圖4-2(b)所示。圖4-2六棱柱三視圖的畫法

2．棱柱表面取點、取線

因為棱柱的表面都是平面，所以棱柱體表面取點、取線的方法與第2章中介紹的在平面上取點和取線的方法是一樣的。

【例4-1】

在圖4-3中，已知六棱柱表面A點的正面投影a'

和B點的正面投影b'，試求A點、B點的水平投影和側面投影。

【解】

在棱柱表面取點一般有以下三步：

(1)判斷點在棱柱面上的位置，需要根據(jù)已知投影的位置和可見性來判斷。

(2)根據(jù)已知點的投影求出其它投影，需要根據(jù)點的三面投影規(guī)律求出其它投影。

(3)所求投影的可見性判斷。判斷可見性的原則是，若點所在的面的投影可見(或有積聚性)，則點的投影可見。

A點：由圖4-3(a)可知，A點位于左前側棱面上(鉛垂面)，因為該棱面的H面投影積聚為一直線，所以A點的水平投影a必在這一直線上，可由a'

求出a，再由a'、a與a"?之間“高平齊、寬相等”的關系，求出a"。因為A點的側面投影所在的棱面是可見的，所以a"?可見；在A點水平投影所在的俯視圖上，棱面具有積聚性，所以a可見，見圖4-3(b)。

B點：由圖4-3(a)可知，B點位于后棱面上(正平面)，該棱面在俯視圖和左視圖上都積聚為直線，可由(b')據(jù)“長對正”求出b，再據(jù)“高平齊”求出b"。因為B點的側面投影所在的棱面有積聚性，所以b"?可見；在B點水平投影所在的俯視圖上，棱面具有積聚性，所以b可見，見圖4-3(b)。圖4-3棱柱體表面取點

【例4-2】

如圖4-4(a)所示，作出六棱柱表面折線ABCD的水平投影和側面投影。

【解】

由圖4-4(a)可知，折線由三段直線AB、BC和CD構成。在主視圖中，這三段直線分別位于六棱柱的三個可見棱面：AB位于左前棱面(鉛垂面)；BC位于前棱面(正平面)；CD位于右前棱面(鉛垂面)。因此，可先求出各段直線端點的水平投影和側面投影，在分析各段直線的可見性后，連接相應端點的同面投影即可。注意：棱面上直線的可見性取決于它所在棱面的可見性。在各視圖中，只要棱面的投影可見或積聚為直線，其上直線的投影即可見，直線上的點的投影也可見。作圖步驟：

(1)求各端點的水平投影和側面投影。如圖4-4(b)所示，由主視圖中各點的正面投影a'、b'、c'、d'，在俯視圖中求得水平投影a、b、c、d；在左視圖中求得側面投影a"、b"、c"、d"。

(2)判斷可見性并連線。如圖4-4(c)所示，在左視圖中，直線a"b"?所在的鉛垂面可見，b"c"?所在的正平面積聚為直線，因此a"b"?和b"c"?是可見的，用粗實線連接；而c"d"?所在的鉛垂面是不可見的，用虛線連接。圖4-4棱柱體表面取線4.2.2棱錐

1．棱錐的三視圖

棱錐與棱柱的區(qū)別在于棱錐的棱線交于一點，這一點就是錐頂。

1)四棱錐的三視圖

當四棱錐處于如圖4-5(a)所示的位置時，四棱錐的底面是水平面，在俯視圖上反映實形(矩形)；前、后兩個棱面是形狀相同的三角形，為側垂面，在左視圖上積聚為前后對稱的兩條直線，在主、俯視圖上反映類似形(三角形)；左、右兩個棱面是形狀相同的三角形，為正垂面，在主視圖中積聚為左右對稱的兩條直線，在俯、左視圖上反映類似形(三角形)；四個棱面(或四條棱線)的交點即錐頂。圖4-5四棱錐三視圖的畫法作圖步驟：

(1)畫出三個視圖的對稱中心線。主、左視圖左右和前后對稱，各畫出一條對稱中心線；俯視圖前后、左右對稱，畫出兩條垂直相交的對稱中心線(圖4-5(b))。

(2)畫出反映四棱錐底面實形及四個棱面的俯視圖(圖4-5(c))。

(3)根據(jù)棱錐的高度，按照“長對正”畫出主視圖(圖4-5(d))。

(4)根據(jù)主視圖和俯視圖，按照“高平齊”和“寬相等y＝y(tǒng)”畫出左視圖(圖4-5(d))。

2)三棱錐的三視圖

當正三棱錐(底面為邊長相等的正三角形)處于圖4-6(a)所示位置時，其底面ABC為水平面，在俯視圖中反映正三角形的實形；三個棱面是形狀相同的三角形，它們的交點即錐頂。

位于后面的棱面SBC是側垂面，因為它包含了一條側垂線BC，所以在左視圖上積聚成一條直線；左右對稱的棱面SAB和SAC是一般位置平面，在三個視圖中的投影均為類似形(三角形)。畫正三棱錐的三視圖時，只需畫出底面正三角形ABC的三視圖，再確定錐頂S的三面投影，并與相應的頂點相連即可。作圖步驟：

(1)如圖4-6(b)所示，畫出反映三棱錐底面正三角形實形的俯視圖，由俯視圖據(jù)投影關系畫出底面的主視圖和左視圖(直線)。

(2)如圖4-6(c)所示，畫出三棱錐的俯視圖，并確定錐頂在俯視圖上的投影s，s應位于三角形角平分線的交點；由s和錐高，據(jù)“長對正”在主視圖上得到s'；在左視圖上得到s"，注意，s"

與s“寬相等y1＝y(tǒng)1”的前后對應關系。

(3)如圖4-6(d)所示，將頂點S的各投影與底面三角形的相應同面投影連接，完成三棱錐的三視圖。圖4-6三棱錐三視圖的畫法

2．棱錐表面取點、取線

因為棱錐的表面都是平面，所以棱錐表面取點、取線的方法與在棱柱表面取點和取線的方法是一樣的。

若棱錐的棱面處于特殊位置，則其表面上的點可利用投影的積聚性求得；若棱面處于一般位置，則其表面上的點可以利用在平面上取點的方法，通過作輔助線求得。

在棱錐表面取點，一般有三種作輔助線的方法：①作已知點與錐頂?shù)倪B線；②過已知點作底邊的平行線；③過已知點作任意直線。

作圖時，可根據(jù)具體情況選擇便于作圖的輔助線。

【例4-3】

在圖4-7(a)中，已知三棱錐表面D點的正面投影d'，試求它的水平投影d和側面投影d"。

【解】

由圖4-7(a)可看出，該三棱錐的位置與圖4-6相比，繞Z軸方向順時針轉動了90°。由D點的正面投影d'?及其位置，對照俯視圖可知，D點位于前棱面△SAB上，因此，在俯視圖中，d點應位于△sab上，d"?應位于△s"a"b"?上，并均為可見。因為△SAB為一般位置平面，故可由上述作輔助線方法求出d；由d和d'?可根據(jù)“二求三”求得d"。

圖4-7(b)、(c)、(d)給出了用三種作輔助線的方法求解的作圖過程。圖4-7棱錐表面取點方法一(圖4-7(b))：將點D與錐頂S相連。連s'd'?并延長交a'b'?于1'；由1'?求得1、1"，連接s1、s"1"，在s1上求得d，在s"1"上求得d"。d"

也可據(jù)d、d'?由“二求三”得到(已知點的兩面投影，求第三面投影的過程，稱為“二求三”)。

方法二(圖4-7(c))：過點D作一直線DⅠ平行于底邊AB。作d

'1'∥a'b'；由1'

求得1，過1作直線平行于ab，在此直線上求得d；d"?由“二求三”得到。

方法三(圖4-7(d))：過點D在△SAB作任意直線ⅠⅡ。過d'

作直線交s'a'?于1'，交s'b'?于2'；由1'、2'?求出1、2，在12上求得d；d"由“二求三”得到。

【例4-4】

如圖4-8(a)所示，作出三棱錐表面折線ⅠⅡⅢ?Ⅳ?的水平投影和側面投影。

【解】

由圖4-8(a)可知，折線由三段直線ⅠⅡ、ⅡⅢ、Ⅲ?Ⅳ?構成。在俯視圖中，三段直線分別位于三棱錐的三個可見棱面：ⅠⅡ和ⅡⅢ?位于前后對稱的棱面△SAC和△SAB上(這兩個棱面都是一般位置平面)，并由俯視圖可知ⅠⅡ?平行于AB；Ⅲ?Ⅳ?位于棱面△SBC上(正垂面)。因此，可先求出各段直線端點的正面投影和側面投影，在分析各段直線的可見性后，連接相應端點的同面投影即可。棱面上直線的可見性取決于它所在棱面的可見性。圖4-8棱錐表面取線作圖過程如下：

(1)求各端點的正面投影和側面投影。如圖4-8(b)所示，由俯視圖中各點的水平投影1、2、3、4，在主視圖中求得正面投影1'、2'、3'、4'，其中1'?由2'?作a'b'

的平行線得到，在左視圖中求得側面投影1"、2"、3"、4"。

(2)判斷可見性并連線。如圖4-8(c)所示，在主視圖中，直線1'2'?所在的棱面△s'a'c'?不可見，用虛線連接；直線2'?3'?所在的棱面△s'a'b'

是可見的，用粗實線連接；直線3'4'?所在的棱面△s'b'c'

積聚為直線，無需再連接。在左視圖中，直線1"?2"?和2"?3"?所在的棱面△s"a"c"?和△s"a"b"

都是可見的，直線1"?2"

和2"?3"

都用粗實線連接；直線3"4"

所在的棱面△s"b"c"?是不可見的，3"4"?用虛線相連。 4.3常?見?回?轉?體

曲面立體是由曲面或曲面和平面圍成的。在曲面立體中，工程上使用較多的是回轉體，圓柱體、圓錐體、圓球和圓環(huán)是常見回轉體，如圖4-9所示。

回轉體是由回轉面或回轉面與平面所圍成的。回轉面是由一條線(動線)繞著一條軸線(定線)旋轉而生成的。這條動線稱為母線，母線上任一點的運動軌跡均為圓，此圓稱為緯圓，緯圓所在的平面垂直于回轉體的軸線；回轉面上任意位置的母線稱為素線，素線的形狀與母線相同。

本節(jié)討論常見回轉體的形成、三視圖的畫法及表面取點、取線的方法。圖4-9常見回轉體4.3.1圓柱體

1．圓柱體的生成

如圖4-10(a)所示，圓柱體由圓柱面及兩個底面圓所圍成。圓柱面是由直母線繞與它平行的軸線回轉而成的。母線上任一點的運動軌跡均為圓，圓所在的平面垂直于軸線。圓柱面上平行于軸線的直線是圓柱的素線，即圓柱面上只有素線是直線，其余均為曲線。

2．圓柱體的三視圖

如圖4-10(b)所示，將軸線為鉛垂線的圓柱體置于三投影體系中，分別向三投影面投影，得到圓柱體的三視圖。俯視圖是一個圓，它是圓柱面有積聚性的投影，也是圓柱體上、下底面圓(水平圓)反映實形的投影。

主視圖是一個矩形，矩形的上、下邊是頂面圓和底面圓有積聚性的投影，左、右兩邊是圓柱面最左和最右兩條素線AA0和CC0

的正面投影a'a0'?和c'c0'。最左、最右的兩條素

線，也是圓柱面對正面投影的前半個可見圓柱面與后半個不可見圓柱面的分界線，稱為正面投影的轉向輪廓線。左視圖的形狀是與主視圖完全相同的矩形，矩形的上、下邊也是頂面圓和底面圓有積聚性的投影，右邊和左邊則是圓柱面最前和最后兩條素線BB0和DD0的側面投影b"b0"和d"d0"。最前、最后的兩條素線，也是圓柱面對側面投影的左半個可見圓柱面與右半個不可見圓柱面的分界線，稱為側面投影的轉向輪廓線。如圖4-10(c)、(d)、(e)所示，在畫圓柱體的三視圖時，應首先用點畫線畫出圓的十字中心線，中心線的交點是軸線有積聚性的水平投影，在主視圖和左視圖中，也應該用點畫線畫出軸線的投影。然后畫圓柱面有積聚性的俯視圖，再畫其它視圖。某一投影面的轉向輪廓線在其它視圖中不單獨畫出。在圖4-10(e)中，正面投影的轉向輪廓線a'a0'和c'c0'，在俯視圖中積聚為兩個點aa0和cc0，在左視圖中a"a0"?和c"c0"?則與軸線的側面投影相重合，不單獨畫線。同樣，可對側面投影的轉向輪廓線在其它投影面上的投影進行分析。圖4-10圓柱體的三視圖作圖步驟：

(1)在主視圖和左視圖中用點畫線畫出軸線(鉛垂線)的投影，在俯視圖中畫出十字中心線，十字中心線的交點是軸線的水平投影(圖4-10(c))。

(2)先畫出反映上、下底面圓實形的俯視圖，再根據(jù)圓柱體的高度，由“長對正、高平齊、寬相等”畫出主視圖和左視圖(圖4-10(d))。

(3)畫出圓柱體V面和W面的轉向輪廓線，完成圓柱體的三視圖(圖4-10(e))。注意：回轉體的軸線在畫三視圖時必須畫出，且應該首先畫出；在回轉體軸線所垂直的投影面上，即反映圓的視圖中，應畫出十字中心線。

3．圓柱體表面取點、取線

圓柱體表面的點有三種情況：①點在轉向輪廓線上，②點在底面上，③點在圓柱面上。一般情況下，若已知點的一面投影，需作出其它兩面投影時，前兩種情況可根據(jù)點在直線上和點在平面上取點的方法求解；第三種情況可先作出點在圓柱面有積聚性的圓上的投影，再求另外的投影。下面分別舉例說明。

【例4-5】

如圖4-11(a)所示，已知圓柱體上的點A、B、C的正面投影a'、側面投影b"、水平投影c，作出其余兩面投影。

【解】

由已知條件可知，點A位于最右面的素線上(正面投影的轉向輪廓線)，找到該素線的水平投影和側面投影，即可作出其水平投影a和側面投影a"；A點位于圓柱右面的正面投影轉向輪廓線上，因此水平投影可見，側面投影則不可見。同理可分析B點。由俯視圖上C點的水平投影c可見，可判斷C點位于頂面，由此可知C點的正面和側面投影應在頂面圓有積聚性的直線上，從而作出正面投影c'?和側面投影c"；因C點所在頂面圓的正面和側面投影都有積聚性，因此c'和c"?可見。注意：當直線或平面有積聚性時，其上的點認為可見。圖4-11圓柱體轉向輪廓線和頂面上取點作圖過程(見圖4-11(b))：

(1)據(jù)A點在最右面的素線上，由a'?求得a和a"，且a可見，a"?不可見。

(2)再據(jù)B點在最前面的素線上，由b"?求得b和b'，且b和b'?均可見。

(3)?D點位于頂面，據(jù)水平投影c，由“長對正”求得正面投影c'，據(jù)“寬相等”求得側面投影c"，c'?和c"?均可見。

【例4-6】

如圖4-12(a)所示，已知圓柱面上的點M的正面投影m'?和點N的側面投影(n")，作出其余兩面投影。

【解】

由已知條件可知，M點位于圓柱面的左、前方；N點位于圓柱面的右、后方。根據(jù)已知點的投影，在圓柱面積聚成圓的俯視圖上先求出水平投影，再求出另外一個投影。因M點位于圓柱面的左、前方，所以它的水平投影m和側面投影m"?均可見；N點位于圓柱面的右、后方，所以正面投影(n'?)不可見，水平投影n可見。注意：當圓柱面積聚成圓時，圓上的點認為可見。作圖過程：

(1)據(jù)M點在圓柱面的左、前方，由m'?據(jù)“長對正”先在俯視圖上求得m，再據(jù)“高平齊、寬相等”求得m"，m和m"?均可見(圖4-12(b))。

(2)據(jù)N點在圓柱面的右、后方，由n"

據(jù)“寬相等”先在俯視圖上求得n，再據(jù)“長對正、高平齊”在主視圖上求得n'，n可見，(n'?)不可見(圖4-12(b))。圖4-12圓柱面上取點

【例4-7】

如圖4-13(a)所示，已知圓柱面上兩線段的正面投影a'b'c'?(曲線)和c'd'?(直線)，求其余兩投影。

【解】

圖示情況下，圓柱體的軸線為側垂線，圓柱面的側面投影有積聚性，即所求兩線段的側面投影在左視圖中與圓重合?？上扔筛鼽c的正面投影在左視圖上求出相應的側面投影，然后據(jù)“長對正、寬相等”依次求出各點的水平投影。主視圖中添加的一般點s'?和t'，是為了提高作圖的準確性。線段ABC位于圓柱體的前半個圓柱面，AB在前、下圓柱面，BC在前、上圓柱面。因B點位于圓柱水平投影面的轉向輪廓線上，其水平投影b是線段ABC的水平投影abc可見與不可見的分界點，即在俯視圖中線段ab不可見，bc可見。線段CD位于前、上圓柱面，俯視圖中cd可見。作圖過程：

(1)據(jù)線段各點正面投影，在左視圖中作出相應的側面投影(圖4-13(b))。

(2)據(jù)線段各點的正面投影和側面投影，在俯視圖中作出相應的水平投影(圖4-13(b))。圖中45°斜線只是為了表示“寬相等”的關系，作圖時可不畫，直接量取“寬相等”即可。

(3)判斷可見性并連線。在左視圖中，線段積聚在圓上，視為可見；在俯視圖中，以b分界，左段ab不可見，右段bc可見，同樣，位于上半個圓柱面的cd也是可見的，用粗實線和虛線區(qū)別線段的可見與不可見(圖4-13(c))。圖4-13圓柱面上取線4.3.2圓錐體

1．圓錐體的形成

如圖4-14(a)所示，圓錐體由圓錐面和底面圍成。圓錐面可看做由直母線繞與它相交的軸線旋轉而成。母線上任一點的運動軌跡均為圓(緯圓)，緯圓所在的平面垂直于軸線。圓錐面上過錐頂?shù)闹本€是圓錐的素線，即圓錐面上只有過錐頂?shù)乃鼐€是直線，其余均為曲線。

2．圓錐體的三視圖

圖4-14(b)所示的圓錐，其軸線為鉛垂線，先用點畫線畫出軸線的正面投影和側面投影，在水平投影中，用點畫線畫出十字中心線，十字中心線的交點是軸線的水平投影，又是錐頂S的水平投影s。接下來畫反映底面實形的俯視圖，再畫其它視圖，如圖4-14(c)、(d)、(e)所示。圓錐的主視圖和左視圖均為等腰三角形，其底邊是圓錐底面圓有積聚性的投影。主視圖三角形的兩腰s'a'、s'b'?分別為圓錐面上最左、最右的兩條素線SA、SB的正面投影，也是主視圖中可見的前半個圓錐面和不可見的后半個圓錐面的分界線，因此SA、SB是圓錐正面投影的轉向輪廓線。SA、SB的側面投影s"a"、s"b"?與軸線的側面投影重合。同理，左視圖三角形的兩腰s"c"、s"d"?分別為圓錐面上最前、最后的兩條素線SC、SD的側面投影，也是左視圖中可見的左半個圓錐面和不可見的右半個圓錐面的分界線，因此SC、SD是圓錐側面投影的轉向輪廓線。SC、SD的正面投影s'c'、s'd'?與軸線的正面投影重合。底圓的正面投影、側面投影分別積聚為長度等于其直徑的直線(主視圖、左視圖三角形的底邊)，水平投影反映底圓的實形，這也是圓錐的俯視圖。轉向輪廓線在其它投影中不單獨畫出。

由圖4-14可見，圓錐面的水平投影在圓所包圍的區(qū)域內，正面投影和側面投影在三角形區(qū)域內，因此，圓錐面的三個投影都沒有積聚性。圖4-14圓錐體的三視圖作圖步驟：

(1)在主視圖和左視圖中用點畫線畫出軸線(鉛垂線)和圓的對稱中心線的投影，在俯視圖中畫出十字中心線，十字中心線的交點是軸線的水平投影(圖4-14(c))。

(2)先畫出反映底面圓實形的俯視圖，再根據(jù)“長對正、寬相等”畫出其主視圖和左視圖(圖4-14(d))。

(3)由圓錐體的高度，畫出圓錐體V面和W面的轉向輪廓線，完成圓錐體的三視圖(圖4-10(e))。

3．圓錐體表面取點、取線

圓錐體表面的點有三種情況：①點在轉向輪廓線上；②點在底面上；③點在圓錐面上(不包括前兩種情況)。若已知點的一面投影，需作出其它兩面投影時，前兩種情況可根據(jù)點在直線上和點在平面上取點的方法求解；第三種情況需要作輔助線求解。輔助線有兩種：過錐頂?shù)乃鼐€和垂直于軸線的緯圓，也稱輔助素線法和輔助緯圓法。下面舉例說明。

【例4-8】

如圖4-15(a)所示，已知圓錐體轉向輪廓線上的點B的正面投影b'?和底面上點C的水平投影(c)，作出它們其余兩面投影。

【解】(1)求作b和b"。由已知條件可知，B點位于圓錐對V面的轉向輪廓線上。如圖4-15(b)所示，在該轉向輪廓線的水平投影和側面投影上，據(jù)已知的b'，可直接由“長對正、高平齊”得到其水平投影b和側面投影b"。因B點位于圓錐體的圓錐面上，故b可見；又因B點位于圓錐體的左半個圓錐面上，故b"?可見。

(2)求作c'?和c"。由已知條件可知，C點位于圓錐體的底面上。如圖4-15(b)所示，底面為一水平圓，該圓在主視圖和左視圖中積聚為直線(三角形的底邊)，據(jù)已知的水平投影(c)，可直接由“長對正、寬相等”得到其正面投影c'?和側面投影c"。因圓錐體的底面圓上的正面投影和側面投影均積聚為直線，故c'?和c"?均可見。圖4-15圓錐體轉向輪廓線和底面上取點

【例4-9】

如圖4-16(a)所示，已知圓錐表面點A的正面投影a'，求作水平投影a和側面投影a"。

【解】

由已知條件可知，點A位于圓錐面上，已知a'，可用輔助素線法或輔助緯圓法求得a和a"。A點位于圓錐面的左半個錐面上，a和a"?均可見。

方法一：輔助素線法(見圖4-16(b))。

(1)如圖4-16(c)所示，過錐頂S和A點的已知投影a'

作素線SN的正面投影s'n'，再求出其水平投影sn和側面投影s"n"。圖4-16圓錐面上取點：輔助素線法和輔助緯圓法

(2)如圖4-16(d)所示，因A點在素線上，其投影必在素線的同面投影上，由a'即可在sn和s"n"?上求得a和a"。

方法二：輔助緯圓法。

(1)如圖4-16(e)所示，過A點可作一個輔助圓，該圓是與圓錐的軸線垂直的水平圓。

(2)如圖4-16(f)所示，過a'?作出水平圓的正面投影，該投影是一條垂直于軸線的直線，兩端與正面轉向輪廓線相交，直線長度的一半是輔助圓的半徑，由此作出輔助圓在俯視圖中的圓，以及側面投影有積聚性的直線。

(3)如圖4-16(g)所示，因A點在輔助緯圓上，其投影必在輔助緯圓的同面投影上，因此可由a'?在輔助緯圓的水平投影和側面投影上求得a和a"。

說明：在以上方法中，只要知道了點的兩面投影后，都可以利用點的投影關系(“長對正、高平齊、寬相等”的三等關系)，求出另外一個投影。即圖4-16(d)、(g)中的a"?可以由a和a'

根據(jù)“高平齊、寬相等”直接求得，而不必作出輔助素線和輔助緯圓的側面投影。

【例4-10】

如圖4-17(a)所示，已知圓錐面上曲線DBACE的正面投影d'b'a'c'e'，求曲線其余兩投影。

【解】由圖4-17(a)給出的曲線上點的正面投影可知，b'c'?和d'e'?是兩對重影點，曲線前后對稱。A點位于V面轉向輪廓線上；B點和C點位于W面轉向輪廓線上；D點和E點位于圓錐面上。為了作圖準確，以使曲線光滑連接，在已知點之間的圓錐面上，適當添加了兩對一般點，如圖4-17(c)所示。位于轉向輪廓線上點A、B、C的其余兩投影，可以在相應的轉向輪廓線的同面投影上直接求得；位于圓錐面上的點D、E和添加的兩對一般點的其余投影，可以用輔助素線法或輔助緯圓法求得。在俯視圖中，曲線可見；從圖4-17(a)可看到，曲線的一部分(BAC)位于圓錐體的左半個錐面，另一部分(DB和CE)位于圓錐體的右半個錐面，因此，在左視圖中以b"?和c"?為界，上部的b"a"c"?可見，下部的d"b"c"e"?不可見。作圖過程：

(1)求轉向輪廓線上的點。如圖4-17(b)所示，A點和B、C點的水平投影a、b、c及側面投影a"、b"、c"，在相應的轉向輪廓線的同面投影上可直接求得。

(2)用輔助素線法和輔助緯圓法求其它點的投影。

圖4-17(c)所示為用輔助素線法求點的方法，過曲線已知正面投影作與錐頂相連的各素線的正面投影，求出各素線的水平投影，據(jù)“長對正”在各素線的水平投影上作出相應各點的水平投影a、b、c、d、e；再據(jù)“高平齊、寬相等”求出側面投影a"、b"、c"、d"、e"。圖4-17(e)所示為用輔助緯圓法求點的方法。輔助圓為垂直于軸線的水平圓，在主視圖上過各點作垂直于軸線的直線，求得各點所在水平圓的半徑，在俯視圖上作出各圓弧，由各點的正面投影，據(jù)“長對正”在俯視圖的圓弧上求得各點的水平投影。圖4-17(e)中的箭頭表明了用輔助緯圓法求D、E兩點的水平投影d、e和據(jù)“高平齊、寬相等”求作側面投影d"、e"?的方法，其它點的作圖方法相同。

(3)圖4-17(d)和圖4-17(f)是在判斷了曲線的水平、側面投影的可見性后，光滑連接曲線上各點得到的作圖結果。比較二者的主視圖和俯視圖，可看出用輔助緯圓法比用輔助素線法作圖簡便，因此在圓錐面上取點時，推薦使用輔助緯圓法。尤其在圓錐臺表面取點時，因截去了圓錐頂，故用輔助緯圓法求解更為方便。圖4-17圓錐面上取線4.3.3圓球

1．圓球的形成

如圖4-18(a)所示，圓球是由圓球面圍成的。圓球面可看做由半圓形的母線繞其直徑(軸線)回轉而成。母線上任一點的運動軌跡均為圓，圓所在的平面垂直于圓球的軸線，過圓球球心的直線均可視為圓球的軸線，圓球面上沒有直線。

2．圓球的三視圖

如圖4-18(b)、(d)所示，圓球的三個視圖均為大小等于圓球直徑的圓，它們分別是球面上平行于V面、H面和W面的最大的圓的投影，也是三個投影面的轉向輪廓線的投影。圖4-18圓球的三視圖球面上的圓A是正面投影轉向輪廓線圓，也是圓球上最大的正平圓。圓A在主視圖上的投影為正面轉向輪廓線圓a'，而在俯視圖和左視圖中的投影a和a"?都與中心線重合(不畫出)，正面轉向輪廓線A又是前半個球面和后半個球面的分界線，在主視圖中可由此判斷球面的可見性。

球面上的圓B是水平面投影轉向輪廓線圓，也是圓球上最大的水平圓。圓B在俯視圖上的投影為水平面轉向輪廓線圓b，而在主視圖和左視圖中的投影b'?和b"?都與中心線重合(不畫出)，水平面轉向輪廓線B又是上半個球面和下半個球面的分界線，在俯視圖中可由此判斷球面的可見性。球面上的圓C是側面投影轉向輪廓線圓，也是圓球上最大的側平圓。圓C在左視圖上的投影為側面轉向輪廓線圓c"，而在主視圖和俯視圖中的投影c'?和c都與中心線重合(不畫出)，側面轉向輪廓線C又是左半個球面和右半個球面的分界線，在左視圖中可由此判斷球面的可見性。

作圖步驟：

(1)在三個視圖中用點畫線畫出十字中心線(圖4-18(c))；

(2)在三個視圖中分別畫出三個直徑等于圓球直徑的圓，完成作圖(圖4-18(d))。

3．圓球面上取點、取線

圓球面上的點有兩種情況：①點在轉向輪廓線上；②點在圓球面上。若已知點的一面投影，需作出其它兩面投影時，第一種情況下，因轉向輪廓線的投影在圓球的三視圖中為已知，故可直接作出；第二種情況下，因為圓球表面沒有直線，所以需要用輔助緯圓來幫助求點。下面舉例說明。

【例4-11】

如圖4-19(a)所示，已知圓球轉向輪廓線上A點的正面投影a'?和B點的側面投影(b")，作出它們其余兩面投影。

【解】

由已知條件可知，A點位于正面轉向輪廓線上，A點的水平投影a和側面投影a"?應在正面轉向輪廓線的同面投影上。如圖4-19(b)所示，據(jù)“長對正、高平齊”即可由a'?求得a和a"。因A點位于上半個、左半個球面，所以a和a"?均可見。由已知條件可知，B點位于水平面轉向輪廓線上，B點的水平投影b和正面投影b'?應在水平面轉向輪廓線的同面投影上。如圖4-19(b)所示，據(jù)“寬相等、長對正”即可由(b")求得b和b'。因B點位于水平面轉向輪廓線上，所以b可見；B點又位于前半個球面，所以b'?也可見。圖4-19圓球轉向輪廓線上取點

【例4-12】

如圖4-20(a)所示，已知圓球面上A點的正面投影a'，求A點的其余兩面投影。

【解】

由已知條件可知，A點位于上半個球面，它的水平投影a可見；A點又位于右半個球面，它的側面投影a"?不可見。因為圓球的三個視圖都沒有積聚性，且球面上也不存在直線，所以，為方便作圖，常選用平行于投影面的圓(緯圓)作為輔助圓。例如，求a和a"，可過已知的a'

作一個投影面的平行圓的正面投影(水平圓、側平圓和正平圓均可)，求出該圓的另兩面投影，即可在輔助圓的同面投影上求得a和a"。圖4-20圓球表面取點(輔助緯圓法)作圖過程：

(1)作輔助水平圓(圖4-20(b))。過a'?作一水平直線與圓球的正面投影圓相交，該直線是輔助水平圓的正面投影，其長度就是輔助水平圓的直徑，在俯視圖中據(jù)輔助圓的直徑，畫出輔助水平圓的水平投影圓，由a'

據(jù)“長對正”即可在輔助圓的水平投影上求得a；由a和a'即可據(jù)“高平齊、寬相等”求出a"。

(2)作輔助側平圓(圖4-20(c))。過a'作一垂線與圓球的正面投影圓相交，該直線是輔助側平圓的正面投影，其長度就是輔助側平圓的直徑，在左視圖中據(jù)輔助圓的直徑，畫出輔助側平圓的側面投影圓，由a'

據(jù)“高平齊”即可在輔助圓的側面投影上求得a"；由a'

和a"?即可據(jù)“長對正、寬相等”求出a。

(3)作輔助正平圓(圖4-20(d))。以主視圖的圓心為圓心，以圓心到a'

的距離為半徑(過a'?)作出輔助正平圓的正面投影圓，據(jù)此作出輔助正平圓的水平投影和側面投影，由a'?據(jù)“長對正、高平齊”即可在輔助圓的水平投影和側面投影上求得a和a"；也可如圖4-20(b)、(c)那樣，在求出a或a"

之一后，由點的“二求三”求出另外一個投影。

【例4-13】

如圖4-21(a)所示，已知半圓球面上三段曲線的正面投影a'b'、b'c'、c'd'，完成它們的水平投影和側面投影。圖4-21圓球表面取線

【解】

球面上沒有直線，球面上任意畫一條線均為曲線。由圖4-21(b)對曲線進行分析，這三段曲線中AB與BC共點B，BC與CD共點C。由a'b'

平行于側面及它的位置、可見性(可見)，可知AB應是位于半球前、左球面上的四分之一側平圓，它的水平投影ab、側面投影a"b"?均可見。由c'd'

平行于水平面及它的位置、可見性(不可見)，可知CD應是位于半球右、后球面上的四分之一水平圓，它的水平投影cd可見，側面投影c"d"?不可見。b'c'?是一條斜線，表明BC是傾斜于水平面和側面的圓弧，投影應是一段橢圓弧，由b'c'?的位置、可見性(不可見)，可知BC位于半球左、后球面上，它的水平投影bc、側面投影b"c"?均可見。按前面講述的圓球表面取點的方法，即可求出曲線的各點。注意：對于本例中的水平圓和側平圓，只要知道其半徑即可直接畫圓，無須再求圓上各點。作圖過程：

(1)曲線上各點(圖4-21(c))：

側平圓弧AB：據(jù)a'b'?作出ab，側平圓弧AB的半徑＝a'b'＝ab，作出圓弧得a"b"。

橢圓弧BC：B、C兩點分別在正面和側面的轉向輪廓線上，且b和b"?已求出，由c'

求得c"，再由c"?求得c。為作圖準確，在b'c'

之間適當位置取了一個中間點(未標名稱)。

水平圓弧CD：c'd'

是水平圓弧的半徑(c和c"?已求出)，據(jù)此半徑作出水平圓弧得到d，D點在正面轉向輪廓線上，由d'

求得d"。

(2)判斷可見性，連接曲線上各點(圖4-21(d))。據(jù)以上分析，ab和a"b"?均可見，畫成粗實線；bc和b"c"?均可見，畫成粗實線；cd可見，c"d"?不可見，分別畫成粗實線和虛線，完成作圖。

4.3.4圓環(huán)

1．圓環(huán)的形成

如圖4-22(a)所示，圓環(huán)是由環(huán)面圍成的。環(huán)面可看做由圓(母線)繞圓平面上不通過圓心的直線(軸線)回轉而成。母線上任一點的運動軌跡均為圓，圓所在的平面垂直于軸線，圓環(huán)面上沒有直線。

2．圓環(huán)的三視圖

如圖4-22(b)、(d)所示，圓環(huán)的軸線為鉛垂線。主視圖中的左右兩個小圓，是圓環(huán)面上最左、最右兩個素線圓的正面投影；上、下兩條公切線是環(huán)面上的最高、最低兩個緯圓的正面投影，它們是對正面的轉向輪廓線，也是主視圖中環(huán)面可見與不可見的分界線。俯視圖中的兩個實線圓是圓環(huán)上最大圓和最小圓的投影，它們是圓環(huán)面對水平面的轉向輪廓線，也是俯視圖中環(huán)面可見與不可見的分界線。俯視圖中點畫線圓是母線圓圓心軌跡的投影，母線上最高點和最低點軌跡的投影也重合在這個點畫線圓上。左視圖與主視圖的形狀相同，其特點類似，其上兩個小圓是圓環(huán)面上最前、最后兩個素線圓的側面投影；上、下兩條公切線是環(huán)面上的最高、最低兩個緯圓的側面投影，它們是對側面的轉向輪廓線，也是左視圖中環(huán)面可見與不可見的分界線。

可見性判斷：如圖4-22(d)所示，俯視圖點畫線圓以外的圓環(huán)面為外環(huán)面，點畫線圓以內的環(huán)面為內環(huán)面。對于主視圖，前半個環(huán)面的外環(huán)面是可見的，其余不可見；對于俯視圖，上半個環(huán)面是可見的，其余不可見；對于左視圖，左半個環(huán)面的外環(huán)面是可見的，其余不可見。作圖步驟：

(1)在三個視圖中畫出軸線、對稱中心線的投影(圖4-22(c))。

(2)在主視圖中，畫出左、右兩個素線圓的投影，在素線圓的上、下各畫一條公切線；在俯視圖中，分別畫出最大水平圓、最小水平圓和母線圓心軌跡圓(點畫線圓)；俯視圖與主視圖形狀相同。視圖中各部分相應的投影關系用名稱表明(圖4-22(d))。圖4-22圓環(huán)的三視圖圖4-23(a)、(b)分別表示了由單獨的外環(huán)面、內環(huán)面及上、下頂平面圍成的回轉體的三視圖。圖4-23內、外圓環(huán)面回轉體的三視圖

3．圓環(huán)面上取點

如果點位于圓環(huán)面上的素線及轉向輪廓線上，則因點所在線的三面投影在三視圖中已經畫出，所以在已知點的一面投影后，其余投影可在相應的同面投影中直接求得；如果點在圓環(huán)一般位置上，則因環(huán)面上沒有直線，所以需要用輔助緯圓法求解。舉例如下。

【例4-14】

如圖4-