2025屆高考數(shù)學(xué)一輪專題重組卷第一部分專題十線性規(guī)劃文含解析

PAGE專題十線性規(guī)劃本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分90分，考試時間50分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．(2024·溫州市高考適應(yīng)性測試)以下不等式組表示的平面區(qū)域是三角形的是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－y≥0，,x＋2y－6≥0))B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－y≥0，,x＋2y－6≤0))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－y≤0，,x＋2y－6≥0))D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－y≤0，,x＋2y－6≤0))答案D解析不等式組表示的平面區(qū)域為下圖中的△ABC，只有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－y≤0，,x＋2y－6≤0))符合．故選D.2．(2024·江西分宜中學(xué)、玉山一中、臨川一中等九校聯(lián)考)已知實數(shù)x，y滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≥0，,x＋y≤6，,2x－y≤6，))則z＝|x－2y＋1|的最大值為()A．8B．7C．6D．5答案B解析畫出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≥0，,x＋y≤6，,2x－y≤6))表示的可行域，如圖中陰影部分所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－6＝0，,x－2＝0))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－6＝0，,x－2＝0))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))設(shè)m＝x－2y＋1，將m＝x－2y＋1變形為y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1－m,2)，平移直線y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1－m,2)，由圖可知當(dāng)直線y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1－m,2)經(jīng)過點(2，－2)，(2,4)時，直線在y軸上的截距分別最小與最大，m分別取得最大值與最小值，最大值m＝2＋2×2＋1＝7，最小值m＝2－2×4＋1＝－5，∴－5≤m≤7,0≤|m|≤7，即z＝|x－2y＋1|的最大值為7.故選B.3．(2024·開封一模)若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥2，,y－x≤2，,x－2≤0，))則eq\f(y,x＋2)的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪[1，＋∞)C．[0,1] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案A解析作出x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥2，,y－x≤2，,x－2≤0))的可行域如圖中△ABC，eq\f(y,x＋2)表示區(qū)域內(nèi)的點與點(－2,0)連線的斜率，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,2x＋y＝2，))可解得B(2，－2)，同理可得A(2,4)，當(dāng)直線經(jīng)過點B時，eq\f(y,x＋2)取得最小值eq\f(－2,2＋2)＝－eq\f(1,2)，當(dāng)直線經(jīng)過點A時，eq\f(y,x＋2)取得最大值eq\f(4,2＋2)＝1.則eq\f(y,x＋2)的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).故選A.4．(2024·柳州市高三畢業(yè)班模擬)某公司每月都要把貨物從甲地運往乙地，貨運車有大型貨車和小型貨車兩種．已知4臺大型貨車與5臺小型貨車的運費之和少于22萬元，而6臺大型貨車與3臺小型貨車的運費之和多于24萬元．則2臺大型貨車的運費與3臺小型貨車的運費比較()A．2臺大型貨車運費貴 B．3臺小型貨車運費貴C．二者運費相同 D．無法確定答案A解析設(shè)大型貨車每臺運費x萬元，小型貨車每臺運費y萬元，依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋5y<22，,6x＋3y>24，,x>0，,y>0，))可行域如圖中陰影部分所示，z＝2x－3y過C(3,2)時，z最?。鄗>2×3－3×2＝0，即2x>2y.故選A.5．(2024·北京朝陽區(qū)模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，以下各點位于不等式(x＋2y－1)(x－y＋3)>0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是 ()A．(0,0) B．(－2,0)C．(0，－1) D．(0,2)答案D解析將(0,0)代入(x＋2y－1)(x－y＋3)，得－3<0，不符合題意；將(－2,0)代入(x＋2y－1)(x－y＋3)，得－3<0，不符合題意；將(0，－1)代入(x＋2y－1)(x－y＋3)，得－12<0，不符合題意；將(0,2)代入(x＋2y－1)·(x－y＋3)，得3>0，符合題意．故選D.6．(2024·黑龍江試驗中學(xué)月考)已知實數(shù)x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0，))若使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為 ()A.eq\f(1,2)或－1B．2或eq\f(1,2)C．2或1D．2或－1答案D解析由題意，作出約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0))表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．將z＝y(tǒng)－ax化為y＝ax＋z，則z為直線y＝ax＋z的縱截距．由題意可得，直線y＝ax＋z與直線y＝2x＋2或與直線y＝2－x平行，故a＝2或－1.故選D.7．(2024·廈門二模)設(shè)x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y＋a≤0，,y≥0，))且z＝x＋3y的最大值為8，則a的值是()A．－16B．－6C．2D．－2答案B解析易知a<0，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．由圖可知，當(dāng)直線z＝x＋3y經(jīng)過點C時，z取得最大值8.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝8，,x－y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))即C(2,2)，因為點C也在直線2x＋y＋a＝0上，所以4＋2＋a＝0，解得a＝－6.故選B.8．(2024·全國卷Ⅲ)記不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0))表示的平面區(qū)域為D.命題p：?(x，y)∈D,2x＋y≥9；命題q：?(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面給出了四個命題：①p∨q②綈p∨q③p∧綈q④綈p∧綈q這四個命題中，全部真命題的編號是()A．①③B．①②C．②③D．③④答案A解析解法一：畫出可行域如圖中陰影部分所示．目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y是一條平行移動的直線，且z的幾何意義是直線z＝2x＋y的縱截距．明顯，直線過點A(2,4)時，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命題p：?(x，y)∈D,2x＋y≥9正確；命題q：?(x，y)∈D,2x＋y≤12不正確．∴①③真，②④假．故選A.解法二：取x＝4，y＝5，滿意不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0，))且滿意2x＋y≥9，不滿意2x＋y≤12，故p真，q假．∴①③真，②④假．故選A.9．(2024·肥城模擬)已知x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,x－2y－8≤0，,2x－y－4≥0，))若目標(biāo)函數(shù)z＝eq\f(y＋2,x－a)的取值范圍為[0,2)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)≥1B．a(chǎn)≤2C．a(chǎn)<2D．a(chǎn)<1答案D解析作出可行域如圖中陰影部分所示，z＝eq\f(y＋2,x－a)表示可行域內(nèi)的點(x，y)與A(a，－2)連線的斜率，易得B(2,0)，C(4，－2)，因為目標(biāo)函數(shù)z＝eq\f(y＋2,x－a)的取值范圍為[0,2)，直線2x－y－4＝0的斜率為2，所以0≤kAB<2，即0≤eq\f(2,2－a)<2，得a<1.故選D.10．(2024·宣城市八校聯(lián)考)若x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤x＋y≤5，,1≤2x－y≤5，))且z＝2x＋y的最小值為－1，則a＝()A．－2B．－1C．0D．1答案B解析由約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤x＋y≤5，,1≤2x－y≤5，))畫出可行域如圖中陰影部分所示，因為目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y可化為y＝－2x＋z，z表示在y軸上的截距，由圖象可知，z＝2x＋y在直線x＋y＝a與2x－y＝1的交點處取得最小值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝a，,2x－y＝1))解得交點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,3)，\f(2a－1,3)))，則－1＝2×eq\f(a＋1,3)＋eq\f(2a－1,3)，解得a＝－1.故選B.11．(2024·哈爾濱師大附中二模)設(shè)點(x，y)滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋3≥0，,x－5y－1≤0，,3x＋y－3≤0，))且x∈Z，y∈Z，則這樣的點共有()A．12個B．11個C．10個D．9個答案A解析畫出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋3≥0，,x－5y－1≤0，,3x＋y－3≤0))表示的可行域如圖中陰影部分所示，由圖可知，滿意x∈Z，y∈Z的點有(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12個．故選A.12．(2024·河北聯(lián)考)已知m>0，設(shè)x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＋2≥0，,x－2≤0，,2x－y＋m≥0，))且z＝x＋y的最大值與最小值的比值為k，則()A．k為定值－1B．k不是定值，且k<－2C．k為定值－2D．k不是定值，且－2<k<－1答案C解析畫出m＞0，x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＋2≥0，,x－2≤0，,2x－y＋m≥0))的可行域如圖中陰影部分所示，當(dāng)直線z＝x＋y經(jīng)過點A(2，m＋4)時，z取得最大值m＋6，當(dāng)直線經(jīng)過點Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(m,2)，－2))時，z取得最小值－eq\f(m,2)－3，故k＝eq\f(m＋6,－\f(m,2)－3)＝－2為定值．故選C.第Ⅱ卷(非選擇題，共30分)二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)13．(2024·北京高考)若x，y滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤2，,y≥－1，,4x－3y＋1≥0，))則y－x的最小值為________，最大值為________．答案－31解析x，y滿意的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．設(shè)z＝y(tǒng)－x，則y＝x＋z.把z看作常數(shù)，則目標(biāo)函數(shù)是可平行移動的直線，z的幾何意義是直線y＝x＋z的縱截距，通過圖象可知，當(dāng)直線y＝x＋z經(jīng)過點A(2,3)時，z取得最大值，此時zmax＝3－2＝1.當(dāng)經(jīng)過點B(2，－1)時，z取得最小值，此時zmin＝－1－2＝－3.14．(2024·山西晉城一模)若實數(shù)x，y滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤2，,x＋2y≥6，,y≤3，))則z＝eq\f(y－2,x＋1)的取值范圍為________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,13)，1))解析作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示；聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝6，,y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝3，))故A(0,3)；聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝6，,x－y＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(10,3)，,y＝\f(4,3)，))故Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，\f(4,3)))；而eq\f(y－2,x＋1)表示陰影區(qū)域內(nèi)的點(x，y)與點D(－1，2)連線的斜率，故kBD≤z≤kAD，故－eq\f(2,13)≤z≤1.15．(2024·山東省高三第一次大聯(lián)考)關(guān)于x，y的不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1≥0，,x＋3y－1≥0，,x≤4))表示的平面區(qū)域為Ω，若平面區(qū)域Ω內(nèi)存在點P(x0，y0)，滿意y0＝kx0－2，則實數(shù)k的取值范圍是________．答案eq\f(1,4)≤k≤2解析畫出平面區(qū)域Ω為圖中陰影部分△ABC區(qū)域，其中A(1,0)，B(4，－1)，而y0＝kx0－2表示過定點P(0，－2)的動直線，題意可轉(zhuǎn)化為過定點P(0，－2)的動直線與平面區(qū)域有公共點，也即與線段AB相交，所以kPB≤k≤kPA，而kPA＝eq\f(－2－0,0－1)＝2，kPB＝eq\f(－2－－1,0－4)＝eq\f(1,4)，即eq\f(1,4)≤k≤2.16．(2024·成都雙流中學(xué)模擬)某校今年安排聘請女老師x人，男老師y人，若x，y滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥5，,x－y≤2，,x<6，,x∈N，y∈N，))則該學(xué)校今年安排最多聘請老師________人．答案10解析作出可行域如圖中陰影部分內(nèi)的整點，由圖易知，可行域內(nèi)的整點為(3,1)，(4,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，所以x＋y≤5＋5＝10，即學(xué)校今年安排最多聘請老師10人．17．(2024·陜西八校聯(lián)考)已知實數(shù)x，y滿意約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4y＋2≥0，,4x＋y－7≤0，,x－y＋2≥0，))則z＝－5x＋y的最大值為________