第03講 利用函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性求解函數(shù)問(wèn)題（十種題型）-沖刺2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型解題方法與策略+真題演練（新高考專用）（解析版）

第03講利用函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性求解函數(shù)問(wèn)題（十種題型）一．函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x1＞x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)．若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．【解題方法點(diǎn)撥】證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號(hào)；⑤下結(jié)論．利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：第一步：求函數(shù)的定義域．若題設(shè)中有對(duì)數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設(shè)中有三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考慮定義域．第二步：求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的x的值從小到大順次將定義域分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，并列表．第四步：由f′（x）在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷f（x）在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值．第五步：將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求參數(shù)的取值范圍．第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論【命題方向】從近三年的高考試題來(lái)看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡(jiǎn)單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法．預(yù)測(cè)明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力．二．函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對(duì)稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱．【解題方法點(diǎn)撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關(guān)解：由題設(shè)知f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．因?yàn)閒（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識(shí)點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．三．奇偶性與單調(diào)性的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】對(duì)于奇偶函數(shù)綜合，其實(shí)也并談不上真正的綜合，一般情況下也就是把它們并列在一起，所以說(shuō)關(guān)鍵還是要掌握奇函數(shù)和偶函數(shù)各自的性質(zhì)，在做題時(shí)能融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用．在重復(fù)一下它們的性質(zhì)①奇函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對(duì)稱．②偶函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱．【解題方法點(diǎn)撥】參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點(diǎn)，有：①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反例題：如果f（x）＝為奇函數(shù)，那么a＝．解：由題意可知，f（x）的定義域?yàn)镽，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）?a＝1【命題方向】奇偶性與單調(diào)性的綜合．不管出什么樣的題，能理解運(yùn)用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個(gè)基本前提，另外做題的時(shí)候多多總結(jié)，一定要重視這一個(gè)知識(shí)點(diǎn)．四．函數(shù)的周期性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)的周期性定義為若T為非零常數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任一x，使f（x）＝f（x+T）恒成立，則f（x）叫做周期函數(shù)，T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期．常函數(shù)為周期函數(shù)，但無(wú)最小正周期，其周期為任意實(shí)數(shù)．【解題方法點(diǎn)撥】周期函數(shù)一般和偶函數(shù)，函數(shù)的對(duì)稱性以及它的圖象相結(jié)合，考查的內(nèi)容比較豐富．①求最小正周期的解法，盡量重復(fù)的按照所給的式子多寫幾個(gè)，例：求f（x）＝的最小正周期．解：由題意可知，f（x+2）＝＝f（x﹣2）?T＝4②與對(duì)稱函數(shù)或者偶函數(shù)相結(jié)合求函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．如已知函數(shù)在某個(gè)小區(qū)間與x軸有n個(gè)交點(diǎn)，求函數(shù)在更大的區(qū)間與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．思路：第一，這一般是個(gè)周期函數(shù)，所以先求出周期T；第二，結(jié)合函數(shù)圖象判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)；第三，注意端點(diǎn)的值．【命題方向】周期函數(shù)、奇偶函數(shù)都是高考的常考點(diǎn)，學(xué)習(xí)是要善于總結(jié)并進(jìn)行歸類，靈活運(yùn)用解題的基本方法，為了高考將仍然以小題為主．【熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型】題型一：利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)值一、單選題1．（2022·河南·項(xiàng)城市第三高級(jí)中學(xué)高三期中）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義式列方程求解即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即所以.故選：C.2．（2022·黑龍江·哈爾濱七十三中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則“函數(shù)為偶函數(shù)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義求出當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)的值，再利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】若函數(shù)為偶函數(shù)，則對(duì)任意的，，因?yàn)椋瑒t，即，即，所以，，解得，又因?yàn)椋虼?，“函?shù)為偶函數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B.3．（2022·山西忻州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的最大值與最小值之和為6，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，求解即可.【詳解】解：，定義域?yàn)?，令，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，設(shè)的最大值為，最小值為，所以，因?yàn)椋瘮?shù)的最大值與最小值之和為，所以，解得.故選：B二、填空題4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)，為奇函數(shù)，則參數(shù)a的值為_(kāi)__________．【答案】1【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，而，故即，故答案為：1.5．（2022·江西·修水中等專業(yè)學(xué)校高三階段練習(xí)）若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則_______．【答案】1【分析】由題意，代入求解即可.【詳解】由題意，為偶函數(shù)，故，即，即，對(duì)恒成立，故，即.故答案為：1三、解答題6．（2022·山西太原·高三期中）已知是偶函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)k的值；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義，建立方程，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，可得答案；（2）由（1）所得函數(shù)解析式，整理不等式，利用一元二次不等式的解法，解得指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，可得答案.【詳解】（1）由題意，，則，解得.（2）由（1）可知，則，整理為，，，，，，解得，即.7．（2022·上海市嘉定區(qū)安亭高級(jí)中學(xué)高三期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)(1)求的值，判斷并證明在其定義域上的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)；在定義域上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，結(jié)合常變量分離法、構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)為奇函數(shù)，，經(jīng)檢驗(yàn)，為奇函數(shù).函數(shù)的定義域?yàn)镽，，R且，，因?yàn)?，所以，而，所以，故在R上單調(diào)遞增．（2）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以有又因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，，所以對(duì)任意恒成立，即，令，，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，所以：.8．（2022·上海市控江中學(xué)高三階段練習(xí)）對(duì)于兩個(gè)定義域相同的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使，則稱函數(shù)是由“函數(shù)”生成的.(1)若和生成一個(gè)偶函數(shù)，求的值；(2)若是由函數(shù)且生成，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先用待定系數(shù)法表示出偶函數(shù)，再根據(jù)其是偶函數(shù)這一性質(zhì)得到引入?yún)?shù)的方程，求出參數(shù)的值，即得函數(shù)的解析式，代入自變量求值即可；（2）先用待定系數(shù)法表示出函數(shù)，再根據(jù)同一性建立引入?yún)?shù)的方程求參數(shù)，然后再求的取值范圍；（1）設(shè)，是偶函數(shù)，∴，即，．（2）設(shè)，，解得，．由知，，當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，．9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，且的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若在y軸的右側(cè)函數(shù)的圖象始終在的圖象上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據(jù)題意可知函數(shù)為奇函數(shù)，可利用特殊值計(jì)算出實(shí)數(shù)的值，然后檢驗(yàn)函數(shù)為奇函數(shù)即可.（2）在y軸的右側(cè)函數(shù)的圖象始終在的圖象上方可轉(zhuǎn)化為在恒成立，然后利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值即可.（1）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，是奇函數(shù)，，，解得又時(shí)，，，所以.（2）在軸的右側(cè)函數(shù)的圖象始終在的圖象上方，即對(duì)恒成立.與在上都是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，解得，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.10．（2022·上海市延安中學(xué)高三期中）已知，，其中，且函數(shù)為奇函數(shù)；(1)若函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)A（1，1），求實(shí)數(shù)m和n的值；(2)當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，總存在唯一的使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）運(yùn)用奇函數(shù)的定義可得，再由圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，解方程可得；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在，上恒成立．構(gòu)造函數(shù)，研究單調(diào)性求最值即可；（3）求得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．分別討論，，，運(yùn)用基本不等式和單調(diào)性，求得的范圍．【詳解】（1）函數(shù)為奇函數(shù)，可得，即，，則，由的圖象過(guò)，可得（1），即，解得，；（2）當(dāng)時(shí)，，易知，，∴，記，則在，遞增．理由：設(shè)，則，由，可得，，，則，即，可得在，遞增；∴，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．①時(shí)，時(shí)，；時(shí)，不滿足條件，舍去；②當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，時(shí)，，，，由題意可得，，，可得，即；綜上可得；③當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，時(shí)，，，，由題意可得，，，可得，可令，則在上遞減，，，可得，即，綜上可得，所以的取值范圍是．題型二：利用函數(shù)奇偶性解抽象函數(shù)不等式一、單選題1．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，定義域均為，二者在上的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)圖象求出當(dāng)時(shí)，不等式的解集和的解集，再利用函數(shù)奇偶性質(zhì)得到是奇函數(shù)，求出時(shí)，不等式的解集，從而得到不等式在定義域?yàn)闀r(shí)，的解集.【詳解】有圖可得，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，故.所以當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù)，由奇偶性可知，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，所以不等式的解集是.故選：A.2．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意，作出函數(shù)簡(jiǎn)圖，數(shù)形結(jié)合列指數(shù)不等式，并求解.【詳解】是定義在上的偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，且，作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，如圖所示，則時(shí)，，或，所以可得不等式的解集為.故選：B3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)在單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，若，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由為奇函數(shù)可化簡(jiǎn)不等式得到，利用單調(diào)性可得自變量的大小關(guān)系.【詳解】為奇函數(shù)，，又，，則可化為：，在單調(diào)遞增，，解得：，的取值范圍為.故選：C.4．（2022·安徽省亳州市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)定義域內(nèi)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，即可根據(jù)以及單調(diào)性，奇偶性進(jìn)行求解.【詳解】由于對(duì)定義域內(nèi)任意，都有，取則，取則，則，所以是偶函數(shù)，令，則由時(shí)，得，所以在上單調(diào)遞增，由于，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為：，即，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為：，即，，當(dāng)時(shí)，由是偶函數(shù)可得或，故原不等式的解集是：,故選：A5．（2022·上海·上外附中高三階段練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，分析函數(shù)的奇偶性及其在上的單調(diào)性，將所求不等式變形為，利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性可得出原不等式的解集.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，由可得，即，所以，，故，即或，解得?故選：C.6．（2022·云南·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再得到時(shí)的單調(diào)性，利用偶函數(shù)比大小的處理方式，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)．又因?yàn)?，所以可化為，可得到，解得．故選：A.7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到在上單調(diào)遞增，.把原不等式轉(zhuǎn)化為或即可解得.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，且，又，所以.由，得或所以或解得或.故x的取值范圍是.故選：D.8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，在根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)得到全局的單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性脫去函數(shù)記號(hào)，解不等式來(lái)處理.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋?，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)為上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．則不等式，即等價(jià)于，解得或．故選：D．二、多選題9．（2022·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則（

）A．在上單調(diào)遞增B．在上單調(diào)遞減C．D．【答案】BC【分析】由已知，結(jié)合題意給的不等關(guān)系，兩邊同除得到，然后根據(jù)，即可判斷與兩者的大小，從而判斷選項(xiàng)A，選項(xiàng)B由前面得到的不等關(guān)系，通過(guò)放縮，即可確定與的大小，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，選項(xiàng)C和選項(xiàng)D，可利用前面得到的不等式，令，帶入，然后借助是奇函數(shù)進(jìn)行變換即可完成判斷.【詳解】由已知，，，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，所以，即，又因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，選項(xiàng)B正確；因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以令，代入上式得，即，又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，所以，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題10．（2022·上海·同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)奇函數(shù)在上嚴(yán)格遞增，且，則不等式的解集為_(kāi)__________.【答案】【分析】由函數(shù)的奇偶性化簡(jiǎn)不等式，結(jié)合單調(diào)性求解【詳解】由題意得是奇函數(shù)，則等價(jià)于，即，而在上嚴(yán)格遞增，，故時(shí)，，時(shí)，，由為奇函數(shù)，得時(shí)，，時(shí)，，綜上，的解集為故答案為：11．（2022·江西·萍鄉(xiāng)市第二中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為_(kāi)__________.【答案】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到，再根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性、奇偶性和解不等式即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，定義域?yàn)椋?，，又因?yàn)闀r(shí)，，所以，構(gòu)造函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，在上大于零，在上小于零，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，在上大于零，在上小于零，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，在上小于零，在上大于零，綜上所述：的解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】常見(jiàn)的函數(shù)構(gòu)造形式：①，；②，.12．（2022·山西太原·高三期中）已知定義在上的函數(shù)滿足，且是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_(kāi)_______．【答案】【分析】令，進(jìn)而結(jié)合題意得函數(shù)為上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性和奇偶性解不等式即可.【詳解】解：令，則因?yàn)?，即，所以，即函?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的偶函數(shù)所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以因?yàn)榭勺冃螢椋?，因?yàn)楹瘮?shù)為上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，或，即或，所以，不等式的解集為故答案為：四、解答題13．（2022·江西·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是一個(gè)二次函數(shù)的一部分，其圖象如圖所示．(1)求在上的解析式；(2)若函數(shù)，，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）采用待定系數(shù)法，結(jié)合圖象可求得在時(shí)的解析式；由時(shí)，可求得；由此可得分段函數(shù)解析式；（2）首先確定解析式，分別在、和的情況下，根據(jù)單調(diào)性得到最大值.（1）當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可設(shè)：，，，；當(dāng)時(shí)，，，又為偶函數(shù)，；綜上所述：.（2）當(dāng)時(shí)，，則開(kāi)口方向向下，對(duì)稱軸為；①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，；綜上所述：.14．（2022·浙江·東陽(yáng)市橫店高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)解不等式.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件求出、的值，即可得出函數(shù)的解析式；（2）任取、且，作差，因式分解，并判斷差值符號(hào)，即可證得結(jié)論；由題意可得出，利用函數(shù)的定義域和單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式組，解之即可.（1）由可得，可得，解得，，，故.（2）任取、且，即，則，，所以，，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù).由可得，結(jié)合單調(diào)性可得，解得，因此，不等式的解集為.15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為奇函數(shù)．(1)求的值；(2)，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性及一元二次函數(shù)的恒成立進(jìn)行求解即可.（1）因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，則（經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)為奇函數(shù)，滿足題意）．（2）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以不等式等價(jià)于，又由（1）知，易知是上的減函數(shù)，所以，即對(duì)任意的有恒成立，從而對(duì)應(yīng)方程的根的判別式，解得．所以的取值范圍為．16．（2022·山東·汶上圣澤中學(xué)高三階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足下面三個(gè)條件：①對(duì)任意正數(shù)，都有；②當(dāng)時(shí)，；③(1)求和的值；(2)試用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；(3)求滿足的的取值集合．【答案】(1),(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）賦值計(jì)算得解；（2）根據(jù)定義法證明單調(diào)性；（3）根據(jù)①及單調(diào)性計(jì)算得解.（1）得，則，而，且，則；（2）取定義域中的任意的，，且，，當(dāng)時(shí)，，，，在上為減函數(shù)．（3）由條件①及（1）的結(jié)果得，，，，，解得，故的取值集合為.題型三：構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值一、單選題1．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））函數(shù)在上的最大值與最小值的和為（

）A．-2 B．2C．4 D．6【答案】D【分析】將函數(shù)左移一個(gè)單位，即，，根據(jù)解析式可判斷，即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，即可求解.【詳解】將函數(shù)左移一個(gè)單位，得，，則，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故最大值與最小值也關(guān)于對(duì)稱，其和為6，故選：D2．（2022·河南·偃師市緱第四中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，若，則（

）A．2 B．1 C．－2 D．－5【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用其奇偶性求解.【詳解】設(shè)，則，所以是奇函數(shù)．因?yàn)?，所以，則f(－a)＝1．故選：B3．（2022·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋沂瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，則一定有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，所以函數(shù)周期為4，所以，，無(wú)法確定其值，故A正確；BCD無(wú)法確定.故選：A4．（2022·陜西·銅川市耀州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在函數(shù)圖象上，且函數(shù)圖象上的點(diǎn)都滿足，則這樣的正方形最多有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】設(shè)，得到，根據(jù)的奇偶性，得到，得到，設(shè)對(duì)角線所在的直線為，聯(lián)立方程組求得，，結(jié)合，得到，令，求得的值，即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)，則函數(shù)是上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，可得，所以，所以，即，其對(duì)稱中心為原點(diǎn)，所以正方形的中心為原點(diǎn)，設(shè)正方形的對(duì)角線所在的直線為，由，整理得，所以，同理可得，由，可得，即，令，則，所以或，所以這樣的正方形最多有2個(gè)．故選：B.【點(diǎn)睛】對(duì)于函數(shù)的基本性質(zhì)綜合應(yīng)用問(wèn)題解答時(shí)，有時(shí)需要通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化.二、多選題5．（2022·江蘇·姜堰中學(xué)高三階段練習(xí)）下列命題中真命題有（

）A．已知，若與的夾角為銳角，則B．若定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，函數(shù)f（x－1）為偶函數(shù)，則f（2）＝0C．復(fù)數(shù)z滿足|z|2＝z2D．函數(shù)的最大值是5【答案】BD【分析】根據(jù)平面向量夾角的坐標(biāo)表示公式、奇偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合復(fù)數(shù)模的定義和乘方運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)?，所以，?dāng)與同向時(shí)，有，即，顯然，顯然當(dāng)時(shí)，與的夾角不是銳角，故本命題不是真命題；B：因?yàn)楹瘮?shù)f（x－1）為偶函數(shù)，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是奇函數(shù)，所以，即，所以本命題是真命題；C：當(dāng)時(shí)，，所以本命題是假命題；D：的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，因此本命題是真命題，故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.三、填空題6．（2022·重慶一中高三階段練習(xí)）已知（a，b為實(shí)數(shù)），，則______．【答案】-2014【分析】先化簡(jiǎn)得到，再利用函數(shù)奇偶性進(jìn)行求解.【詳解】，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，其中，所以，解得：故答案為：-20147．（2022·福建·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則______.【答案】【分析】構(gòu)造奇函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性性質(zhì)即可求解.【詳解】令，，所以為奇函數(shù)，則有，因?yàn)椋?，則，所以，故答案為:.8．（2022·河南省淮陽(yáng)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，則在上的最大值與最小值之和為_(kāi)_____．【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，令，，根據(jù)奇偶性定義可證得為奇函數(shù)，得到，由此推導(dǎo)得到結(jié)果.【詳解】；令，當(dāng)時(shí)，，；令，，，為定義在上的奇函數(shù)，，，即，在上的最大值和最小值之和為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查構(gòu)造奇函數(shù)求解最值之和的問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知函數(shù)解析式構(gòu)造出奇函數(shù)的形式，從而利用奇函數(shù)的對(duì)稱性得到最值之和.四、雙空題9．（2021·河北省曲陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).（1）請(qǐng)寫出一個(gè)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的函數(shù)解析___________；（2）利用題目中的推廣結(jié)論，則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)是___________.【答案】

（答案不唯一）

【分析】(1)由推廣結(jié)論可得為奇函數(shù)，由此寫出符合要求的函數(shù)解析式；(2)設(shè)為圖象的對(duì)稱中心，為奇函數(shù)，設(shè)，利用為奇函數(shù)，則，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，只要設(shè)，則.（注：答案不唯一，只要滿足為奇函數(shù)）（2）設(shè)函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，則，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以得，解得，.即函數(shù)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)是故答案為：（答案不唯一）；五、解答題10．（2022·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）對(duì)于兩個(gè)定義域相同的函數(shù)和，若存在實(shí)數(shù)m、n使，則稱函數(shù)是由“基函數(shù)和”生成的．(1)若和生成一個(gè)偶函數(shù)，求的值；(2)若由函數(shù)（，且）生成，求的取值范圍：(3)試?yán)谩盎瘮?shù)和”生成一個(gè)函數(shù)，使之滿足下列條件：①是偶函數(shù)；②有最小值1．求函數(shù)的解析式并進(jìn)一步研究該函數(shù)的單調(diào)性．（無(wú)需證明）【答案】(1)0.(2).(3)，在遞減，在遞增.【分析】（1）由列方程，根據(jù)為偶函數(shù)求得的關(guān)系式，進(jìn)而求得的值.（2）由列方程組，化簡(jiǎn)后求得的關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.（3）構(gòu)造函數(shù)，并證得其奇偶性和單調(diào)性.（1）解：由為偶函數(shù)可知，所以.（2）解：由得，所以，由于，所以可化簡(jiǎn)得，所以.構(gòu)造函數(shù)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)在處，有極大值，在處有極小值.所以的取值范圍是.（3）解：構(gòu)造函數(shù)，，所以為偶函數(shù).由于，所以有最小值符合題意.在遞減，在遞增.另補(bǔ)證明：由于為偶函數(shù)，只需求得上的單調(diào)性.構(gòu)造函數(shù)，，由于時(shí)，，故，所以函數(shù)在上遞增.根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，函數(shù)在上遞增.根據(jù)為偶函數(shù)可知，函數(shù)在遞減.【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義函數(shù)的概念理解，考查利用導(dǎo)數(shù)、基本不等式等方法求最值，考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.11．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)(2，).（1）求m的值與函數(shù)的定義域；（2）已知，求的值.【答案】（1），；（2）1【分析】（1）由已知得，可求得函數(shù)的解析式和定義域；（2）設(shè)，則，由，得出為奇函數(shù)，可求得所求的值.【詳解】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)(2，)，所以，∴，∴，函數(shù)的定義域?yàn)?（2）設(shè)，則，∴，∴為奇函數(shù)，∴.【點(diǎn)睛】本題考查求冪函數(shù)的解析式，冪函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題.題型四：奇偶性與周期性綜合問(wèn)題一、解答題1．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，求的解析式．【答案】，【分析】求出是周期為的周期函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)可得時(shí)的解析式，再由周期為即可求出當(dāng)時(shí)的解析式.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)，恒有，所以，所以是周期為的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，可得，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)槭侵芷跒榈闹芷诤瘮?shù)，所以，.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(1)求證：是周期為4的周期函數(shù)；(2)若，求時(shí)，函數(shù)的解析式.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得，即，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，從而得，即可得周期為4；(2)先求得時(shí)，，再結(jié)合周期為4，即求得在上的解析式.（1）解：證明：由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，有，即有，又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，有，故，從而，即是周期為的周期函數(shù)；（2）解：由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，有，時(shí)，，，故時(shí)，，時(shí)，，，從而，時(shí)，函數(shù)的解析式為3．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知是定義在上的偶函數(shù)，且.(1)求的解析式；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，若存在，對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用偶函數(shù)定義可得參數(shù)值，從而的解析式；（2）易知在上單調(diào)遞增，逆用單調(diào)性化為具體不等式問(wèn)題，參變分離求最值即可；（3）原問(wèn)題等價(jià)于在上的最小值不大于在上的最小值.（1）由題意知，即，所以，故.（2）由（1）知，，易知在上單調(diào)遞增，所以不等式恒成立，等價(jià)于，即恒成立.又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）因?yàn)榇嬖?，?duì)任意的，都有，所以在上的最小值不大于在上的最小值.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，.圖象的對(duì)稱軸方程為，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，解得，所以.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）若滿足為R上奇函數(shù)且為R上偶函數(shù)，求的值；（2）若函數(shù)滿足對(duì)恒成立，函數(shù)，求證：函數(shù)是周期函數(shù)，并寫出的一個(gè)正周期；（3）對(duì)于函數(shù)，，若對(duì)恒成立，則稱函數(shù)是“廣義周期函數(shù)”，是其一個(gè)廣義周期，若二次函數(shù)的廣義周期為（不恒成立），試?yán)脧V義周期函數(shù)定義證明：對(duì)任意的，，成立的充要條件是．【答案】（1）0；（2）證明見(jiàn)解析，正周期為24；（3）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）根據(jù)為R上奇函數(shù)，可得，根據(jù)為R上偶函數(shù)，可得，進(jìn)一步可得，所以的一個(gè)周期為，根據(jù)周期求出結(jié)果即可；（2）根據(jù)題意推出，得到函數(shù)的一個(gè)周期為，再結(jié)合的一個(gè)周期為，可得，從而可得結(jié)果；（3）充分性：利用可證；必要性：根據(jù)可得，再根據(jù)和，得到，根據(jù)以及二次函數(shù)知識(shí)可得，即.【詳解】（1）因?yàn)闈M足為R上奇函數(shù)，所以，所以，又因?yàn)闈M足為R上偶函數(shù)，所以，所以，所以有，所以，所以，所以，所以的一個(gè)周期為，所以，在中令，得，所以，在中令，得，所以，所以；（2）因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，所以函?shù)的一個(gè)周期為，因?yàn)?，所以，所以是周期函?shù)，一個(gè)正周期為24；（3）充分性：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以充分性滿足；必要性：因?yàn)槎魏瘮?shù)的廣義周期為，所以，所以，所以，又因?yàn)椴缓愠闪ⅲ?，所以，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以，即，也即，所以必要性滿足．所以：對(duì)任意的，，成立的充要條件是．【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)的奇偶性推出周期性，考查了利用奇偶性和周期性求函數(shù)值，考查了周期函數(shù)的定義，考查了新定義，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了充要條件的證明，屬于難題.5．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）函數(shù)，其中是定義在上的周期函數(shù)，，為常數(shù)（1），討論的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）求證:“為奇函數(shù)“的一個(gè)必要非充分條件是”的圖象有異于原點(diǎn)的對(duì)稱中心”（3），在上的最大值為，求的最小值.【答案】（1），奇函數(shù)；，非奇非偶函數(shù)；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】（1）就分類討論，后者利用反例說(shuō)明為非奇非偶函數(shù).（2）通過(guò)反例說(shuō)明非充分性成立，設(shè)的周期為，可以證明當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)成立，從而可得有異于原點(diǎn)的對(duì)稱中心.（3）先考慮時(shí)，，再通過(guò)反證法可證明不成立，從而可得，也可以利用絕對(duì)值不等式證明成立，結(jié)合時(shí)，可得.【詳解】（1），時(shí)，，為奇函數(shù)，時(shí)，∵，∴不是奇函數(shù).，，，.若為偶函數(shù)，則即，因?yàn)?，故無(wú)解，∴不是偶函數(shù)，所以是非奇非偶函數(shù).（2）非充分性：舉反例，有異于原點(diǎn)的對(duì)稱中心，但不是奇函數(shù)；必要性：設(shè)奇函數(shù)，且，令，，而，故，令，則的圖象關(guān)于對(duì)稱.（3）法一：，取，則，∴；下證的最小值為，反證法：假設(shè)，，∵，∴，∴①；同理∵，∴②；∵，∴，③；②-①得，③-②得，矛盾，所以假設(shè)不成立，得證.法二：，，當(dāng)時(shí)，，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）說(shuō)明一個(gè)函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，一般利用反例來(lái)說(shuō)明；（2）如果函數(shù)滿足，則的圖象有對(duì)稱中心.（3）雙重最值問(wèn)題，可以利用絕對(duì)值不等式先求出范圍，再驗(yàn)證等號(hào)可以成立.題型五：?jiǎn)握{(diào)性與奇偶性綜合問(wèn)題一、解答題1．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，定義，設(shè)函數(shù)，分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且．(1)求函數(shù)的最小值；(2)若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，求非零實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用賦值法求得以及，結(jié)合圖象求得的最小值.（2）根據(jù)的奇偶性、單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得的取值范圍.【詳解】（1），，令，則是奇函數(shù)，而是偶函數(shù)，所以，即，解得，.所以的圖象如下圖所示，由圖可知的最小值為.（2）由（1）得，是偶函數(shù)，開(kāi)口向上，在區(qū)間上遞增，上遞減，不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意.當(dāng)時(shí)，，所以，恒成立，所以，解得.當(dāng)時(shí)，，所以，恒成立，所以，解得，綜上所述，的取值范圍是.2．（2022·湖北·棗陽(yáng)一中高三期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且．(1)判斷的奇偶性及在上的單調(diào)性，并分別用定義進(jìn)行證明；(2)若對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)為偶函數(shù)，在上的單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析.(2).【分析】（1）利用換元法，令，則，，即可求得函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性的定義，判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，進(jìn)而證明結(jié)論.（2）將原不等式化為，進(jìn)而得在恒成立，繼而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，求得答案.【詳解】（1）令，則，，則，為偶函數(shù)，下面證明：的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；，則，，所以為偶函數(shù)；在上的單調(diào)遞增，下面利用定義法證明：設(shè)，，，，因?yàn)?，，所以，，所以，，則，即，所以在上的單調(diào)遞增．（2）由題意知，，恒成立，因?yàn)椋谏系膯握{(diào)遞增，且為偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，，即在恒成立，所以a小于或等于的最小值．令，與在上的奇偶性單調(diào)性相同，所以，（），故的最小值為2，所以．3．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性并證明；(2)令，若對(duì)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，在上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解，即可得函數(shù)的解析式；判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，利用單調(diào)性定義任取，且，作差變形，判斷差的符號(hào)即可證明單調(diào)性；（2）根據(jù)不等式，參變分離轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，即得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：是上的奇函數(shù)，再由在上單調(diào)遞減任取，且，則，在上遞減.（2）解：對(duì)恒成立令，即的取值范圍為.4．（2022·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有，當(dāng)時(shí)，，且(1)判斷的奇偶性；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(3)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)奇函數(shù)，理由見(jiàn)解析；(2)最大值為；(3)或.【分析】（1）令求得，令結(jié)合奇偶性定義即可判斷；（2）令，根據(jù)已知條件及單調(diào)性定義即可判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性求最值；（3）由（2），問(wèn)題化為恒成立，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)，討論參數(shù)m求范圍.（1）令，則，可得，令，則，可得，又定義域?yàn)镽，故為奇函數(shù).（2）令，則，且，因?yàn)闀r(shí)，，所以，故，即在定義域上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的最大值為.（3）由（2），在上，恒成立，即恒成立，所以恒成立，顯然時(shí)不成立，則，可得；，可得；綜上，或.5．（2022·上海南匯中學(xué)高三期中）歐拉對(duì)函數(shù)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，除特殊符號(hào)、概念名稱的界定外，歐拉還基于初等函數(shù)研究了抽象函數(shù)的性質(zhì)，例如，歐拉引入倒函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)，如果對(duì)于其定義域中任意給定的實(shí)數(shù)，都有，并且，就稱函數(shù)為倒函數(shù).(1)已知，，判斷和是不是倒函數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)若是上的倒函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，方程是否有正整數(shù)解？并說(shuō)明理由；(3)若是上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于，且在上是嚴(yán)格增函數(shù).記，證明：是的充要條件.【答案】(1)是倒函數(shù)，不是倒函數(shù)，理由見(jiàn)解析(2)沒(méi)有，理由見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用“倒函數(shù)”的定義判斷函數(shù)、，可得出結(jié)論；（2）分析可知當(dāng)時(shí)，，則方程若存在整數(shù)解，則，構(gòu)造函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論；（3）推導(dǎo)出函數(shù)為上的奇偶性、單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性結(jié)合充分條件、必要條件的定義證明可得結(jié)論.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意的，，所以，函數(shù)為倒函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)椋摵瘮?shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)不是倒函數(shù).（2）解：當(dāng)時(shí)，則，由倒函數(shù)的定義可得，由滿足倒函數(shù)的定義，當(dāng)時(shí)，函數(shù)、均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)有整數(shù)解，則，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，存在，使得，即，故方程無(wú)整數(shù)解.（3）解：因?yàn)楹瘮?shù)是上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于，且在上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，，任取、且，則，所以，，，所以，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)?，故函?shù)為上的奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，即，則，所以，，即“”“”；若，則，所以，，即.所以，“”“”.因此，是的充要條件.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)單調(diào)性的判定方法與策略：（1）定義法：一般步驟：設(shè)元作差變形判斷符號(hào)得出結(jié)論；（2）圖象法：如果函數(shù)是以圖象的形式給出或者函數(shù)的圖象易作出，結(jié)合圖象可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）導(dǎo)數(shù)法：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（4）復(fù)合函數(shù)法：先將函數(shù)分解為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，再討論這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)法“同增異減”的規(guī)則進(jìn)行判定.6．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，（1）當(dāng)時(shí)，求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，試求的表達(dá)式；（3）若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，且它們成等差數(shù)列，試探求與滿足的條件．【答案】（1）；（2）；（3）與滿足的條件為且，或且，或且.【分析】（1）利用偶函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)時(shí)，的解析式.（2）根據(jù)是偶函數(shù)得到在區(qū)間上的最大值即為它在區(qū)間上的最大值，對(duì)分成等情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合的單調(diào)性，求得的表達(dá)式.（3）根據(jù)方程在上的根的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、偶函數(shù)的性質(zhì)，求得與滿足的條件.【詳解】（1）依題意是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，同理，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，的解析式為（2）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以它在區(qū)間上的最大值即為它在區(qū)間上的最大值，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以②當(dāng)時(shí)，在與上單調(diào)遞增，在與上單調(diào)遞減，所以此時(shí)只需比較與的大?。╥）當(dāng)時(shí)，，所以（ii）當(dāng)時(shí)，，所以.③當(dāng)時(shí)，在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以.綜上所述，．（3）設(shè)這四個(gè)根從小到大依次為，，，，且成等差數(shù)列.①當(dāng)方程在上有四個(gè)實(shí)根時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可知，所以，，，成等差數(shù)列，所以，且，得，，從而，且要求對(duì)恒成立．（i）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以對(duì)恒成立，即適合題意．（ii）當(dāng)時(shí)，要使對(duì)恒成立，只要，解得，故此時(shí)應(yīng)滿足．②當(dāng)方程在上有兩個(gè)實(shí)根時(shí)，，且，，所以必須滿足，且，，解得．③當(dāng)方程在上無(wú)實(shí)根時(shí)，，，由，，解得，，所以，且由，解得．綜上所述，與滿足的條件為且，或且，或且．【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查方程的根、等差數(shù)列等知識(shí)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.題型六：對(duì)稱性與奇偶性綜合問(wèn)題一、解答題1．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值，其中且.（1）試求函數(shù)的解析式；（2）問(wèn)函數(shù)圖象上是否存在關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）存在，兩點(diǎn)的坐標(biāo)為、.【解析】（1）利用奇函數(shù)的定義可求得的值，再由函數(shù)有最小值，結(jié)合基本等式可得出，再由以及可求得、的值，由此可求得函數(shù)的解析式；（2）設(shè)存在一點(diǎn)在的圖象上，結(jié)合題意可知點(diǎn)，由這兩點(diǎn)在函數(shù)的圖象上可得出方程組，可解得的值，由此可得結(jié)論.【詳解】（1）∵是奇函數(shù)，∴，即，∴，∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，于是，∴，由得即，∴，解得，又，∴，∴，∴；（2）設(shè)存在一點(diǎn)在的圖象上，并且關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)也在圖象上的點(diǎn)，則，消去得，，∴圖象上存在兩點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式，同時(shí)也考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的對(duì)稱性的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2．（2020·上海·高三專題練習(xí)）以下給出兩種求函數(shù)圖像對(duì)稱中心的方法：①利用奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這一性質(zhì)，再結(jié)合圖像的變換可得．例如，函數(shù)，的對(duì)稱中心為．而的對(duì)稱中心為；②利用結(jié)論：函數(shù)的圖像有對(duì)稱中心的充要條件是對(duì)定義域中的任何一個(gè)x，均有．請(qǐng)你根據(jù)以上提供的方法，解下列各題．（1）求函數(shù)的對(duì)稱中心；（2）判斷命題：“若，的定義域都為，且都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”的真假，并說(shuō)明理由；（3）問(wèn)是否有對(duì)稱中心？若有，求出其對(duì)稱中心；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．【答案】（1）對(duì)稱中心為．（2）假命題．見(jiàn)解析（3）有對(duì)稱中心．【分析】（1）將函數(shù)化為，根據(jù)結(jié)論得出答案.（2）由題意，，都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得，,從而可得，即關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，然后得出判斷.（3）設(shè),由，則當(dāng)時(shí)，可得，從而得出結(jié)論.【詳解】解

（1）由，可得所以函數(shù)化為即，所以其對(duì)稱中心為．（2）這個(gè)命題是假命題．由題意，，都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得，．∴，即關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱．所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱是假命題.（3）函數(shù)有對(duì)稱中心，設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．所以有對(duì)稱中心．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查中心對(duì)稱性，考查學(xué)生對(duì)新信息的加工處理能力，考查學(xué)生的邏輯推理能力和分析論證能力，屬于中檔題.題型七：對(duì)稱性、周期性與奇偶性綜合問(wèn)題一、解答題1．（2022·福建省廈門第二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，.(1)求的最小正周期，并用函數(shù)的周期性的定義證明；(2)當(dāng)時(shí)，求的解析式；(3)計(jì)算的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)1【分析】（1）結(jié)合已知條件，利用函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系即可求解；（2）利用函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系即可求解；（3）利用周期性和在上的解析式即可求解.（1）因?yàn)楹瘮?shù)是R上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，不妨令，則，即，從而，即，即的一個(gè)周期為4，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即在上的單調(diào)遞增，所以由奇函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，又由對(duì)稱性可知，在單調(diào)遞減，從而的最小正周期為4.（2）當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，.（3）由（1）（2）和的周期性可知，，，，，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記，其中，已知是函數(shù)的極值點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)的表達(dá)式展開(kāi)可以得到，求的值.(3)設(shè)函數(shù)定義域?yàn)镽，且函數(shù)和函數(shù)都是偶函數(shù)，若，求的值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，依題意可得，即可得到方程，求出，再代入檢驗(yàn)即可；（2）由（1）可得，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再令，即可得解；（3）首先判斷、的對(duì)稱性，令，即可得到也關(guān)于對(duì)稱，且為偶函數(shù)，即可得到其周期，從而得解；（1）解：因?yàn)?，所以，依題意，即，解得或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極小值，符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合題意；綜上可得：.（2）解：因?yàn)?，所以，又，則，令，則，則（3）解：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，即，所以關(guān)于對(duì)稱，又，則，，即，所以關(guān)于對(duì)稱，令，則也關(guān)于對(duì)稱，即又為偶函數(shù)，即，所以，即，所以是以為周期的周期函數(shù)，所以，即，即.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義在R上的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（4﹣x），且當(dāng)2≤x≤6時(shí)，（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；（Ⅱ）若f（4）＝31，求m，n的值．【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）m＝4，n＝30．【分析】（Ⅰ）結(jié)合f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（4﹣x），可得f（4+x）＝f（x），即得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）f（2）＝f（6），又f（4）＝31，代入即得解.【詳解】（Ⅰ）∵f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（4﹣x），∴f（x）＝f（4﹣x）＝f（x﹣4），即f（4+x）＝f（x），即4是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期；（Ⅱ）∵函數(shù)的周期是4，∴f（2）＝f（6），即，∴|2﹣m|＝|6﹣m|，解得m＝4，又f（4）＝31，∴f（4）1+n＝31，解得n＝30．故答案為：m＝4，n＝30．4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在常?shù)和，對(duì)任意的，都有成立，則稱函數(shù)為“擬線性函數(shù)”，其中數(shù)組稱為函數(shù)的擬合系數(shù).(1)數(shù)組是否是函數(shù)的擬合系數(shù)？(2)判斷函數(shù)是否是“擬線性函數(shù)”，并說(shuō)明理由；(3)若奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱（其中為常數(shù)），證明：是“擬線性函數(shù)”.【答案】(1)是；(2)不是；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)所給新定義推出即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)新定義，利用特例法可知不存在使成立，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)所給函數(shù)的性質(zhì)可構(gòu)造函數(shù)，利用周期定義可得為周期函數(shù)，先證明在時(shí)，，再利用周期證明對(duì)一切，都有即可得證.(1)因?yàn)樗援?dāng)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榛颍?，所以?shù)組是函數(shù)的擬合系數(shù).(2)①當(dāng)時(shí)，對(duì)于恒成立，所以成立，②當(dāng)時(shí)，恒成立，所以成立，由①②可知，不能同時(shí)滿足，所以函數(shù)不是“擬線性函數(shù)”.(3)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，，令x=0，得：，由于在區(qū)間上遞增，，，為奇函數(shù)，，時(shí)，，記，下面證明對(duì)一切，都有，為奇函數(shù)，，，即，由于是周期函數(shù)，且一個(gè)周期為，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，又因此時(shí)，當(dāng)，，，由于均為奇函數(shù)，也為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，也成立，綜合得:時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，，因此，對(duì)一切，都有，即恒成立.所以是“擬線性函數(shù)”.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)所給新定義，理解“擬線性函數(shù)”，并選取恰當(dāng)?shù)臄M合系數(shù)是解題的關(guān)鍵所在，證明是“擬線性函數(shù)”，需要根據(jù)所給函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，對(duì)稱性進(jìn)行充分推理，為探求擬合系數(shù)準(zhǔn)備，找到合適的擬合系數(shù)，是解決問(wèn)題的難點(diǎn)，探求出擬合系數(shù)后根據(jù)定義推導(dǎo)即可，屬于難題.5．（2020·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是定義在上的函數(shù)，滿足．（1）證明：2是函數(shù)的周期；（2）當(dāng)，時(shí)，，求在，時(shí)的解析式，并寫出在，時(shí)的解析式；（3）對(duì)于（2）中的函數(shù)，若關(guān)于的方程恰好有20個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）當(dāng)，時(shí)，．當(dāng)，時(shí)，，（3）.【分析】（1）令取代入化簡(jiǎn)后，由函數(shù)周期性的定義即可證明結(jié)論；（2）由，得，，求出代入化簡(jiǎn)后求出，即可求出一個(gè)周期，上的解析式，利用函數(shù)的周期性求出在，時(shí)的解析式；（3）由（2）和函數(shù)的周期性畫出的圖象，將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)圖象和條件對(duì)分類討論，分別結(jié)合圖象和條件列出不等式組求出的取值范圍．【詳解】證明：（1）因?yàn)?，令取得，所以，所以?是函數(shù)的周期．解：（2）當(dāng)，時(shí)，，，則，又，即，解得．所以，當(dāng)，時(shí)，．所以，因?yàn)榈闹芷跒?，所以當(dāng)，時(shí)，，（3）由（2）作出函數(shù)的圖象，則方程解的個(gè)數(shù)：就是函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．若，則都是方程的解，不合題意．若，則是方程的解．要使方程恰好有20個(gè)解，在區(qū)間，上，有9個(gè)周期，每個(gè)周期有2個(gè)解，在區(qū)間，上有且僅有一個(gè)解．則解得，．若，同理可得．綜上，．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)周期性以及解析式，方程的根與函數(shù)圖象交點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．題型八：定義法判斷證明函數(shù)的奇偶性一、單選題1．（2022·湖北·仙桃市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，分析其奇偶性、單調(diào)性，再比較的大小即可判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，即函數(shù)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，而，因此，而，所以.故選：D二、多選題2．（2022·江蘇·徐州市第七中學(xué)高三階段練習(xí)）德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于狄利克雷函數(shù)，則正確的是（

）A．函數(shù)的值域是；B．任意一個(gè)非零有理數(shù)都是的周期；C．函數(shù)是偶函數(shù)；D．存在三個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形.【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，可求得函數(shù)值域，判斷A；根據(jù)函數(shù)解析式結(jié)合函數(shù)周期性定義可判斷B;根據(jù)偶函數(shù)定義判斷C;取特殊值，確定，可得為等邊三角形，判斷D.【詳解】的值域?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；對(duì)于任意一個(gè)非零有理數(shù)，若x是有理數(shù)，則也是有理數(shù)，則，若x是無(wú)理數(shù)，則也是無(wú)理數(shù)，則，任意一個(gè)非零有理數(shù)都是的周期，B正確；若x是有理數(shù)，則是有理數(shù)，則，若x是無(wú)理數(shù)，則是無(wú)理數(shù)，則，故對(duì)任意,都有，故函數(shù)是偶函數(shù)，C正確；取，則，故，則,故為等邊三角形，故D正確，故選:BCD.三、填空題3．（2022·浙江紹興·一模）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，則的圖象的對(duì)稱中心為_(kāi)_____.【答案】【分析】求解出，利用定義法判斷出其為奇函數(shù)，從而得到的圖象的對(duì)稱中心.【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，故的圖象的對(duì)稱中心為.故答案為：.四、雙空題4．（2022·北京鐵路二中高三期中）已知函數(shù).①的函數(shù)圖象關(guān)于__________對(duì)稱；②若存在唯一，滿足，則____________.【答案】

軸##

####【分析】由奇偶性定義可知為偶函數(shù)，可知圖象關(guān)于軸對(duì)稱；由對(duì)稱性可知，由可求得結(jié)果.【詳解】①定義域?yàn)?，，為偶函?shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱；②由①知：圖象關(guān)于軸對(duì)稱，又存在唯一，滿足，則，，解得：.故答案為：軸；.五、解答題5．（2022·上海大學(xué)附屬南翔高級(jí)中學(xué)高三期中）已知函數(shù)．(1)若，解關(guān)于x的方程；(2)討論的奇偶性，并說(shuō)明理由；(3)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2)當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；(3)【分析】（1）由題意，代入即可求解；（2）要判斷函數(shù)的奇偶性，只有檢驗(yàn)與的關(guān)系即可；（3）根據(jù)原不等式，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求最小值，即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：由題意，，，由可整理得：，則可得或，或；（2）解：函數(shù)定義域，①當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，，，，；②當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，，，，；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；綜上，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù).（3）解：若在上恒成立，則，整理得令，由，則，又令，，所以是上的減函數(shù)所以故實(shí)數(shù)的取值范圍為.6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù),其中常數(shù)．(1)討論函數(shù)的奇偶性,并說(shuō)明理由;(2)中內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,且,求當(dāng)時(shí),的面積．【答案】(1)奇偶性見(jiàn)解析，理由見(jiàn)解析(2)【分析】(1)利用函數(shù)的奇偶性的定義,通過(guò)是否為0,判斷函數(shù)的奇偶性即可;(2)利用已知條件求解的大小,然后求解三角形的面積即可．【詳解】（1）解:由題知,①時(shí),,,為偶函數(shù),②時(shí),,不是奇函數(shù),,不是偶函數(shù),,是非奇非偶函數(shù);（2）由,,有余弦定理得,.7．（2022·重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校高三期中）已知函數(shù)．(1)判斷的單調(diào)性和奇偶性并簡(jiǎn)答說(shuō)明理由；(2)若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)在定義域上單調(diào)遞增且為奇函數(shù)；理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，再判斷的關(guān)系即可得出函數(shù)的奇偶性，利用作差法判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）由（1）不等式對(duì)任意恒成立，即不等式恒成立，即不等式對(duì)任意恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可得解.【詳解】（1）解：在定義域上單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，證明：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，因?yàn)?，所以，而，所以，故在R上單調(diào)遞增，，所以為奇函數(shù)，故在定義域上單調(diào)遞增且為奇函數(shù)；（2）解：因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以有，所以不等式可轉(zhuǎn)化為，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以對(duì)任意恒成立，即，令，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以．所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．8．（2022·河北保定·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足.(1)討論的奇偶性；(2)求函數(shù)在上的最小值.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）對(duì)已知等式中的用代換，得到新的等式，結(jié)合已知等式可求出，然后分和討論函數(shù)的奇偶性，（2）由（1）知，則對(duì)恒成立，得，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出函數(shù)的最小值.（1）因?yàn)?，所以，根?jù)以上兩式可得，從而.當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，，所以為非奇非偶函?shù).（2）由（1）知.依題意得對(duì)恒成立.當(dāng)，即時(shí)，恒成立；當(dāng)，即時(shí)，，得.故.設(shè)函數(shù)，則.因?yàn)椋?①當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，，則，即在上的最小值為1.②當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，即在上的最小值為.綜上，函數(shù)在上的最小值【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)奇偶性的判斷，第（2）問(wèn)解題的關(guān)鍵是由題意得對(duì)恒成立，求出的范圍，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，考查計(jì)算能力，屬于較難題.9．（2020·上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí)）若定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，總有恒成立，我們稱為“類余弦型”函數(shù).（1）已知為“類余弦型”，且，求和的值；（2）在（1）的條件下，定義數(shù)列（），求的值；（3）若為“類余弦型”，且對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，總有，證明：①函數(shù)為偶函數(shù)；②設(shè)有理數(shù)滿足，判斷和的大小關(guān)系，并證明.【答案】（1），；（2）；（3）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)恒等式，應(yīng)用特殊值法：令，或，分別求和的值；（2）由題設(shè)令，，，可得，易知是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而可得的通項(xiàng)，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求值.（3）①根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，令，為任意實(shí)數(shù)，即可證結(jié)論.②若，，都是自然數(shù)且，如有，，設(shè)數(shù)列滿足，只需證數(shù)列是增函數(shù)，即可證結(jié)論.【詳解】（1）令，，則，可得；令，，則，則；（2）令，，，則，∴，即，又，∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，則，∴；（3）①由題意得：函數(shù)定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令，為任意實(shí)數(shù)，則，即，∴是偶函數(shù)；②∵，是有理數(shù)，∴，，令為，分母得最小公倍數(shù)，并且，，，都是自然數(shù)，且，令數(shù)列滿足，證明數(shù)列是增函數(shù)：，則；若，是正整數(shù)，即，令，，則，即∴，即數(shù)列單調(diào)遞增，∴，又為偶函數(shù)，∴.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)遞推關(guān)系的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用特殊值法求函數(shù)值及函數(shù)關(guān)系，而第三問(wèn)②：根據(jù)有理數(shù)的性質(zhì)：令，，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷在上為增函數(shù).題型九：定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性一、多選題1．（2022·浙江·紹興魯迅中學(xué)高三階段練習(xí)）已知的定義域?yàn)?，且?duì)任意，有，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．在上不單調(diào) D．當(dāng)時(shí)，【答案】AD【分析】由賦值法與函數(shù)單調(diào)性，對(duì)稱性的定義對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】法一：取特殊函數(shù)取函數(shù)符合題意，驗(yàn)證A，D正確，B，C錯(cuò)誤法二：抽象函數(shù)運(yùn)算對(duì)于A，令，可得，因，所以，故A正確，對(duì)于C，令可得，設(shè)，令所以，即即在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤，對(duì)于B，令，可得，因所以，所以的圖象沒(méi)有關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B錯(cuò)誤，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，令，此時(shí)，因，所以，故D正確，故選：AD二、解答題2．（2022·江蘇泰州·高三期中）若函數(shù)滿足，其中，且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；(3)若，在時(shí)恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)見(jiàn)解析，(3).【分析】（1）利用換元法，令，則，代入化簡(jiǎn)可求出函數(shù)解析式，（2）分和兩種情況，利用單調(diào)性的定義判斷即可，（3）由（2）可知在上遞減，所將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，即，從而可求出的取值范圍．【詳解】（1）令，則，所以，所以，（2）當(dāng)時(shí)，在上遞增，當(dāng)時(shí)，在上遞減，理由如下：當(dāng)時(shí)，任取，且，則，因?yàn)?，，所以，，所以，所以，所以，即，所以在上遞增，當(dāng)時(shí)，任取，且，則，因?yàn)?，，所以，，所以，所以，所以，即，所以在上遞減，（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可知在上遞減，因?yàn)樵跁r(shí)恒成立，所以，所以，即，所以，解得或，因?yàn)椋?，即的取值范?3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于定義在R上的函數(shù)，若存在正數(shù)m與集合A，使得對(duì)任意的，當(dāng)，且時(shí)，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．(1)若，判斷是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；(2)若，且具有性質(zhì)，求m的最大值；(3)若函數(shù)的圖像是連續(xù)曲線，且當(dāng)集合（a為正常數(shù)）時(shí)，具有性質(zhì)，證明：是R上的單調(diào)函數(shù)．【答案】(1)具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）對(duì)一切，，且由于具有性質(zhì).（2）令，則∵具有性質(zhì)，∴當(dāng)時(shí)，恒有，即，.（3）∵函數(shù)具有性質(zhì)，∴對(duì)任意的區(qū)間，當(dāng)時(shí)，都有成立.下面證明此時(shí)，恒有或恒有若存在，使得①，不妨設(shè)②當(dāng)①或②式中有等號(hào)成立時(shí)，與矛盾當(dāng)①②兩式中等號(hào)均不成立時(shí)，的函數(shù)值從連續(xù)增大到時(shí)，必在存使得，也與矛盾，同理可證也不可能.∴對(duì)任意的區(qū)間，當(dāng)時(shí)，恒有或恒有，∵對(duì)任意的，總存在，使得：，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減，綜上可知是上的單調(diào)函數(shù).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于新定義問(wèn)題，關(guān)鍵在于理解所給定義，一般就是需要具體化新定義的內(nèi)容，研究所給特例問(wèn)題，一般需要化抽象為具體，具有很強(qiáng)的類比性，對(duì)類比推理要求較高.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給定集合，為定義在D上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意，都有___________．從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，補(bǔ)充在橫線處，使存在且唯一確定．條件①：；條件②：；條件③：．解答下列問(wèn)題：（1）寫出和的值；（2）寫出在上的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)，寫出的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】答案詳見(jiàn)解析【分析】判斷條件③不合題意.選擇條件①②、則先求得當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式，然后結(jié)合函數(shù)的解析式、單調(diào)性、零點(diǎn)，對(duì)（1）（2）（3）進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，.對(duì)于條件③，對(duì)任意，都有，以替換，則，這與矛盾，所以條件③不合題意.若選條件①，當(dāng)時(shí)，，.（1）.（2）對(duì)于函數(shù)，任取，，其中，當(dāng)時(shí)，，，所以在上遞減.當(dāng)時(shí)，，，所以在上遞增.所以在區(qū)間，.同理可證得：在上遞增，在上遞減，.當(dāng)時(shí)，，由上述分析可知，在上遞增，在上遞減.且.（3），由（2）的分析可畫出的大致圖象如下圖所示，所以，當(dāng)或或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是0；當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1；當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2．若選條件②，當(dāng)時(shí)，，由得，（1）.（2）對(duì)于函數(shù)，根據(jù)上述分析可知：在上遞減，在上遞增，且在區(qū)間，.對(duì)于，任取，.其中.當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減.所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為.且.（3），結(jié)合上述分析畫出的大致圖象如下圖所示，所以當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是0；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2．【點(diǎn)睛】利用函數(shù)的單調(diào)性的定義求函數(shù)的單調(diào)性，主要是計(jì)算出的符號(hào).求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，可利用分離參數(shù)法，結(jié)合函數(shù)圖象來(lái)進(jìn)行求解.題型十：利用周期性求函數(shù)值一、單選題1．（2022·江西省豐城中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，滿足.若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性求出函數(shù)的周期，結(jié)合函數(shù)的周期以及等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】為定義在上的奇函數(shù)，，令，有，所以得到，故是以4為周期的周期函數(shù)．則由，故．則．函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，有，由，∴．故．故選：C2．（2022·福建泉州·高三期中）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由奇函數(shù)滿足，推導(dǎo)出，得到函數(shù)的周期為4，由，結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性，得到.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)所以，又，∴，將替換為得：，即，故，所以的周期，因?yàn)?，所以，則，則故選：B．3．（2022·廣東汕頭·高三期中）已知定義在上的函數(shù)，滿足為奇函數(shù)且為偶函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．函數(shù)的周期為 B．函數(shù)的周期為C． D．【答案】C【分析】推導(dǎo)出，，可推導(dǎo)出函數(shù)的周期，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；利用函數(shù)的周期性和對(duì)稱性可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，令，則，所以，對(duì)任意的，，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，令，可得，所以，對(duì)任意的，，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，所以，，則，所以，函數(shù)的周期為，AB都錯(cuò)；對(duì)任意的，，令，可得，，的值不確定，C對(duì)D錯(cuò).故選：C.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)稱性與周期性之間的常用結(jié)論：（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；（3）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為.在推導(dǎo)周期時(shí)，解答時(shí)要注意能夠根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行代換，從而推導(dǎo)出函數(shù)的周期.二、多選題4．（2022·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，當(dāng)時(shí)，.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，的取值范圍為C．為奇函數(shù)D．方程僅有4個(gè)不同實(shí)數(shù)解【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)，推導(dǎo)出，所以的周期為8，得到，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出，，當(dāng)時(shí)，，從而確定的取值范圍；C選項(xiàng)，根據(jù)得到關(guān)于中心對(duì)稱，從而關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，即為奇函數(shù)；D選項(xiàng)，畫出與的圖象，數(shù)形結(jié)合求出交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求出方程的根的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，故，所以，即，所以，所以，所以的周期?，因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以，因?yàn)闀r(shí)，，所以，故，A錯(cuò)誤；當(dāng)，，所以，當(dāng)，，，所以，綜上：當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，B正確；因?yàn)?，所以關(guān)于中心對(duì)稱，故關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，C正確；畫出與的圖象，如下：顯然兩函數(shù)圖象共有4個(gè)交點(diǎn)，其中，所以方程僅有4個(gè)不同實(shí)數(shù)解，D正確.故選：BCD三、填空題5．（2022·上海大學(xué)附屬南翔高級(jí)中學(xué)高三期中）設(shè)是上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則_____________．【答案】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為，利用函數(shù)的周期性和奇偶性可求得的值.【詳解】由題意可得，所以，函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為，所以，.故答案為：.6．（2022·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三期中）已知是定義在R上的奇函數(shù)且對(duì)于任意的均有，若當(dāng)時(shí)，，則________．【答案】【分析】根據(jù)已知條件求出的周期，再根據(jù)已知條件求出，，，的值，進(jìn)而可得的值，再根據(jù)周期性計(jì)算即可求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，又是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以，所以的周期為，當(dāng)時(shí)，所以，，，在中，令可得，所以，，，所以，因?yàn)?，所?故答案為：.7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)的定義域?yàn)?，且滿足，若，則___________.【答案】2024【分析】根據(jù)所給函數(shù)的性質(zhì)，可推出函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，再由函數(shù)性質(zhì)可得，據(jù)此即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，由，得，有，可得，有，又由，可得，可知函?shù)的周期為4，可得，有，因?yàn)?，所以由得，所以，即，所以所?故.故答案為：20248．（2022·江蘇省如皋中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列滿足，且，是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，則______．【答案】0【分析】利用數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系求通項(xiàng)的遞推關(guān)系，再構(gòu)造等比數(shù)列求出通項(xiàng)公式.根據(jù)和f(x)是R上奇函數(shù)可得f(x)是周期為4的函數(shù)，且f(0)＝f(2)＝0.，將用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，其中能被4整除的部分在計(jì)算時(shí)即可“去掉”，由此即可求出答案.【詳解】，，兩式相減得，，即，，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，，.是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，令，則，又＝－f(－x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝－[－f(－x)]＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，即是以4為周期的周期函數(shù).其中能被4整除，.故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題綜合考察了數(shù)列求通項(xiàng)公式的兩個(gè)方法：利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的關(guān)系，以及構(gòu)造等比數(shù)列，考察了函數(shù)周期的求法，還考察了利用二項(xiàng)式定理處理整除問(wèn)題，屬于難題.【熱點(diǎn)、重難點(diǎn)真題訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國(guó)）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A2．（2022·全國(guó)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為，求出函數(shù)一個(gè)周期中的的值，即可解出．【詳解】[方法一]：賦值加性質(zhì)因?yàn)?，令可得，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)?，，，，，所以一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問(wèn)題具體化，簡(jiǎn)化推理過(guò)程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.3．（2021·全國(guó)）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式，利用賦值法可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，對(duì)于函數(shù)，由，解得，取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，則，，A選項(xiàng)滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，且，，CD選項(xiàng)均不滿足條件.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個(gè)整體代入的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)．4．（2021·全國(guó)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.故選：B.二、多選題5．（2022·全國(guó)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法