2024-2025學年高中數(shù)學第二章解析幾何初步2.1直線與直線的方程2.1.5平面直角坐標系中的距離公式學案含解析北師大版必修2

PAGE1．5平面直角坐標系中的距離公式學問點一兩點間的距離公式[填一填](1)公式：兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離公式|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)，如圖所示．(2)文字敘述：平面直角坐標系內(nèi)兩點間的距離等于這兩點的橫坐標之差與縱坐標之差的平方和的算術平方根．[答一答]1．兩點間的距離公式中點A，B的位置有先后之分嗎？提示：點A，B的位置沒有先后之分，即距離公式也可以寫為|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22).2．式子eq\r(x2＋y2)的幾何意義是什么？提示：eq\r(x2＋y2)表示點(x，y)與原點(0,0)的距離．學問點二點到直線的距離公式[填一填]點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))，如圖所示．[答一答]3．點到直線的距離公式中，直線l的方程是哪種形式？假如是斜截式方程，如何求？提示：在點到直線的距離公式中，直線l的方程是一般式．若直線l的方程為y＝kx＋b(斜截式)，則可化為kx－y＋b＝0，故P(x1，y1)到直線l的距離d＝eq\f(|kx1－y1＋b|,\r(k2＋1)).4．點到直線的距離公式對于A＝0或B＝0或P0在直線l上的特殊狀況是否還適用？提示：仍舊適用．①當A＝0，B≠0時，直線l的方程為By＋C＝0，即y＝－eq\f(C,B)，d＝|y0＋eq\f(C,B)|＝eq\f(|By0＋C|,|B|)，適合公式；②當B＝0，A≠0時，直線l的方程為Ax＋C＝0，x＝－eq\f(C,A)，d＝|x0＋eq\f(C,A)|＝eq\f(|Ax0＋C|,|A|)，適合公式；③當P0點在直線l上時，有Ax0＋By0＋C＝0，d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))＝0，適合公式．學問點三兩條平行直線間的距離[填一填](1)定義：夾在兩條平行直線間公垂線段的長叫作這兩條平行直線間的距離．(2)求法：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離公式為d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).特殊地，若兩條直線的方程為l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，那么兩平行線間的距離d＝eq\f(|b1－b2|,\r(1＋k2)).[答一答]5．l1與l2之間的距離公式是如何推導的？提示：在直線l1上任取一點P(x0，y0)，則Ax0＋By0＝－C1.點P到直線l2的距離為d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2))＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).6．兩條平行線x＋y－1＝0,2x＋2y＋5＝0之間的距離是d＝eq\f(|－1－5|,\r(12＋12))＝3eq\r(2)嗎？提示：不是．雖然兩條平行直線的方程均為一般式方程，但是兩直線方程中x，y的系數(shù)不滿意分別相等．所以應把兩方程系數(shù)統(tǒng)一，即2x＋2y＋5＝0化為x＋y＋eq\f(5,2)＝0，再求距離d＝eq\f(|－1－\f(5,2)|,\r(12＋12))＝eq\f(7\r(2),4).1．點到直線的距離的幾種特殊狀況(1)點P(x0，y0)到x軸的距離d＝|y0|；(2)點P(x0，y0)到y(tǒng)軸的距離d＝|x0|；(3)點P(x0，y0)到與x軸平行的直線y＝a(a≠0)的距離d＝|y0－a|；(4)點P(x0，y0)到與y軸平行的直線x＝a(a≠0)的距離d＝|x0－a|.2．對兩條平行直線間的距離的理解(1)這個距離與所選點的位置無關，但一般要選取特殊的點(如與坐標軸的交點)．(2)兩條平行直線間的距離是分別在兩條直線上的兩點間的距離的最小值．(3)在運用公式eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))時，必需有兩個前提條件：一是兩條直線的方程都是一般式；二是x，y的系數(shù)分別對應相等，否則必需先化為對應相等才能套用公式.類型一兩點間的距離公式【例1】已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)．(1)求BC邊上的中線AM的長；(2)求證：△ABC為等腰直角三角形．【思路探究】(1)已知A點的坐標，欲求中線AM的長，只需求出點M的坐標，然后利用兩點間的距離公式求解即可．(2)利用兩點間距離公式結合勾股定理來證明．【解】(1)設點M的坐標為(x，y)，∵點M為BC的中點，∴x＝eq\f(3＋1,2)＝2，y＝eq\f(－3＋7,2)＝2，即點M的坐標為(2,2)，由兩點間的距離公式得：|AM|＝eq\r(－3－22＋1－22)＝eq\r(26)，∴BC邊上的中線AM的長為eq\r(26).(2)證明：證法一：∵|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝2eq\r(13)，|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝2eq\r(13)，∴|AC|＝|AB|，又∵A，B，C三點不共線，∴△ABC是等腰三角形．∵kAC＝eq\f(7－1,1－－3)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－－3)＝－eq\f(2,3)，∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB，∴△ABC是等腰直角三角形．證法二：∵|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝2eq\r(13)，|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝2eq\r(13)，|BC|＝eq\r(1－32＋7＋32)＝2eq\r(26)，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．規(guī)律方法中點的坐標公式常常用到，要牢牢記?。畠牲c間的距離公式可用來解決一些有關距離的問題，依據(jù)題目條件干脆套用公式即可，要留意公式的變形應用，公式中兩點的位置沒有先后之分．已知點A(－1,2)，B(2，eq\r(7))，在x軸上求一點P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．解：設點P的坐標為(x,0)，于是|PA|＝eq\r(x＋12＋0－22)＝eq\r(x2＋2x＋5)，|PB|＝eq\r(x－22＋0－\r(7)2)＝eq\r(x2－4x＋11).由|PA|＝|PB|，得x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以點P的坐標為(1,0)，則|PA|＝eq\r(1＋12＋0－22)＝2eq\r(2).類型二點到直線的距離公式【例2】若點(－2,2)到直線3x＋4y＋c＝0的距離為3，求c的值．【思路探究】干脆利用點到直線的距離公式列方程，解出c的值．【解】由點(－2,2)到直線3x＋4y＋c＝0的距離為3，得d＝eq\f(|3×－2＋4×2＋c|,\r(32＋42))＝eq\f(|2＋c|,5)＝3.解得c＝13或c＝－17.規(guī)律方法熟記點到直線的距離公式，肯定不要忽視分子中的肯定值符號，否則簡單漏解．求點P(3，－2)到下列直線的距離：(1)3x－4y＋3＝0；(2)y＝6；(3)y軸；(4)x軸．解：(1)d＝eq\f(|3×3－4×－2＋3|,\r(32＋－42))＝eq\f(20,5)＝4.(2)解法一：∵直線y＝6與x軸平行，∴d＝|6－(－2)|＝8.解法二：將y＝6變形為0·x＋y－6＝0，∴d＝eq\f(|0×3＋－2－6|,\r(02＋12))＝8.(3)d＝|3－0|＝3.(4)d＝|－2－0|＝2.類型三兩條平行直線間的距離【例3】求兩條平行線l1：6x＋8y＝20和l2：3x＋4y－15＝0的距離．【思路探究】由題目可獲得以下主要信息：①l1與l2是兩定直線；②l1∥l2.解答本題可先在直線l1上任取一點A(2,1)，然后再求點A到直線l2的距離即為兩直線的距離；或者干脆應用兩條平行線間的距離公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).【解】解法一：若在直線l1上任取一點A(2,1)，則點A到直線l2的距離，即為所求的平行線間的距離，∴d＝eq\f(|3×2＋4×1－15|,\r(32＋42))＝1.如圖所示．解法二：干脆應用兩條平行線間的距離公式，l1：3x＋4y－10＝0，l2：3x＋4y－15＝0，∴d＝eq\f(|－10－－15|,\r(32＋42))＝1.規(guī)律方法針對這個類型的題目一般有兩種思路：①利用“化歸”思想將兩條平行直線的距離轉化為求其中一條直線上隨意一點到另一條直線的距離．②干脆用公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，但要留意兩直線方程中x，y的系數(shù)必需分別相同．若兩條平行直線3x－2y－1＝0與6x＋ay＋c＝0之間的距離為eq\f(2\r(13),13)，求eq\f(a,c＋2)的值．解：由題意知eq\f(3,6)＝eq\f(－2,a)≠eq\f(－1,c)，∴a＝－4，c≠－2，∴6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋eq\f(c,2)＝0，由兩條平行直線間的距離公式，得eq\f(|\f(c,2)＋1|,\r(32＋－22))＝eq\f(2\r(13),13)，解得c＝2或c＝－6，當c＝2時，eq\f(a,c＋2)＝eq\f(－4,2＋2)＝－1；當c＝－6時，eq\f(a,c＋2)＝eq\f(－4,－6＋2)＝1.類型四解析法的應用【例4】△ABD和△BCE是在直線AC同側的兩個等邊三角形，用解析法證明：|AE|＝|CD|.【證明】如圖，以B點為坐標原點，取AC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，設△ABD和△BCE的邊長分別為a、c，則A(－a,0)、C(c,0)、D(－eq\f(a,2)，eq\f(\r(3),2)a)、E(eq\f(c,2)，eq\f(\r(3),2)c)，則|AE|＝eq\r([\f(c,2)－－a]2＋\f(\r(3),2)c－02)＝eq\r(a2＋ac＋\f(c2,4)＋\f(3c2,4))＝eq\r(a2＋ac＋c2)，|CD|＝eq\r(－\f(a,2)－c2＋\f(\r(3),2)a－02)＝eq\r(\f(a2,4)＋ac＋c2＋\f(3a2,4))＝eq\r(a2＋ac＋c2).∴|AE|＝|CD|.規(guī)律方法解析法的步驟：①建立坐標系，用坐標表示有關的量；②進行有關代數(shù)運算；③把代數(shù)運算結果“翻譯”成幾何關系．△ABC中，D是BC邊上隨意一點(D，B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.用解析法證明：△ABC為等腰三角形．證明：作AO⊥BC，垂足為O，以BC所在直線為x軸，以OA所在直線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖)．設A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)．因為|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以，由距離公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)，又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c，所以|AB|＝|AC|，即△ABC為等腰三角形．類型五距離公式的應用【例5】已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x2－2x＋2)＋eq\r(x2－4x＋8)，求f(x)的最小值，并求取得最小值時x的值．【解】因為f(x)＝eq\r(x2－2x＋2)＋eq\r(x2－4x＋8)＝eq\r(x－12＋0－12)＋eq\r(x－22＋0－22).它表示點P(x,0)與點A(1,1)的距離加上點P(x,0)與點B(2,2)的距離之和，即在x軸上求一點P(x,0)，使其與點A(1,1)、B(2,2)的距離之和最小．由圖可知，轉化為求兩點A′(1，－1)和B(2,2)間的距離，其距離為函數(shù)f(x)的最小值．所以f(x)的最小值為eq\r(1－22＋－1－22)＝eq\r(10).再由直線方程的兩點式得A′B方程為3x－y－4＝0，令y＝0，得x＝eq\f(4,3).故當x＝eq\f(4,3)時，f(x)取得最小值，且最小值為eq\r(10).規(guī)律方法將函數(shù)表達式變形為f(x)＝eq\r(x－12＋0－12)＋eq\r(x－22＋0－22)，可以看作P(x,0)到點A(1,1)與到點B(2,2)的距離之和，即在x軸上求一點P，使|PA|＋|PB|最小．巧用對稱、數(shù)形結合，使解法直觀、簡捷且精確．在函數(shù)y＝4x2的圖像上求一點P，使點P到直線4x＝y(tǒng)＋5的距離最短，并求這個最短的距離．解：直線方程可化為4x－y－5＝0，設P(a,4a2)，則點P到直線的距離為d＝eq\f(|4a－4a2－5|,\r(42＋－12))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2－4)),\r(17))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋4)),\r(17)).當a＝eq\f(1,2)時，點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))到直線的距離最短，最短距離為eq\f(4\r(17),17).——多維探究系列——數(shù)形結合在平行線間距離中的應用【例6】兩條相互平行的直線分別過點A(6,2)和點B(－3，－1)，假如兩條平行直線間的距離為d，求：(1)d的改變范圍；(2)當d取最大值時，兩條直線的方程．【思路分析】先分別作出過A，B兩點的兩條平行直線，由于直線的其他幾何要素不知道，我們發(fā)覺平行直線的傾斜角不同，則兩條平行直線間的距離不同，然后用函數(shù)思想與數(shù)形結合思想去分析．【精解詳析】(1)當兩條平行直線與AB垂直時，兩平行直線間的距離最大，此時d＝|AB|＝eq\r(6＋32＋2＋12)＝3eq\r(10)；當兩條平行直線各自繞點A，B逆時針旋轉時，距離漸漸變小，越來越接近于0，所以0<d≤3eq\r(10)，即d的改變范圍是(0,3eq\r(10)]．(2)當d取最大值3eq\r(10)時，兩條平行直線都垂直于AB，所以k＝－eq\f(1,kAB)＝－eq\f(1,\f(2－－1,6－－3))＝－3.故所求的直線方程分別為y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.【解后反思】通過數(shù)形結合思想和函數(shù)思想與方法，依據(jù)題中的已知點不動，而兩條平行直線可以繞點轉動，我們很簡單直觀感受到兩條平行直線間距離的改變狀況，從而求出兩條平行直線間的距離的范圍．求過點(3,5)的全部直線中，距原點最遠的直線方程．解：如圖所示，設l是過點A(3,5)的隨意一條直線，過O作OH⊥l，垂足為H，則有|OH|≤|OA|.當H與A點重合時，O點到直線l的距離最大，dmax＝|OA|＝eq\r(32＋52)＝eq\r(34).此時，直線l與OA垂直．由kOA＝eq\f(5,3)，得l的斜率k＝－eq\f(1,kOA)＝－eq\f(3,5).所以l的方程為y－5＝－eq\f(3,5)(x－3)，即3x＋5y－34＝0.一、選擇題1．點(0,5)到直線y＝2x的距離是(D)A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,2)C.eq\f(\r(5),2) D.e