江蘇省宿遷市高二上學期11月期中考試數(shù)學試題（含答案解析）

2024~2025學年第一學期期中調(diào)研試卷高二數(shù)學（滿分150分，考試時間120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出斜率即可求解.【詳解】由，可知直線斜率為，所以，所以，故選：A2.圓與圓的位置關系為（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求出兩圓的圓心距，再結(jié)合圓與圓位置關系的判斷方法，即可求解.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，，所以兩圓外切.故選：B.3.已知點與點關于直線對稱，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對稱關系得出直線斜率及直線所過的點即可得解.【詳解】因為，所以，又的中點在直線l上，所以直線l的方程為，即，故選：A4.設為實數(shù)，若直線與平行，則它們之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求出，再根據(jù)兩平行間的距離公式求解.【詳解】由題意，，解得，所以直線，即與直線間的距離為.故選：A.5.已知橢圓的兩個焦點分別為，，點在該橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義求出，再由焦點坐標求出，求出離心率即可.【詳解】設橢圓兩個焦點為，，點，則，，，所以橢圓的離心率為.故選：C.6.橢圓以雙曲線的兩個焦點為長軸的端點，以雙曲線的頂點為焦點，則橢圓的方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由雙曲線方程確定焦點坐標及頂點坐標，進而可求解.【詳解】由可得其焦點坐標為：，頂點坐標所以橢圓長軸端點坐標：，焦點坐標為，所以橢圓方程為：，故選：C7.過拋物線的焦點的弦，其中點在第一象限，若，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設，根據(jù)可得，設直線方程聯(lián)立拋物線，由根與系數(shù)關系得出，即而求出B點，根據(jù)斜率公式求解即可.【詳解】設，由，可得，即，設直線方程為：，，，，故選：D8.已知橢圓的上頂點為，過橢圓左焦點且斜率為的直線交橢圓于，兩點，則的周長為（）A.10 B.8 C. D.【答案】B【解析】【分析】取橢圓的右焦點，易證直線是線段的垂直平分線，可得，，結(jié)合橢圓的定義求得答案.【詳解】由橢圓方程可得，，則，如圖，取橢圓的右焦點，連接，則，即為正三角形，又直線的斜率為，則直線的傾斜角為，即，所以直線是線段的垂直平分線，所以，，所以的周長為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題．每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設為實數(shù)，直線：，點，，則下列說法正確的有（）A.直線過定點B.若點，到直線的距離相等，則C.直線與軸一定相交D.若直線不過第二象限，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)直線過定點的求法判斷A，由特殊情況直線與兩點連線平行判斷B，分析直線不能寫成的形式判斷C，取特例判斷D.【詳解】由直線：，可得，當，即時，方程恒成立，即直線過定點，故A正確；當直線與平行（或重合）或直線過的中點時，點，到直線的距離相等，由，可知時，直線為，與平行，符合題意，故B錯誤；由直線：可知，直線傾斜角不可能為0，所以一定與x軸相交，故C正確；直線不過第二象限，當時，直線方程為，滿足題意，故D錯誤.故選：AC10.設為實數(shù)，方程表示圓，則下列說法正確的有（）A.B.若，則圓和兩坐標軸均相切C.若圓關于直線對稱，則D.無論取任何實數(shù)，總存在一條定直線與圓相交【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)二次方程表示圓的條件判斷A，假設與軸相切求出判斷B，由直線過圓心判斷C，根據(jù)圓心在直線上判斷D.【詳解】當方程表示圓時，，解得，故A正確；若圓與軸相切，令，可得，由解得，故B錯誤；若圓關于直線對稱，則直線過圓心，由可得，圓心代入直線方程，可得，且此時滿足，故C正確；由C知，圓心為，即圓心在直線上，所以不論m取何值，都過圓心，與圓相交，故D正確.故選：ACD.11.在平面直角坐標系中，過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，直線，分別交拋物線準線于，兩點，則下列說法正確的有（）A.軸 B.C.以為直徑的圓與拋物線準線恒相交 D.面積的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】設直線，聯(lián)立方程可得韋達定理.對于A：求點C的坐標，結(jié)合韋達定理分析判斷；對于B：：求點D的坐標，結(jié)合數(shù)量積分析判斷；對于C：根據(jù)拋物線的定義分析判斷；對于D：結(jié)合韋達定理就面積，即可判斷.【詳解】由題意可知：拋物線的焦點，準線，顯然直線的斜率可以不存在，但不為0，此時直線與拋物線必相交，設直線，聯(lián)立方程，消去x可得，可得.對于選項A：可知直線，令，可得，即，所以軸，故A正確；對于選項B：同理可得：，軸，則，可得，所以，故B正確；對于選項C：因為，由梯形中位線可知：以為直徑的圓的圓心到準線的距離為，即圓心到準線的距離等于半徑，所以以為直徑的圓與拋物線準線恒相切，故C錯誤；對于選項D：因為，可得面積，當且僅當時，等號成立，所以面積的最小值為.故選：ABD.【點睛】方法點睛：與圓錐曲線有關的最值問題的兩種解法（1）數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解．（2）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求最值（注意：有時需先換元后再求最值）.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設為實數(shù)，直線：，：，若，則的值為______．【答案】【解析】【分析】當兩條直線垂直時，若直線與直線垂直，則滿足.我們可以根據(jù)這個定理來求解的值.【詳解】對于直線和，根據(jù)兩直線垂直的定理，則可得方程.對進行求解..故答案為：.13.圓上有且只有2個點到直線的距離等于1，則半徑的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】計算圓心到直線的距離為1，根據(jù)條件得到，解得答案.【詳解】圓心的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，因為圓上只有兩個點到直線的距離等于1，所以，即，解得.故答案為：.14.如圖1所示，雙曲線具有光學性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射關線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點．設，若雙曲線：的左，右焦點分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的，兩點反射后，分別經(jīng)過點，，，，則的值為______．【答案】3【解析】【分析】由雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義及勾股定理求解即可.【詳解】由，，則，，設，，則，，由雙曲線定義得，，，解得，所以，，在直角三角形中，，則，即，又，，解得.故答案為：3.，四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的頂點，直線的方程為，邊上的中線所在的直線方程為．（1）求頂點，的坐標；（2）求的面積．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線與方程，可得點，設，表示中點，根據(jù)在直線上，在直線上，可列方程，解方程即可；（2）根據(jù)點與的坐標可得，再根據(jù)點到直線的距離可得面積.【小問1詳解】由已知，，則，解得，即，設，則中點，又點在直線上，點在直線上，即，解得，即；【小問2詳解】由（1）得，點到直線的距離，則.16.設為實數(shù)，圓的方程為．（1）若圓和圓的公共弦長為，求的值；（2）若過點的圓與圓相切，切點為，求圓的標準方程．【答案】（1）1或（2）【解析】【分析】（1）求出兩圓公共弦所在直線方程為，結(jié)合弦長求得；（2）結(jié)合已知條件求出圓的方程，求出圓心和半徑，設出圓的標準方程，利用切點以及兩圓圓心共線求出圓的圓心的橫縱坐標之間的關系，然后利用圓半徑相等即可求解.【小問1詳解】由題知兩圓相交，將圓與圓相減可得，即兩圓公共弦所在直線方程，圓心到直線的距離為，所以，解得或，所以實數(shù)的值為或.【小問2詳解】將點代入圓，可得，所以圓的方程為，即，所以圓的圓心為，半徑為，設圓的標準方程為，因為圓與圓相切于點，所以、、三點共線，所以直線的方程為，即，將點代入得①，又點在圓上，則，即②，由①②兩式解得，，，所以圓的標準方程為.17.已知動點到點的距離比到直線的距離小，過作圓的一條切線，為切點，過作直線的垂線，垂足為．（1）求點的軌跡方程；（2）當、、三點共線時，求線段的長；（3）判斷滿足的點有幾個，并說明理由．【答案】（1）（2）（3）個，；理由見解析【解析】【分析】（1）分析可知，點的軌跡是以點為焦點，直線為準線的方程，即可得出點的軌跡方程；（2）當、、三點共線時，求出點的坐標，并求出，再利用勾股定理可求得PQ的值；（3）由題意可得出，由兩點間的距離公式化簡得出的中垂線方程，判斷該直線與拋物線的位置關系，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由題意可知，點到點F1,0的距離等于點到直線的距離，所以，點的軌跡是以點為焦點，直線為準線的方程，設其方程為，則，可得，所以，點的軌跡方程為.【小問2詳解】由題意可知，當、、三點共線時，因為點，直線的方程為，聯(lián)立，解得，此時，點，則，因為，由勾股定理可得.【小問3詳解】因為，由題意可得，化簡可得，聯(lián)立，可得，，故滿足條件的點有兩個.18.已知雙曲線：的右頂點為，實軸長為4，過雙曲線的左焦點作直線，當直線與軸垂直時，直線與雙曲線的兩個交點分別為，，此時為等腰直角三角形．（1）求雙曲線的方程；（2）當直線與雙曲線的漸近線平行時，求直線與雙曲線的交點坐標；（3）當直線與雙曲線的左支交于，兩點時，直線，分別交直線于，兩點，在軸上是否存在定點，使得點始終在以線段為直徑的圓上？若存在，求出點坐標，否則，請說明理由．【答案】（1）（2）或.（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)關系得到方程組，解出即可；（2）寫出漸近線方程，再利用平行關系得到直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程解出即可；（3）設設的方程為，聯(lián)立雙曲線方程得到韋達定理式，再寫出相關直線方程，得到相關點坐標，寫出兩點直徑式，代入韋達定理式即可.【小問1詳解】由題意得，解得，所以雙曲線的方程為：.【小問2詳解】漸近線方程為，當直線與平行時，直線的方程為：，聯(lián)立解得.當直線與平行時，直線的方程為：，聯(lián)立解得，所以直線與雙曲線的交點坐標為或.【小問3詳解】因為雙曲線的漸近線方程為：，顯然當直線與軸重合時，不合題意，故設的方程為，，，直線的方程為：，當時，，即P點坐標為，直線的方程為：，當時，，即點坐標為，所以以為直徑的圓方程為：，當時，聯(lián)立，消去得，其中，，且，所以，.，所以，所以或所以軸上存在定點或始終在以為直徑的圓上.【點睛】關鍵點點睛：本題第三問的關鍵是采用設線法并與雙曲線方程聯(lián)立得到韋達定理式，寫出兩點直徑式方程，并代入韋達定理式即可.19.已知橢圓過點，離心率為，左、右焦點分別為、，右頂點為．（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓的另外一個交點為，當?shù)拿娣e最大時，求直線的方程；（3）若點、是直線上不同兩點，則向量以及與它平行的非零向量都稱為直線的方向向量，當直線時，直線的方向向量稱為直線的法向量．設、為實數(shù)，直線的一個法向量為，為直線上任一點，點為坐標平面內(nèi)的定點，我們把稱為點在直線上的投影數(shù)量．當與橢圓相切時，點、在直線上的投影數(shù)量的乘積是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，說明理由．【答案】（1）（2）（3）是定值，且定值為【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；（2）求出直線的方程，設點，其中，利用點到直線的距離公式，輔助角公式可求得點到直線距離的最大值及其對應的的值，可得出點的坐標，進而可求得直線的方程；（3）設直線與橢圓相切于點，則，先證明橢圓在點處的切線方程為，可得出直線的一個法向量，再利用投影的概念可求得點、在直線上的投影數(shù)量的乘積，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由題意可得，解得，因此，橢圓的方程為.【小問2詳解】易知點，直線的斜率為，則直線的方程為，即，若的面積最大，則點到直線的距離取最大值，設點，其中，則點到直線的距離為，因為，則，故當時，即當時，取最大值，此時點，所以，