2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章統(tǒng)計(jì)§44.14.2數(shù)據(jù)的數(shù)字特征教師用書教案北師大版必修3

PAGE1-§4數(shù)據(jù)的數(shù)字特征4．1平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差4．2標(biāo)準(zhǔn)差學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.會求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差．(重點(diǎn))2．方差、標(biāo)準(zhǔn)差在實(shí)際問題中的應(yīng)用．(難點(diǎn))1.通過求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．通過方差、標(biāo)準(zhǔn)差在實(shí)際問題中的應(yīng)用，提升數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).一、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)1．眾數(shù)的定義一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個(gè)，也可以是多個(gè)．2．中位數(shù)的定義及求法把一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的依次排列，把處于最中間位置的那個(gè)數(shù)(或中間兩數(shù)的平均數(shù))稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．3．平均數(shù)的定義假如有n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，那么eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋x3＋…＋xn,n)，叫作這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)．二、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差1．標(biāo)準(zhǔn)差、方差(1)標(biāo)準(zhǔn)差的求法：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示．s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).(2)方差的求法：標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫作方差．s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]其中，xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，eq\x\to(x)是樣本均值．(3)方差的簡化計(jì)算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\x\to(x)2]＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\x\to(x)2.2．極差一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為這組數(shù)據(jù)的極差．3．?dāng)?shù)字特征的意義平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，極差、方差刻畫了一組數(shù)據(jù)的離散程度．思索：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以有多個(gè)嗎？中位數(shù)是否也有相同的結(jié)論？[提示]一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個(gè)，也可能有多個(gè)，但中位數(shù)有且只有一個(gè)．1．已知一組數(shù)據(jù)為20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是()A．平均數(shù)＞中位數(shù)＞眾數(shù)B．平均數(shù)＜中位數(shù)＜眾數(shù)C．中位數(shù)＜眾數(shù)＜平均數(shù)D．眾數(shù)＝中位數(shù)＝平均數(shù)D[可得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)均為50.]2．樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均數(shù)為1，則樣本方差為()A.eq\r(\f(6,5)) B.eq\f(6,5)C.eq\r(2) D．2D[∵樣本的平均數(shù)為1，即eq\f(1,5)×(a＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a＝－1，∴樣本方差s2＝eq\f(1,5)×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.]3．一次選拔運(yùn)動(dòng)員的測試中，測得7名選手中的身高(單位：cm)分布的莖葉圖如圖所示．記錄的平均身高為177cm，有一名候選人的身高記錄不清晰，其末位數(shù)記為x，則x等于()18011703x89A.5 B．6C．7 D．8D[由題意知，10＋11＋0＋3＋x＋8＋9＝7×7，解得x＝8.]4．某學(xué)員在一次射擊測試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4則：(1)平均命中環(huán)數(shù)為________；(2)命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為________．(1)7(2)2[(1)eq\x\to(x)＝eq\f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4,10)＝7.(2)∵s2＝eq\f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.]平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計(jì)算【例1】在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會上，參與男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成果如表所示：成果(單位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運(yùn)動(dòng)員成果的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．[解]在17個(gè)數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.題表里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的依次排列的，其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\x\to(x)＝eq\f(1,17)(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝eq\f(28.75,17)≈1.69.所以這17名運(yùn)動(dòng)員成果的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75,1.70,1.69.中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用要點(diǎn)中位數(shù)、眾數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需依據(jù)實(shí)際須要選擇運(yùn)用．(1)求中位數(shù)的關(guān)鍵是將數(shù)據(jù)排序，一般依據(jù)從小到大的依次排列．中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對中位數(shù)沒有影響．中位數(shù)可能在所給數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中．當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可用中位數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢．(2)確定眾數(shù)的關(guān)鍵是統(tǒng)計(jì)各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)，頻數(shù)最大的數(shù)據(jù)就是眾數(shù)．當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，眾數(shù)往往更能反映數(shù)據(jù)的集中趨勢．(3)平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)都有關(guān)，受個(gè)別極端數(shù)據(jù)(比其他數(shù)據(jù)大許多或小許多的數(shù)據(jù))的影響較大，因此若在數(shù)據(jù)中存在少量極端數(shù)據(jù)，平均數(shù)對總體估計(jì)的牢靠性較差，這時(shí)往往用眾數(shù)或中位數(shù)去估計(jì)總體．有時(shí)也采納剔除最大值與最小值后所得的平均數(shù)去估計(jì)總體．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(1)16位參與百米半決賽同學(xué)的成果各不相同，按成果取前8位進(jìn)入決賽．假如小劉知道了自己的成果后，要推斷能否進(jìn)入決賽，則其他15位同學(xué)成果的下列數(shù)據(jù)中，能使他得出結(jié)論的是()A．平均數(shù)B．極差C．中位數(shù)D．方差(2)已知一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為－1,0,4，x,6,15，且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5，那么該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是________，平均數(shù)是________．(1)C(2)65[推斷是不是能進(jìn)入決賽，只要推斷是不是前8位，所以只要知道其他15位同學(xué)的成果中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同學(xué)的成果排列后看第8位的成果即可，小劉的成果高于這個(gè)成果就能進(jìn)入決賽，低于這個(gè)成果就不能進(jìn)入決賽，這個(gè)第8位的成果就是這15位同學(xué)成果的中位數(shù)．(2)因?yàn)橹形粩?shù)為5，所以eq\f(4＋x,2)＝5，即x＝6.所以該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為6，平均數(shù)為eq\f(－1＋0＋4＋6＋6＋15,6)＝5.故填6和5.]方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算【例2】甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，各從中抽取6件測量，數(shù)據(jù)為：甲：99,100,98,100,100,103；乙：99,100,102,99,100,100.(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)依據(jù)計(jì)算結(jié)果推斷哪臺機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．[解](1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)兩臺機(jī)床所加工零件的直徑的平均值相同，又seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，所以乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．1．計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差的五個(gè)步驟(1)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\x\to(x).(2)算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的差：xi－eq\x\to(x)(i＝1,2,3，…，n)．(3)算出(2)中xi－eq\x\to(x)(i＝1,2,3，…，n)的平方．(4)算出(3)中n個(gè)平方數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差．(5)算出(4)中方差的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差．2．標(biāo)準(zhǔn)差(方差)的兩個(gè)作用(1)標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。?2)在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常把平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)合起來進(jìn)行決策．在平均值相等的狀況下，比較方差或標(biāo)準(zhǔn)差以確定穩(wěn)定性．eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．(1)在某項(xiàng)體育競賽中，七位裁判為一選手打出的分?jǐn)?shù)為：90,89,90,95,93,94,93，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，剩下數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為()A．92,2 B．92,2.8C．93,2 D．93,2.8(2)已知樣本9,10,11，x，y的平均數(shù)是10，標(biāo)準(zhǔn)差是eq\r(2)，則xy＝________.(1)B(2)96[去掉最高分95和最低分89后，剩余數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝eq\f(90＋90＋93＋94＋93,5)＝92，方差為s2＝eq\f(1,5)[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝eq\f(1,5)(4＋4＋1＋4＋1)＝2.8.(2)由平均數(shù)得9＋10＋11＋x＋y＝50，所以x＋y＝20.又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x－10)2＋(y－10)2＝(eq\r(2))2×5＝10，得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，xy＝96.故填96.]數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的綜合應(yīng)用[探究問題]1．在一次人才聘請會上，有一家公司的聘請員告知你“我們公司的收入水平很高”“去年，在50名員工中，最高收入達(dá)到了100萬，他們年收入的平均數(shù)是5.5萬”．假如你希望獲得年薪4.5萬元，你是否能夠推斷自己可以成為此公司的一名高收入者？提示：這里的“收入水平”是指員工收入數(shù)據(jù)的某種中心點(diǎn)，即可以是中位數(shù)、平均數(shù)或眾數(shù)，若是平均數(shù)，則需進(jìn)一步了解企業(yè)各類崗位收入的離散狀況．2．極差與方差是怎樣刻畫數(shù)據(jù)離散程度的？提示：方差與極差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大，也越不穩(wěn)定，數(shù)值越小，離散程度就越小，越穩(wěn)定．【例3】在一次科技學(xué)問競賽中，兩組學(xué)生的成果如下表：分?jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212已經(jīng)算得兩個(gè)組的平均分都是80分．請依據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)學(xué)問，進(jìn)一步推斷這兩個(gè)組在這次競賽中的成果誰優(yōu)誰劣，并說明理由．[思路探究]解答本題可從眾數(shù)、平均數(shù)、方差等幾方面綜合分析．[解](1)甲組成果的眾數(shù)為90分，乙組成果的眾數(shù)為70分，從成果的眾數(shù)比較看，甲組成果好些．(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝eq\f(1,50)×4000＝80(分)，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝eq\f(1,50)×4000＝80(分)．seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，∴甲組成果比乙組成果穩(wěn)定，故甲組好些．(3)甲、乙兩組成果的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分．其中甲組成果在80分以上(包括80分)的有33人，乙組成果在80分以上(包括80分)的有26人．從這一角度看，甲組的成果較好．(4)從成果統(tǒng)計(jì)表看，甲組成果大于等于90分的有20人，乙組成果大于等于90分的有24人，∴乙組成果集中在高分段的人數(shù)多．同時(shí)，乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人．從這一角度看，乙組的成果較好．要正確處理此類問題，首先要抓住問題中的關(guān)鍵詞語，全方位地進(jìn)行必要的計(jì)算、分析，而不能習(xí)慣性地僅從樣本方差的大小去確定哪一組的成果好.像這樣的實(shí)際問題還得從實(shí)際的角度去分析，如本例的“滿分人數(shù)”；其次要在恰當(dāng)?shù)卦u估后，組織好正確的語言做出結(jié)論.eq\O([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次，每次打靶的成果狀況如圖所示：(1)分別求甲、乙兩人打靶成果的平均數(shù)、中位數(shù)及命中9環(huán)以上的次數(shù)(含9環(huán))；(2)從下列三個(gè)不同角度對這次測試結(jié)果進(jìn)行分析：①從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看，誰的成果好些？②從平均數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看，誰的成果好些？③從折線圖中兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看，誰更有潛力？[解](1)由圖可知，甲打靶的成果為2,4,6,8,7,7,8,9,9,10；乙打靶的成果為9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.甲的平均數(shù)是7，中位數(shù)是7.5，命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)是3；乙的平均數(shù)是7，中位數(shù)是7，命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)是1.(2)由(1)知，甲、乙的平均數(shù)相同．①甲、乙的平均數(shù)相同，甲的中位數(shù)比乙的中位數(shù)大，所以甲成果較好．②甲、乙的平均數(shù)相同，甲命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)比乙多，所以甲成果較好．③從折線圖中看，在后半部分，甲呈上升趨勢，而乙呈下降趨勢，故甲更有潛力．1．一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個(gè)，中位數(shù)是唯一的，求中位數(shù)時(shí)，必需先排序．2．標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2稱為方差，有時(shí)用方差代替標(biāo)準(zhǔn)差測量樣本數(shù)據(jù)的離散程度．方差與標(biāo)準(zhǔn)差的測量效果是一樣的，在實(shí)際應(yīng)用中一般多采納標(biāo)準(zhǔn)差.1．思索辨析(1)當(dāng)樣本中的數(shù)據(jù)都增加相同的量時(shí)，平均數(shù)不變． ()(2)一組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)只有一個(gè)． ()(3)樣本的中位數(shù)可以有兩個(gè)值． ()(4)數(shù)據(jù)極差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定． ()(5)數(shù)據(jù)平均數(shù)越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定． ()(6)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差和方差都是正數(shù)． ()[解析](1)×，依據(jù)平均數(shù)的定義可知錯(cuò)誤．(2)×，依據(jù)眾數(shù)定義知眾數(shù)可以一個(gè)，也可以多個(gè)．(3)×，由中位數(shù)的定義可知錯(cuò)誤．(4)√，極差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)性和離散程度．(5)×，平均數(shù)與數(shù)據(jù)的波動(dòng)性無關(guān)．(6)√，依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差與方差的公式可知．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)√2.若某校高一年級8個(gè)班參與合唱競賽的得分莖葉圖如圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A．91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92A[將這組數(shù)據(jù)