2022-2024年高考數(shù)學分類試題匯編：集合與常用邏輯用語（含答案）

4M01集合S帝用遂精用語

若窗⑥綴。閡滔送溫

考點1：集合的交并補運算

1.（2024年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）已知集合/={1,2,3,4,5,9},8=卜|?€力，則R/cB”（）

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【答案】D

【解析】因為/={1,2,3,4,5,9},8=卜|4€4，所以3={1,4,9,16,25,81},

則/口8={1,4,9},6（NO3）={2,3,5}

故選：D

2.（2024年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）若集合4={1,2,3,4,5,9},B={x\x+\^A],則力口8=（）

A.{1,3,4}B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4,9}

【答案】C

【解析】依題意得，對于集合3中的元素x,滿足x+1=1,2,3,4,5,9,

則無可能的取值為0,1,2,3,4,8,即3={0,1,2,3,4,8）,

于是/cB={l,2,3,4}.

故選：C

3.（2023年新課標全國I卷數(shù)學真題）已知集合”={-2,-1,0,1,2},N=^x|x2-x-6>oj,則WcN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【解析】方法一：因為新=卜,2口一620}=（一8,一2]33,+8）,而M={-2,-1,0,1,2},

所以WcN={-2}.

故選：C.

方法二：因為可={-2,-1,0,1,2},將-2,-1,0,1,2代入不等式/一工一620,只有-2使不等式成立，所以

McN={-2}.

故選：C.

4.(2022年新高考浙江數(shù)學高考真題)設(shè)集合/={1,2},3={2,4,6},則/口月=()

A.{2}B.{1,2}C.{2,4,6}D.{1,2,4,6}

【答案】D

【解析】NUB={1,2,4,6},

故選：D.

5.(2022年新高考全國II卷數(shù)學真題)己知集合/={-1,1,2,4},8=卜卜-1區(qū)1},則/口5=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【解析】|方法一］:直接法

因為8={x|0VxW2},故/nB={l,2},故選：B.

［方法二］:【最優(yōu)解】代入排除法

x=-l代入集合8=卜卜-10},可得2V1，不滿足，排除A、D；

x=4代入集合8=卜卜-1歸1},可得3V1,不滿足，排除C.

故選：B.

【整體點評】方法一：直接解不等式，利用交集運算求出，是通性通法；

6.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(文)真題)集合M={2,4,6,8,10},N={HT<X<6},則MCN=()

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}

【答案】A

【解析】因為"={2,4,6,8,10},2V={x|-l<x<6},所以血mN={2,4}.

故選：A.

7.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(文)真題)設(shè)集合/={-2,-1,0,1,2},8=10~<5,則()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{112}

【答案】A

【解析】因為/={-2,-1,0,1,2},5=1x|0<x<||,所以/口2={0,1,2}.

故選：A.

8.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(理)真題)設(shè)全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合/={-1,2},8=口x2-4x+3=0},

則2(NuB)=()

A.{153}B.{053}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

【解析】由題意，S={X|X2-4X+3=0}-{1,3},所以/。8={-1,1,2,3},

所以心（/口8）={-2,0}.

故選：D.

9.（2024年北京高考數(shù)學真題）已知集合河={刈-3<x<l},N={x\-l<x<4},則（）

A.{x|-l<x<l}B.{x|x>-3}

C.{x|-3<x<4}D.

【答案】C

【解析】由題意得MuN={x|-3<x<4}.

故選：C.

10.（2024年新課標全國I卷數(shù)學真題）已知集合/={尤|-5</<5},8={-3,-1,0,2,3},則/口8=（）

A.{—1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2）

【答案】A

【解析】因為4=t|-痣<》<%'},8={-3,-1,0,2,3},且注意到1<妙<2,

從而/口8={-1,0}.

故選：A.

11.（2024年天津高考數(shù)學真題）集合/={1,2,3,4},5={2,3,4,5},則/口5=（）

A.{123,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{1}

【答案】B

【解析】因為集合/={1,2,3,4},8={2,3,4,5},

所以/口8={2,3,4},

故選：B

12.（2023年北京高考數(shù)學真題）已知集合M={x|x+220},N={尤b-1<0},則McN=（）

A.{龍I-2V尤<1}B.{xI-2<x<1}

C.{x|x>-2}D.{xIx<1}

【答案】A

【解析】由題意，M={x|x+2>0}={x|x>-2},7V={x|x-l<0}={x|x<l},

根據(jù)交集的運算可知，MnN^{x\-2<x<l].

故選：A

13.（2023年高考全國乙卷數(shù)學（文）真題）設(shè)全集。={0,124,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},則

兒2鏟=（）

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{124,6,8}D.U

【答案】A

【解析】由題意可得,N={2,4,8},則MU?V={0,2,4,6,8}.

故選：A.

14.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(文)真題)設(shè)全集。={1,2,3,4,5},集合/={1,4},N{2,5},則"叫河=

()

A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5}

【答案】A

【解析】因為全集。=92,3,4,5},集合M={1,4},所以為〃={2,3,5},

又N={2,5},所以NU2河={2,3,5},

故選：A.

15.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(理)真題)設(shè)全集U=Z，集合

M={x\x=3k+l,k&Z},N=x=3k+2,k&Z},QV(MN)=()

A.{x\x=3k,k&Z}B.{x|x-3k-l,keZ}

C.{x|x-3k-2,k&Z}D.0

【答案】A

【解析】因為整數(shù)集Z={x|x=3左，斤eZ}U{x|尤=34+l,LeZ}UWx=3左+2,左eZ},U=Z,所以,

用(WUN)={x|x=3左，左eZ}.

故選：A.

16.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(理)真題)設(shè)集合U=R,集合"={小<1},N={止1》<2},貝!!{小22}=

()

A.e(MUN)B.

C.d(“nN)D.MU0N

【答案】A

【解析】由題意可得〃UN={x|x<2},則為(MUN)={x|xZ2},選項A正確；

^M={x\x>l},則NUaM={x[x>-l},選項B錯誤；

MnN={x\-l<x<l},則n(McN)={x|xV-l或XN1},選項C錯誤；

^N={x|無V-1或無22},則MU%N={x|無<1或xN2},選項D錯誤；

故選：A.

17.(2023年天津高考數(shù)學真題)已知集合。={1,2,3,4,5},/={1,3},5={1,2,4},則e8UZ=()

A.{1,3,5}B.{1,3}C.{1,2,4}D.{1,2,4,5}

【答案】A

【解析】由”={3,5},而/={1,3},

所以4BU/={1,3,5}.

故選：A

考點2：含參集合以及元素與集合關(guān)系

18.(2023年新課標全國II卷數(shù)學真題)設(shè)集合”B={l,a-2,2a-2},若4=B,貝1］。=().

A.2B.1C.1D.-1

【答案】B

【解析】因為4=8,則有：

若。-2=0,解得4=2,此時/={0,-2},5={1,0,2},不符合題意;

若2a-2=0,解得a=l,此時/={0,-1},5={1-1,0},符合題意；

綜上所述：。=1.

故選：B.

19.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(理)真題)設(shè)全集。={1,2,3,4,5},集合〃滿足電河={1,3},貝I」()

A.2eMB.3sMC.D.

【答案】A

【解析】由題知M={2,4,5},對比選項知,A正確,BCD錯誤

故選:A

考點3：充分必要條件的判斷

20.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(理)真題)設(shè)向量N=(X+1,X),B=(X,2),則()

A.“x=-3”是“打尸的必要條件B.“x=-3”是“￡//尸的必要條件

C.“x=0”是“￡力”的充分條件D.“x=T+G”是匕//尸的充分條件

【答案】C

【解析】對A,當0_1_刃時，則°.3=0，

所以尤?(尤+l)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A錯誤；

對C,當x=0時，3=(1,0)3=(0,2),故屋3=0，

所以2，幾即充分性成立，故C正確；

對B,當￡/后時，則2(x+l)=x"解得工=1±6，即必要性不成立，故B錯誤；

對D,當x=-l+g時，不滿足2(x+l)=/,所以Z/4不成立，即充分性不立，故D錯誤.

故選：C.

21.（2024年北京高考數(shù)學真題）設(shè)%,3是向量，則“伍+.伍-B）=0"是匕=/或￡=尸的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】因為,+孫"3）=齊/=0,可得/=片，即同叩，

可知,+石）?（萬一很）=0等價于\a\=\b\,

若D或―,可得同=問，即（1+孫（"司=0,可知必要性成立；

若心+孫（”勺=0,即同=問,無法得出或0=/,

例如@=5=（o,i）,滿足同=網(wǎng)，但?〃且￡工工，可知充分性不成立；

綜上所述，“,+孫,一B）=o”是且力工”的必要不充分條件.

故選：B.

22.（2024年天津高考數(shù)學真題）設(shè)a,6eR,則“/=/’,是“3"=36”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】根據(jù)立方的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，/=〃和3"=3〃都當且僅當。=6,所以二者互為充要條件.

故選：C.

23.⑵23年北京高考數(shù)學真題）若x"。，則，，x+%。，，是“白『-2，，的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】解法一：

因為盯/0,且±+上=-2,

yx

所以尤2+了2=_2孫，即/+/+2砂=0,即(x+y)2=o,所以x+y=0.

所以“x+y=0，，是“上+上=-2，，的充要條件.

yx

解法二：

充分性：因為中N0,且x+y=o,所以x=-y,

所以2+上=工+2=一1一1=一2

yxy-y

所以充分性成立；:

必要性：因為切/0,且工+工=-2,

y%

所以％2+、2=_2肛，即/+/+2孫=0,即（％+＞）2=0,所以x+》=0

所以必要性成立.

所以，，X+尸0，，是“M上二—2，，的充要條件.

yx

解法三：

充分性：因為中N0,且x+y=o,

所以x+yx2+y2x2+y2+2xy—2xy（x+y）-2xy—2xy2

yxxyxyxyxy

所以充分性成立；

必要性：因為孫W0,且工+上=-2,

y%

所以X?y=幺+/「2+/+2砂―2初二（%+4—29=（x+y）2々=2,

yxxyxyxyxy

所以白察=0,所以（x+y）2=0,所以x+y=o,

所以必要性成立.

所以“x+y=0”是“-+Z=-2”的充要條件.

yx

故選：C

24.（2023年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）設(shè)甲：sin2a+sin2^=l,乙：sina+cos￡=0,則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

JT

【解析】當sin2（z+sin2〃=l時，例如a=5,6=。但sina+cos/?W0,

即51112￡+$也2，=1推不出$吊0：+＜：05/7=0；

當siner+cos夕=0時，sin2a+sin2尸=（一cos/?）2+sin2。=1,

即sin（z+cos〃=0能推出sin%+sin2/=l.

綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.

故選：B

25.（2023年天津高考數(shù)學真題）已知a,6eR,"/二^”是+〃=2.。，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】由°2=。2,則。=±6,當。=-6工0時=2°6不成立，充分性不成立；

^a2+b2^2ab,則("4=0,即a=b,顯然/=/成立，必要性成立；

所以/=/是/+62=2/的必要不充分條件.

故選：B

C

26.(2023年新課標全國I卷數(shù)學真題)記S,為數(shù)列｛。,｝的前”項和，設(shè)甲：｛%｝為等差數(shù)列；乙：｛義4為

n

等差數(shù)列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【解析】方法1,甲：｛q｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項為外,公差為d,

mi°n(n-l),Sn-1,ddSSd

貝(JS=H-----------d,n=Q[H-------d=一〃+Q],---n-+-i------n--=—，

〃12n12212〃+1〃2

因此｛合｝為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；

n

反之，乙：｛2｝為等差數(shù)列，即辿―2=3m：("為常數(shù),設(shè)為乙

nH+1nn(n+1)n(n+l)

na.—S

即~~=t,貝I]S=na-t-n(n+Y),有=(n-l)a?-t-n(n-l),n>2,

n(n+1)nn+l

兩式相減得：。”=〃?！?1-(力-1)?！耙?5，即a"+[—a“=2l,對”=1也成立，

因此｛%｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛〃“｝為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛%｝的首項％,公差為d,即S,=〃q+四六"，

則2==+因此｛a｝為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；

n222n

反之，乙：｛=4為等差數(shù)列，即T-」"=。,」"=岳+(〃-1)。，

nn+\nn

即s'+〃(〃一i)z),s_i=(〃_I)E+(〃_IX〃一2)。,

當〃>2時，上兩式相減得：S〃-Si=5+2(〃-1)。，當〃=1時，上式成立，

于是%=%+2(篦-1)，又4+1-a-=%+2位)-[-1+2(〃-1)0=2。為常數(shù),

因此｛%｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.!

故選：C

27.（2022年新高考浙江數(shù)學高考真題）設(shè)XER,則“sinx=l”是“cosx=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】因為sin2%+cos2%=l可得:

當sinx=l時，cosx=0,充分性成立；

當cosx=0時，sinx=±1,必要性不成立；

所以當XER,sinx=l是cosx=0的充分不必要條件.

故選：A.

考點4：命題的否定與命題的真假

28.（2024年新課標全國II卷數(shù)學真題）已知命題p：VxGR,|x+11>1；命題gHx>0,/=%,貝ij（）

A.2和q都是真命題和q都是真命題

C.p和都是真命題「P和「夕都是真命題

【答案】B

【解析】對于P而言，取尸-1,則有卜+1|=0<1,故夕是假命題，M是真命題,

對于9而言，取X=l,則有]3=[3=]=%，故鄉(xiāng)是真命題，[9是假命題，

綜上，r7和夕都是真命題.

故選：B.

三年真題^7：、二

4<02函版的林念S基本初等函數(shù)I

竊窗給綠。闔逾送溫

考點1：已知奇偶性求參數(shù)

1.(2023年新課標全國n卷數(shù)學真題)若/(x)=(x+〃)lna，■為偶函數(shù)，貝lj〃=().

A.-1B.0C.yD.1

【答案】B

【解析】因為"%)為偶函數(shù)，則/⑴=/(—l),，(l+a)lng=(—l+01n3,解得〃=0,

當a=0時，/(x)=xln—~,(2x-l)(2x+l)>0,解得或

2x+122

則其定義域為〈x|x〉g或關(guān)于原點對稱.

2x+l/.(2x-1Y'2x-1廠

〃-x)=(-X)ln/1；=(T)lnin〃x),

z(—XJ十］2x+l

故此時/(x)為偶函數(shù).

故選：B.

2.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(理)真題)已知〃幻=工;是偶函數(shù)，則。=()

e^-l

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】因為/口)=弓二為偶函數(shù)，貝[(一x)eT=x[c<c(”*]=0,

e"-1eax-1e㈤-1eat-1

又因為x不恒為0,可得e，-e("-*=0，即e，=e(T*，

貝[|x=(a—l)x,即l=a—1,解得a=2.

故選：D.

3.(2024年上海夏季高考數(shù)學真題)己知/(x)=/+a,xeR,且/(尤)是奇函數(shù)，則。=

【答案】0

【解析】因為/(尤)是奇函數(shù)，故/(-x)+〃x)=0即x3+a+(-x『+a=0,

故a=0,

故答案為：0.

1

4.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(文)真題)^/(x)=lntz+--+方是奇函數(shù),貝!Ja=，b=

1—X

【答案】-；；In2.

【解析】［方法一］:奇函數(shù)定義域的對稱性

若。=o,則/a)的定義域為mi%wi},不關(guān)于原點對稱

aw0

若奇函數(shù)的/(x)=>|a+jH+b有意義，貝I」％W1且Q+」一。0

1-x1-x

XW1且XW1+L

a

???函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱，

「.1H--=-1,解得Q=---,

a2

由/(0)=0得，山;+b=0,

b=ln2,

故答案為：-；；ln2.

［方法二］:函數(shù)的奇偶性求參

a-ax+1^I..1ax-a-

f(x)=Ina+^~~|+b-4+b=吊-------+1

1-x?「1-x

ax+a+\

/(一%)=In-------------+b7

1+x

丁函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

ax-a-1ax+a+1

f(x)+f(-x)=ln+26=(

1-x1+x

—(Q+］)2

In+2&=0

a2(Q+1)2I八1

112

-2b=ln—=-2ln2=>6=ln2

4

a=——1,b7=l7n2。

2

［方法三］:

因為函數(shù)/(x)=lna+/L+6為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點對稱.

由QH----工0可得，(1一%乂〃+1—QX)W0,所以x=----=—1,解得：a=—，即函數(shù)的定義域為

1-xa2

111+x

(-<?,-1)u(-l,l)u(l,+a)),再由"0)=0可得，Z>=ln2.即〃x)=ln二+彳—+In2=In,在定義域

21—x

內(nèi)滿足=符合題意.

故答案為：;In2.

5.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(理)真題)若/(同=(》-1)2+辦+$山1》+；［為偶函數(shù)，則。=

【答案】2

【解析】因為y=/(x)=(x-l)2+ax+sin［*嚀］=(x-l)2+ax+cos。為偶函數(shù)，定義域為R,

則?！?lj=2兀，故a=2,

止匕時f(x)=+2x+cosx=x2+1+COSX,

所以/(-尤)=(-x)~+1+COS(-X)=X?+1+COSX=f(x),

又定義域為R，故/(x)為偶函數(shù)，

所以a=2.

故答案為：2.

考點2：函數(shù)圖像的識別

【解析】函數(shù)〃x)=M刁的定義域為門忖片。｝,

函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，A選項錯誤;

又當x<0時，=B—il<0，C選項錯誤；

當x>l時，/（、）=忙二11=士l=x—工函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項錯誤；

XXX

故選：D.

7.（2023年天津高考數(shù)學真題）已知函數(shù)/'（力的部分圖象如下圖所示，則/卜）的解析式可能為（）

/4\

o\V___i

45ex-5e-x「5sin%

A.—弓-------B.21

X2+2x+l

5ex+5e-x5cosx

'X2+2'尤?+i

【答案】D

【解析】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且〃-2）=〃2）<0?

由署;9一署且定義域為R，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；

當x>0時5（e「ef）>0、^1±￡2>0,即A、C中（0,+向上函數(shù)值為正，排除;

X2+2丁+2

故選：D

8.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(理)真題)函數(shù)〃x)=*+(e一尸卜加在區(qū)間［-2.8,2.8］的圖象大致為（）

NL

AM/LC..

T1VTTT

【答案】B

[解析】/(-無)=-/+(e"_e')sin(-x)=-x2+(eJ-e^sinX=/（%）,

又函數(shù)定義域為卜2.8,2.8],故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

又/⑴=-1+|e--]sinl>-1+[e--|sin—=-1—No,

v7Lej{ej622e4：le

故可排除D.

故選：B.

9.（2024年新課標全國I卷數(shù)學真題）當xf［0,2萬］時，曲線"sinx與y=2sin3x/的交點個數(shù)為（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】因為函數(shù)'=$也工的的最小正周期為T=2兀,

函數(shù)y=2sin（3x-?的最小正周期為7271

3

所以在xe［0,2可上函數(shù)y=2sin（3x.J有三個周期的圖象,

在坐標系中結(jié)合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示:

10.（2022年高考全國乙卷數(shù)學（文）真題）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像,

則該函數(shù)是（）

2xcosx2sinx

C.y=2D.y=—^—

X+1x2+l

【解析】設(shè)〃力三’則欠）=。，故排除B;

、門7/、2xcosx

設(shè)〃（力二丁二,當卜寸，0<COSX<1,

所以=W（急6故排除C；

設(shè)g（上再，則8⑶二平〉。，故排除D.

故選：A.

TT7T

11.（2022年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）函數(shù)>=（3*-3一、）COSX在區(qū)間一萬,萬的圖象大致為（）

【答案】A

【解析】4/(x)=(3x-3-)cosx,xe

貝I]/㈠）=Qr-3'）cos（-x）=-（3'-3T）COSX=-仆）,

所以/（x）為奇函數(shù)，排除BD；

又當時，3:3T>0,cosx>0,所以/（x）>0,排除C.

故選：A.

考點3：函數(shù)的實際應(yīng)用

12.（2022年新高考北京數(shù)學高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨

臨界直冷制冰技術(shù)，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻.如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與7和1g尸的

關(guān)系，其中7表示溫度，單位是K；尸表示壓強，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是（）

當7=270,P=128時，2<lg尸<3,此時二氧化碳處于液態(tài)，故B錯誤.

當7=300,尸=9987時，1g尸與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態(tài)，對應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯

誤.

當T=360,P=729時，因2<lgP<3,故此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.

故選：D

C_1

3（2。24年北京高考數(shù)學真題）生物豐富度指數(shù)心菽是河流水質(zhì)的一個評價指標，其中S,N分別表

示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)"越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種

類數(shù)S沒有變化，生物個體總數(shù)由乂變?yōu)槌椋镓S富度指數(shù)由2.1提高到3.15,則（）

A.3N[=2N\B.2N?=3N\

C.N；=N：D.N；=N；

【答案】D

S_]S—1

【解析】由題意得K=,貝同.1山乂=3.15山生，即21nM=31!!%,所以N；=N；.

1v]m/v2

故選：D.

14.（多選題）（2023年新課標全國I卷數(shù)學真題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強

弱，定義聲壓級4=20xlg旦，其中常數(shù)為（A>0）是聽覺下限閾值，P是實際聲壓.下表為不同聲源的

聲壓級:

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車1060?90

混合動力汽車1050?60

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為回,2,2,則（）?

A.A>p2B.p2>10/?3

C.23=lOOpoD.A<100/72

【答案】ACD

【解析】由題意可知:4月60網(wǎng),小[50,60]4=40,

對于選項A：可得-4=20xlga-20xlg%~=20xlg紅，

PoPoPi

因為424,則4,-42=20xlg且20,即1g旦NO,

PlP2

所以紅21且?],。2>0，可得,1之02，故A正確;

P2一一

對于選項B：可得4-4=20xlg--20xlg-=20x1g-,

Po夕。A

因為4%-40210,則20xlg互210,即Ig&z；,

P3P32

所以乙29且％,03>0,可得加2，

23

當且僅當4。=50時，等號成立，故B錯誤；

對于選項C：因為4,=20xlg馬=40,即坨4=2,

PoPo

可得度=100,即0=1000，故C正確；

Po

對于選項D：由選項A可知：-Lp2=20xlg—,

S.L-LB<90-50=40,貝i]20xlg及440,

Pi

即1g旦<2,可得包工100,且0e>0,所以百4loop2,故D正確;

PlP1

故選：ACD.

考點4：基本初等函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性

15.（2023年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）設(shè)。e（O,l）,若函數(shù)/（無）=優(yōu)+（1+4在（0,+e）上單調(diào)遞增,

則a的取值范圍是.

【答案】

【解析】由函數(shù)的解析式可得/'（切=優(yōu)1114+（1+0）飛（1+。）20在區(qū)間（0,+8）上恒成立，

即（寧:>-在區(qū)間（0,+8）上恒成立,

則(1+4)、In(1+4)2-axIna

故［寧］…一常、，而。+01,2）,故叩+小。,

ln(6z+l)>-lnti4(4+1)21,故其

故即<a<l1

0<。<10<〃<12

造-1。

結(jié)合題意可得實數(shù)。的取值范圍是

2'7'

故答案為：二二」.

.7

16.（2022年新高考北京數(shù)學高考真題）已知函數(shù)/（》）=』，則對任意實數(shù)x,有（）

A./（-尤）+/（》）=0B./（-x）-/（x）=0

C./（-x）+/（x）=lD./（-x）-/（x）=1

【答案】C

【解析】〃一尤）+/（尤）=*+12、1

1,故A錯誤，C正確;

1+2X1+2X1+2X-

f(―x)—f(x\=------------------=------------------=--------T——,不是常數(shù)，故BD錯誤;

')')1+2一、1+2"1+2、1+2"2、+12"+1

故選：C.

17.（2023年北京高考數(shù)學真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+與上單調(diào)遞增的是（）

A./（x）=-lnxB.〃x）="

C./?=--D./（x）=31'-11

X

【答案】c

【解析】對于A,因為y=lnx在（0,+g上單調(diào)遞增，y=-x在（0,+。）上單調(diào)遞減,

所以/（x）=Tnx在（0,+。）上單調(diào)遞減，故A錯誤；

對于B,因為y=2,在（0,+8）上單調(diào)遞增，%;在（0,+功上單調(diào)遞減，

所以〃》）=*在（°，+8）上單調(diào)遞減，故B錯誤；

對于C,因為y在（0,+8）上單調(diào)遞減，>在（0,+力）上單調(diào)遞減，

所以〃x）=-:在（0,+的上單調(diào)遞增，故C正確；

對于D,因為/■（￡1=3卜：3；=6，/（1）=311-1|=3°=1,/（2）=312-11=3,

顯然〃%）=3只在（0,十句上不單調(diào),D錯誤.

故選：C.

—x—2ax—〃x<0

18.（2024年新課標全國I卷數(shù)學真題）已知函數(shù)/（x）=，、’在R上單調(diào)遞增，則。的取值范

[er+ln（x+l）,x>0

圍是（）

A.(-叫0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+?)

【答案】B

【解析】因為/(x)在R上單調(diào)遞增，且x20時，/(x)=e'+ln(x+l)單調(diào)遞增,

——>0

則需滿足2x(-1),解得一IV0V0,

-a<e°+lnl

即〃的范圍是[-1,0].

故選：B.

19.(2024年天津高考數(shù)學真題)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

A22

Ae-xcosx+xsinx+4x

A-k門B.y=C.歹D--

x2+lx+1

【答案】B

【解析】對A,設(shè)/("=號二函數(shù)定義域為R,但/(T”61二1,/⑴=,，則⑴，故

x+122

A錯誤;

2

對B,設(shè)g(x)=c。：：；,函數(shù)定義域為R,

2

且=g(x),則g(x)為偶函數(shù)，故B正確;

對C,設(shè)〃(到=三1,函數(shù)定義域為{x|xw-l},不關(guān)于原點對稱，則〃(x)不是偶函數(shù)，故C錯誤；

對D,設(shè)0(x)=sm：：4x,函數(shù)定義域為R,因為夕⑴二回土W,^(-1)="Sml-4,

e11ee

則。⑴則9(x)不是偶函數(shù)，故D錯誤.

故選：B.

20.(2023年新課標全國I卷數(shù)學真題)設(shè)函數(shù)〃x)=2代")在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是()

A.(-0>,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+?)

【答案】D

【解析】函數(shù)y=2、在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)/3=2工(1)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,

2

則有函數(shù)了二龍口-初二支-3丫-5在區(qū)間僅日上單調(diào)遞減，因此]21,解得。22,

所以。的取值范圍是[2,+8).

故選：D

考點5：分段函數(shù)問題

—%?+2,%W1,

21,(2022年新高考浙江數(shù)學高考真題)已知函數(shù)/(%)=1則/;若當

XH-----1,%>1,

時，1</(x)<3,則6-a的最大值是

【答案】3+6/6+3

28

【解析】由已知/(；)=一出2+2=(,〃：)=：+：1=||,

所以/Rd，

當xWl時，由l4/(x)<3可得1V-/+2V3,所以-IVxVl,

當x>l時，由lV/(x)W3可得lVx+'-lW3,所以I<XV2+6，

X

1470043等價于_14；(；42+6，所以6]U[-1,2+6]，

所以6-。的最大值為3+6.

27

故答案為：--,3+^3.

28

22.(2024年上海夏季高考數(shù)學真題)已知/(x)=|?'x>°,貝|]/(3)=______

[l,x<0

【答案】G

【解析】因為/(x)=[*x>0,故/0)=百，

[l,x<0

故答案為：V3.

考點6：函數(shù)的定義域、值域、最值問題

23.(2022年新高考北京數(shù)學高考真題)函數(shù)〃x)=L+Vn7的定義域是.

X

【答案】(-8,0)。(0』

【解析】因為/(x)=.+JT7,所以x#0，解得XW1且XW0，

故函數(shù)的定義域為(-8,0)3?！?；

故答案為：(-?,o)u(o,l]

-ax+1,x<a,

24.(2022年新高考北京數(shù)學高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=若/(x)存在最小值，則。的一個取

(x-2),x>a.

值為;a的最大值為.

【答案】0(答案不唯一)1

1,x<0

【解析】若。=0時，/(無)={,”2、八，???

(x-2),x>0

若°<。時，當x<。時，/(x)=-ax+l單調(diào)遞增，當xfYo時，/(x)->-■?,故/(x)沒有最小值，不符合題

目要求；

若a>0時，

當時，/0)=-分+1單調(diào)遞減，/(%)>f(a)=-a2+l,

0(0<Q<2)

當％〉。時,

ZWmin-{(fl