復(fù)習(xí)課（第3課時立體幾何初步）課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

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數(shù)學(xué)

必修第四冊復(fù)習(xí)課第3課時立體幾何初步知識梳理構(gòu)建體系知識網(wǎng)絡(luò)立

體

幾

何

初

步立

體

幾

何

初

步要點梳理1.用斜二測畫法作水平放置的平面圖形的直觀圖時應(yīng)著重把握哪兩點?提示:(1)在平面圖形中互相垂直的x軸和y軸,在直觀圖中作出與之對應(yīng)的x'軸和y'軸,使得它們正方向的夾角為45°(或135°).(2)平面圖形中與x軸平行(或重合)的線段畫成與x'軸平行(或重合)的線段,且長度不變.平面圖形中與y軸平行(或重合)的線段畫成與y'軸平行(或重合)的線段,且長度為原來長度的一半.2.構(gòu)成空間幾何體的基本元素有哪些?提示:點、線、面.3.試比較棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征,請完成下表.結(jié)構(gòu)特征棱柱棱錐棱臺底面兩個底面是全等的多邊形多邊形兩個底面是相似的多邊形側(cè)面平行四邊形

三角形梯形側(cè)棱平行且

相等相交于頂點延長線交于

一點平行于底面的截面與兩個底面是全等的多邊形與底面是相似的多邊形與兩個底面是相似的多邊形過不相鄰兩側(cè)棱的截面平行四邊形

三角形梯形4.常見的四棱柱(長方體、直平行六面體、正方體、平行六面體、正四棱柱、四棱柱)的關(guān)系是怎樣的?提示:幾種常見的四棱柱的關(guān)系

5.圓柱、圓錐、圓臺、球的定義及結(jié)構(gòu)特征.請完成下表.旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征圖形表示圓柱以

矩形的一邊所在直線

為旋轉(zhuǎn)軸,將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體.旋轉(zhuǎn)軸稱為圓柱的軸;在軸上的邊(或它的長度)稱為圓柱的

高

,垂直

于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為圓柱的底面;不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為圓柱的側(cè)面.無論旋轉(zhuǎn)到什么位置,不垂直

于軸的邊都稱為圓柱的母線旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征圖形表示圓錐以

直角三角形一直角邊

所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體圓臺以直角梯形垂直于底邊的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將直角梯形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征圖形表示球球面可以看成一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的

曲面

,球面圍成的幾何體稱為

球

.形成球面的半圓的圓心稱為球的

球心

,連接球面上一點和球心的線段稱為球的半徑,連接球面上兩點且通過球心的線段稱為球的直徑6.如何計算柱體、錐體、臺體、球的表面積和體積?提示:(1)幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和.(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長,h為高,h'為斜高,l為母線長,r,R分別為上、下底面半徑):S直棱柱側(cè)=ch;S圓柱側(cè)=2πrh;S圓臺側(cè)=(r+R)πl(wèi);S圓柱表=2πr(r+l);S圓錐表=πR(R+l);S圓臺表=π(r2+rl+Rl+R2).(3)柱體、錐體、臺體的體積公式(S,S'分別為上、下底面積,h為高,r,R分別為上、下底面半徑):7.平面的基本事實(公理)及推論有哪些?提示:基本事實1

經(jīng)過不在一條直線上的3個點,有且只有一個平面.基本事實2

如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi).基本事實3

如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.推論1

經(jīng)過一條直線與直線外一點,有且只有一個平面.推論2

經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.推論3

經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.8.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理有哪些?請完成下表.類別文字語言圖形表示符號語言定義如果一條直線與一個平面沒有公共點,那么稱這條直線與這個平面平行l(wèi)∥α?l∩α=?判定如果平面

外

的一條直線與平面內(nèi)的一條直線

平行

,那么這條直線與這個平面平行(即線線平行?線面平行)l?α,m?α,l∥m?l∥α類別文字語言圖形表示符號語言性質(zhì)如果一條直線與一個平面平行,且經(jīng)過

這條直線

的平面與這個平面相交,那么這條直線就與兩平面的交線平行(即線面平行?線線平行)l∥α,l?β,α∩β=m?l∥m9.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理有哪些?請完成下表.10.直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理有哪些?提示:(1)直線與平面垂直的判定方法a.判定定理:如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么這條直線與這個平面垂直.b.結(jié)論:如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于(2)直線與平面垂直的性質(zhì)a.由直線和平面垂直的定義知,垂直于某一平面的直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線.b.性質(zhì)定理:如果兩條直線垂直于同一個平面,那么這兩條直線平行.用符號11.平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是什么?請完成下表.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)同一幾何體建系不同,則畫出的直觀圖可能不同.(

)(2)棱柱的所有棱長必須相等.(

)(3)棱錐的所有面都是三角形.(

)(4)用一個平面去截圓錐,一定能得到圓臺.(

)(5)若直線l不在平面α內(nèi),則l∥α.(

)(6)若平面α,β與γ所成角相等,則α∥β.(

)(7)若α⊥β,α∩β=l,直線l'⊥l,則l'⊥β.(

)(8)若α⊥β,則α與β所成的二面角一定是直角.(

)(9)若a∥α,l∥a,則l∥α.(

)(10)若α∩β=l,則α內(nèi)一定不存在與β平行的直線.(

)√××××××√××專題歸納核心突破專題一空間幾何體的表面積與體積【例1】

如圖所示,半徑為R的半圓O的直徑為直角梯形垂直于兩底的腰,且分別切AB,BC,CD于點A,E,D,將其繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周,得到一個球和一個圓臺,若球的表面積與圓臺的側(cè)面積的比為3∶4,求圓臺的體積.分析:由條件先找到圓臺的上、下底半徑及高與球半徑的關(guān)系,再應(yīng)用公式求圓臺的體積.解:設(shè)圓臺的上、下底面半徑分別為r1,r2,母線長為l.根據(jù)題意得圓臺的高AD=2R,DC=CE=r1,AB=BE=r2,OE=R,∠BOC=90°,OE⊥BC,l=r1+r2.由題∵S球=4πR2,S圓臺側(cè)=π(r1+r2)·l,且S球∶S圓臺側(cè)=3∶4,牢記空間幾何體的體積、表面積公式是解答此類問題的先決條件.對于不規(guī)則的幾何體、折疊問題,可將其合理分割、分析折疊前后的量的關(guān)系再求解.反思感悟【變式訓(xùn)練1】

如圖,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD⊥DC,AB=2,BC=,CD=1,E為AD中點,沿CE,BE把梯形折成四個面都是直角三角形的三棱錐,使點A,D重合,則此三棱錐的體積等于(

)答案:C解析:折疊后EA⊥BA,EA⊥AC,因為BA∩AC=A,所以EA⊥平面ABC.由四邊形ABCD為直角梯形,E為AD中點,專題二平行問題【例2】

如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,AB∥CD,AD⊥DC,CD=2,DD1=AB=1,P,Q分別是CC1,C1D1的中點.求證:AC∥平面BPQ.分析:借助于面面平行證線面平行.證明:如圖,連接CD1,AD1.∵P,Q分別是CC1,C1D1的中點,∴PQ∥CD1,又CD1?平面BPQ,PQ?平面BPQ,∴CD1∥平面BPQ.又D1Q=AB=1,D1Q∥AB,∴四邊形ABQD1是平行四邊形,∴AD1∥BQ,又AD1?平面BPQ,BQ?平面BPQ,∴AD1∥平面BPQ,又AD1∩CD1=D1,∴平面ACD1∥平面BPQ,∵AC?平面ACD1,∴AC∥平面BPQ.1.判定線線平行的方法:(1)利用線線平行的定義證共面且無公共點(結(jié)合反證法);(2)利用空間平行線的傳遞性;(3)利用線面平行性質(zhì)定理;(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理(若l⊥α,m⊥α,則l∥m);(5)利用面面平行性質(zhì)定理(若α∥β,α∩γ=l,β∩γ=m,則l∥m).2.判斷線面平行的方法:(1)線面平行的定義(無公共點);(2)利用線面平行的判定定理(l?α,m?α,l∥m?l∥α);(3)面面平行的性質(zhì)(α∥β,l?α?l∥β);(4)面面平行的性質(zhì)(α∥β,l?α,l?β,l∥α?l∥β).反思感悟3.面面平行的判定方法:(1)平面平行的定義(無公共點);(2)判定定理(若l?α,m?α,l∩m≠?,l∥β,m∥β?α∥β);(3)判定定理的推論(若a∥a',b∥b',a?α,b?α,且a∩b≠?,a'?β,b'?β,則α∥β);(4)線面垂直性質(zhì)定理(l⊥α,l⊥β?α∥β);(5)平面平行的性質(zhì)(傳遞性:α∥β,β∥γ?α∥γ).【變式訓(xùn)練2】

如圖,在四棱錐P-ABCD中,E為AD的中點,PE⊥平面ABCD,底面ABCD為梯形,AB∥CD,AB=2DC=2

,AC∩BD=F,且△PAD與△ABD均為正三角形,G為△PAD的重心.(1)求證:GF∥平面PDC;(2)求三棱錐G-PCD的體積.(1)證明:連接AG并延長,交PD于點H,連接CH.在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2DC,(2)解:∵PE⊥平面ABCD,且AD?平面ABCD,∴PE⊥AD,即∠AEP=90°.已知△PAD與△ABD均為正三角形,AB=,且E為AD的中點,易求得PE=3.又由(1)知GF∥平面PDC,專題三垂直問題【例3】

如圖,平面PAC⊥平面ABC,AB=BC,E,F,O分別為PA,PB,AC的中點,AC=10,PA=6,PC=8.(1)設(shè)G是OC的中點,證明:FG∥平面BOE;(2)證明:PA⊥平面BOE.分析:(1)由已知條件線段中點較多,可考慮取BC的中點H,由三角形中位線得線線平行,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為面面平行來證線面平行.(2)先證BO⊥平面PAC,可得BO⊥PA,再由勾股定理可得PC⊥PA,從而證得PA⊥平面BOE.證明:(1)如圖,取BC的中點H,連接FH,GH.∵G是OC的中點,∴GH∥OB.同理FH∥PC,EO∥PC,∴FH∥EO.∵GH?平面FGH,FH?平面FGH,且GH∩FH=H,OB?平面EOB,EO?平面EOB,∴平面FGH∥平面EOB.又FG?平面FGH,∴FG∥平面BOE.(2)∵AB=BC,O為AC的中點,∴BO⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,且平面PAC∩平面ABC=AC,BO?平面ABC,∴BO⊥平面PAC.∵PA?平面PAC,∴BO⊥PA.∵AC=10,PA=6,PC=8,∴AC2=PA2+PC2,∴PC⊥PA.又EO∥PC,∴EO⊥PA.∵OE∩BO=O,∴PA⊥平面BOE.1.判定線線垂直的方法:(1)計算所成的角為90°(包括平面角和異面直線所成的角);(2)線面垂直的性質(zhì)(若l⊥α,m?α,則l⊥m);(3)面面垂直的定義:若兩平面垂直,則兩平面相交形成的二面角的平面角為90°.反思感悟2.判定線面垂直的方法:(1)線面垂直的定義;(2)線面垂直的判定定理(m?α,n?α,m∩n≠?,l⊥m,l⊥n?l⊥α);(3)平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(l∥m,l⊥α?m⊥α);(4)面面垂直的性質(zhì)(α⊥β,α∩β=m,l⊥m,l?β?l⊥α);(5)面面平行的性質(zhì)(l⊥α,α∥β?l⊥β);(6)面面垂直的性質(zhì)(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ?l⊥γ).3.面面垂直的判定方法:(1)根據(jù)定義(作兩平面構(gòu)成二面角的平面角,計算其為90°);(2)面面垂直的判定定理(l⊥β,l?α?α⊥β).【變式訓(xùn)練3】

如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,AD=SD,BC=CD=,側(cè)面SAD⊥底面ABCD.(1)求證:平面SBD⊥平面SAD;所以AD2+BD2=AB2,因此BD⊥AD.又因為平面SAD⊥底面ABCD,且平面SAD∩底面ABCD=AD,BD?底面ABCD,所以BD⊥平面SAD.又因為BD?平面SBD,所以平面SBD⊥平面SAD.專題四球的切、接問題【例4】

已知四面體的所有棱長都是,且四個頂點在同一球面上,求球的表面積.分析:根據(jù)正四面體的性質(zhì),球心在正四面體的高上,利用球的截面性質(zhì)確定球的半徑.也可以用補形法求解.解決球與其他幾何體的切、接問題(1)關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析,弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.(2)選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系),達(dá)到空間問題平面化的目的.(3)幾種球與正方體組合的截面.反思感悟【變式訓(xùn)練4】

一棱長為6的正四面體內(nèi)部有一個可以任意旋轉(zhuǎn)的正方體,當(dāng)正方體的棱長取最大值時,正方體的外接球的表面積是(

)A.4π

B.6π C.12π

D.24π答案:B解析:因為正方體可以在正四面體內(nèi)部任意旋轉(zhuǎn),所以正方體在正四面體的內(nèi)切球中.當(dāng)正方體的棱長取最大值時,正方體的體對角線是正四面體的內(nèi)切球的直徑,此時正方體的外接球即為正四面體的內(nèi)切球.設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為r,可將正四面體看成以其內(nèi)切球球心為頂點的四個正三棱錐,高考體驗考點一

空間幾何體的體積、表面積

答案:B解析:在△AOB中,過點O作OC⊥AB于點C,連接PC.2.(2022新高考Ⅰ,4)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時,相應(yīng)水面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5m時,相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時,增加的水量約為(2.65)(

)A.1.0×109m3

B.1.2×109

m3C.1.4×109m3

D.1.6×109

m3答案:C解析:由題意可得,此棱臺的高h(yuǎn)=157.5-148.5=9(m).設(shè)水庫水位為海拔148.5

m時,相應(yīng)水面的面積為S1,水庫水位為海拔157.5

m時,相應(yīng)水面的面積為S2,則S1=140.0

km2=1.4×108

m2,S2=180.0

km2=1.8×108

m2,故該棱臺的體積答案:C4.(2023新高考Ⅰ,14)在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=,則該棱臺的體積為

.

解析:如圖所示,正四棱臺中四邊形AA1C1C為等腰梯形.連接AC,A1C1,過點A1作A1G⊥AC,交AC于點G,則A1G為棱臺的高.在正四棱5.(2020江蘇,9)如圖,六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的,已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是

cm3.

6.(2023全國甲,文16)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O為AC1的中點,若該正方體的棱與球O的球面有公共點,則球O的半徑的取值范圍是

.

解析:方法一:第一步,弄清球O與正方體棱有公共點,球半徑最小的球為棱切球(即與棱相切的球),最大的球為外接球.第二步,作對角面ABC1D1截正方體與其棱切球、外接球分別得如下矩形和小、大兩個圓(如圖).考點二

空間中點、直線、平面之間的位置關(guān)系7.(多選題)(2022新高考Ⅰ,9)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則(

)A.直線BC1與DA1所成的角為90°B.直線BC1與CA1所成的角為90°C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°答案:ABD解析:連接AD1,∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BC1∥AD1,A1D⊥AD1,∴直線BC1與DA1所成的角為90°,故A正確;連接B1C,∵A1B1⊥平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1,又BC1⊥B1C,A1B1∩B1C=B1,A1B1?平面A1B1C,B1C?平面A1B1C,∴BC1⊥平面A1B1C,又CA1?平面A1B1C,∴BC1⊥CA1,即直線BC1與CA1所成的角為90°,故B正確;連接A1C1,交B1D1于點O,連接BO.易證C1A1⊥平面BB1D1D.∴∠C1BO為直線BC1與平面BB1D1D所成的角.∵C1C⊥平面ABCD,∴∠C1BC為直線BC1與平面ABCD所成的角.又∠C1BC=45°,∴直線BC1與平面ABCD所成的角為45°,故D正確.故選ABD.8.

(2021浙江,6)如圖,已知正方體ABCD

-A1B1C1D1,M,N分別是A1D,D1B的中點,則(

)A.直線A1D與直線D1B垂直,直線MN∥平面ABCDB.直線A1D與直線D1B平行,直線MN⊥平面BDD1B1C.直線A1D與直線D1B相交,直線MN∥平面ABCDD.直線A1D與直線D1B異面,直線MN⊥平面BDD1B1答案:A解析:如圖,連接AD1,則AD1經(jīng)過點M,且M為AD1的中點.又N為BD1的中點,所以MN∥AB.又MN?平面ABCD,AB?平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.易知AB不垂直于平面BDD1B1,所以MN不垂直于平面BDD1B1.在正方體ABCD

-A1B1C1D1中,AB⊥平面ADD1A1,∵A1D?平面ADD1A1,∴AB⊥A1D.又四邊形ADD1A1為正方形,∴A1D⊥AD1.又AD1∩AB=A,∴A1D⊥平面ABD1,∴直線A1D與直線D1B垂直.易知直線A1D與直線D1B異面.故選A.9.

(2022全國乙,文18)如圖,在四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點.(1)證明:平面BED⊥平面ACD;(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°,點F在BD上,當(dāng)