2022年高考數(shù)學(xué)冬奧熱點(diǎn)復(fù)習(xí) （共10個）（學(xué)生版+解析版）

冬奧專題01集合與常用邏輯用語

一、單選題

1.【原創(chuàng)】（多選）下列各組對象能組成集合的是（）

A.2022年北京冬奧會的5個冰上項目和10個雪上項目

B.喜歡冰墩墩的人

C.被3除余2的所有整數(shù)

D.函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)

2.（2020.全國?高三專題練習(xí)（文））短道速滑隊組織6名隊員（含賽前系列賽積分最靠

前的甲乙丙三名隊員在內(nèi)）進(jìn)行冬奧會選拔，記“甲得第一名"為"，“乙得第二名''為心

“丙得第三名”為，若是真命題，〃人4是假命題，（［q）人r是真命題，則選拔賽的

結(jié)果為

A.甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名

B.甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名

C.甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名

D.甲得第一名、乙沒得第二名、丙得第三名

3.【原創(chuàng)】北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評

不斷.某班共30人，其中26人喜愛冰墩墩，20人喜愛雪容融，1人對這兩個吉祥物都

不喜愛，則喜愛冰墩墩但不喜愛雪容融的人數(shù)為.

A.16B.17

C.26D.27

二、填空題

4.（2021?黑龍江?佳木斯市第二中學(xué)高三階段練習(xí)（理））為迎接2022年北京冬奧會，

短道速滑隊組織甲、乙、丙等6名隊員參加選拔賽，比賽結(jié)果沒有并列名次.記“甲得第一

名”為P，“乙得第一名”為公“丙得第一名”為r,若是真命題，（F）vr是真命題,

則得第一名的是.

5.（2021?全國?高一單元測試）短道速滑隊組織6名隊員（包括賽前系列賽積分最靠前的

甲乙丙三名隊員）參加冬奧會選拔賽，記“甲得第一名”為P,“乙得第二名”為夕，“丙得

第三名”為人若。V4是真命題，p人q是假命題，（_4人「是真命題，則選拔賽的第一

名為.（請用“甲，乙，丙”作答）

冬奧專題01集合與常用邏輯用語

一、單選題

1.【原創(chuàng)】（多選）下列各組對象能組成集合的是（）

A.2022年北京冬奧會的5個冰上項目和10個雪上項目

B.喜歡冰墩墩的人

C.被3除余2的所有整數(shù)

D.函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)

【答案】ACD

【解析】選項A、C、D中的元素符合集合中元素的確定性；而選項B中，“喜歡”沒有

明確標(biāo)準(zhǔn)，不符合集合中元素的確定性，不能構(gòu)成集合.

2.（2020?全國?高三專題練習(xí)（文））短道速滑隊組織6名隊員（含賽前系列賽積分最靠

前的甲乙丙三名隊員在內(nèi)）進(jìn)行冬奧會選拔，記“甲得第一名”為。，“乙得第二名''為心

“丙得第三名”為「，若是真命題，。人4是假命題，Jg）AL是真命題，則選拔賽的

結(jié)果為

A.甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名

B.甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名

C.甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名

D.甲得第一名、乙沒得第二名、丙得第三名

【答案】D

【解析】由"PV4是真命題”、“P人4是假命題”知，命題P，4一真一假；由人r是

真命題”可得r為真命題，F(xiàn)為真命題，故4為假命題.綜上可得。為真命題，0為假

命題，『為真命題，從而可得到結(jié)論“甲得第一名、乙沒得第二名、丙得第三名”.選D.

3.【原創(chuàng)】北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評

不斷.某班共30人，其中26人喜愛冰墩墩，20人喜愛雪容融，1人對這兩個吉祥物都

不喜愛，則喜愛冰墩墩但不喜愛雪容融的人數(shù)為.

A.16B.17

C.26D.27

【答案】B

【解析】設(shè)所求人數(shù)為尤，則只喜愛乒乓球運(yùn)動的人數(shù)為（26—x）+（20—x）+x+l=30,解

得x=17.

二、填空題

4.（2021?黑龍江?佳木斯市第二中學(xué)高三階段練習(xí)（理））為迎接2022年北京冬奧會,

短道速滑隊組織甲、乙、丙等6名隊員參加選拔賽，比賽結(jié)果沒有并列名次.記“甲得第一

名”為p,“乙得第一名”為q,“丙得第一名”為，，若是真命題，（［4）vr是真命題,

則得第一名的是.

【答案】甲

【解析】由"vg是真命題，可知p,q中至少有一個是真命題，

又比賽結(jié)果沒有并列名次，說明第一名要么是甲，要么是乙，則r是假命題，

又（』7）vr是真命題，則「4是真命題，即q為假命題，故得第一名的是甲，故答案為：

甲.

5.（2021?全國?高一單元測試）短道速滑隊組織6名隊員（包括賽前系列賽積分最靠前的

甲乙丙三名隊員）參加冬奧會選拔賽，記“甲得第一名”為乙“乙得第一.名”為4,“丙得

第三名”為r,若是真命題，"人4是假命題，（-夕）人r是真命題，則選拔賽的第一

名為.（請用“甲，乙，丙”作答）

【答案】甲

【解析】因?yàn)镻V4是真命題，。人4是假命題，

所以乙4一真一假，

因?yàn)椋ā?）八「是真命題，

所以q假，r真，P真，

即“甲得第一名”為P為真，“乙得第二名”為假，“丙得第三名為真”

則選拔賽的第一名為甲.

故答案為：甲.

冬奧專題02函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

一、單選題

1.國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會的標(biāo)志性場館，擁有亞洲最大的全冰面

設(shè)計，但整個系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到真正的智慧場館、綠色場館.并且為了倡導(dǎo)綠色

可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng).已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)

量N（mg/L）與時間/的關(guān)系為N=N°e-k（N0為最初污染物數(shù)量）.如果前4小時消除了

20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%還需要（）小時.

A.3.6B.3.8C.4D.4.2

三、解答題

2.（2022?四川綿陽?高一期末）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會，即2022年北京冬奧會計劃于

2022年2月4日開幕.冬奧會吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已經(jīng)衍

生出很多不同品類的吉祥物手辦.某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)此玩具

手辦的固定成本為400萬元.每生產(chǎn)1萬盒，需投入成本人（%）萬元，當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50

萬盒時〃（x）=180x+100；當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時/z（x）=f+80x+2600,若每盒玩具手辦售

價200元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售完.（利潤=銷售總價-成本

總價，銷售總價=銷售單價*銷售量，成本總價=固定成本+生產(chǎn)中投入成本）

（1）求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤V（萬元）關(guān)于產(chǎn)量大（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少萬盒時，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲得利潤最大.

3.（2022?廣東清遠(yuǎn).高一期末）冰雪裝備器材產(chǎn)業(yè)是冰雪產(chǎn)業(yè)的重要組成部分，加快發(fā)展冰

雪裝備器材產(chǎn)業(yè)，對籌辦好北京2022年冬奧會、冬殘奧會，帶動我國3億人參與冰雪運(yùn)動

具有重要的支撐作用.某冰雪裝備器材生產(chǎn)企業(yè)，生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為300萬元，

每生產(chǎn)X千件，需另投入成本C（x）（萬元）.當(dāng)年產(chǎn)量低于60千件時，C（x）=gf+10工；

當(dāng)年產(chǎn)量不低于60千件時，C（x）=80x+g/-2700.每千件產(chǎn)品售價為60萬元，且生產(chǎn)

的產(chǎn)品能全部售完.

（1）寫出年利潤乙（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，企業(yè)所獲得利潤最大？最大利潤是多少？

4(2022?山西大同?高一期末)第24屆冬奧會計劃于2022年2月4日在北京召開，隨著冬奧

會的臨近，中國冰雪運(yùn)動也快速發(fā)展，民眾參與冰雪運(yùn)動的熱情不斷高漲.盛會的舉行不僅

帶動冰雪活動，更推動冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展.某冰雪產(chǎn)業(yè)器材廠商，生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成

本為200萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C(x)萬元，其中C(x)與x之間的關(guān)系為:

—X2+20x,0<60,XEN*

4

C（x）=,,通過市場分析，當(dāng)每千件產(chǎn)品售價為40萬元時,

49000

50x+----------1980,x>60,xey

x—2

該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部銷售完.

(1)寫出年利潤〃萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；

(2)年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?

冬奧專題02函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

一、單選題

L國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會的標(biāo)志性場館，擁有亞洲最大的全冰

面設(shè)計，但整個系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到真正的智慧場館、綠色場館.并且為了倡

導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng).已知過濾過程中廢水

的污染物數(shù)量N（mg/L）與時間/的關(guān)系為汽=乂6〃IN。為最初污染物數(shù)量）.如果前

4小時消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%還需要（）小時.

A.3.6B.3.8C.4D.4.2

【答案】C

【解析】由題意可得乂二*=：乂，可得e?=:,設(shè)N°e為=0.64N。=乂，

可得泮=（e-4k）2=L3解得f=8.

因此，污染物消除至最初的64%還需要4小時.故選：C.

三、解答題

2.（2022?四川綿陽?高一期末）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會，即2022年北京冬奧會計

劃于2022年2月4日開幕.冬奧會吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如

今已經(jīng)衍生出很多不同品類的吉祥物手辦.某企業(yè)承接了“冰墩墩”玩具手辦的生產(chǎn)，已

知生產(chǎn)此玩具手辦的固定成本為400萬元.每生產(chǎn)X萬盒，需投入成本可力萬元，當(dāng)產(chǎn)

量小于或等于50萬盒時/z（x）=180x+100；當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時〃（x）=x2+80%+2600,

若每盒玩具手辦售價200元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的玩具手辦可以全部銷售

完.（利潤=銷售總價-成本總價，銷售總價=銷售單價/銷售量，成本總價=固定成本+生

產(chǎn)中投入成本）

（1）求“冰墩墩”玩具手辦銷售利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量J（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少萬盒時，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲得利潤最大.

…【口…案】⑴，=|-2x02.+x1-52000x,-03<0x0<05,x0>50

（2）60萬盒

【解析】⑴由題意，

當(dāng)產(chǎn)量小于或等于50萬盒時，y=200%-400-180x-100=20x-500；

當(dāng)產(chǎn)量大于50萬盒時，y-200x—400—（x12+80x+2600）——x2+120x—3000.

f20x—500,0<x<50

所以利潤y（萬元）關(guān)于產(chǎn)量J（萬盒）的函數(shù)關(guān)系式是：y=2I”小

[—x+120%—Q30n0n0n,x>50

⑵由（1）：當(dāng)0<x<50時，y=20x-500,當(dāng)x=50有最大值，其最大值為

^=20x50-500=500（萬元）；

當(dāng)x>50時，y=-x2+\2Qx-3000=-（x-60）2+600,當(dāng)x=60有最大值，其最大值為

Wax=-（60-60）2+600=600（萬元）

綜上可知，當(dāng)產(chǎn)量為60萬盒時，該企業(yè)在生產(chǎn)中所獲得利潤最大.

3.（2022.廣東清遠(yuǎn).高一期末）冰雪裝備器材產(chǎn)業(yè)是冰雪產(chǎn)業(yè)的重要組成部分，加快發(fā)

展冰雪裝備器材產(chǎn)業(yè)，對籌辦好北京2022年冬奧會、冬殘奧會，帶動我國3億人參與

冰雪運(yùn)動具有重要的支撐作用.某冰雪裝備器材生產(chǎn)企業(yè)，生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本

為300萬元，每生產(chǎn)X千件，需另投入成本C（x）（萬元）.當(dāng)年產(chǎn)量低于60千件時，

2

C（x）=-x+10%;當(dāng)年產(chǎn)量不低于60千件時，C（x）=80x+受”-2700.每千件產(chǎn)品

售價為60萬元，且生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.

（1）寫出年利潤乙（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量％（千件）的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，企業(yè)所獲得利潤最大？最大利潤是多少？

1,1,

【解析】（1）當(dāng)0<60時，L=60%—x—10x—300=—x+50x—300；

22

當(dāng)xN60時，L=60x—180x+-2700|-300=-20%-+2400.

Ix-45）x-45

——1x2+50x-300,0<x<60

2

所以￡；

4500

-20x----------+2400,%>60

Ix-45

11

（2）當(dāng)0v1v60時，L=——x2+50x—300=——50）9+950.

當(dāng)尤=50時，乙取得最大值，且最大值為950.

當(dāng)％之60時，

L=-20%-咫2+2400=一201x-45++45|+2400<-20（27225+45）+2400=900

x45Ix45J

當(dāng)且僅當(dāng)x=6O時，等號成立.

因?yàn)?50>900,

所以當(dāng)該企業(yè)年產(chǎn)量為50千件時，所獲得利潤最大，最大利潤是950萬元.

4（2022?山西大同?高一期末）第24屆冬奧會計劃于2022年2月4日在北京召開，隨著

冬奧會的臨近，中國冰雪運(yùn)動也快速發(fā)展，民眾參與冰雪運(yùn)動的熱情不斷高漲.盛會的

舉行不僅帶動冰雪活動，更推動冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展.某冰雪產(chǎn)業(yè)器材廠商，生產(chǎn)某種產(chǎn)

品的年固定成本為200萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C（x）萬元，其中C（x）與

；爐+20x,0<x<60,x￡N*

x之間的關(guān)系為:C（x）=,,通過市場分析，當(dāng)每千件

49000

50x+----------1980,x>60,xeN

x—2

產(chǎn)品售價為40萬元時，該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部銷售完.

⑴寫出年利潤L（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量武千件）的函數(shù)解析式;

⑵年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?

【解析】（1）當(dāng)0vxv60,%eN*時，L（x）=40x—+20x]—20°=—[J+20x—20°；

當(dāng)xN60,xeN*時，L（x）=40x-|50x+^^-1980|-200=-10x-^^+1780,

Vx-2）x-2

--X2+20X-200,0<X<60,尤eN*

4

所以L（x）=

1780-110x+^^）,x26CUeN*

（2）

當(dāng)0<x<60,xeN*時，L（X）=-^2+20^-200,對稱軸為X=40,

所以當(dāng)x=40時，"x）取得最大值"40）=200；

當(dāng)xN60,xeN*時，L（x）=1780一110x+^1^=1780一lo[-2+^^+2

4900

<1780-1420=360,當(dāng)且僅當(dāng)％—2=------,即x=72時取等號

%-2

所以取得最大值L（72）=360>200,

綜上所述，當(dāng)x=72時，"x）取得最大值

即年產(chǎn)量為72千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大為360萬元.

冬奧專題03三角函數(shù)與解三角形

一、單選題

1.（2021?重慶九龍坡?高二期末）第24屆冬奧會將于2022年在中國北京舉辦，單板滑雪的

U型場地近似為圓柱體的一部分（如圖），現(xiàn)一名運(yùn)動員從頂端A點(diǎn)滑行到另一頂端8點(diǎn),

則滑行的最短距離約為（）

二、解答題

2.（2022?重慶市天星橋中學(xué)一模）北京2022年冬奧會將于2022年2月4日在北京和張家

口開幕，運(yùn)動員休息區(qū)本著環(huán)保，舒適，溫馨這一出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)行精心設(shè)計，如圖，在四邊形

A5CD休閑區(qū)域，四周是步道，中間是花卉種植區(qū)域，為減少擁堵，中間穿插了氫能源環(huán)保

電動步道AC,ZD=2/B,S.AD=1,CD=3,cosB=與.

（1）求氫能源環(huán)保電動步道AC的長；

Q）若BC=巫,求花卉種植區(qū)域總面積（電動步道AC的面積忽略不計）.

3.（2021.河南.高三階段練習(xí)（理））北京2022年冬奧會將于2022年2月4日在北京和張家

口開幕，運(yùn)動員休息區(qū)本著環(huán)保、舒適、溫馨這一出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)行精心設(shè)計.如圖，道路

長為4百米，現(xiàn)在的同一側(cè)設(shè)計四邊形ABCD,C,。在以為直徑的半圓上設(shè)

ZCOB=0,（O為圓心）.

TT

(1)若在四邊形ABCD內(nèi)種植花卉，且NCOO=i，當(dāng)。為何值時，花卉種植面積最大？

(2)若為了景觀錯落有致，沿著3C,CD和D4設(shè)置景觀花帶，且BC=a>,則當(dāng)。為何值

時，景觀花帶總長乙最長？并求L的最大值.

冬奧專題03三角函數(shù)與解三角形

一、單選題

1.（2021?重慶九龍坡?高二期末）第24屆冬奧會將于2022年在中國北京舉辦，單板滑

雪的U型場地近似為圓柱體的一部分（如圖），現(xiàn)一名運(yùn)動員從頂端A點(diǎn)滑行到另一頂

端3點(diǎn)，則滑行的最短距離約為（）

【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為小則在RZXAOC中,

(r-4)2+(—)2=r2,解得r=10,設(shè)ZAOC"貝sin。=2=9==,

2r105

所以夕。53。，所以NAOD=106。，所以弧AD的長為/=器="露史,

U型場地側(cè)面展開圖如圖2所示,

則從頂端A點(diǎn)滑行到另一頂端B點(diǎn)，則滑行的最短距離約為

+1202故選：人

二、解答題

2.（2022?重慶市天星橋中學(xué)一模）北京2022年冬奧會將于2022年2月4日在北京和

張家口開幕，運(yùn)動員休息區(qū)本著環(huán)保，舒適，溫馨這一出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)行精心設(shè)計，如圖，

在四邊形ABCO休閑區(qū)域，四周是步道，中間是花卉種植區(qū)域，為減少擁堵，中間穿插

了氫能源環(huán)保電動步道AC,ZD=2ZB,>AD=1,CD=3,cosB=3.

3

⑴求氫能源環(huán)保電動步道AC的長;

Q）若BC=娓,求花卉種植區(qū)域總面積（電動步道AC的面積忽略不計）.

【答案】（l）AC=2g

Q)4也

【解析】(1)因?yàn)閏osB=*，ZD=2ZB,所以cosD=cos28=2cos28-l=-g,

因?yàn)锳D=1,CD=3,所以由余弦定理得

AC2=AD2+DC2-2.ADDCcosD=l+9-6x12,

因?yàn)锳C>0,所以AC=2收

(2)解：因?yàn)锽C=A/^,

所以在AABC中，由余弦定理得cos8=456-12=烏解得筋=3后或-夜（舍

2V6xAB3

去）,

因?yàn)閏osB=，所以sin5=，

33

所以LBC=；A5-5C.sinN5='辰30半=30

因?yàn)閏os￡)=—；,所以sin￡)=

-X1X3X^I=A/2,

故SAADC=--XADxDCxsin￡)=

23

所以花卉種植區(qū)域總面積為3點(diǎn)+夜=4拒.

3.（2021?河南?高三階段練習(xí)（理））北京2022年冬奧會將于2022年2月4日在北京和

張家口開幕，運(yùn)動員休息區(qū)本著環(huán)保、舒適、溫馨這一出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)行精心設(shè)計.如圖,

道路AS長為4百米，現(xiàn)在A3的同一側(cè)設(shè)計四邊形A3CD,C,。在以AB為直徑的半

圓上設(shè)NCOB=8,（0為圓心）.

D

TT

(1)若在四邊形ABCD內(nèi)種植花卉，且NCOZ)=§,當(dāng)。為何值時，花卉種植面積最大？

(2)若為了景觀錯落有致，沿著BC,CD和D4設(shè)置景觀花帶，且BC=CD,則當(dāng)。為何

值時，景觀花帶總長L最長？并求L的最大值.

【答案】(1)。=:

(2)當(dāng)夕=三時，景觀花帶總長L最長，L的最大值為6百米

【解析】(1)因?yàn)锳B長為4百米，所以圓的半徑為2百米，即。4=O3=OC=OD=2,

7T

當(dāng)/COD=耳時，SABCD=SABOC+SACOD+SqOA

=—x22sin0+—x22sin—+—x22sin|yr-—

223213

=2盡11,+^|+貝0<6<引.

又，＜e+"V，所以當(dāng)即時，陽8)1mx=34,

UUUU乙J

yr

即當(dāng)時，花卉種植面積最大.

(2)

因?yàn)?C=CD,所以NCOD=ZBOC=6,且<9e(0,]

由余弦定理得BC=,2?+2?-2x2x2cos0=4sin4,

DA=^22+22+2x2x2xcos20=4cos0,

所以￡=8sing+4cos8(0<,所以￡=85皿2+4，一2511123=-8卜112-3+6,

所以當(dāng)sW4即。胃寸」取得最大值6?即當(dāng)，=?時，景觀花帶總長L最長,

L的最大值為6百米.

冬奧專題04數(shù)列

一、單選題

1.(2021?天津西青?高二期末)2015年07月31日17時57分，國際奧委會第128次全會在吉

隆坡舉行，投票選出2022年冬奧會舉辦城市為北京.某人為了觀看2022年北京冬季奧運(yùn)會，

從2016年起，每年的1月1日到銀行存入“元的定期儲蓄，若年利率為〃且保持不變，并約定

每年到期，存款的本息均自動轉(zhuǎn)為新的一年的定期，到2022年的1月1日將所有存款及利息

全部取出，則可取出錢(元)的總數(shù)為()

A.a(l+P)6B.<3(1+P)7

C.1[(1+P)6-(1+P)]D.^[(1+P)7-(1+P)]

二、填空題

2.(2021?全國全國?高二課時練習(xí))為了參加冬奧會的比賽，李強(qiáng)給自己制訂了10天的訓(xùn)練

計劃：第1天跑5000m,以后每天比前一天多跑400m.李強(qiáng)10天一共跑m.

三、雙空題

3.(2021.吉林吉林?高三階段練習(xí)(文))2015年7月31日，國際奧委會正式確定2022年

冬奧會的舉辦權(quán)為北京——張家口.小明為了去現(xiàn)場觀看2022年的冬奧會，他打算自2016

年起,每年的1月1日都到某銀行存入1000元的一年期定期存款，若該銀行的年利率為2.5%,

且年利率保持不變，并約定每年到期存款本息均自動轉(zhuǎn)為新一年的定期.那么2017年1月1

日，小明去銀行繼續(xù)存款1000元后，他的賬戶中一共有__________元存款；到2022年1

月1日不再存錢而是將所有的存款和利息全部取出，則小明一共約可取回___________元.

(參考數(shù)據(jù)：1.025521.131,1.0256?1.160,1.0257?1.189)

冬奧專題04數(shù)列

一、單選題

1.(2021?天津西青?高二期末)2015年07月31日17時57分，國際奧委會第128次全會

在吉隆坡舉行，投票選出2022年冬奧會舉辦城市為北京.某人為了觀看2022年北京冬季

奧運(yùn)會，從2016年起，每年的1月1日到銀行存入。元的定期儲蓄，若年利率為。且保持

不變，并約定每年到期，存款的本息均自動轉(zhuǎn)為新的一年的定期，到2022年的1月1日

將所有存款及利息全部取出，則可取出錢(元)的總數(shù)為()

A.a(l+P)6B.a(l+P)7

C.^[(1+P)6-(1+P)]D.^[(l+Pf-d+P)]

【答案】D

【解析】由題意，2016年1月1日，存入的。元，一年后存款及利息為。(1+。)，二年

后存款及利息為a(l+P)z,……，依次類推，

由此可得，從2016年1月1日到2022年1月1日所有的存款及利息為：

a(l+P)6+a(l+pl+…+a(l+p)="(1+叫-(1+。)6]=5[(1+尸了一(1+尸)].故選：D.

二、填空題

2.(2021?全國全國?高二課時練習(xí))為了參加冬奧會的比賽，李強(qiáng)給自己制訂了10天的

訓(xùn)練計劃:第1天跑5000m,以后每天比前一天多跑400m.李強(qiáng)10天一共跑m.

【答案】68000

【解析】由題意可知，李強(qiáng)每天跑的距離數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列，把李強(qiáng)第1天跑的距離

記為弓=5000,且公差為d=400,則李強(qiáng)10天跑的距離為該等差數(shù)列的前10項和.由

[0x9

Sl0=10q+—^―d=68000.

三、雙空題

3.(2021?吉林吉林?高三階段練習(xí)(文))2015年7月31日，國際奧委會正式確定2022

年冬奧會的舉辦權(quán)為北京一張家口.小明為了去現(xiàn)場觀看2022年的冬奧會，他打算自

2016年起，每年的1月1日都到某銀行存入1000元的一年期定期存款，若該銀行的年

利率為2.5%,且年利率保持不變，并約定每年到期存款本息均自動轉(zhuǎn)為新一年的定期.

那么2017年1月1日，小明去銀行繼續(xù)存款1000元后，他的賬戶中一共有

元存款；到2022年1月1日不再存錢而是將所有的存款和利息全部取出，則小明一共

約可取回___________元.

(參考數(shù)據(jù)：1.0255?1.131,1.0256-1.160,1.0257-1.189)

【答案】20256560

【解析】由題意，小明每年的I月I日都到某銀行存入1000元的一年期定期存款，且

銀行的年利率為2.5%,且年利率保持不變,2017年1月1日，小明去銀行繼續(xù)存款1000

元后，

他的賬戶中一共有1000(1+2.5%)+1000=2025元，

到2022年1月1日不再存錢而是將所有的存款和利息全部取出，

則共取回1000(1+2.5%)6+1000(1+2.5%)5+1000(1+2.5%)4+…+1000(1+2.5%)

，會(1+2.5%)[1-(1+2.5%)6]1000

=1OUUx---------------------------------=-------x[1.0257-1.025]=6560元.

1-(1+2.5%)0.025

故答案為：2025；6560.

冬奧專題05等式與不等式

一、填空題

1.（2021?北京?北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）北京2022年冬奧會將于2022年2月4日開

幕.某社區(qū)為了宣傳冬奧會，決定在辦公樓外墻建一個面積為8m2的矩形展示區(qū)，并計劃在

該展示區(qū)內(nèi)設(shè)置三個全等的矩形宣傳欄（如圖所示）.要求上下各空0.25m,左右各空0.25m,

相鄰宣傳欄之間也空0.25m.設(shè)三個宣傳欄的面積之和為S（單位：m2），則S的最大值為

二、解答題

2.（2021?云南?玉溪市江川區(qū)第二中學(xué)高一期中）北京、張家港2022年冬奧會申辦委員會在

俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會，某公司為了競標(biāo)配套活動的相關(guān)代言，決定對旗下的某商品進(jìn)行

一次評估.該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元,

銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少

元？

3.（2022.江西新余.高二期末（文））北京、張家港2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契

舉辦了發(fā)布會，某公司為了競標(biāo)配套活動的相關(guān)代言，決定對旗下的某商品進(jìn)行一次評估.

該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.

（1）據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低

于原收入，該商品每件定價最多為多少元？

（2）為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進(jìn)行

全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元.公司擬投入!（無2-600）萬作為技改費(fèi)用,

O

投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入點(diǎn)萬元作為浮動宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷

售量。至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并

求出此時商品的每件定價.

冬奧專題05等式與不等式

一、填空題

1.（2021?北京?北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）北京2022年冬奧會將于2022年2月4

日開幕.某社區(qū)為了宣傳冬奧會，決定在辦公樓外墻建一個面積為8m2的矩形展示區(qū)，

并計劃在該展示區(qū)內(nèi)設(shè)置三個全等的矩形宣傳欄（如圖所示）.要求上下各空0.25m,

2

左右各空0.25m,相鄰宣傳欄之間也空0.25m.設(shè)三個宣傳欄的面積之和為5（單位：m）,

則S的最大值為.

2

【答案】4.5m

Q

【解析】設(shè)矩形展示區(qū)的長為xm,則寬為

X

因?yàn)樵撜故緟^(qū)內(nèi)設(shè)置三個全等的矩形宣傳欄，要求上下各空0.25m,左右各空0.25m,

相鄰宣傳欄之間也空0.25m,

所以S=（x-0.25x4心一0.25x2卜8.5一0.5x--<8.5-2^Jo.5x--=4.5,

Q

當(dāng)且僅當(dāng)。.5尤=一，即尤=4時等號成立，

所以S的最大值為4.5n?故答案為：4.5m2

二、解答題

2.（2021?云南?玉溪市江川區(qū)第二中學(xué)高一期中）北京、張家港2022年冬奧會申辦委員

會在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會，某公司為了競標(biāo)配套活動的相關(guān)代言，決定對旗下的某

商品進(jìn)行一次評估.該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.據(jù)市場調(diào)查，若價格

每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件

定價最多為多少元？

【答案】每件定價最多為40元.

【解析】設(shè)每件定價為，元，依題意得［-彳^x0.2）225x8,整理得

?-65f+1000<0,解得：25V6440.

所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元.

3.（2022.江西新余.高二期末（文））北京、張家港2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯

索契舉辦了發(fā)布會，某公司為了競標(biāo)配套活動的相關(guān)代言，決定對旗下的某商品進(jìn)行一

次評估.該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.

（1）據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入

不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？

（2）為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品

進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元.公司擬投入-600）萬作為

技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入2萬元作為浮動宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該

商品改革后的銷售量。至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收

入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價.

【答案】（1）40；（2）。至少達(dá)到10.2萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收

入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元.

【解析】（1）設(shè)每件定價為/元，依題意得［-彳x0.2）出25x8,整理得

?一63+100040,解得：25WV40.所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為

40元.

（2）依題意知：當(dāng)x>25時，不等式辦225x8+50+：（『一600）+（x有解，等價于

x>25時,02日+L+，有解.

x65

由于竺2+L?2、焙工=10,當(dāng)且僅當(dāng)空=4,即x=30時等號成立,所以壯102

x6Vx6x6

當(dāng)該商品改革后的銷售量。至少達(dá)到10.2萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原

收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元.

冬奧專題05等式與不等式

一、填空題

1.（2021?北京?北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）北京2022年冬奧會將于2022年2月4

日開幕.某社區(qū)為了宣傳冬奧會，決定在辦公樓外墻建一個面積為8m2的矩形展示區(qū)，

并計劃在該展示區(qū)內(nèi)設(shè)置三個全等的矩形宣傳欄（如圖所示）.要求上下各空0.25m,

2

左右各空0.25m,相鄰宣傳欄之間也空0.25m.設(shè)三個宣傳欄的面積之和為5（單位：m）,

則S的最大值為.

【答案】4.5m2

Q

【解析】設(shè)矩形展示區(qū)的長為xm,則寬為

X

因?yàn)樵撜故緟^(qū)內(nèi)設(shè)置三個全等的矩形宣傳欄，要求上下各空0.25m,左右各空0.25m,

相鄰宣傳欄之間也空0.25m,

所以S=（x-0.25x4心-0.25*2]=8.5-0.5%--<8.5-2^0.5%--=4.5,

Q

當(dāng)且僅當(dāng)。.5尤=一，即尤=4時等號成立，

所以S的最大值為4.5n?故答案為：4.5m2

二、解答題

2.（2021?云南?玉溪市江川區(qū)第二中學(xué)高一期中）北京、張家港2022年冬奧會申辦委員

會在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會，某公司為了競標(biāo)配套活動的相關(guān)代言，決定對旗下的某

商品進(jìn)行一次評估.該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.據(jù)市場調(diào)查，若價格

每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件

定價最多為多少元？

【答案】每件定價最多為40元.

【解析】設(shè)每件定價為，元，依題意得卜-、空x0.2）225x8,整理得

?-65z+1000<0,解得：25<?<40.

所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元.

3.（2022.江西新余.高二期末（文））北京、張家港2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯

索契舉辦了發(fā)布會，某公司為了競標(biāo)配套活動的相關(guān)代言，決定對旗下的某商品進(jìn)行一

次評估.該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.

(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入

不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？

(2)為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品

進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元.公司擬投入-600)萬作為

技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入|■萬元作為浮動宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該

商品改革后的銷售量。至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收

入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價.

【答案】(1)40；(2)。至少達(dá)到10.2萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收

入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元.

【解析】(1)設(shè)每件定價為/元，依題意得［-彳x0.2j摩25x8,整理得

?一65「+1000W0,解得：25WV40.所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為

40元.

(2)依題意知：當(dāng)x>25時，不等式辦225x8+50+g(/-600)+gx有解，等價于

x>25時,。2旦+L+工有解.

x65

由于竺2+工工22、當(dāng)、工產(chǎn)10,當(dāng)且僅當(dāng)空=!不即x=30時等號成立,所以壯102

x6\x6x6

當(dāng)該商品改革后的銷售量。至少達(dá)到10.2萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原

收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元.

冬奧專題06立體幾何

一、填空題

1.（2022?江蘇?泰州中學(xué)高一月考）冬奧會將至，回顧起2008年北京奧運(yùn)會游泳中心（水立

方）的設(shè)計靈感來于威爾?弗蘭泡沫，威爾弗蘭泡沫是對開爾文胞體的改進(jìn)，開爾文體是一

種多面體,它由正六邊形和正方形圍成（其中每一個頂點(diǎn)處有一個正方形和兩個正六邊形），

己知該多面體共有24個頂點(diǎn)，且棱長為1,則該多面體表面積是.

2.（2022?全國?高一課時練習(xí)）冬奧會很多項目都在冰面上進(jìn)行，現(xiàn)湖面上漂著一個小球，

湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為6cm,深為1cm的空穴，則該球的體積是

cm3.

二、解答題

3.（2022.全國?高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會標(biāo)志性場館——國家速滑館的設(shè)計理念來

源于一個冰和速度結(jié)合的創(chuàng)意，沿著外墻面由低到高盤旋而成的“冰絲帶”，就像速度滑冰運(yùn)

動員高速滑動時留下的一圈圈風(fēng)馳電掣的軌跡，冰上劃痕成絲帶，22條“冰絲帶”又象征北

京2022年冬奧會.其中“冰絲帶”呈現(xiàn)出圓形平面、橢圓形平面、馬鞍形雙曲面三種造型，這

種造型富有動感，體現(xiàn)了冰上運(yùn)動的速度和激情這三種造型取自于球、橢球、橢圓柱等空間

幾何體，其設(shè)計參數(shù)包括曲率、撓率、面積體積等對幾何圖形的面積、體積計算方法的研究

在中國數(shù)學(xué)史上有過輝煌的成就，如《九章算術(shù)》中記錄了數(shù)學(xué)家劉徽提出利用牟合方蓋的

體積來推導(dǎo)球的體積公式，但由于不能計算牟合方蓋的體積并沒有得出球的體積計算公式直

到200年以后數(shù)學(xué)家祖沖之、祖眶父子在《綴術(shù)》提出祖眶原理：“幕勢既同，則積不容異”，

才利用牟合方蓋的體積推導(dǎo)出球的體積公式原理的意思是:兩個等高的幾何體若在所有等高

處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.

（I）利用祖晅原理推導(dǎo)半徑為R的球的體積公式時，可以構(gòu)造如圖②所示的幾何體M,

幾何體M的底面半徑和高都為R,其底面和半球體的底面同在平面a內(nèi).設(shè)與平面a平行且

距離為d的平面夕截兩個幾何體得到兩個截面，請在圖②中用陰影畫出與圖①中陰影截面面

積相等的圖形并給出證明；

個不同的橢球A,B（如圖），類比（I）中的方法，探究橢球A的體積公式，并寫出橢球A,

8的體積之比.

B

冬奧專題06立體幾何

一、填空題

1.（2022?江蘇?泰州中學(xué)高一月考）冬奧會將至，回顧起2008年北京奧運(yùn)會游泳中心（水

立方）的設(shè)計靈感來于威爾?弗蘭泡沫，威爾弗蘭泡沫是對開爾文胞體的改進(jìn)，開爾文

體是一種多面體，它由正六邊形和正方形圍成（其中每一個頂點(diǎn)處有一個正方形和兩個

正六邊形），已知該多面體共有24個頂點(diǎn)，且棱長為1,則該多面體表面積是.

【答案】12宕+6

【解析】棱長為1的正方形的面積為1x1=1,正六邊形的面積為6x^xlxlx立=延，

222

又正方形有4個頂點(diǎn)，正六邊形有6個頂點(diǎn)，該多面體共有24個頂點(diǎn)，

所以最多有6個正方形，最少有4個正六邊形，1個正六邊形與3個正方形相連，

所以該多面體有6個正方形，正六邊形有6x4+3=8個，

所以該多面體的表面積為8*士8+6=12』+6.故答案為：126+6.

2

2.（2022?全國?高一課時練習(xí)）冬奧會很多項目都在冰面上進(jìn)行，現(xiàn)湖面上漂著一個小

球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為6cm,深為1cm的空穴，則該球

的體積是一cm3.

【解析】設(shè)球的半徑為「，則（廠-丁+32=/，解得r=5.

4450077

所以球的體積為三萬xl25=三竺.

5007r

故答案為:

3

二、解答題

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會標(biāo)志性場館——國家速滑館的設(shè)計理

念來源于一個冰和速度結(jié)合的創(chuàng)意，沿著外墻面由低到高盤旋而成的“冰絲帶”，就像速

度滑冰運(yùn)動員高速滑動時留下的一圈圈風(fēng)馳電掣的軌跡，冰上劃痕成絲帶，22條“冰絲

帶”又象征北京2022年冬奧會.其中“冰絲帶”呈現(xiàn)出圓形平面、橢圓形平面、馬鞍形雙曲

面三種造型，這種造型富有動感，體現(xiàn)了冰上運(yùn)動的速度和激情這三種造型取自于球、

橢球、橢圓柱等空間幾何體，其設(shè)計參數(shù)包括曲率、撓率、面積體積等對幾何圖形的面

積、體積計算方法的研究在中國數(shù)學(xué)史上有過輝煌的成就，如《九章算術(shù)》中記錄了數(shù)

學(xué)家劉徽提出利用牟合方蓋的體積來推導(dǎo)球的體積公式，但由于不能計算牟合方蓋的體

積并沒有得出球的體積計算公式直到200年以后數(shù)學(xué)家祖沖之、祖眶父子在《綴術(shù)》提

出祖晅原理：“塞勢既同，則積不容異”，才利用牟合方蓋的體積推導(dǎo)出球的體積公式原

理的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何

體的體積相等.

（I）利用祖眶原理推導(dǎo)半徑為R的球的體積公式時，可以構(gòu)造如圖②所示的幾何體

幾何體M的底面半徑和高都為R,其底面和半球體的底面同在平面a內(nèi).設(shè)與平面a平

行且距離為d的平面P截兩個幾何體得到兩個截面，請在圖②中用陰影畫出與圖①中陰

影截面面積相等的圖形并給出證明；

得兩個不同的橢球A,B（如圖），類比（I）中的方法，探究橢球A的體積公式，并

寫出橢球A,3的體積之比.

【答案】（I）答案見解析；（II）匕=?加，體積之比為2.

3a

【解析】（I）由圖可知，圖①幾何體的為半徑為R的半球，圖②幾何體為底面半徑和

高都為R的圓柱中挖掉了一個圓錐，與圖①截面面積相等的圖形是圓環(huán)（如陰影部分）

證明如下：

在圖①中，設(shè)截面圓的圓心為?！敢椎媒孛鎴A。?的面積為了（斤一屋），

在圖②中，截面截圓錐得到的小圓的半徑為d,所以，圓環(huán)的面積為了（々-相），所以，

截得的截面的面積相等

（II）類比（I）可知，橢圓的長半軸為。，短半軸為b,構(gòu)造一個底面半徑為萬，高

為。的圓柱，把半橢球與圓柱放在同一個平面上（如圖），在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下

底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐，即挖去的圓錐底面半徑為高為。；

在半橢球截面圓的面積%屋），

在圓柱內(nèi)圓環(huán)的面積為加一萬與相

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.?.距離平面a為d的平面截取兩個幾何體的平面面積相等,

根據(jù)祖眼原理得出橢球A的