離散型隨機變量的均值 教學(xué)設(shè)計

人教A版選擇性必修第三冊7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征（第1課時）7.3.1離散型隨機變量的均值教學(xué)設(shè)計【教學(xué)內(nèi)容】離散型隨機變量均值的意義、定義（計算公式）、性質(zhì)，及實際應(yīng)用?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1.通過具體實例，理解離散型隨機變量的均值的意義和定義。體驗從特殊到一般、從具體到抽象的歸納過程，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。2.能說明隨機變量的均值與樣本均值（觀測值平均數(shù)）之間的區(qū)別與聯(lián)系，會計算簡單分布列的均值，提升運算求解能力。3.根據(jù)隨機變量均值的意義及隨機變量的實際意義猜想隨機變量均值的性質(zhì)，再計算驗證，培養(yǎng)推理論證能力，提升直觀想象素養(yǎng)。4.對于一些簡單的實際問題，能合理利用均值進行決策。在應(yīng)用期望做決策的過程中，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)?！窘虒W(xué)重點和難點】重點：離散型隨機變量的均值的意義、性質(zhì)及應(yīng)用。難點：對離散型隨機變量均值的意義的理解，理解利用期望決策的思想方法，及局限性?！窘虒W(xué)過程設(shè)計】引導(dǎo)語：離散型隨機變量的分布列全面地刻畫了這個隨機變量的取值規(guī)律。但在解決有些實際問題時，直接使用分布列并不方便。如，比較兩名射箭運動員的射箭水平，一般會比較他們射箭的成績（平均環(huán)數(shù)或總環(huán)數(shù)）以及穩(wěn)定性。類似于研究一組數(shù)據(jù)的均值和方差，我們也可以研究離散型隨機變量的均值和方差，他們統(tǒng)稱為隨機變量的數(shù)字特征。本節(jié)課我們主要研究離散型隨機變量的均值（期望）這個數(shù)字特征。一、創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)問助思如何定義隨機變量的均值呢？下面我們先來看一組相關(guān)的問題。問題1：甲、乙兩名射箭運動員進行射箭比賽，成績?nèi)缦拢▎挝唬涵h(huán)）：甲58910乙6789如何比較他們射箭水平的高低呢？問題2：甲、乙兩名射箭運動員進行100次射擊，成績?nèi)缦拢杭?8910頻數(shù)10253035乙6789頻數(shù)5203540如何比較他們射箭水平的高低呢？問題3：甲、乙兩名射箭運動員射中目標(biāo)箭靶的環(huán)數(shù)的分布列如下表所示：甲環(huán)數(shù)X58910概率0.10.250.30.35乙環(huán)數(shù)Y6789概率0.050.20.350.4如何比較他們射箭水平的高低呢？學(xué)生活動：合作交流、展示分析。問題1、2容易解決，問題3憑感覺會計算，但講不清道理?；卮穑簡栴}1可以先比較擊中的平均環(huán)數(shù)，如果平均環(huán)數(shù)相等，再看穩(wěn)定性。，，所以從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高?；卮穑簡栴}2也可比較甲、乙擊中的平均環(huán)數(shù)來判斷。所以從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高。追問1：問題1中的均值我們稱為算術(shù)平均數(shù)，問題2中的均值我們稱為什么平均數(shù)？回答：問題2也可看作是求甲、乙的加權(quán)平均數(shù)?；卮穑侯惐葐栴}1和2，問題3應(yīng)該也可通過計算來比較。所以從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高。追問2：問題1與問題2、問題2與問題3的數(shù)據(jù)有什么區(qū)別？為什么可以類比問題1、問題2的均值計算公式去解決問題３呢？師生活動：學(xué)生小組討論交流，教師引導(dǎo)分析。問題1中每個擊中環(huán)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是1，問題2中每個擊中環(huán)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)不是1并且都不相同，問題3中每個擊中環(huán)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)是不固定的。問題1中每個擊中環(huán)數(shù)出現(xiàn)的頻率相同，即求算術(shù)平均數(shù)；問題2中每個擊中環(huán)數(shù)出現(xiàn)的頻率都不相同，即求加權(quán)平均數(shù)；問題3中每個擊中環(huán)數(shù)給的是概率且概率不相同，每個擊中環(huán)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)是不固定的。但學(xué)習(xí)概率時我們知道，當(dāng)實驗次數(shù)足夠大時，隨機事件事件發(fā)生的頻率趨于一個穩(wěn)定的值，這個值就是這個事件發(fā)生的概率。所以穩(wěn)定于，即為射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值（理論平均值），這個平均值的大小可以反映運動員的射箭水平。設(shè)計意圖：通過具體的實例，梳理已學(xué)的一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)的概念。通過不同問題背景，引伸出本節(jié)重點內(nèi)容隨機變量的均值，感受三者之間的聯(lián)系與差別。通過具體的實例探究，抽象出隨機變量均值的意義：即為樣本均值的穩(wěn)定值。二、循序漸進，生成概念一般地，若離散型隨機變量的分布列如下表：則稱為隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望。均值是隨機變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機變量的取值和取值概率，反映了隨機變量取值的平均水平。師生共同歸納：樣本樣本增多總體均值設(shè)計意圖：明確概念，得到隨機變量的均值公式，規(guī)范表述。梳理算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、隨機變量均值三個公式結(jié)構(gòu)上的差異，理解三者適用于不同的問題背景，體現(xiàn)知識間的連貫性和差異性。三、公式應(yīng)用，加深理解例1在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分。如果某運動員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分的均值是多少？師生活動：本例題由學(xué)生自主完成，師生共同歸納求離散型隨機變量均值的一般步驟：1.確定隨機變量的取值；2.求出每一個取值的概率；3.得出隨機變量的分布列；4.利用隨機變量均值的公式計算求解。教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注對于兩點分布（0—1分布），均值就是事件A的概率，樣本均值是事件A發(fā)生的頻率。對于隨機事件A，設(shè),令則服從兩點分布，且設(shè)計意圖：公式應(yīng)用，歸納求離散型隨機變量均值的一般步驟，規(guī)范答題過程。發(fā)現(xiàn)兩點分布期望的規(guī)律特點。例2拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)為，求的均值。師生活動：學(xué)生自主完成，學(xué)生分析展示。本題是一個服從離散型均勻分布的隨機變量的特例，其均勻值為可能取值的算術(shù)平均值。一般地，如果的分布列為。觀察探究擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點數(shù)的均值為3.5。隨機模擬這個試驗，重復(fù)60次和重復(fù)300次各做6次，觀測出現(xiàn)的點數(shù)并計算平均數(shù)。根據(jù)觀測值的平均數(shù)（樣本均值）繪制統(tǒng)計圖，分布如圖（1）和（2）所示。觀察圖形，在兩組試驗中，隨機變量的均值與樣本均值有何聯(lián)系與區(qū)別？師生活動：學(xué)生觀察表格，發(fā)現(xiàn)區(qū)別和聯(lián)系：這12組投擲骰子試驗中，樣本均值各不相同，但都在隨機變量擲出的點數(shù)的均值3.5附件波動，且重復(fù)擲300次的樣本均值波動幅度明顯小于重復(fù)60次的。進一步理解：隨機變量的均值是一個確定的數(shù)，而樣本均值具有隨機性，它圍繞隨機變量的均值波動。隨著重復(fù)試驗次數(shù)的增加，樣本均值的波動幅度一般會越來越小。因此，在未知隨機變量的分布列的情況下，我們常用隨機變量的樣本均值（觀測值的均值）去估計隨機變量的均值。設(shè)計意圖：公式應(yīng)用，掌握離散型均勻分布的隨機變量的均值特點。了解隨機變量均值與樣本均值的關(guān)系，進一步深入理解隨機變量均值的意義。四、探究性質(zhì)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律如果是一個離散型隨機變量，將進行平移或伸縮后，其均值會怎么樣變化？即和（其中為常數(shù)）分別與有怎樣的關(guān)系？師生活動：引導(dǎo)學(xué)生類比平均數(shù)的性質(zhì)或根據(jù)均值的意義，先猜出結(jié)果再證明。（培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)）回答：應(yīng)該有，追問1：如何證明呢？師生活動：設(shè)的分布列為：則的分布列為：根據(jù)隨機變量均值的定義，學(xué)生獨立完成的證明。追問2：與有怎么樣的關(guān)系？如何證明？回答：通過類比，的證明，可得。具體證明過程學(xué)生課后嘗試。追問3：設(shè)都是離散型隨機變量，那與和有怎么樣的關(guān)系？師生活動：讓學(xué)生根據(jù)均值的意義，猜出結(jié)果。學(xué)生交流討論如何證明，教師引導(dǎo)可以結(jié)合具體的實例投擲兩枚骰子的試驗，通過求點數(shù)之和的均值來分析，發(fā)現(xiàn)結(jié)論。對于一般地情況可以作為附加思考題留給學(xué)有余力的同學(xué)課后探究。隨機變量的均值有許多性質(zhì)，但高中階段我們主要研究其線性運算性質(zhì)：。設(shè)計意圖：結(jié)合隨機變量均值的定義和基本運算素養(yǎng)猜測隨機變量均值的性質(zhì)，再證明性質(zhì)，為有線性關(guān)系的隨機變量的均值計算提供簡便路徑，提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。實際應(yīng)用（風(fēng)險決策）例3猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名。某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對時獲得相應(yīng)的公益基金如下表：歌曲ABC猜對的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000規(guī)則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首。求嘉賓獲得的公益基金總額的分布列及均值。師生活動：本例題由學(xué)生自主完成，教師引導(dǎo)學(xué)生注意解答過程按照求隨機變量的分布列均值的基本步驟書寫，及解對答過程的書寫規(guī)范提出要求。追問1：如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？學(xué)生可以評直觀想象猜測結(jié)論。選擇不同的猜歌順序，的分布列是不同的，所以的均值也很可能是不同的。追問2：既然無法直接看出來，那就需要準(zhǔn)確計算不同猜歌順序的的均值，再進行比較。那共有多少種猜歌順序呢？生獨立思考分析，猜3首歌有6種不同的順序：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB,CBA.師生活動：小組活動，將學(xué)生分成5組，各組依次負責(zé)ACB，BAC，BCA，CAB，CBA五種順序的的求解。結(jié)合學(xué)生的計算結(jié)果，可讓學(xué)生對比相近順序（如ABC與ACB）的兩個分布列也能看出順序改變，對均值大小的影響（培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)），也可以算出各不同順序的均值直接比較。猜歌順序/元猜歌順序/元ABC2336BCA2112ACB2144CAB1904BAC2256CBA1872可以發(fā)現(xiàn)，按由易到難的順序猜歌，得到的公益基金的期望值最大。例4根據(jù)天氣預(yù)報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0，01.該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元。為保護設(shè)備，有以下3種方案：方案1運走設(shè)備，搬運費為3800元；方案2建保護圍墻，建設(shè)費為2000，但圍墻只能防小洪水；方案3不采取措施。工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢？師生活動：先學(xué)生獨立思考，然后師生交流討論，教師引導(dǎo)學(xué)生明確決策的依據(jù)應(yīng)該是總損失（投入費用與設(shè)備損失之和）越小越好。可以通過表格理清本題的題意：天氣狀況大洪水小洪水沒有洪水概率0.010.250.74總損失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000學(xué)生自主完成本例題過程的書寫，學(xué)生代表展示分析。得出結(jié)論：從期望損失最小的角度，應(yīng)該采取方案2.但也可能有同學(xué)從自己的直觀感覺去分析問題，沒有洪水的概率是最大的，且比另兩種情況概率和也大得多，所以選擇方案3很可能損失為0，覺得選方案3更好。教師肯定這種分析也有一定道理。并明確：利用期望值是我們常用的決策原則之一，但期望值決策也有局限性。隨機變量的期望是一個理論上的均值，如果大量重復(fù)地就同樣的問題進行決策，期望值原則是一個合理的決策原則。如，保險公司面對眾多的客戶，每份保單需要理賠金額的期望值對制定合理的保險費率具有重要的參考意義。如果是一次性試驗的話，用期望決策的結(jié)果未必是最好的，可以采用期望值原則決策，也可以采用其他的決策原則。設(shè)計意圖：通過例題3、4鞏固求隨機變量的均值的一般方法。通過解決實際問題，了解風(fēng)險決策的期望原則，領(lǐng)悟利用期望值決策的思想方法，感受期望值決策的局限性，在應(yīng)用期望做決策的過程中，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。感知數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，用數(shù)學(xué)分析生活實際問題的清楚準(zhǔn)確性，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值?？偨Y(jié)提升教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，并讓學(xué)生回答以下問題：什么是隨機變量的均值？求離散型隨機變量均值的一般步驟？隨機變量的均值與樣本均值（觀測值的均值）的聯(lián)系與區(qū)別？隨機變量均值（期望）的線性性質(zhì)？利用期望值解決決策問題的一般方法？期望值決策原則與局限性？設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法，有助于學(xué)生把握思想方法，提升