第09講 勾股定理（3種題型）（原卷版）-八年級(jí)數(shù)學(xué)

第09講勾股定理（3種題型）1.掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條邊長．2.掌握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題，會(huì)運(yùn)用方程思想解決問題．3.熟練應(yīng)用勾股定理解決直角三角形中的問題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問題．一．直角三角形的性質(zhì)（1）有一個(gè)角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質(zhì)5：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．二．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．三．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．一．直角三角形的性質(zhì)（共6小題）1．（2023春?江陰市期中）具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C2．（2022秋?高新區(qū)校級(jí)月考）直角三角形中兩個(gè)銳角的差為60°，則較小的銳角度數(shù)是．3．（2022秋?新吳區(qū)期中）如圖，將一個(gè)直角三角形紙片ABC（∠ACB＝90°），沿線段CD折疊，使點(diǎn)B落在B′處，若∠ACB′＝72°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．12° B．9° C．10° D．8°4．（2022秋?興化市校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，將△CBD沿CD折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上的點(diǎn)E處．若∠A＝24°，則∠CDE＝69°．5．（2022秋?崇川區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折疊△CBD，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)E處，若∠A＝20°，則∠BDC等于．6．（2022秋?江陰市校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△CBD沿著直線BD對折得到△EBD．若∠ABD＝15°，則∠ABE的度數(shù)為．二．勾股定理（共5小題）7．（2022秋?常州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝n2﹣1，AB＝n2+1，則AC的長為（）A．2n B．2n2 C．4n D．4n28．（2022秋?新北區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，則點(diǎn)C到直線AB的距離是（）A． B．3 C． D．29．（2020秋?東臺(tái)市月考）在△ABC中，∠BAC＝90°，則下列結(jié)論成立的是（）A．BC＝AC+BC B．AC2＝AB2+BC2 C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AB2+AC210．（2021秋?常熟市校級(jí)月考）如圖所示的是由兩個(gè)直角三角形和三個(gè)正方形組成的圖形，其中陰影部分的面積是（）A．50 B．16 C．25 D．4111．（2022秋?南京期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D．若AC＝3，BC＝4，則CD的長為（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5三．勾股定理的證明（共9小題）12．（2022秋?江陰市期中）如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為81，小正方形面積為16，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），請觀察圖案，指出以下關(guān)系式中不正確的是（）A．x2+y2＝81 B．x+y＝13 C．2xy+16＝81 D．x﹣y＝413．（2022秋?沭陽縣期中）如圖1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，如果圖1中的直角三角形的長直角邊為5，短直角邊為2，圖3中陰影部分的面積為S，那么S的值為．14．（2022秋?錫山區(qū)期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a+b）2＝21，小正方形的面積為5，則大正方形的面積為（）A．12 B．13 C．14 D．1515．（2022秋?錫山區(qū)校級(jí)月考）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab＝8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為（）A．9 B．6 C．4 D．316．（2022秋?興化市期中）如圖，在四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的大正方形圖案中，如果大正方形的面積為16，小正方形的面積為4，直角三角形的兩直角邊分別為a和b，那么（a+b）2的值為（）A．25 B．28 C．16 D．4817．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期中）到目前為止，勾股定理的證明已超過400種，其中一種簡潔易懂方法叫做“常春證法”，兩個(gè)直角三角形如圖擺放，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，點(diǎn)F落在AC上，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，斜邊AB與斜邊CD交于點(diǎn)M，連接AD，BD，若AC＝9，BC＝5，則四邊形ACBD的面積為．18．（2021秋?無錫期末）如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝18，則S2的值是（）A． B．6 C．5 D．19．（2023?揚(yáng)州）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊長為c，若b﹣a＝4，c＝20，則每個(gè)直角三角形的面積為．20．（2022秋?溧水區(qū)期末）如圖，在△ABD中，AC⊥BD于C，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，連接BE、DE，DE的延長線交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求證：DF⊥AB；（2）利用圖中陰影部分面積完成勾股定理的證明，已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求證：a2+b2＝c2．一．選擇題1．（2022秋?溧水區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分線，AD＝6，則BC的長度為（）A．6 B．8 C．12 D．162．（2022秋?海安市期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB＝（）A．40° B．30° C．20° D．10°3．（2022秋?南京期末）如圖，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝2，以邊AB、AC、BC為直徑畫半圓，其中所得兩個(gè)月形圖案AFCD和BGCE（圖中陰影部分）的面積之和等于（）A．8 B．4 C．2 D．44．（2022秋?泗陽縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD、AE是中線，CD＝，AC＝，則AE的長為（）A． B．5 C．6 D．4二．填空題5．（2022秋?泰興市期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，則斜邊AB長為cm．6．（2022秋?常州期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC平分∠BAD，且∠ACB＝90°．當(dāng)點(diǎn)C在BD的垂直平分線上時(shí)，CD2的值為．7．（2022秋?南京期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，則AE的長為．8．（2022秋?如東縣期末）李老師和“幾何小分隊(duì)”的隊(duì)員們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)著名的“希波克拉蒂月牙問題（Hippocrate'sTheorem）”：如右圖在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a＝6，b＝8，分別以Rt△ABC的各邊為直徑作半圓，則圖中兩個(gè)“月牙”即陰影部分面積為．9．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab＝8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為．10．（2022秋?泰興市期末）已知，如圖，四邊形ABCD中，AD＝6，CD＝8，∠ADC＝90°，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，連接BM，若BM＝AC，∠BAD+∠BDC＝180°，則BC2的值為．11．（2022秋?連云港期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，短直角邊長為b，若（a+b）2＝24，大正方形的面積為15，則小正方形的面積為．12．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級(jí)月考）把圖1中長和寬分別為6和3的兩個(gè)全等矩形沿對角線分成四個(gè)全等的直角三角形，將這四個(gè)全等的直角三角形拼成圖2所示的正方形，則圖2中小正方形ABCD的面積為．13．（2021秋?豐縣校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交AB、BC于E、D，∠1＝∠2，則∠B＝°．三．解答題（共5小題）14．（2022秋?蘇州期中）如圖1，將長為2a+3，寬為2a的矩形分割成四個(gè)全等的直角三角形，拼成如圖2所示的“趙爽弦圖”，得到大小兩個(gè)正方形．（1）用關(guān)于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長；（2）已知圖2中小正方形面積為36，求大正方形的面積？15．（2022秋?徐州期中）操作與探究（1）圖1是由有20個(gè)邊長為1的正方形組成的，把它按圖1的分割方法分割成5部分后可拼接成一個(gè)大正方形（內(nèi)部的粗實(shí)線表示分割線），請你在圖2的網(wǎng)格中畫出拼接成的大正方形；（2）如果（1）中分割成的直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c．請你利用圖拼成的大正方形證明勾股定理．16．（2022秋?揚(yáng)州期中）著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c2），也可以表示為4×ab+（a﹣b）2，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2+b2＝c2．（1）圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導(dǎo)勾股定理．（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，且CH⊥AB．測得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？（3）在第（2）問中若AB≠AC時(shí)，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，設(shè)AH＝x，求x的值．17．（2022秋?灌南縣期中）中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展．現(xiàn)用4個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，請你利用這個(gè)圖形解決下列問題：（1）試說明a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面積是12，小正方形的面積是4，求（a+b）2的值．18．（2022秋?吳江區(qū)月考）【方法探究】我們知道，通過不同的方法表示同一圖形的面積可以探求相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系．如圖1，它是由四個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b（a＜b），斜邊長為c，大正方形的面積用兩種方法可分別表示為、，由此可發(fā)現(xiàn)a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系為．【方法遷移】將圖1中的四個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形拼成圖2，a，b，c之間仍然具有以上數(shù)量關(guān)系嗎？請?jiān)趫D2中添加適當(dāng)?shù)妮o助線，并加以說明．一．選擇題1．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為（）A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．無法計(jì)算2．兩個(gè)邊長分別為a，b，c的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是c的直角三角形拼成如圖所示的圖形，用兩種不同的計(jì)算方法計(jì)算這個(gè)圖形的面積，則可得等式為（）A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a(chǎn)2+b2＝c2 D．a(chǎn)2﹣b2＝c23．如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為81，小正方形面積為16，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），請觀察圖案，指出以下關(guān)系式中不正確的是（）A．x2+y2＝81 B．x+y＝13 C．2xy+16＝81 D．x﹣y＝44．如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊向兩側(cè)作正方形．設(shè)AB＝6，兩個(gè)正方形的面積和S1+S2＝20，則圖中△BCD的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．105．如圖，正方形ABCD的面積為15，Rt△BCE的斜邊CE的長為8，則BE的長為（）A．17 B．10 C．6 D．76．如圖是一正方體的平面展開圖，若AB＝6，則該正方體A、B兩點(diǎn)間的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．67．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分別以四邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁來表示它們的面積，那么下列結(jié)論正確的是（）A．S甲＝S丁 B．S乙＝S丙 C．S甲+S乙