導(dǎo)數(shù)數(shù)列結(jié)合

林老師網(wǎng)絡(luò)編輯整理林老師網(wǎng)絡(luò)編輯整理林老師網(wǎng)絡(luò)編輯整理林老師網(wǎng)絡(luò)編輯整理導(dǎo)數(shù)數(shù)列結(jié)合1電fM=嚕u,曲線y=/(X)在點(diǎn)(1/(1))處的切線與囪城2x+y+1=0垂直.⑴求G的值；(2)若VjrE［】，*8),f(jr)EmQr-1)恒成立卜求m的范國(guó)工(3)求證：由的2.已知函數(shù)/(工)=。工+：+儀優(yōu))口)的圖象在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程為y=x-1.(1)用g表示出b，c；⑵若f㈤*Inx在［1,+s)上恒成立,求n的取值范圍.(.3)證明二工+1+1+…+2Aln{n"F1)+—-—(tiN1)?z3 .J?fh3..已知函數(shù)ra)=ln(l+x)+^x2 >0).(1)若門幻>。對(duì)比￡(0,+b)都成立.求。的取值范圍:(2)已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，證明匕V?i￡N"h^/e<(1+ (1+之)…<RT.已知函數(shù)r(x)=口，+xlnxfa€R),<1)若函數(shù)/(切在區(qū)間［e,+8)上為增函數(shù),求Q的取值范圍：<2)若函數(shù)八外的圖象在點(diǎn)工二u 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線斜率為"且kEZ時(shí)，不等式#0-工)</a)在nE(l,+8)上也成立，求k的最大他；(3)當(dāng)之4時(shí).證明：(mnn)m>(n7nm)rt..已知函數(shù)f(x)=Inx—ax2+(2—d)x.U)若函數(shù)f(x)在口+8)上為減函數(shù)，求0的取值范圍；(2)當(dāng)口=1時(shí),g(工)=x2-b.當(dāng)工［停工］時(shí).fC琦與g(公有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍：(3)證明工捻+a+2+a+…+ >tn(n+1)(VnEN*)*.已知函數(shù)f(x)—工一：一Hnx.<1)若fG)無(wú)極值點(diǎn)，求&的取值范圍,(2)設(shè)gCr)=*+：-Qn工)工當(dāng)口取(1)中的最K值時(shí).求g(X)的最小值；⑶證明不等式：以品廣|口^5￡燈).7,設(shè)函數(shù)/（x）=士-Q1n（l+，），g（x）=in（l+x）-bx.（I）若函數(shù)八七）在H=0處有極值，求函數(shù)八X）的最大值.（2）①是否存在實(shí)數(shù)乩使得關(guān)于I的不等式g（幻<0在（0,+8）上植成立?若存在，求出b的取值范圍:若不存在，說(shuō)明理由.②iiE明：（n=U/?）,&已知函數(shù)人力=：始+。必一由1+1（#￡R，n,B為實(shí)數(shù)）仃極值.且I在工二1處的切線與直線，-y+1=0平行.（1）求實(shí)數(shù)q的取值范圍.是否存住實(shí)數(shù)電使等圖數(shù)/G）的極小值為1,若存在，求出實(shí)數(shù)我的值：若不存在，清說(shuō)平整歲<3）設(shè)函數(shù)@（幻=""」方馬：試判斷函數(shù)gO）在（1,+8）上的符號(hào)，井證明；1皿*乂1+3￡￡3：5€明）.9,已知函數(shù)〃G=1口(鏟十口(口為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)Q的值：(2)討論關(guān)Fx的方程Inx=fWtx2-2ex+m)的根的個(gè)數(shù):(3)證明tEjjD+曬::T)+…+ <“；；；；：飆WN*#32),10.已知函數(shù)/(>)-e1-kxxeR.(1)若k=e,試確定函數(shù)/①)的單調(diào)區(qū)間；(2)若A)0.且對(duì)于任意某ER,，(閨)>0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍：(35設(shè)函數(shù)F(*)=/(0+/(-幻，求證：F(l)F(2).?F(n)>(鏟x+2)KnEN)1】.設(shè)施數(shù)/(幻=/+如鼠大+1).其中力W(I)當(dāng)心時(shí).判斷函數(shù)汽動(dòng)在定義域上的單調(diào)性,(2)求函數(shù)/(工)的極值點(diǎn)：(3)證明對(duì)任意的正整數(shù)n,不等式伍(：+1))*一*部成立.參考答案，僅供參考I.I.⑴I +Inx(x+1)-(x4-a)lnxF(x) 由題設(shè)ra）由題設(shè)ra）=g--=[■所以1十口=1,a=0,￡￡(2)f(M)=署，Vxe(t4-oo)t/(x)<m{x-1),即Inx<m(m-5).設(shè)g(%)-\nx-m(x-口，即Vxe(1,+⑹田G)<0,，㈤=\m(l+力沖？①若mw0,則g*(x)>0，gM>g(l)=CK這與題設(shè)g(x)<0矛盾;②若m>0,方程一mx*+h-m=0的判別式△二1一4m工當(dāng)AEO.即m之士時(shí).g\x）＜0.2 口Q餅557619246，gO）在（0,十8）上單調(diào)遞減;，93）工?。）=0,即不等式成立.當(dāng)0＜01＜；時(shí)，方程—mx2+1一wt=0,U其根1+dl-4m-2m>1+dl-4m-2m>1j皿= 7.一~>口心=2m當(dāng)工E（1,不）/（工）＞0,g（x）單調(diào)遞增.gO）＞g（l）=0.與題設(shè)矛盾.綜上所述『m＞p（3）由（2）知，當(dāng)1時(shí)，771=:時(shí)丁加＜1（工一J成立.^k^k4ft2-11絳?所以

2k*1 1/2fc+12k-1ln2fr-1C2^2fc-I-2k+1-[ln(2k+1)-】n(掠-1)14 4片4(ln3lnl)<4xi2-r40n5一哂。依-「(lnC2n+1)-ln(2n-1))< 5~~ti=lIn\2n1,1<),4JJ(rEN).2.C1)在題意得解得e二;C2)rti fegQ)=/(則gC0=a故=]一,則有磔田卯五夫0k0.lr(i)=a-b=i>—2fLL/(x)=ax4 +1—2a?令x)-tnx=ax+-——-+1—2o—ln*x￡[1,+8),，一 口一1 1禽，一片一(口-1)g⑺ ”“x2X- /g_11.If”工1)\x a)⑴當(dāng)0＜口"若M時(shí)，詈Al.jg'OQvO,g(x)是減國(guó)凱所以g(釐)vg(l)=CL即f(x)<Inz,即f(x)>Inx在［lp+?)上不恒成立.(ii)當(dāng)q之三時(shí),—<E2a若則g,O)>0.gO)是增函數(shù)，所以gQt)>g(l)=0,即f(x)>Inx,故當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>Iruc-綜上所述，所求口的取值范圍為原+-(3)證法一,直接證明由(2)知：當(dāng)九仃￡?當(dāng)1時(shí)，4令或:牛，有當(dāng)1時(shí)，4令或:牛，有k\a(k+1)-Ink<-(i+A+；)**=L2,3.…以將上一述花個(gè)不等式依次相加得In.+1)<扛&+，+??,+?+ ；Z\zJn/上1mt1)整理得1+k+m+…+-aln(r+1)+w? 23n 2(ti+L)證法二才用數(shù)學(xué)歸納法證明M)當(dāng)打=1射，左邊=1.右邊=ln2+*<l.不等式成立.5)假設(shè)n:以k之LAEN")時(shí)，不等式成立，就是+泊+…+卜那么11 k11+_+_+^+_+__>in(fc+1)+^-^+—=小1)+選務(wù)由(2)知￥當(dāng)q之g時(shí),^/(x)>lnx(x>I).令Q=%有/㈤=2("；)之加”(工之1)，令T令1/^4-2Jt+lxk+2 , 、 / 、2(六！一—)"n一= +2)Tn-D所以 QQ群5s76192461口"+1)+2伍十1)*1n"+?+乖較J'所以-+*—4*—+■??+1+>In(4+2)+ ——.3kK+1 2(A+2)就是說(shuō),當(dāng)汽=土+1時(shí)，不等式也成立.根據(jù)(口和(ii),可知不等式對(duì)任何TIEN*都成立.3.（1）因?yàn)?（工）=ln（l+工）+"之一―其定義域?yàn)椋ㄒ?,十8）,所以ra）=i-i=駕衿①當(dāng)口=0時(shí),r（幻=一★,當(dāng)尤6（0,+8）時(shí)，f（x）＜0,則/（0在區(qū)間（0.+8）上單調(diào)遞減，此時(shí)，f（x）＜/（O）=0,不符合題意.②當(dāng)0＜。＜1時(shí)，令r（x）=0,得與=0,七二—；＞0，當(dāng)xw（o‘?）時(shí)，r（x）＜o(jì),則在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，fM＜/（o）=o不符合題意.③當(dāng)也=1時(shí)./1?=占.當(dāng)工￡（0.+8）時(shí).rG）＞。.則fM在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，此時(shí)，a）A/（o）=o,符合題意.④"in＞1時(shí)，令/'（工）=o.律h[=0.x2=＜0./H￡（6+8）時(shí)./t（x）＞0,則六*）在區(qū)間（。,+8）上單調(diào)遞增，此時(shí)=0,符合愚意.蹤上所述，Q的取他范困為[1.+8）.(2)由(1)可知，當(dāng)Q=0時(shí)，/(均<0對(duì),6(0+8)都成立，即ln(l+xj<xMX￡(0,+8)都成立.所以ln(l+2)+ln(l+)+…+ln(l+￡)<%+/+*”+￡即]n[0+3(1+9…(1+勤廉覆&寡由于FEN?，則署=/￥|+4=1.所以In|(1+*)(1+,)…。+/)_]VL所以(1+3(1+*)…(1+3<??由(J)可知，當(dāng)Q=1時(shí)./(X)>口對(duì)HW(0,+00)都成①,即X-\xZ<ln(l+工)對(duì)mE(0,+g)都成立.所以G+城+…+日后G+攝+…+5)<E([+3)+加(1+*)+…+m(1+分即喀制[-十-卜叫】7"十分?(“*)卜舞舞6n^+4n^^3n—1Tu-i12tt由]F由]FEN,則 不——十0睛一310t(1?_1) 6n3_1lln3 ~12nJ2所嗎<ln](l+?(l+/,.(l+￡)].所以依<(1+/)(1+1)產(chǎn)(1+W).所以mV(1+ (1+W)…(1+￡-)<e*4(O因?yàn)閒{x}=ax+xlnrT又函數(shù)/(為在區(qū)間叵+00)上為增函數(shù)，所以當(dāng)工之2時(shí)，f\x)=a+l+lire>0恒成立.所以a>(―1—Inx%*=—1—Ine=-2,即口的取值范圍為［―2,+8).(2)因?yàn)閒(，)=口，+;dn，(QER),所以rCx)=。+Ini+工，口)在點(diǎn)工二日(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線斜率為3.fr[e}=3?即口+1牌+1=3,所以q=1.當(dāng)工>1時(shí)，x-1>0,故不等式蟻工-1)</(x)o卜<詈,即對(duì)任意丫>1恒成立,令以#)=誓，則g，(町=松苗.令人0)二萬(wàn)一1曲-23>1),?Jh'M=1一[=三>0=Mr)在Q,+8)上單調(diào)遞增，因?yàn)榈亩回灨蹦郯?，4>。，所以存在與E(3,4)使雙陽(yáng)))=3,朗芍1<匯<勺時(shí).h(x)<0.即g\x)<0.當(dāng)工)科時(shí)，h(x)>0i即，所以小幻在(1人)匕單調(diào)遞減，在(見.+8)卜一單調(diào)遞增.o-2=Or即In工0工必-2,如C+*}_用口+如T)_ ￡(34).如一1知T 如一1所以A<g(外mm=工0口及￡工，即々max=工(3)由(2)知.@(幻=智是4+8)上的增函數(shù)，所以當(dāng)3%四上>工±型二整理，n-1 hi-1得mnlnn+mlnm>m.nlnm+nlnn+n—因?yàn)?i>m.mnlm+ndnm>mnlmn+nlnfit即ImfM+lnmm>lnm^n+Imi% >ln&n?iin),n^m?1>jnmnnrt, >(nmm)n.5.(1)因?yàn)榘擞自冢跮+8)上單調(diào)遞減，所以roo在口,+8)匕恒成立，所以r5)=：—25+(2—G=-3+1,7X0在［1,+8)上恒成立，所以口之;在［1,+8)上恒成在，因?yàn)镚)=1，所以n之L(2)當(dāng)。=1時(shí).,a)=lnx-爐+工，因?yàn)椤盎门c白⑺有兩個(gè)交點(diǎn)所以Irw-x2+工=/-2x+b在售W上行兩相異根.所以b=Inx-2x2+3心所以令T(r)=Inr-2xz+3Xi所以T'(h)=：_4,+3=—'"+?匚口,所以「G)>0時(shí)，^<x<l,所以丁。)在01)上單調(diào)遞增,所以「(幻<0時(shí),1<工<，所以TQ)在(L2)上單調(diào)遞減，所以工二1處有極大值也是最大值，"1)=1，7(|)=1-^2>0,7(2)In2—2<0,所以1-E2E5<1.(3)由(1)知當(dāng)q=1時(shí)，/(幻在［L+8)上單調(diào)遞減，所以人工)M/(l)=0當(dāng)且僅當(dāng)塔逐酉班九解后成立，即InxVx2—X在(11+8)上恒成立.令震=平>1(neN*)-所以In——<—所以In(?i+1)—Irti<—?i=l時(shí),ln2—tad<〃=2時(shí)，ln3-In2<r=3時(shí)，］n4—【門3<券n=n■時(shí)，ln(n+1)-Inn<—累加可得ln(n+l)v捻+攝+&+橙+…+胃(VnwN)

16.⑴由題意/,㈤=1+*一詈號(hào)。由于/（工）無(wú)極值點(diǎn),故P—"+1皂。在（0,+8）恒成立即口W工+：■X6（0,+8）恒成立,又工十工之2(王=1取等號(hào))?故(x+B=2,1 1 或/mm所以口的取值范闈是口與乙X3-2Tli1K-1(2)勺cr=2.g(x)=x+i—X3-2Tli1K-1或幻-1-之一21rl廣：設(shè)立(幻—r2-2x\tvt-1.kr(x)=2h—21n,—2—2(r—1—加度)，下證：跖量三T-1.設(shè)m(z)=Inx-x-l-1,mr(r)=--1=-tHW(0,1)時(shí).m'(H)>0.m(x)單斕遞增.x€(1,+s)時(shí),也'(m)<0.m(x)單調(diào)遞減『所以m(K)gm(l)=OiBPInx<r-li所以川(刈蘭0,故Mx)在｛0,+8)單調(diào)遞增，又k(l)=0,所以;一“)時(shí)，即0,，闔賭黜挑髀減,工E[L+°°)時(shí)，此(工)>0, 均單居遞增,gW>gW=2*故?O)的最小值為2：（3）由（2）知力,>1時(shí)，x+--（lax）2>2t土+，2）（加工產(chǎn)，（C-q）>Qn，）,v'N一京>lnx,取工iE4行-舄祟即焉司若〉嗚條故2n+2FT122n+2FT1In—= +in—= 421+1 22+1/2口+1/2口+12l+l2?+l2n-l+l=lnV'2l+1'2^+1'23-i-1'''2n+1（D由已知得尸一言，加￡口困數(shù)人均在工=0處有極值.所以（（0）=占一3=口，即曰=l所以r⑺二上一W1+6所以r⑺二擊一士=舟?當(dāng)工￡（―1。）時(shí)，/⑺>o,當(dāng)HW（0,+8）時(shí)，r㈤H0?洛'單調(diào)髭減.所以函數(shù)八乃的最大值為r（o）=o.（2）①由已知得?（動(dòng)的定義域?yàn)椋?L+8）,8（公二士」上（i）若BN1,則工￡［0,+8）時(shí)，"（幻=占一七Ed所以gCO=ln（l+工）一匕》在（0,+co）上為減函數(shù)，所以gW=ln（l+工）一卜工<g（0）=0在（0,+8）上恒成立.}*fc0,則jcE［0,+8）時(shí).g'G）= —b>0.所以gG）=ln（l+工）一加r在［0,+8）上為增函數(shù)，所以gM=ln（l+x）-bx>g（0）=0,不能使g（x）V0在（0,十《0上恒成立.（iii）若0<b<l.則"Cr）二上」h=0時(shí)，某=，-1*當(dāng)工￡隙-i）時(shí)，廳（分》0,所以g（x）=ln（l+幻-外在［。t―1）上為增函數(shù).此時(shí)，g（jr）=ln（l+k）—bx>g（0）=0，所以不能使g（G<o在（。,+8）上恒成立.綜上所述，b的取值范圍是［1,+oo）.(1+34*令』=￡11金(1+34*令』=￡11金取鬣=-：-—<in(14--n1+n一山（1十三）<—————+1ti(爐+i加<0(n—23…).因此xn</_[<…<勺=去又因?yàn)镮nn=X屋Dnk-ln(k-1)]+Ini二工二：In(1+目，8.(()因?yàn)?(工)=;jc*+ax2-歷r+1.所以「(上)=好+2(ih-瓦山題意，所以((1)=1+2。一方=1*所以b=2n. ①因?yàn)橥夤τ袠O值.所以方程尸口)=x2+2ax-b=Q有兩個(gè)不等實(shí)根.所以A=4序+4b>0,所以出十^〉。.……②由①?可得，az+2a>0.所以。<-2或q>0.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是0E%—2)U(0,+8).(2)存在.由(I)可知r(#)=N+2ax-bt令/(x)=0.所以Xi二一以一7必+2&X2=-a+y/a2+2a,且Q￡(—8『-2)U(0,+8)備x (一8"。 X) (X1^2) X2 (x2t+?)/'(工) + 0 - 0 +f⑺ 的調(diào)增 極大值 單調(diào)減 極小值 單調(diào)噌所以復(fù)=冷時(shí)，/(刈取極小值，Wf(xz)= 4ax1?2axz+1=1,所以犯n0或+3ax2-60=0.若物=0,即—a+1謁+2口=0?貝(J。=0(舍).若可十3ax?-6口=0,丈『人)=。,所以弓+2奴工一2日二0，所以口小一4以二0一因?yàn)榭谪S0,所以益=4,所以—口―4度+元=4r所以□之—gv—2.所以存在實(shí)數(shù)1使得函數(shù)八幻的極小值為L(zhǎng)

21nxt即gCr)=x--2Jnx.故，g'G)=1+ 1 =-^―>口，則21nxt即gCr)=x--2Jnx.故，g'G)=1+ 1 =-^―>口，則以外在(L+8)匕是增函數(shù)，故g(￡)>g(l)=0,所以.g(x)在〈1.+8)上恒為正.當(dāng)口EN?時(shí),—>1>

n，(黨設(shè)菱=三二則=士二一如山

nn+1n—1+ 1+--2|ln(Ti4-1)—Inn]=L十~—2[ln(n-fl)—Inn1>0.即,1-I--ly>2pn(n+1)\—IxmL上式分別取抑的值為1.2,3,…*5—1)(n>1)累加得:>2[ln2-】nl+In3-ln24-1口4-ln3H 1-Inn—In(門—l)]fn>L所以1+2(?+：+?+,?，+ >2lnn*n>1?所以2(1+w+1+i+…4—-+—)A2Inm+14—,n>1\ 2 3 4 n-1nx n.所以1+g+]+：+…+—y+工AInn+；(1+工),Ji>I.即,Inn+ji1+;)<n>l.又當(dāng)黃=工時(shí)，Im+30+0=￡：=11故所+H1+》m￡Up當(dāng)且僅當(dāng)川=1時(shí)取等號(hào).因?yàn)?'(-幻=-/(幻，所以加(廣工+區(qū))工-加(爐+口)，所以小，+口=靛X=d(￡-*+e］+n)=0.所以n=0.(2)由⑴知所以】nr=火滓-2叱+m)<=今=(義-+m-e￡f令h(x)—乎tp(x)=(x-e);4-m—e2.h'(x)= 所以也(幻在?啟)上遞增，?+8)上遞減，所以出G)gx=Me)二%平(￡)為二次函數(shù).田儂母在遞J4,?+8)」二遞增，所以甲=m-/?TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)也一/>2時(shí),即0>/十三時(shí),無(wú)解：c e當(dāng)血一/=：時(shí)*即/71=d+：時(shí)T有一解;當(dāng)血一/<'u寸,即巾<M+L有二解、e e(3)i正明］由(2)如當(dāng)m=卡41時(shí)ptr)==(M—曰尸+1*甲a)min=m-ez=lt此時(shí)甲5)e加>做，)皿恒成立.所以h(x)〈平(x)mui=1,即竽<i*I門及<X恒成立，所以當(dāng)n上2時(shí)育ln{zi2—L)<n2-1,所以叱［“< =1一\n(22-1)ln(32-l) 】n(r?-l) fl1\ +--手+???+-<(門_1)_(*+…+耐〈(-一小+去…島5小("i)GAr2n2-n-12(n+1)J0+(I)由#=都得f(jc)-eT-exf所以r(x)=F-巳由f'MAo得宜>l故，(行的單調(diào)遞增區(qū)網(wǎng)是(L斗8)，由「(幻vo得工<1.故/(*)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8」).⑵由/(I一#l)=f(13),可知/。3)是偶函數(shù).于是/(UI)>0對(duì)任意her成立等價(jià)于/(x)>0對(duì)任意XSO成立由得簫=In1①當(dāng)k仁(0,1］時(shí)?f(x)=『-A>1—在之口口>0),此時(shí)了(工)在［0,+8)上單調(diào)遞增，故六工)=f(0)=l>0,符合題意②當(dāng)kE(L+8)時(shí).Ink>0.當(dāng)工變化時(shí)ra),f(x)的變化情況如下表！x(OJnfc)Ink(Ink,+8)f(x)一0 +/(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得.在0+8)上.f(x)>/QnJt)=A一MnJt依題意,k-kink>0,又k>I.所以1<k<d綜合①.②，得實(shí)數(shù)上的取值范圍是&<心/3=fM+汽-X)=小+3一'所以FCrjrCii)=四+=+R-X+2+冊(cè)-4+>釣+穌+工所以>背包+工F{2}F(n-1)>k+2Ff加⑴+工由此得.—gfF=[rdy^HTOF^一 可利川川1?>(砂句+2]".(3)因?yàn)?3)因?yàn)閒(OF(2)-F(rt>>((*+,+苕葭EM*.11.(1)函數(shù)外幻=#+b]n(x+1)的定義域?yàn)?一L+8).b2x2+2x4-b令或外工2必+2m+氏則gCO在（一]，+8）上遞增,在（一1,一||卜一速成%）皿=g（_勺=_]+七當(dāng)6》灑，gQ）min=W+5>0,g（x）=2必+2h+6>0在（-1,+co）上恒成立.二f'（x）>0,即當(dāng)力時(shí)，函數(shù)八外在定義城（一L+?0上單調(diào)遞增.（2）分以下幾種情形討論：①由（1）知當(dāng)6>；時(shí)函數(shù)f無(wú)極值點(diǎn)，②當(dāng)6=3時(shí)，片幻=冬色，:工4-L-捌，f（x）>0rHE（-1+8）時(shí)，尸（約）0,二h=;時(shí),函數(shù)打工）在+上無(wú)極值點(diǎn).③當(dāng)6時(shí),解r（幻=。得兩個(gè)不同解-1―Ji—2b_1+V1—X1= 2 &= 2 當(dāng)b<0時(shí)，_[_Qi=2b —1十—2b必= 2 <-1亞= j 1上勺￡（―1.+8）修ZE（-1,十8）,此時(shí)fM在（-L+8）上有唯一的極小值點(diǎn)過(guò)=士尸.當(dāng)時(shí).工力亞e（-L+8）,ra）在（-141（%+⑼都大于0,rex