第四章非彈性碰撞過程及電子阻止本領(lǐng)

在前面幾章我們采用經(jīng)典的二體碰撞動(dòng)力學(xué)研究了載能粒子在固體中的碰撞過程及入射粒子同靶原子核外電子的多體相互作用過程，計(jì)算過程要復(fù)雜的多。較活躍的研究領(lǐng)域。特別是近30年以來，隨著實(shí)驗(yàn)測(cè)試4.1高速離子的電子阻止本領(lǐng)□量子力學(xué)擾動(dòng)理論描述（一）非彈性散射截面為0=p+a，其中p和a分別為入射粒子的哈密頓量和孤立靶原子的哈密頓量。其中是它們之間的相互作用勢(shì)。將Ψ(t)按0的本征函數(shù)un展開：（4.1-2）Vmn其中mn=(Em-En)/I為系統(tǒng)從本征態(tài)un躍遷到本征態(tài)um的頻率，∫dτuum(4.1-4)則為躍遷矩陣元，其中dτ表示空間體積元。再根據(jù)波函數(shù)Ψ(t)的歸一性，很容易得到對(duì)于高速入射粒子，相互作用勢(shì)相對(duì)0是個(gè)小量，這樣可以采用微擾理論來(4.1-7）II(4.1-9）后的能量守恒方程為IJ0=v0則最后得到在一階Born近似下非彈性微分散射截面為(4.1-12）(4.1-12）（二）Bethe-Bloch公式在高能情況下，入射粒子同靶原子碰撞時(shí)，其能量損失主要用于激發(fā)或∫dΩσ(4.1-13）其中N是固體的原子密度，微分散射截面σ(θ,φ)由(4.1-12）式給出。近似地認(rèn)為入射粒子是一個(gè)裸離子，它與靶原子的相互作用可以用裸庫侖勢(shì)來表示。如果把坐標(biāo)原點(diǎn)固定在靶原子核上，則相互作用勢(shì)為(4.1-14）上式右邊第一項(xiàng)為入射粒子同靶原子核的相互作用，而第二項(xiàng)是與核外電III子的相互作用。引入波矢q=k0-k及利用(4.1-4)式和(4.1-9）式，則矩陣元(4-15）II最后矩陣元可以表示為j0>(4.1-16）(4.1-17）在上式中(4.1-18）(4.1-18）θI圖4.1波矢qk0II0-k的示意圖0sinθdθ和dΩ=2πsinθdθ=2πI2qdq/(mvv0)。這樣方程(4.1-17）可以寫成j2(4.1-19）min0，并利用能量守恒公式(4.1-10則積分下限為=(4.1-20）0qmax0(4.1-21）量變化Δεn是多少。)φ2(2)IφZ2(Z2)，方程(4.1-19）中的矩陣元可以寫成Z2II0j=1Z2II0j=1(4.1-22）dφ()φ)Idjφ(j)φj(0)(j)ei.jI子，則(4.1-22）式右邊求和中只剩下一項(xiàng)，即j碰撞過程。由第三章的討論可知，一個(gè)電子同一個(gè)入射粒子進(jìn)行彈性碰撞時(shí)，電子得到的能量為qmax0ej0 (4.1-28）(4.1-29）引入偶極振子強(qiáng)度(4.1-30）(4.1-31）這就是著名的Bethe-Bloch。Bethe-Bloch給出的電子阻止本領(lǐng)都相同。然而在50年代，Barkas觀察到“Barkas可以解釋Barkas效應(yīng)。Sigmund等人曾也對(duì)此進(jìn)行了較詳細(xì)的研究。在Bethe-Bloch公式(4.1-34）中，平均激發(fā)能I是一個(gè)關(guān)鍵的物理量。II是相當(dāng)復(fù)雜的，需要采用Hartree-Fock-Slater（HFS）方法。只有對(duì)氫原子在一階Born近似下推導(dǎo)出了Bethe-Bloch公式。BethvB=e2/I=2.18×108cm/s。然而在通常的等離子體或離子束材料表面改射到固體表面上的重離子的能量一般小于200keV，對(duì)應(yīng)的速度遠(yuǎn)小于Bohr速度電響應(yīng)理論的方法對(duì)帶電粒子在固體中的電子阻止本領(lǐng)進(jìn)行了較為系統(tǒng)的描述。原則上慮了電子氣中電子之間的關(guān)聯(lián)-交換相互作用、靶原子內(nèi)殼層束縛電子的分布及入射粒子電荷態(tài)的變化等因素的影響，對(duì)原始的Lindhard理論進(jìn)行了不斷的完善。目前在描述電入射粒子速度范圍內(nèi)與實(shí)驗(yàn)值符合得較好。本節(jié)將對(duì)該理論進(jìn)行較為系統(tǒng)的介紹。我們知道固體材料中原子的外殼層價(jià)電子可以在離子晶格中自由移動(dòng)，形屬和半導(dǎo)體材料，電子氣的密度較高，約為n0=1022~10漲落δn(,t)。電子氣中的電子受到入射粒子（設(shè)為正離子）的吸引而要向其周I方向與入射粒子運(yùn)動(dòng)方向相反的感應(yīng)電場Eind場造成的阻力，從而不斷地?fù)p失其能量。II我們考慮入射離子上有一定的束縛電子分布，其密度為pe(,t)。設(shè)入射離子的原pext(,t)=Z1eδ(-t)-epe(|-t|)(4.2-1)其中右邊第一項(xiàng)為入射粒子的核電荷密度分布。束縛電子密度分Ne是束縛電子數(shù)。如果pe(-t)=0，則(4.2-1）式對(duì)應(yīng)于裸離子的電荷密度分布。入下面的任務(wù)是如何求出感應(yīng)電場Eind是入射離子的能量。部分組成的：一部分是由外電荷分布pext(,t其中pext(,w)和pind(,w)分別是外電荷密度pext(,t)和擾動(dòng)電荷密度pext(,t)的付里性近似下感應(yīng)電荷密度pind(k,w)與外電荷密度pext(k,w)有如下關(guān)系pind(k,w)=[1-1/ε(k,w)]pext(k,w)(4.2-10）對(duì)(4.2-4）式的積分進(jìn)行付里葉變換，并利用Eind(k,w)=-ikΦ在沒有具體討論固體中電子氣的介電性質(zhì)之前，首先讓我們引入描述電子氣平衡狀態(tài)的幾個(gè)物理量。由量子統(tǒng)計(jì)物理可以知道，固體中電子氣是一個(gè)Fermi系統(tǒng)，電子的自其中kF是Fermi波數(shù)，可以由歸一化條件2∫df0()(2πI)3=n0給出kF=(3π2n0)1/3(4.由此可以給出電子的Fermi速度vF和Fermi能量EF（4.2-17）其中=0.529×10-8cm是Bohr半徑。后面我們將看到rs是描述電子氣性質(zhì)的一個(gè)重要的參量。這樣借助于無量綱的參數(shù)rs，F(xiàn)ermi波數(shù)、Fermi下面我們確定電子氣的介電函數(shù)ε(k,w)。當(dāng)入射離子在電子氣中穿行時(shí)，電子氣的布函數(shù)f(,,t)滿足量子伏拉索夫（Vlasov）方程方程(4.2-19)和(4.2-20)是一個(gè)非線性e)fApproximation)介電函數(shù)，簡稱RPA介電函數(shù)?？梢娊殡姾瘮?shù)僅于電子氣的性質(zhì)有關(guān)。將電子的平衡分布函數(shù)(4.2-14)式代入(4.2-27)式，并完成2zF)為無量綱變量，x=1/為常量。在上式中，無量綱函數(shù)α1(z,u)和α2(z,u)分別為其中P(k,①)=-x2[α1(z,u)+iα2(z,u)]/z2為Lindhard極化率，G(k)它包含了電子之間的關(guān)聯(lián)-交換作用。Pext=2πeδ(4.2-32)將k及w用無量綱的變量z=k/(2kF)和u=w/(kvF)代替，(4.2-31)式，則(4.2-3dzz3/vFduuF(4.2-35)阻止本領(lǐng)數(shù)，它僅是入射粒子速度v和電子氣密度n0的函數(shù)，而函數(shù)F(z,u)的定義為F(z,u)=(4.2-36)這樣函數(shù)，α1(z,u)，α2(z,u)及G(z)可以分別近似地表示為其中Y0是一個(gè)與電子氣關(guān)聯(lián)能量有關(guān)的參數(shù)。將(4.2-36)和(4式則退化為Lindhard和Winter的結(jié)果。由于考慮了電子氣中電子的關(guān)聯(lián)C(rs)的值或電子阻止本領(lǐng)明顯地增加。產(chǎn)生這種增加的原因是：對(duì)于低速離子，它在電子氣中的運(yùn)動(dòng)速度較慢，有足夠的時(shí)間可以同它周圍電子氣中的許多電子發(fā)生相互作用，并將其能量傳給電子氣，用于激發(fā)電子氣。電子氣的激發(fā)能包括庫侖相互作用能和關(guān)聯(lián)-交換作用能。況下，電子運(yùn)動(dòng)的較快，來不及同它周圍的較多電子發(fā)生相互作用，這樣關(guān)聯(lián)-交換作用效應(yīng)顯得不重要。這時(shí)根據(jù)(4.2-27)式其中Θ(az-v/vF)為階躍函數(shù)，它要求上式中的積分上下限zmax和zmin滿足如下方程由此可以得到zmax≈v/vF和zmin≈(v/vF)下，電子阻止本領(lǐng)的線性介電理論描述和量子擾動(dòng)理論描述是一致的。在任意速度區(qū)間，必須采用數(shù)值積分的方法來完成(4.2-35)式的積分。由介電函數(shù)(4.2-28)式可以看出，對(duì)電子阻止本領(lǐng)的貢獻(xiàn)來自兩部分，即電子氣中的單粒子激發(fā)L(sp)[v,n0]；而對(duì)于后者，有|z-u|≥1及α2(z,u)=0，這時(shí)(4.2-35)式其中g(shù)(z,u)=z2+x2[1-G(z)]α1(z,u)；zr(u)為共振點(diǎn)，由方程g(z,u)=0的根確定；uc的值由方程g(uc-1,uc)=0確定。體中的電子成分看成為均勻的電子氣。一般地，可以認(rèn)為固體中原子的電子密度n(r)是到在局域密度近似下，質(zhì)子在固體中的電子4πr2dr(4.2-45)其中N為固體的原子密度，R0=[3/(4πN)]1/3為原子的平均半徑。Zeigler等人曾考慮了固態(tài)效應(yīng)并采用量子力學(xué)中的HFS0其中n0為固體中價(jià)電子氣的密度，nA(r)是內(nèi)殼層電子的密度分布，Rc是內(nèi)殼層與外殼其中d是參數(shù)，H=d(Z2-1)0.4，R=r/aB，η=R/d，δ=eη-1。這樣借助于(4.2-45)式，我們計(jì)算質(zhì)子在固體中的電子阻止本關(guān)聯(lián)-交換相互作用效應(yīng)對(duì)質(zhì)子在Ti中的電子阻止本領(lǐng)的影響，其中實(shí)線是由LFC介電函數(shù)(4.2-31)式給出的，虛線是RPA介電函數(shù)(4.2-28)式給出的?？梢娫诘湍軈^(qū)間，到的。r等人的經(jīng)驗(yàn)公式給出的結(jié)果，其它符號(hào)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果。電子的關(guān)聯(lián)-交換相互作用效應(yīng)使得電子阻止本領(lǐng)的值明顯地增大，而在高能區(qū)間二者幾可以看出，由(4.2-1)式計(jì)算的結(jié)果與Ziegler等圍內(nèi)符合的較好。BK的理論模型進(jìn)行簡單地介紹。在BK理論中，假設(shè)入射離子上的束縛電子的密度pe(R)是球?qū)ΨQ性分布的，其形式為e-R/Λ(4.2-48)其中N是束縛電子數(shù)，Λ是屏蔽半徑。離子的基態(tài)能量ET=Ek+Ene+λEee(4.2-49)其中Ek是束縛電子的動(dòng)能，Ene是核-電子之間的相互作用能，Eee是束縛電子之間的相-Z1e2/R)pe()=在(4.2-49)式中λ是個(gè)變分參數(shù)。當(dāng)這些束縛電子處于基態(tài)時(shí)，入射離子的基態(tài)能量應(yīng)最q=0。在一般的情況下，電離度q的大小同入射離子與電子氣中電子的平均相對(duì)速度有關(guān)，其中e是電子氣中電子的速度。Nortchliffe根q=1-exp(-0.92Z1-2/3vr/vB)(4.2-55)為FF在線性介電響應(yīng)理論框架內(nèi)，考慮了入射離子的束縛電子分布后并利用(4.2-1）式和為了描述入射離子電荷態(tài)的變化，Brandt-Kitagawa引入了有效電荷數(shù)Z的概念其中(-dE/dx)e(q)由(4.2-57)式給出。首先我們討論一下低速離子（v≤vF）的有效電荷數(shù)。在BK的工作中，使用的是RPA介電函數(shù)，見(4.2-2ε(z,u)≈(1-x2/z2)-iπux2/(2z2)(4.2-60)Z/Z1=q+(1-q)Q(rs)ln[1+(2kFΛ)2]I(x2)=ln(1+1/x2)-1/(x2+1)由于有效電荷數(shù)是由兩種情況下電子阻止本領(lǐng)的比值給出的，因此它對(duì)靶的參數(shù)（rs）的依賴性較弱?？梢宰C明，在考慮了電子氣中電子的關(guān)聯(lián)-交換作用之后，有效電荷在數(shù)用(4.2-40)式給出的介電函數(shù)，有效電荷數(shù)Z為上，重離子占據(jù)的那部分空間（通常稱為死球，DeadSphere）不存在被激發(fā)的靶電子，因此在計(jì)算感應(yīng)電勢(shì)時(shí)必須扣除這部分空間的貢獻(xiàn)?？紤]了死球效應(yīng)后，為為屏蔽長度Λ的量級(jí)。利用(4.2-65)式，并采用局域場修正的介電函數(shù)及局域密度近似方法，可以對(duì)重離子大的入射能量范圍內(nèi)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果及Ziegler等人的經(jīng)驗(yàn)公式符合的較好。圖4.5碳離子在金靶中的電子阻止經(jīng)驗(yàn)公式給出的結(jié)果，其它符號(hào)為實(shí)驗(yàn)值。圖4.6鋁離子在銀靶中的電子阻止經(jīng)驗(yàn)公式給出的結(jié)果，其它符號(hào)為實(shí)驗(yàn)值。在上一節(jié)我們根據(jù)線性介電響應(yīng)理論研究了離子在固體中的電子阻止本領(lǐng)，尤其在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)低速離子在固體中的電子阻止本領(lǐng)隨其原子序數(shù)Z1的增加呈明顯地振蕩，子阻止本領(lǐng)的Z1振蕩性做了進(jìn)一步地證實(shí)。上節(jié)介紹不能對(duì)低速離子電子阻止本領(lǐng)的Z1振蕩性作出解釋，因?yàn)樗捎昧艘环N統(tǒng)計(jì)的方法來度泛函基礎(chǔ)之上的量子散射理論描述。II的入射離子在密度為n0的電子氣中運(yùn)動(dòng)。由于入射離子的速子勢(shì)場V(r)中散射。入射離子的能量損失是用于電子氣中電子在散射時(shí)的動(dòng)量增加。ve的電子在離子勢(shì)場中的散射。在散射前，該電子相,散射后的相對(duì)速度為'（||=|'|散射角為θ,微I'電子=-eθ V(r)III分解成平行和垂直于I分解成平行和垂直于II的軌跡為一圓，('-IIu其中s=cosδ,δ是e與的夾角。e元dΩ=2πsinθdθ內(nèi)其動(dòng)量的增量為ΔP=dnuσ(u,θ)ΔtΔpe(||)2πsinθdθ將(4.3-2)式代入上式，并完成對(duì)θ的積分，可以得到為動(dòng)量輸運(yùn)截面。下面進(jìn)一步確定dn與電子氣的平均密度n0之間的關(guān)系。由量在相空間體積元ddV內(nèi)，電子的數(shù)目為2deddn=pdpesinδdδ/(2π2I3)(4.3-6)(-dE/dx)e。當(dāng)v≤vF時(shí)，可以將(4.3-8)式u=(v2+v-2vveS)1/2≈(ve-Sv)(4.3-9)(-dE/dx)e=n0meσtr(vF)v(4.3-11)我們?cè)俅慰吹剑涸诘退偾闆r下，電子阻止本領(lǐng)正比于入射速度，其中比例系數(shù)與電子在Fermi面上的動(dòng)量輸運(yùn)截面有關(guān)。由(4.3-11)式可以看出，要計(jì)算低速離子在固體中的電子阻止本領(lǐng)，關(guān)鍵是要知道微分散射截面σ(vF,θ)可以用相移δl(vF)來表示其中l(wèi)為分波數(shù)，Pl(cosθ)是勒讓德（Legrende）函數(shù)。將上式代入(4.3-5)式，并利用這樣一旦知道相移δl(vF)，我們就可以確定動(dòng)量輸運(yùn)截面σtr(vF)。一個(gè)能量為(IkF)2/2、角動(dòng)量為lI的電子在離子勢(shì)場V(r)中散射時(shí)，其徑向波函數(shù)Rl(r)滿足如下薛定諤方程=arctg(4.3-16)其中jl(kFr)及nl(kFr)是球貝塞爾(Bessel)和球諾伊曼(Neuman)函數(shù)，jl'(kFr)這樣一旦知道了勢(shì)場，通過數(shù)值求解薛定諤方程和利用(4.3-16)式，即可以得到相移，進(jìn)而算出動(dòng)量輸運(yùn)截面和電子阻止本領(lǐng)。算相移δl。在該方法中，定義一個(gè)相移函數(shù)δl(r)，要求它在r→∞時(shí)，趨于真實(shí)的δl(r)→δl(4.3-17)r→∞利用薛定諤方程(4.3-14)，可以證明δlδl(r)|r=0=0定諤方程(4.3-14)是等價(jià)的，差別是方程(4.3-18)是一個(gè)非線性的一階微分方程，而薛定諤方程(4.3-14)則是一個(gè)線性的二階微分方程。使用方程(4.3-18)不僅能避免nπ模不確定性的問題，而且在數(shù)值求解上也較為簡單。無論是采用薛定諤方程來計(jì)算相移，還是采用可變相移法來計(jì)算相移，均需要知道散射勢(shì)V(r)的形式。本節(jié)介紹幾種計(jì)算散射勢(shì)的方法。低速離子在電子氣中的運(yùn)動(dòng)過程與金屬中電子在雜質(zhì)原子的勢(shì)場中的散射過程十分δl(vF)應(yīng)滿足所謂的伏里德爾（Friedel）求和規(guī)則其中Z1是雜質(zhì)原子的原子序數(shù)。為了計(jì)算相移，可以預(yù)先給定一種含有參數(shù)的散射勢(shì)程(4.3-14)或可變相移方程(4.3-18)，來確定相移δl(算得的相移滿足伏里德爾求和規(guī)則(4.3-20)為止。從而可以計(jì)算出動(dòng)量輸運(yùn)截面和電子阻止本領(lǐng)。用這種方法得到的屏蔽參數(shù)α依賴于入射離子的原子序數(shù)Z1和電子氣的密過程進(jìn)行了研究。δEcx[n(r)]是電子氣的關(guān)聯(lián)-交換能量，n(r)是離子周圍的電子密度分布n(r)=ΣΨi()2(4.3-25)εi<μ移。法計(jì)算的結(jié)果，其它符號(hào)為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。不僅能夠顯示出所謂的Z1振蕩性，而且同實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合得較好。同時(shí)用這種方法算得散射相移能夠自動(dòng)滿足伏里德爾求和規(guī)則(4.3-20)。由于入射離子的速度較低，當(dāng)它在電子氣中運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以捕獲電子氣中的電子而變圖4.10低速離子在硅<110>溝道中(rs=2.38)的電子阻止本領(lǐng)，實(shí)線為采用(4.互作用勢(shì)能計(jì)算出的結(jié)果，圓點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果。其中H=d(Z1-1)0.4，δ=exp(r/daB)-1，d是參數(shù)。利用這種形式的相互作用勢(shì)能及可變相移方程，很容易計(jì)算出散射相移及電子阻止本領(lǐng)。圖4.10是低速離子在硅<110>溝道中的無量綱電子阻止本領(lǐng)Q=η-1(-dE/dx)e，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較，種相互作用勢(shì)能計(jì)算出的電子阻止本領(lǐng)也可以顯示出Z1振蕩性。v摩擦力的作用?？梢杂靡粋€(gè)簡單的漏斗機(jī)制對(duì)Firsov模型做進(jìn)一步的解釋。如圖4.11是單位時(shí)間內(nèi)落到皮帶上的沙子的質(zhì)量。Firsov模型與漏斗機(jī)制是十分相似的。在入射離子和靶原子之間作一連線（矢量II其中ne(r)為固體中的電子密度，ve(r)為電子的軌道速度。那么在單位時(shí)間內(nèi)離子受到的摩擦力為其中為離子沿方向的速度矢量。離子的能量損失為zppprr-ΔE=∫d(4.4-2)其中p為碰撞參數(shù)。這樣從(4.4-3)式可以看出，離子的能量損失(-ΔE)仍然是碰撞參數(shù)p的函數(shù)。采用Thomas-Fermi模型，靶電子的密度ne(r)和軌道速度ve(r)可以分別表示為其中V(r)是入射離子同靶原子之間的相互作用勢(shì)。將(4.4-5)式代入(4.4-3)式并完成積-ΔE=(4.4-6)可見，低速離子的能量損失正比于入射速度v。將上式乘以N.2πpdp從公式(4.4-6)可以看出，F(xiàn)irsov公式給出-ΔE=dSdz（4.4-6)在上式中，（4.4-7)為電子的平均軌道速度，=crni-1eξirYlm(θ,φ)（4.4-8)是Slater波函數(shù)，ξi=(Z-s)/(niaB)，Z是原子數(shù)，s是屏蔽參數(shù)，li是軌道量子數(shù)，ni是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)值，它與前三個(gè)徑向軌道量子數(shù)相同。（二）LS公式在1996年，Lindhard和Scharff（(