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文檔簡介
專題04巧用中點解決幾何問題一、【知識回顧】方法與技巧:中點問題常見輔助線做法①遇到三角形邊上的中點,考慮構造三角形的中位線②遇到直角三角形斜邊的中點,考慮直角三角形斜邊的中線性質(zhì)③遇到等腰三角形底邊的中點,考慮等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)④遇到中點+垂線,角平分線+垂線,考慮垂直平分線的性質(zhì)⑤遇到面積類型題,考慮三角形中線平分面積⑥遇到線段數(shù)量關系,考慮倍長中線構造全等三角形二、【考點類型】考點1:構造三角形的中位線典例1:(2022秋·四川眉山·九年級校考期中)如圖,中,,點E是的中點,若平分,,線段的長為(
)A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm【變式1】(2022秋·山東濟寧·九年級濟寧市第十五中學統(tǒng)考期末)如圖,在中,平分,于點E,點F是的中點,若,,則的長為(
).A.2 B.3 C.4 D.5【變式2】(2022春·全國·八年級假期作業(yè))已知:如圖,在中,中線交于點分別是的中點.求證:(1);(2)和互相平分.【變式3】(2021·全國·九年級專題練習)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點D,E分別是邊AB,AC的中點,延長BC到點F,使CF=BC.連結CD、EF,那么CD與EF相等嗎?請證明你的結論.考點2:直角三角形斜邊的鵝中線典例2:(2022秋·福建福州·八年級統(tǒng)考期中)如圖,在一塊含角的三角板()的頂點處作,垂足為.在的右側(cè)作使,連接,的延長線交于.設,,則下列式子成立的是(
)A. B.C. D.【變式1】(2022秋·新疆烏魯木齊·九年級??计谥校┤鐖D,中,,,,是內(nèi)部的一個動點,且滿足,則線段長的最小值為(
)A.2 B.1 C. D.【變式2】(2022秋·廣西貴港·九年級統(tǒng)考期中)如圖,在中,,由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得到的射線與交于點E,點F為的中點,連接,若,則的周長為(
)A.+1 B.+2 C.2+2 D.2+3【變式3】(2021·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題)如圖,在四邊形ABCD中,,點E是AC的中點,且(1)尺規(guī)作圖:作的平分線AF,交CD于點F,連結EF、BF(保留作圖痕跡,不寫作法);(2)在(1)所作的圖中,若,且,證明:為等邊三角形.考點3:等腰三角形三線合一性質(zhì)典例3:(2023秋·江西南昌·八年級統(tǒng)考期末)如圖所示,中,,于點E,于點D,交于F.(1)若,求的度數(shù);(2)若點F是的中點,求證:.【變式1】(2020·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題)如圖,中,AB=AC,AD是∠BAC的平分線,EF是AC的垂直平分線,交AD于點O.若OA=3,則外接圓的面積為(
)A. B. C. D.【變式2】(2022秋·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E點,DF⊥AC于點F,則下列四個結論:①AD上任意一點到AB,AC兩邊的距離相等;②AD⊥BC且BD=CD;③∠BDE=∠CDF;④AE=AF.其中正確的有()A.②③ B.①③ C.①②④ D.①②③④【變式3】(2022秋·吉林長春·八年級??茧A段練習)如圖所示,在中,,直線EF是AB的垂直平分線,D是BC的中點,M是EF上一個動點,的面積為12,,則周長的最小值是_______________.考點4:垂直平分線性質(zhì)典例4:(2022·新疆烏魯木齊·??家荒#┤鐖D,在矩形ABCD中,AB=4cm,對角線AC與BD相交于點O,DE⊥AC,垂足為E,AE=3CE,則DE的長為(
)A. B.2cm C. D.【變式1】(2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題)如圖,矩形中,,,對角線的垂直平分線交于點、交于點,則線段的長為__.【變式2】(2020·江西·統(tǒng)考中考真題)如圖,平分,,的延長線交于點,若,則的度數(shù)為__________.【變式3】(2020·江蘇連云港·中考真題)如圖,在四邊形中,,對角線的垂直平分線與邊、分別相交于、.(1)求證:四邊形是菱形;(2)若,,求菱形的周長.考點5:中線平分面積典例5:(2022秋·安徽滁州·八年級??茧A段練習)如圖,的面積為,垂直的平分線于,則的面積為(
)A. B. C. D.【變式1】(2021秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級統(tǒng)考期末)如圖,在中,平分,于點P,已知的面積為,則陰影部分的面積為(
)A. B. C. D.【變式2】(2021秋·福建福州·八年級福建省福州延安中學校考期中)如圖,△ABC中,AC=DC=3,AD平分∠BAC,BD⊥AD于D,E為AC的中點,則圖中兩個陰影部分面積之差的最大值為(
)A.1.5 B.3 C.4.5 D.6【變式3】(2023春·江蘇·八年級階段練習)如圖,在平行四動形紙板中,點,,分別為,,的中點,連接,,.將一飛鏢隨機投擲到平行四邊形紙板上,則飛鏢落在陰影部分的概率為________.考點6:倍長中線,構全等典例6:(2022秋·甘肅定西·八年級統(tǒng)考期中)如圖,在中,,,是邊上的中線,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【變式1】(2021秋·河南信陽·八年級??计谥校┤鐖D,已知AC平分∠DAB,CE⊥AB于E,AB=AD+2BE,則下列結論:①AB+AD=2AE;②∠DAB+∠DCB=180°;③CD=CB;④S△ACE﹣2S△BCE=S△ADC;其中正確結論的個數(shù)是()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【變式2】(2022秋·浙江杭州·八年級校聯(lián)考階段練習)如圖,在中,,D為邊AB的中點,E、F分別為邊AC、BC上的點,且,若,,則______,線段AB的長度______.【變式3】(2022秋·山東濱州·八年級統(tǒng)考期中)如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分別找一點M、N,使△AMN周長最小時,則∠AMN+∠ANM的度數(shù)是________.鞏固訓練一、單選題1.(2020秋·湖北黃石·八年級黃石八中校考期中)如圖,AD是△ABC的中線,E是AD上一點,延長BE交AC于F,若BE=AC,BF=9,CF=6,則AF的長度為(
)A.1 B.1.5 C.2 D.32.(2023·全國·九年級專題練習)如圖,在四邊形中,,,,,,點是的中點,則的長為(
).A.2 B. C. D.33.(2021春·浙江杭州·八年級杭州外國語學校??计谥校┤鐖D,在?ABCD中,BE垂直平分CD于點E,且∠BAD=45°,AD=3,則?ABCD的對角線AC的長為()A. B.5 C.5 D.24.(2022秋·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中)如圖,O為數(shù)軸原點,A,B兩點分別對應、3,作腰長為4的等腰,連接,以O為圓心,長為半徑畫弧交數(shù)軸于點M,則點M對應的實數(shù)為()A. B.4 C. D.2.55.(2023秋·廣東惠州·八年級??计谀┤鐖D,在中,,于點,為的中點,為上一動點.若腰上的中線長是3.則周長的最小值為()A.4 B.5 C.6 D.76.(2022秋·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中)如圖,,,,,點D是BC的中點,將沿AD翻折得到,連結BE,則線段BE的長為()A.2 B. C. D.7.(2023秋·四川雅安·九年級??计谥校┤鐖D,在中,點分別是邊的中點,點是線段上的一點,連接,,且,,則的長是(
)A.3 B.4 C.5 D.68.(2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模)如圖,在中,,將繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)得到,D是的中點,連接BD,若,,則線段的最大值為(
)A. B. C.3 D.49.(2022春·浙江杭州·九年級校考階段練習)如圖,在中,中線、相交于點O,連接,則的面積與的面積比是()A. B. C.2 D.410.(2022春·江蘇南京·八年級??计谥校┤鐖D,四邊形中,與不平行,,分別是、的中點,,,則的長可能是(
)A.4 B.6 C.8 D.1011.(2023春·江蘇·八年級專題練習)如圖,在正中,,,連接,若M、N分別為線段、的中點,則線段的長度等于()A. B. C. D.312.(2023春·江蘇·八年級專題練習)如圖,已知四邊形中,,點E、F分別是邊的中點,連接,則的長是()A. B.5 C. D.1013.(2022秋·廣東梅州·九年級??奸_學考試)如圖,射線射線CD,與的平分線交于點E,,點P是射線AB上的一動點,連結PE并延長交射線CD于點給出下列結論:是直角三角形;;設,,則y關于x的函數(shù)表達式是,其中正確的是
A. B. C. D.14.(2023春·八年級課時練習)如圖,在正方形中,點E,G分別在,邊上,且,,連接、,平分,過點C作于點F,連接,若正方形的邊長為4,則的長度是()A. B. C. D.15.(2023春·八年級課時練習)如圖,在ABC中,點E在邊AC上,EB=EA,∠A=2∠CBE,延長BD到F,使DF=DB,連接CF,過點C作CD⊥BF于點D,BD=16,AC=22,則邊BC的長為()A.8 B.9 C.10 D.12二、填空題16.(2020·天津·中考真題)如圖,的頂點C在等邊的邊上,點E在的延長線上,G為的中點,連接.若,,則的長為_______.17.(2021·全國·九年級專題練習)如圖,在直角坐標系中,⊙A的半徑為2,圓心坐標為(4,0),y軸上有點B(0,3),點C是⊙A上的動點,點P是BC的中點,則OP的范圍是_____.18.(2022春·九年級課時練習)如圖,在半徑為3的⊙O中,AB是直徑,AC是弦,D是的中點,AC與BD交于點E.若E是BD的中點,則AC的長是_______.19.(2022·天津·統(tǒng)考中考真題)如圖,已知菱形的邊長為2,,E為的中點,F(xiàn)為的中點,與相交于點G,則的長等于___________.20.(2021·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題)如圖,在矩形中,是邊上一點,是邊的中點,,則________.21.(2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題)如圖,矩形,,,點在軸正半軸上,點在軸正半軸上.當點在軸上運動時,點也隨之在軸上運動,在這個運動過程中,點到原點的最大距離為__.22.(2022秋·九年級單元測試)如圖,的半徑為2,圓心的坐標為,點是上的任意一點,,且、與軸分別交于、兩點,若點、點關于原點對稱,當線段最短時,點的坐標為______.24.(2023秋·江西宜春·八年級??计谀┤鐖D,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P為邊BC上一動點,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M為EF的中點,則AM的最小值是______________.26.(2022·安徽·統(tǒng)考中考真題)如圖,平行四邊形OABC的頂點O是坐標原點,A在x軸的正半軸上,B,C在第一象限,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C,的圖象經(jīng)過點B.若,則________.27.(2021·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題)如圖,已知,是角平分線且,作的垂直平分線交于點F,作,則周長為________.28.(2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題)如圖,正方形ABCD的邊長為8,點E是CD的中點,HG垂直平分AE且分別交AE、BC于點H、G,則BG=________.29.(2022秋·八年級課時練習)如圖,△ABC的面積是12,點D,E,F(xiàn),G分別為BC,AD,BE,CE的中點,則△AFG的面積是_____.30.(2022春·江蘇無錫·七年級宜興市實驗中學??茧A段練習)如圖,在中,點D在BC上,點E是AD的中點,點F在BE上,且,若,則________.三、解答題31.(2023·安徽合肥·合肥一六八中學??家荒#┤鐖D,在△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,CD⊥AB于點D,點E是AB的中點,連接CE.(1)若AC=3,BC=4,求CD的長;(2)求證:BC2﹣AC2=2DE?AB;(3)求證:CE=AB.32.(2021春·廣西南寧·八年級南寧市第四十七中學??计谥校┮阎喝鐖D,在中,,為的中點,、分別在、上,且于.求證:.33.(2023·全國·九年級專題練習)閱讀下面材料:數(shù)學課上,老師給出了如下問題:如圖,AD為△ABC中線,點E在AC上,BE交AD于點F,AE=EF.求證:AC=BF.經(jīng)過討論,同學們得到以下兩種思路:思路一如圖①,添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB,再利用AE=EF可以進一步證得∠G=∠FAE=∠AFE=∠BFG,從而證明結論.思路二如圖②,添加輔助線后并利用AE=EF可證得∠G=∠BFG=∠AFE=∠FAE,再依據(jù)AAS可以進一步證得△ADC≌△GDB,從而證明結論.完成下面問題:(1)①思路一的輔助線的作法是:;②思路二的輔助線的作法是:.(2)請你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法(要求:只寫出輔助線的作法,并畫出相應的圖形,不需要寫出證明過程).34.(2022·山西朔州·八年級??计谀﹩栴}背景:我們學習等邊三角形時得到直角三角形的一個性質(zhì):在直角三角形中,如果一個銳角等于,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.即:如圖(1),在中,,,則.探究結論:小明同學對以上結論作了進一步研究.(1)如圖(1),作邊上的中線,得到結論:①為等邊三角形;②與之間的數(shù)量關系為_________.(2)
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