1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

第一章

空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.3.2

空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)會求出空間向量的坐標(biāo)空間向量垂直，平行及模長的坐標(biāo)表示及應(yīng)用運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問題學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)回顧回憶上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了哪些知識？1.空間直角坐標(biāo)系的概念.2.空間點(diǎn)的坐標(biāo).3.空間向量的坐標(biāo).空間中點(diǎn)坐標(biāo)公式和重心坐標(biāo)公式

在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)

和點(diǎn)

的中點(diǎn)坐標(biāo)為:

在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)

，點(diǎn)

，點(diǎn)

，則△ABC的重心坐標(biāo)為:新課導(dǎo)入

前面我們通過引入空間直角坐標(biāo)系，將空間向量的坐標(biāo)與空間點(diǎn)的坐標(biāo)一一對應(yīng)起來.那么有了空間向量的坐標(biāo)表示，類比平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是否可以探究出空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示并給出證明？新知探究問題1

你能類比平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，類比出空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算？平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算類比空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算你能證明嗎？新知探究

下面證明：空間向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)為空間的一個單位正交基底,則：所以,得到利用向量數(shù)量積的分配律以及

由上述結(jié)論可知，空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示是完全一致的．平面向量的特殊位置關(guān)系空間向量的特殊位置關(guān)系設(shè)設(shè)當(dāng)時，當(dāng)時，

能否表示為？?問題2

平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可以幫助我們解決平行、垂直等位置關(guān)系以及距離等度量問題.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算是否仍然可以幫助我們解決這些問題？當(dāng)時，設(shè)能否表示為？?至少一個不為0.例如：當(dāng)與平面平行時，.此時無意義.因此，只有均不為0時，特殊地，與任意向量平行.當(dāng)時，平面向量的特殊位置關(guān)系空間向量的特殊位置關(guān)系設(shè)設(shè)當(dāng)時，當(dāng)時，設(shè)

則平面向量的長度和夾角空間向量的長度和夾角設(shè)設(shè)設(shè)

則你能證明空間兩點(diǎn)間的距離公式嗎？?能否用空間向量的坐標(biāo)表示長度和夾角？?如圖，建立空間直角坐標(biāo)系

，你能證明空間兩點(diǎn)間的距離公式嗎？?設(shè)，是空間中任意兩點(diǎn)，則于是所以這就是空間兩點(diǎn)間的距離公式為點(diǎn)到原點(diǎn)

的距離.一般到特殊設(shè)

則平面向量的長度和夾角空間向量的長度和夾角設(shè)設(shè)設(shè)

則新知探究問題2

我們回憶下平面向量的坐標(biāo)表示證明平行、垂直，求取模長、角度等問題。類比到空間向量中，是否有類似的公式？平面向量坐標(biāo)運(yùn)算已知,則當(dāng)時類比空間向量坐標(biāo)運(yùn)算已知,則當(dāng)時教材P21練習(xí)

問題3如圖，在棱長為2的正方體中，分別是

的中點(diǎn).(1)求證;如何用向量刻畫兩條直線垂直？?判斷垂直的依據(jù)如何建立空間直角坐標(biāo)系？?空間直角坐標(biāo)系(1)求證;建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則以為原點(diǎn)，所在直線為軸，軸，軸，所以又所以所以所以即問題3如圖，在棱長為2的正方體中，分別是

的中點(diǎn).(2)求與所成角的余弦值.向量的數(shù)量積分析：向量夾角的余弦值直線夾角的余弦值兩條直線的夾角與兩向量的夾角有區(qū)別嗎？?直線夾角的范圍向量夾角的范圍當(dāng)與所成的角為銳角或直角時：直線與所成的角和向量的夾角相等.當(dāng)與所成的角為鈍角時：直線與所成的角為向量夾角的補(bǔ)角.(2)求與所成角的余弦值.解：因?yàn)樗运运运耘c所成角的余弦值是問題4

你能從例2的解答過程中體會到根據(jù)問題的特點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用向量表示相關(guān)元素，并通過向量及其坐標(biāo)的運(yùn)算求解問題的基本思路嗎？新知探究建系表示運(yùn)算定結(jié)果

建立恰當(dāng)坐標(biāo)系

用向量表示元素

進(jìn)行向量坐標(biāo)運(yùn)算

由運(yùn)算結(jié)果定結(jié)論ADCBA1D1C1B1E1F1M典例解析例3

如圖示，在棱長為1的正方體ABCD

–A1B1C1D1中，M為BC1的中點(diǎn)，E1,F1分別在棱A1B1,C1D1上，(1)求AM的長.(2)求BE1與DF1所成角的余弦值.ADCBA1D1C1B1E1F1M典例解析例3

如圖示，在棱長為1的正方體ABCD

–A1B1C1D1中，M為BC1的中點(diǎn)，E1,F1分別在棱A1B1,C1D1上，(1)求AM的長.(2)求BE1與DF1所成角的余弦值.鞏固練習(xí)課本P213.在z軸上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A(1,0,2)與點(diǎn)B(1,-3,1)的距離相等.鞏固練習(xí)課本P214.如圖,正方體OABC-D'A'B'C'的棱長為a,點(diǎn)N,M分別在AC,BC'上,AN=2CN，BM=2MC',求MN的長.AOCBA'D'C'B'MN鞏固練習(xí)課本P21

5.如圖，在正方體ABCD

–A1B1C1D1中，M是AB的中點(diǎn)，求DB1與CM所成角的余弦值.ADCBA1D1C1B1M課堂達(dá)標(biāo)1.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若

，則AB1與BC1所成角的大小為().(A)60°(B)90°(C)105°(D)75°ACBA1C1B1xOyzB課堂達(dá)標(biāo)

C

課堂達(dá)標(biāo)3.若A(-1,2,3)，B(2,1,4)，C(m,n,1)三點(diǎn)共線，則m+n的值為______.

-3方法提煉

空間直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)坐標(biāo)向量運(yùn)算特殊位置關(guān)系幾何度量問題向量坐標(biāo)關(guān)注向量的夾角與直線的夾角的區(qū)別平行垂直長度夾角位置關(guān)系當(dāng)時，1

類比平面向量研究空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示（2）空間向量運(yùn)算坐標(biāo)表示的應(yīng)用:

設(shè)問題4回顧本節(jié)課探究空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示的過程，你學(xué)到了什么？設(shè)

則1

類比平面向量研究空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示（2）空間向量運(yùn)算坐標(biāo)表示的應(yīng)用:

設(shè)度量問題問題4回顧本節(jié)課探究空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示的過程，你學(xué)到了什么？2關(guān)注空間向量與立體幾何知識間的聯(lián)系回顧本節(jié)課探究空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示的過程，你學(xué)到了什么？化為向量問題建系，用空間向量表示立體圖形中點(diǎn)、直線等元素.進(jìn)行向量運(yùn)算進(jìn)行空間向量的運(yùn)算，研究特殊的位置關(guān)系與幾何度量.回到圖形問題把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論.專練：建系寫點(diǎn)坐標(biāo)

專練：建系