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文檔簡介
第三章
空間向量與立體幾何
3.4.3.3空間中的距離問題1.能用向量方法解決空間中點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面間的距離問題.2.通過空間中距離問題的求解,體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用.點(diǎn)到平面的距離一探究1
設(shè)點(diǎn)P是平面α外一點(diǎn),點(diǎn)A是平面α內(nèi)的已知點(diǎn),n0是平面α的單位法向量,如何求平面α外一點(diǎn)P到平面α的距離?知識(shí)梳理溫馨提示(1)如果兩個(gè)平面α,β互相平行,在其中一個(gè)平面α內(nèi)任取一點(diǎn)P,可將兩個(gè)平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面β的距離求解.(2)如果直線與平面平行,則轉(zhuǎn)化為直線上任一點(diǎn)到平面的距離.例1(鏈接教材P136例12)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中點(diǎn),AA1=AB=2.(1)求證:A1C∥平面AB1D;如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DC,DA所在直線為x軸、y軸,過點(diǎn)D且與AA1平行的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,(2)求點(diǎn)C1到平面AB1D的距離.思維升華如圖所示,已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=AF=2,∠ADC=60°.求點(diǎn)A到平面FBD的距離.訓(xùn)練1記AC∩BD=O,因?yàn)榱庑蜛BCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,所以易得AF⊥平面ABCD,以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)D所在直線為x軸,OA所在直線為y軸,過O點(diǎn)且平行于AF的方向?yàn)閦軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面FBD的法向量n=(x,y,z),探究2
如何利用直線的方向向量求直線l外一點(diǎn)P到直線l的距離呢?知識(shí)梳理若點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn),l0是直線l的單位方向向量,點(diǎn)A是直線l上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線l的距離d=_________________.溫馨提示相互平行的兩條直線間的距離可以轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.例2(鏈接教材P139例15)在長方體OABC-O1A1B1C1中,OA=2,AB=3,AA1=2,求O1到直線AC的距離.連接AO1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,思維升華在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,AD=2AB=4,且PD與底面ABCD所成的角為45°.求點(diǎn)B到直線PD的距離.訓(xùn)練2∵PA⊥平面ABCD,∴∠PDA即為PD與平面ABCD所成的角,∴∠PDA=45°,∴PA=AD=4,AB=2.以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.例3如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分別為OA,BC,AD的中點(diǎn),求直線MN與平面OCD的距離及平面MNR與平面OCD的距離.因?yàn)镸,R分別為AO,AD的中點(diǎn),所以MR∥OD.在正方形ABCD中,N,R分別為BC,AD的中點(diǎn),所以NR∥CD.又MR∩NR=R,OD∩CD=D,所以平面MNR∥平面OCD.又MN?平面MNR,所以MN∥平面OCD.所以直線MN與平面OCD的距離及平面MNR與平面OCD的距離都等于點(diǎn)N到平面OCD的距離.思維升華求線面距(直線與平面平行)和面面距(兩個(gè)平面平行)均可化為點(diǎn)面距求解.訓(xùn)練3已知邊長為4的正三角形ABC,E,F(xiàn)分別為BC和AC的中點(diǎn),PA=2,且PA⊥平面ABC,Q是CE的中點(diǎn).(1)求證:AE∥平面PFQ;如圖所示,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),平面ABC內(nèi)過點(diǎn)A且垂直于AC邊的直線為x軸,AC所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)锳E與FQ無交點(diǎn),所以AE∥FQ.又FQ?平面PFQ,AE?平面PFQ,所以AE∥平面PFQ.(2)求AE與平面PFQ的距離.由(1)知,AE∥平面PFQ,所以點(diǎn)A到平面PFQ的距離就是AE與平面PFQ的距離.設(shè)平面PFQ的法向量n=(x,y,z),1、背誦記憶線線平行的證明思路方法2、記憶直線和平面平行的方法3、背誦記憶面面平行的思路方法√由條件可得P(-2,1,4)到α的距離為√如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)平面ABC的法向量n=(x,y,z),4.設(shè)A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),則點(diǎn)D到平面ABC的距離為________.令z=-2,則n=(3
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