機械工程測試技術(shù)（第2版）課件：測量誤差分析與處理

測量誤差分析與處理機械工程測試技術(shù)（第2版）MechanicalEngineeringTestingTechnology學(xué)習(xí)導(dǎo)航7.1誤差的基本概念（ErrorBasicConcept）7.2隨機誤差（RandomError）7.3系統(tǒng)誤差（SystemError）7.4間接測量中的誤差計算（ErrorCalculationinDirectMeasurement)7.5測試數(shù)據(jù)測量（MeasurementofTestData）知識導(dǎo)圖7.1誤差的基本概念測量誤差與精度真值（truevalue）基本誤差源（sourcesofelementalerror）基本誤差分類：標(biāo)定誤差、數(shù)據(jù)采集誤差、數(shù)據(jù)處理誤差。按被測參量與時間的關(guān)系：靜態(tài)誤差和動態(tài)誤差。按性質(zhì)及產(chǎn)生原因，誤差可分為：

系統(tǒng)誤差：重復(fù)性測量條件下，對同一被測量進行多次測量結(jié)果的平均值與被測量真值之差。

隨機誤差：單次測試結(jié)果與在重復(fù)性條件下對同一被測量進行多次測量結(jié)果的平均值之差。

粗大誤差：一種明顯超出統(tǒng)計規(guī)律預(yù)期范圍的誤差。測量誤差與精度準(zhǔn)確度(justness):也稱正確度(correctness),測量數(shù)據(jù)的平均值偏離真實值的程度，是系統(tǒng)誤差的反映。精密度(precision):在進行某一量的測量時，各次測量的數(shù)據(jù)彼此接近的程度，是隨機誤差的反映。精確度(accuracy):簡稱為精度，指測量數(shù)據(jù)集中于真實值附近的程度。a)高準(zhǔn)確度，低精密度情形b)低準(zhǔn)確度，高精密度情形c)高準(zhǔn)確度、高精密度情形7.1誤差的基本概念7.1.2有效數(shù)字及其運算規(guī)則1.有效數(shù)字2.數(shù)字舍入規(guī)則1)若舍去部分的數(shù)值，大于保留部分的末位的半個單位，則末位加1,2)若舍去部分的數(shù)值，小于保留部分的末位的半個單位，則末位不變。3)若舍去部分的數(shù)值，等于保留部分的末位的半個單位，則末位湊成偶數(shù)－當(dāng)末位為偶數(shù)時末位不變，當(dāng)末位為奇數(shù)時則末加１。3.數(shù)據(jù)運算規(guī)則

在近似數(shù)運算中，為了保證最后結(jié)果有盡可能高的精度，所有參與運算的數(shù)據(jù)，在有效數(shù)字后可多保留一位數(shù)字作為參考數(shù)字，或稱為安全數(shù)字。7.1誤差的基本概念7.1誤差的基本概念7.1.3誤差的表示方法誤差(error):也稱絕對誤差(absoluteerror)，是測量值與其真值之差。相對誤差(relativeerror)

:測量誤差與真值之比。引用誤差(quotederror):絕對誤差與儀表的滿量程值A(chǔ)之比。7.2隨機誤差7.2.1隨機誤差分布規(guī)律正態(tài)分布式中，

測量值（隨機變量）；

被測量的平均值，表征測量值平均水平或集中趨勢的參數(shù)；

被測量的標(biāo)準(zhǔn)差，表征測量值相對于其中心位置的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布將一般正態(tài)分布化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，令隨機誤差分布規(guī)律則

的概率密度函數(shù)為：誤差落在區(qū)間的概率為：其中，

稱為置信系數(shù)，

稱為置信限，

稱為置信區(qū)間，概率P稱為置信水平。7.2隨機誤差7.2.2隨機誤差統(tǒng)計分析中心趨勢的度量平均值：中位數(shù)：位于序列中間數(shù)據(jù)的值，或位于中間的兩個數(shù)據(jù)的平

均值（若序列中元素的數(shù)量為偶數(shù)）。眾數(shù)：出現(xiàn)概率最大的隨機變量的值。7.2隨機誤差隨機誤差統(tǒng)計分析分散性的度量每次測量的偏差：平均偏差：總體的標(biāo)準(zhǔn)差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：7.2隨機誤差隨機誤差統(tǒng)計分析總體均值的區(qū)間估計在估計總體平均值時，將其表示為

或

其中，δ是誤差，

是樣本平均值。區(qū)間（

，

）為關(guān)于均值的置信區(qū)間。分別稱

、

為關(guān)于均值的置信下限和置信上限。置信區(qū)間取決于置信水平，平均值落入較大區(qū)間的置信水平比落入較小區(qū)間的置信水平高。置信水平一般通過顯著性水平（levelofsignificance）表示：7.2隨機誤差隨機誤差統(tǒng)計分析(1)大樣本（n＞30）事件總體均值的區(qū)間估計直接應(yīng)用中心極限定理估計置信區(qū)間。

7.2隨機誤差當(dāng)置信水平為隨機誤差統(tǒng)計分析 (2)小樣本(

)事件總體均值的區(qū)間估計由于標(biāo)準(zhǔn)差的誤差，小樣本情況下，可以使用分布統(tǒng)計量也可以寫成：

（當(dāng)置信水平為）

7.2隨機誤差隨機誤差統(tǒng)計分析總體方差的區(qū)間估計總體方差的最佳估計是樣本方差，對于正態(tài)分布的總體，可以應(yīng)用統(tǒng)計量估計置信區(qū)間。設(shè)隨機變量的平均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ.7.2隨機誤差可疑數(shù)據(jù)的取舍萊茵達準(zhǔn)則（3σ準(zhǔn)則）若測量值只含有隨機誤差，且按正態(tài)分布，則測量數(shù)據(jù)落在置信區(qū)間以外的概率只有0.27%。萊茵達準(zhǔn)則規(guī)定，如果實測數(shù)據(jù)的誤差滿足以下條件

則將作為異常數(shù)據(jù)處理。注：根據(jù)統(tǒng)計學(xué)原理，萊因達準(zhǔn)則不適用于測量次數(shù)的場合。7.2隨機誤差可疑數(shù)據(jù)的取舍肖維納準(zhǔn)則肖維納準(zhǔn)則也是以正態(tài)分布為前提，規(guī)定在n次測量中，某一誤差可能出現(xiàn)的次數(shù)小于半次就被認為是過失誤差。設(shè)任一次測量值的誤差落在區(qū)間

的概率為α，則誤差落在置信區(qū)間

之外的概率為對于n次測量，令隨機誤差落在置信區(qū)間

之外的次數(shù)等于1/2，則有于是7.2隨機誤差可疑數(shù)據(jù)的取舍則由式（8-10）得：若已知測量次數(shù)

，則可求出滿足肖維納準(zhǔn)則的

，再由積分表查得置信系數(shù)

。根據(jù)肖維納準(zhǔn)則，若某次測量所得誤差絕對值大于相應(yīng)的置信限

，應(yīng)予舍棄。7.2隨機誤差可疑數(shù)據(jù)的取舍格拉布斯準(zhǔn)則格拉布斯法假定測量結(jié)果服從正態(tài)分布，根據(jù)順序統(tǒng)計量來確定可疑數(shù)據(jù)的取舍。進行n次重復(fù)試驗，試驗結(jié)果為

，且

服從正態(tài)分布。為了檢驗

中是否有可疑值，可將其值由小到大順序重新排列，根據(jù)順序統(tǒng)計原則，給出標(biāo)準(zhǔn)化順序統(tǒng)計量g：當(dāng)最小值

可疑時，則：當(dāng)最大值

可疑時，則：7.2隨機誤差可疑數(shù)據(jù)的取舍根據(jù)格拉布斯統(tǒng)計量的分布，在給定的顯著性水平α（一般α=0.05）下，查得判別可疑值的臨界值

，見表8-4。該檢驗的拒絕域為：即標(biāo)準(zhǔn)化順序統(tǒng)計量大于其臨界值，即可認為其相應(yīng)數(shù)據(jù)為粗大誤差影響的可疑數(shù)據(jù)。利用格拉布斯準(zhǔn)則每次只能舍棄一個可疑值，若有兩個以上的可疑數(shù)據(jù)，應(yīng)該一個一個數(shù)據(jù)地判斷。即舍棄第一個數(shù)據(jù)后，試驗次數(shù)由n變?yōu)閚-1，以此為基礎(chǔ)再判別第二個可疑數(shù)據(jù)。7.2隨機誤差可疑數(shù)據(jù)的取舍t(yī)檢驗準(zhǔn)則

檢驗準(zhǔn)則是將測量列的

個測得值中可疑的測得值先剔除，然后按余下的個數(shù)據(jù)計算算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差值，再判斷數(shù)據(jù)是否含有粗大誤差。（不含）（不含）根據(jù)測量次數(shù)和所選取的顯著度α，從表8-5中查得k值。若所懷疑的數(shù)據(jù)

滿足下式：則可認為為可疑數(shù)據(jù)，應(yīng)予以剔除。7.2隨機誤差7.3系統(tǒng)誤差任何測量過程首先要注意發(fā)現(xiàn)與減小系統(tǒng)誤差，確保把它限制在允許的范圍內(nèi)。對于在實驗中無法補償?shù)南到y(tǒng)誤差，應(yīng)對測量結(jié)果進行修正。系統(tǒng)誤差有恒值系統(tǒng)誤差和變值系統(tǒng)誤差。恒值系統(tǒng)誤差（固定系統(tǒng)誤差）是在整個測量過程中的大小和符號都不變的誤差。變值系統(tǒng)誤差是指在測量過程中大小和符號都可能變化的誤差，變化規(guī)律可分為三種：1)線性變化－測量過程中誤差值隨某些因素作線性變化。2)周期性變化－系統(tǒng)誤差的數(shù)值或符號隨某些因素按周期規(guī)律變化。例如，軋輥有偏心，軋制時的精度誤差。3)復(fù)雜規(guī)律變化－按復(fù)雜規(guī)律，例如按指數(shù)規(guī)律變化。

系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響恒值系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響如果在多次重復(fù)測量時存在恒值誤差，則一組測量值

中的每一個都含有恒值系統(tǒng)誤差

。于是，不含系統(tǒng)誤差的測量值應(yīng)為其算術(shù)平均值為由偏差的定義，有恒值系統(tǒng)誤差只影響一系列重復(fù)測得值的算術(shù)平均值

，對測得值的偏差

沒有影響，即不影響隨機誤差的分散性及精度參數(shù)。7.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響變值系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響變值系統(tǒng)誤差對每個測量值有不同的影響，但有規(guī)律，不是隨機性的。設(shè)有一系列測得值

，并含有變值系統(tǒng)誤差

，則不含系統(tǒng)誤差的測量值為其平均值為如果測量中含有變值系統(tǒng)誤差，它將以算術(shù)平均值的形式影響測量結(jié)果，應(yīng)在消除或校正后，以

作為測量結(jié)果。在偏差

的計算中有偏差

受變值系統(tǒng)誤差的影響，即變值系統(tǒng)誤差影響測量結(jié)果的精確度。7.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識別與修正恒值系統(tǒng)誤差判別方法（1）對比檢定法在確認沒有明顯變值系統(tǒng)誤差的前提下，可以改用更理想的測量條件，進行檢定性測量。以此兩種不同的測量條件對同一量值進行次數(shù)相同的重復(fù)測量，求出兩者算術(shù)平均值之差，則該差值即為被判斷的測量條件下的定值系統(tǒng)誤差。（2）均值與標(biāo)準(zhǔn)差比較法對同一量值在測量條件不同，測量次數(shù)也不同的情況下進行兩組（或多組）測量。由于

和

是服從正態(tài)分布的隨機變量，故其差值

也服從正態(tài)分布（其分布的平均值為零，方差為

）。因此，可用區(qū)間的概率估計原理來判斷是否有恒值系統(tǒng)誤差，即7.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識別與修正在給定置信概率

時，若無定值系統(tǒng)誤差，則

應(yīng)不超過

；如果超出，則可認為

與

的差異不只是受隨機誤差影響，而且還有恒值系統(tǒng)誤差存在。這樣判斷的置信概率為

。7.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識別與修正變值系統(tǒng)誤差判別方法（1）偏差觀察法偏差觀察法是將一系列等精度測量值，按測量的先后順序把測得值及其偏差值列表，觀察其偏差數(shù)值及其符號的變化規(guī)律。若偏差數(shù)值有規(guī)律的遞增或遞減，并且在測量開始和結(jié)束時偏差符號相反，則可判定該測量列含有線性系統(tǒng)誤差。若在某一測量條件時，偏差基本上保持相同符號，當(dāng)變?yōu)榱硪粶y試條件時偏差均變號，則表明測量中含有隨測量條件而變的恒值系統(tǒng)誤差。若偏差的符號有規(guī)律地由正變負，再由負變正，或循環(huán)交替變化多次，則可判定該測量序列含有周期性誤差。7.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識別與修正（2）偏差核算法將測得值按測量先后順序排列，并將其分為前半組k個和后半組k個，兩組分別求和后相減，有當(dāng)測量次數(shù)n足夠多時，，所以上式表明前后兩部分偏差和的差值取決于系統(tǒng)誤差，因線性系統(tǒng)誤差前后兩組的符號相反，則

值將隨n的增大而增大。因此，若

值顯著不為零，則說明測量列中含有線性系統(tǒng)誤差。

7.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識別與修正（3）阿貝

赫梅特判據(jù)阿貝

赫梅特判據(jù)為：只要測量列滿足下式，就認為該測量列有周期性系統(tǒng)誤差存在。

7.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識別與修正系統(tǒng)誤差的修正（1）恒值系統(tǒng)誤差的修正方法代替法；相消法；對換法。

7.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識別與修正（2）線性變化系統(tǒng)誤差的修正方法例如測量電阻，

為被測電阻，

為已知電阻。設(shè)回路電流

隨時間線性降低，可用對稱測量法修正該線性誤差，方法如下：第一次測

兩端電壓為：第二次測

兩端電壓為：第三次測

兩端電壓為：

7.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識別與修正因電流下降是線性變化的，所以從上式可看出，因電流變化而引起的系統(tǒng)誤差已被修正。

7.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識別與修正（3）周期性變化系統(tǒng)誤差的修正只要讀取相隔半周期的兩次測量值，然后取平均值為測量結(jié)果，即可修正周期性變化的系統(tǒng)誤差。這是因為根據(jù)周期性變化系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律，有：變化半周期即

時，有取

和

的算術(shù)平均值，有

7.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識別與修正系統(tǒng)誤差修正準(zhǔn)則如果系統(tǒng)誤差或偏差代數(shù)和的絕對值不超過測量結(jié)果總誤差絕對值最后一位有效數(shù)字的一半，就認為系統(tǒng)誤差已被修正。測量結(jié)果的總誤差，一般只用一位或兩位有效數(shù)字表示，可用公式來表達上述準(zhǔn)則。設(shè)測量結(jié)果的總誤差絕對值為

，殘余系統(tǒng)誤差的代數(shù)和為

。當(dāng)

用兩位有效數(shù)字表示時當(dāng)

用一位有效數(shù)字表示時只要滿足上述條件，就可認為已修正系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響。

7.3系統(tǒng)誤差消除系統(tǒng)誤差的措施從產(chǎn)生誤差根源上消除系統(tǒng)誤差從產(chǎn)生誤差根源上消除誤差是最根本的方法，它要求測量人員對測量過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的環(huán)節(jié)作仔細分析，并在測量前就將誤差從產(chǎn)生根源上加以消除。用修正方法消除系統(tǒng)誤差預(yù)先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計算出來，做出誤差表或誤差曲線，然后取與誤差數(shù)值大小相同、符號相反的值作為修正值。

7.3系統(tǒng)誤差7.4間接測量中的誤差計算間接測試參量的估計值間接測量量

一般可以表示為相互獨立的直接測量量

的函數(shù)：由于各直接測得的參量

都是隨機變量，間接測量量

是隨機變量的函數(shù)，其分布參數(shù)（均值和標(biāo)準(zhǔn)差等）通常需要根據(jù)其自變量的分布參數(shù)計算。計算隨機變量函數(shù)分布參數(shù)的常用方法是矩法。在各隨機變量

的均值處做泰勒級數(shù)展開，有：上式即為間接測量量均值的近似估計。

間接測量誤差計算間接測量參數(shù)為

與各直接測量參數(shù)為

，二者之間的函數(shù)關(guān)系為

，進行微分運算有令

，并用增量代替微分，有：的可能最大誤差為：的最佳估計為：的相對誤差為：

7.4間接測量中的誤差計算7.5測試數(shù)據(jù)處理最小二乘線性擬合最小二乘法的實質(zhì)是使按回歸