藝考生專題講義09 函數(shù)的周期性與對稱性

考點09函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性知識梳理一．函數(shù)的周期性1.周期函數(shù)對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．2.最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．3．函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0)．二．函數(shù)圖象的對稱性(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(b，0)中心對稱．精講精練題型一對稱性【例1】已知函數(shù)定義域為，滿足，且對任意均有成立，則滿足的的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，因為對任意均有成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.由對稱性可知在上單調(diào)遞增.因為，即，所以，即，解得.故選：D.【舉一反三】1.已知函數(shù)，且，則下列不等式中成立的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由得圖象的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，故選：C.2.函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A． B．C． D．【答案】B【解析】∵在上是增函數(shù)，∴在上是增函數(shù)，由函數(shù)是偶函數(shù)，知：在上是減函數(shù)，而，由，∴.故選：B題型二周期性【例2】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，且，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】∵是奇函數(shù)，∴，又，∴是周期函數(shù)，周期為4．∴．故選：A．【舉一反三】1．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，若，則()A． B． C．0 D．2【答案】B【解析】因為定義在R上的奇函數(shù)滿足，所以所以，所以是周期函數(shù)，周期為4所以故選：B2．已知是R上的奇函數(shù)且，當時，，()A． B．2 C． D．98【答案】A【解析】，是以4為周期的函數(shù)，，是R上的奇函數(shù)，，.故選：A.3．若在上是奇函數(shù)，且有，當時，則()A．242 B．-242 C．2 D．-2【答案】D【解析】由是定義在上的奇函數(shù)，得，又時，，所以，因為對任意都有，所以4為的周期，所以故選：．題型三函數(shù)性質(zhì)的綜合運用【例3】已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，滿足，若，則__________．【答案】1【解析】因為，所以，所以，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).所以,,,所以原式等于故答案為：【舉一反三】1．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(1+x)=f(1?x)，且f(1)=a，則f(2)+f(3)+f(4)=()A．0 B．?a C．a(chǎn) D．3a【答案】B【解析】因為函數(shù)f(x)滿足f(1+x)=f(1?x)，所以f(x)關(guān)于直線x=1對稱，所以f(2)=f(0)，f(3)=f(?1)又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0，又由f(1+x)=f(1?x)可得f(x+1)=f(1?x)=?f(x?1)，所以f(x+2)=?f(x)，故f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，因此，函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(4)=f(0)，又f(1)=a因此f(2)+f(3)+f(4)=f(0)+f(?1)+f(0)=?f(1)=?a.故選B2．定義在上的函數(shù)滿足，且，則=__________?！敬鸢浮?1【解析】由題意知定義在上的函數(shù)滿足，得是奇函數(shù)，所以，即，賦值得，故，得周期是8，所以3.已知定義域的奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱