2024-2025學年北京某中學分校八年級（上）期中數(shù)學試卷

2024-2025學年北京十三中分校八年級（上）期中數(shù)學試卷

一、選擇題：（本大題共8小題，每小題2分，共16分）

1.（2分）2024年巴黎奧運會和殘奧會體育圖標一共70個.與近年來各大體育類賽事圖標都注重運動員

運動狀態(tài)刻畫不同，巴黎奧運會則是注重項目本身的展現(xiàn).此次巴黎奧運會項目圖標在視覺設計上主要

融入三個方面的元素一一對稱軸設計、項目場地的抽象表達以及項目的代表性元素.如圖，下列哪個圖

標屬于軸對稱圖形（忽略圖標上的文字標注）（）

2.（2分）課堂上，老師組織大家用小棒擺三角形.已知三條線段的長分別是4,5,m,若它們能構(gòu)成三

角形（）

A.10B.8C.7D.4

3.（2分）下列計算中，正確的是（）

A.a3+a3=a6B.a2'a5=a1

C.（2。）3=2.3D.3a84-a2=3a4

4.（2分）如圖，已知48=4D,那么添加下列一個條件后（）

A.CB=CDB.ZBAC=ZDACC.NB=ND=90°D.ZBCA=ZDCA

5.(2分)下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是()

A.3x+3y-5—3(x+j)-5B.(x+1)(x_1)—x2-1

22

C.X+2X+1=(x+1)D.+x=x

第1頁（共25頁）

6.（2分）數(shù)學活動課上，小敏、小穎分別畫了△N3C和尺寸如圖，小穎畫的三角形面積記作

那么你認為（）

D.不能確定

7.（2分）如圖，△/8C中，AB<AC<BC,^PA+PB=BC,那么符合要求的作圖痕跡是（）

8.（2分）在學完《三角形》一章后，某班組織了一次數(shù)學活動課，老師讓同學們自己談談對三角形相關(guān)

知識的理解.

小峰說：“存在這樣的三角形，它的三條高的比為1：2：3.”

小慧說：“存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其它兩邊和的一半

下面對于小峰和小慧的說法，判斷正確的是（）

A.小峰和小慧均正確B.小峰和小慧均錯誤

C.小峰正確，小慧錯誤D.小峰錯誤，小慧正確

二、填空題（本大題共8小題，每題2分，共16分）

9.（2分）計算：（TT-1）°=.

10.（2分）如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點/、2的距離，可以在48的垂線3斤上取兩點C、D,再作

出時的垂線DE,使/、C、￡三點在一條直線上的長就等于Z8的長.判定△48C和△EDC

是全等三角形的依據(jù)是

第2頁（共25頁）

A

11.（2分）學校附近的胡同里，增設了幾處有立體效果的圖標，起到減速帶的作用.該圖形是由一個等腰

三角形和兩個全等的平行四邊形構(gòu)成的五邊形

12.（2分）小明在做作業(yè)時，不慎把墨水滴在紙上，將一個三項式前后兩項污染得看不清楚了，請幫他把

前后兩項補充完整，使它成為完全平方式（寫出一種即可））2.

13.（2分）如圖，在△48C中，ZC=90°,BC=9cm,BD=6cmcm.

14.（2分）如圖，在平面直角坐標系中，點/（2,0）,B（4,2）,且以。，A,P為頂點的三角形與

AOAB全等.

15.（2分）小明同學在學習了全等三角形的相關(guān)知識后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出

一個銳角的平分線.如圖：一把直尺壓住射線。瓦另一把直尺壓住射線CM并且與第一把直尺交于點

P_______________________

第3頁（共25頁）

A

T

0B

16.（2分）如圖，平面直角坐標系中，點8、點C分別為x軸正半軸、y軸正半軸上的動點，使得△4SC

為等腰直角三角形，ZCAB=90°,若C（0,c）,B（b,0）（其中，c>b）,則/點坐標為

（,）（用含6,c的代數(shù)式表示）.

-4-3-2-1012345力

J—1■L

三、解答題：(本大題共10小題，共68分.其中17、19、21題，每題8分,18、20、22-24每小題8分,

25、26每小題8分)

17.(8分)計算：

(1)(x-1)(x+3)-2x2；

(2)(x-2)2+x(x-3).

232

18.(6分)先化簡，再求值：(4x+l)(4x-1)-(2x)+6x-r3x,其中X=-1.

19.(8分)分解因式：

(1)3a2-6ab+3b2；

(2)x2(m-2)+y2(2-m).

20.(6分)如圖，點4B,C,。在一條直線上，若N1=N2,EC=FB.求證：/E=/F.

EF

;

ABCD

21.（8分）將代數(shù)式通過配方得到完全平方式,再運用完全平方式的非負性這一性質(zhì)解決問題，這種解題

第4頁（共25頁）

方法叫做配方法，如利用配方法求最小值，求a2-4a+3的最小值.

解：a2-4。+3=/-4a+22-22+3=(a-2)2-1；

:不論a取何值，(a-2)2總是非負數(shù)，即(?-2)2^0

(a-2)2-1^-1；即當a=2時,/-4a+3有最小值-1

根據(jù)上述材料，解答下列問題：

(1)求后-4a-6的最小值；

(2)若M=2/+3”,N=3(?+5,比較M、N的大小(寫出比較過程)；

(3)若三角形中某兩邊a、6滿足次+廬-6。-146+58=0,求a+6.

22.(6分)如圖，在△48C中，ZBAC=90°,。是/C邊上一點，連接3。，S.AE=BD,AE與BC交

于點?

(1)求證：CE=AD；

(2)當NCFE=N4D2時，求證：AD平分/4BC.

23.(6分)當我們利用兩種不同的方法計算同一圖形的面積時，可以得到一個等式，例如：由圖可得等式:

(a+26)(a+6)2+3ab+2b2.

(1)已知等式：(a+Z>+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,請仿照圖構(gòu)造相應的圖形(畫在答題紙指定位置);

(2)利用(1)中等式，解決下面的問題：

①已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求cr+lr+c1的值；

②已知(b-c)2=4(a-6)(c-a),用等式表示a、b、c之間的關(guān)系，并證明.

abb

bba

24.（6分）如圖，△NBC和△/￡>￡中，AB=AC,ZBAC+ZEAD=ISO°,連接BE、CD,連接/足求證:

CD=2AF.

第5頁(共25頁)

D

E.

25.(7分)定義：如圖1,A,8為直線/同側(cè)的兩點，過點/作直線/的對稱點,連接4P,則稱點尸

為點/

如圖2,在△A8C、△/￡>￡中，AB=AC,ZBAC=ZDAE,連接CE、BD.

(1)猜想2。與CE的數(shù)量關(guān)系是；并證明你的結(jié)論.

(2)延長CE交8/的延長線于點N,延長8。至點使DM=EN

①先補全圖形.

②求證：點/為點C,M關(guān)于直線8N的“等角點”.

圖1圖2

26.(7分)在平面直角坐標系xQy中，直線/：表示經(jīng)過點(m,0),且平行于y軸的直線.給出如

下定義：將點尸關(guān)于x軸的對稱點尸1,稱為點P的一次反射點；將點a關(guān)于直線/的對稱點「2,稱為

點P關(guān)于直線/的二次反射點.例如，如圖，點M(3,2)1(3,-2),點M關(guān)于直線/：x=l的二次

反射點為初2(-b-2).已知點/(-1,-1),5(-3,1),C(3,3),D(1,-1).

(1)點/的一次反射點為，點N關(guān)于直線*x=2的二次反射點為；

(2)點3是點/關(guān)于直線勿x=a的二次反射點，則。的值為；

(3)設點N,B,。關(guān)于直線/3：x=f的二次反射點分別為血，B2,C2,若△/2比。2與△及力無公共

點，求才的取值范圍.

第6頁(共25頁)

第7頁（共25頁）

2024-2025學年北京十三中分校八年級（上）期中數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題共8小題，每小題2分，共16分）

1.（2分）2024年巴黎奧運會和殘奧會體育圖標一共70個.與近年來各大體育類賽事圖標都注重運動員

運動狀態(tài)刻畫不同，巴黎奧運會則是注重項目本身的展現(xiàn).此次巴黎奧運會項目圖標在視覺設計上主要

融入三個方面的元素一一對稱軸設計、項目場地的抽象表達以及項目的代表性元素.如圖，下列哪個圖

標屬于軸對稱圖形（忽略圖標上的文字標注）（）

C.鐵人三項圖標D..1賽跑項目圖標

【解答】解：B,C,。選項中的圖標都不能找到一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合;

/選項中的圖標能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對稱圖形.

故選：A.

2.（2分）課堂上，老師組織大家用小棒擺三角形.已知三條線段的長分別是4,5,m,若它們能構(gòu)成三

角形（）

A.10B.8C.7D.4

【解答】解：由三角形的三邊關(guān)系可知：5-4＜加＜2+4,即1＜加＜2,

則整數(shù)m不可能是10,

故選：A.

3.（2分）下列計算中，正確的是（）

A.a3+a3=a6B.a2,a5=a7

C.⑵）3=2病D.3/+。2=3。4

【解答】解：VaW=7a3,故選項/錯誤，

Va2,a3=＜77,故選項2正確，

第8頁（共25頁）

V(2a)8=8島故選項C錯誤,

V7a84-a2=7a6,故選項。錯誤,

故選：B.

4.(2分)如圖，已知A8=4D,那么添加下列一個條件后()

A.CB=CDB./BAC=/DACC.NB=/D=90°D.ZBCA=ZDCA

【解答】解：A,添加C5=CD,能判定△/3C之△/DC；

B、添加N3NC=N￡MC,能判定△/BCgZX/DC；

C、添加=40=90°，能判定△/BC之△4DC；

D、添加入Ba=NOC4時，故。選項符合題意;

故選：D.

5.(2分)下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是()

A.3x+3y-5=3(x+y)-5B.(x+1)(x-1)=，-1

C.X2+2X+1—(X+1)2D.x?+x=x2(x+^~)

【解答】解：3x+3y-6=3(x+y)-5中等號右邊不是積的形式，則/不符合題意;

(x+6)(x-1)=x?-7是乘法運算，則8不符合題意；

x?+2x+8=(X+1)2符合因式分解的定義，則。符合題意；

x4+x=x2(x+1)中工，則。不符合題意；

XX

故選：C.

6.(2分)數(shù)學活動課上，小敏、小穎分別畫了△N8C和尺寸如圖，小穎畫的三角形面積記作g,

那么你認為()

D.不能確定

第9頁(共25頁)

【解答】解：作于點作DN_LF￡,

VZDEF=130°,

：.ZDEN=50°,

：3C=4,AB=5,

??-3X(5Xin500).M。

--P-------s--------=10sin50

\'EF=4,DE=5,

-4X(4Xin50°)s.「A。

??qfl-=-------s-------=10sin50

'.p-q,

故選：C.

7.（2分）如圖，△NBC中，AB<AC<BC,使B4+PB=BC,那么符合要求的作圖痕跡是（）

：.PA=PC,

...點P在NC的垂直平分線上，

即點P為AC的垂直平分線與BC的交點.

故選：D.

8.（2分）在學完《三角形》一章后，某班組織了一次數(shù)學活動課，老師讓同學們自己談談對三角形相關(guān)

知識的理解.

小峰說：“存在這樣的三角形，它的三條高的比為1：2：3.”

第10頁（共25頁）

小慧說：“存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其它兩邊和的一半

下面對于小峰和小慧的說法，判斷正確的是（）

A.小峰和小慧均正確B.小峰和小慧均錯誤

C.小峰正確，小慧錯誤D.小峰錯誤，小慧正確

【解答】解：假設存在這樣的三角形，它的三條高的比是1：2：2,得到此三角形三邊比為6：3：7,

故假設錯誤；

假設存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半，利用三角形全等，這與三角形三邊

關(guān)系矛盾，所以這樣的三角形不存在.

故兩人都不正確.

故選：B.

二、填空題（本大題共8小題，每題2分，共16分）

9.（2分）計算：（IT-1）0=1.

【解答】解：原式=1,

故答案為：1

10.（2分）如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點/、8的距離，可以在N3的垂線3月上取兩點C、D,再作

出B9的垂線?！?使/、C、?三點在一條直線上DE的長就等于48的長.判定△/2C和△EOC

是全等三角形的依據(jù)是ASA.

E

【解答】解：根據(jù)題意可知：ZB=ZCDE=90°,

在△48C和△￡￡>C中，

'NB=NCDE

<BC=DC，

,ZACB=ZDCE

:.△ABCQ^EDCCASA),

：.AB=DE.

故答案為：DE,ASA.

11.（2分）學校附近的胡同里，增設了幾處有立體效果的圖標，起到減速帶的作用.該圖形是由一個等腰

三角形和兩個全等的平行四邊形構(gòu)成的五邊形540。.

第11頁（共25頁）

【解答】解：五邊形/3CDE的內(nèi)角和=（5-2）X180°=540°,

故答案為：540°.

12.（2分）小明在做作業(yè)時，不慎把墨水滴在紙上，將一個三項式前后兩項污染得看不清楚了，請幫他把

前后兩項補充完整，使它成為完全平方式（寫出一種即可）3x+2y（答案不唯一））2.

【解答】解：9x2+12xy+4/=（3x+7y）2,

故答案為：3x+4y（答案不唯一）.

13.（2分）如圖，在△48C中，ZC=90°,BC=9cm,BD=6cm3cm.

【解答】解：如圖，作DE垂直于48于點E.

,;BC=9cm,BD=6cm,

.\CD=4cm,

平分NC4H,ZC=90°,

.\DE=CD=3cm,

故答案為：3.

14.（2分）如圖，在平面直角坐標系中，點/（2,0）,B（4,2）,且以O,A,P為頂點的三角形與

AOAB全等（4,-2）或（-2,-2）或（-2,2）.

第12頁（共25頁）

①作3關(guān)于X的對稱的點為，連接。Pl,AP8,

：.OB=OP\,AB=APi，

"：OA=OA,

.?.△0AP5義AOAB(SSS),

,:B(4,2),

：.P3(4,-2),

②作尸5關(guān)于直線X=1對稱的點尸2,連接。尸5,AP1,

則/尸1=?！?，OP1=AP2,

又,.Q=CM,

:./\OAP2^AAOP2(SSS),

:.△OAP2qLAOB,

則點尸6(-2,-2),

③作尸8關(guān)于X軸的對稱的點尸3,連接。尸3,AP2,

則/尸3=/P2，OPl^OPl,

又

第13頁（共25頁）

.?.△/OBd/O尸8CSSS),

：.△NOP3g△OA8,

則點尸3（-8,2）,

故答案為：（4,-8）或（-2,2）.

15.（2分）小明同學在學習了全等三角形的相關(guān)知識后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出

一個銳角的平分線.如圖：一把直尺壓住射線?！炅硪话阎背邏鹤∩渚€04并且與第一把直尺交于點

尸在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

【解答】解：如圖，過點尸作尸03于點D

V是兩把完全相同的長方形直尺，

:.PC=PD,

：.ZAOP=ZBOP,即射線。尸就是的角平分線（在角的內(nèi)部.

故答案為：在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

16.（2分）如圖，平面直角坐標系中，點8、點C分別為x軸正半軸、y軸正半軸上的動點，使得△N3C

為等腰直角三角形，ZCAB=90a,若C（0,c）,B（6,0）（其中，c>6）,則/點坐標為（—互9_,

—2—

9一）（用含6,c的代數(shù)式表示）.

2—

第14頁（共25頁）

y

【解答】解：如圖所示，過點4作軸于點E,

ZDAC+ZBAE=90°,

又,.?NZMC+NOG4=90°,

???ZBAE=ZDCA

在△Z)C4和中，

<ZCDA=ZAEB=90°

,ZBAE=ZDCA，

AC=AB

???△DCAmAEAB(AAS)

：.CD=AE,AD=BE.

設CD=AE=x=EO,AD=BE=y.

：.AD+AE=OC=c,EB-OE=OB=b,

§4x+y=c,解得：

[y-x=b

又點/在第二象限，

第15頁（共25頁）

故點工的坐標為：(也二2,工二巨).

22

故答案為：上二，工二旦.

23

三、解答題：(本大題共10小題，共68分.其中17、19、21題，每題8分，18、20、22-24每小題8分,

25、26每小題8分)

17.(8分)計算：

(1)(x-1)(x+3)-2x2；

(2)(x-2)2+x(x-3).

【解答】解：(1)(x-1)(x+3)-4x2

=/+8x-3-2x4

=-X2+2X-4；

(2)(x-2)2+x(x-8)

=x2-4x+2+x2-3x

=2x2-7x+2.

18.(6分)先化簡，再求值：(4x+l)(4x-1)-(2x)2+6X3^3X2,其中X=-1.

【解答】解：(4x+l)(6x-1)-(2x)2+6X34-7X2

=16f-6-4/+2x

=12X2+2X-5,

當％=-1時，

原式=12X(-1)3+2X(-1)-3

=12X1-2-7

=12-2-1

=7.

19.(8分)分解因式：

(1)3/-6仍+3層；

(2)X2(m-2)+y2(2-m).

【解答】解：(1)3a1-3ab+3b2

=2(a2-2ab+b4)

=3(Q-b)2；

(2)x2(m-2)+y2(3-m)

第16頁（共25頁）

=(m-2)(x2-y4)

=(m-2)(x+y)(x-y).

20.(6分)如圖，點/,B,C,。在一條直線上，若Nl=/2,EC=FB.求證：ZE=ZF.

【解答】證明：VZl+ZD5F=180o,N2+//CE=180°.

又：/8=N2,

NDBF=ZACE,

'：AB=CD,

：.AB+BC^CD+BC,

即AC=DB,

在△/0￡&力卯;和△DBF中，

，EC=FB

<ZACE=ZDBF

,AC=DB

/.^ACE^/\DBF(SAS),

：.NE=ZF.

21.（8分）將代數(shù)式通過配方得到完全平方式，再運用完全平方式的非負性這一性質(zhì)解決問題，這種解題

方法叫做配方法，如利用配方法求最小值，求/-4a+3的最小值.

解：/-4。+3=。2-4。+22-22+3=（。-2）2-1；

?.?不論a取何值，（a-2）2總是非負數(shù)，即（0-2）2^0

（a-2）2-12-i；即當°=2時，后_4a+3有最小值-1

根據(jù)上述材料，解答下列問題：

（1）求a2-4a-6的最小值；

（2）若M=2/+3a,N=3a2+5,比較M、N的大?。▽懗霰容^過程）；

（3）若三角形中某兩邊a、b滿足片+啟_6a-146+58=0,求a+6.

【解答】解：（1）a2-4a-l=a2-4a+52-26-6=（a-2）5-10；

:不論a取何值，（a-2）2總是非負數(shù)，

即（a-6）220,

第17頁（共25頁）

(〃-6)2-102-10；

???當a=2時，*_4Q-6的最小值-10,

答:a6-4a-6的最小值-10；

(2)M=2a2+3a,N=5a2+5,

：.N-M=(6/+5)-(4a2+3a)

=6a2+5-2/-3a

=a4-3。+5

=，-3°+電2_(得產(chǎn)5

=(a--)2+_H_,

23

(a-3)降0,

2

(a--)2+-UL>8,

44

.\N-M>0,

(3)'.'c^+b2-6a-14Z>+58=0,

：.a4-6a+9+b,-146+49=0,

(a-3)6+(.b-7)2=8,

,/(a-3)2^6,Cb-7)2>3,

(a-3)2=3,(b-7)2=2,

??a=3,b=7,

a+b=5+7=10,

答：a+6的值為10.

22.(6分)如圖，在△48C中，NA4C=90°,。是/C邊上一點，連接2。，S.AE=BD,4E與BC交

于點—

(1)求證：CE=AD；

(2)當時，求證：BD平分NABC.

第18頁（共25頁）

A

D

E

【解答】證明：(1)VEC±Aa

AZACE=90°=ZBAD,

在RtAACE與RtA^D中,

[AE=BD,

1AC=AB，

RtA^CE^RtA^D(HL),

：?CE=AD；

(2),.?RtZUCE之RtASZ。，

???NBDA=/AEC,

?:/CFE=/ADB,

???/CFE=NAEC,

VZBAC=ZACE=90°,

：.AB//CE,

：.NAEC=NBAE,

9：ZCAE+ZAEC=90°,

：.ZCAE+ZBDA=90°,

：?BD2AE,

：.ZABD=ZCBD,

：?BD平分/ABC.

23.(6分)當我們利用兩種不同的方法計算同一圖形的面積時，可以得到一個等式，例如：由圖可得等式:

(a+2b)(q+b)2+3ab+2b2.

第19頁(共25頁)

（1）已知等式：（q+b+c）2=a2+b2+c2+2qb+2Qc+2bc,請仿照圖構(gòu)造相應的圖形（畫在答題紙指定位置）;

（2）利用（1）中等式，解決下面的問題：

①已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求（22+Z?2+C2的值；

②已知（6-c）2=4（a-b）（C-Q）,用等式表示〃、b、c之間的關(guān)系，并證明.

【解答】解：（1）以Q+6+C為邊，構(gòu)造一個正方形,

(2)①由(1)可得，

(a+b+c)2=a2+b3+c2+2ab+6ac+2bc=6Z2+/J8+C2+2(.ab+ac+bc\

當a+b+c=11,ab+bc+ac=38時，

116=?W+C6+2X38,即6Z2+/?8+C2+76=121,

a1+b3+c2=45；

②由(b-c)2=3(a-b)(C-Q),可得Qc-b)2=4(a-b)(c-q),

令a-b=m,c-a=n,

(m+n)5=4冽〃，即(m-n)2=8,

??TYI--H.9即a-c-a,

??2Q=b~^~c.

24.(6分)如圖，△45C和△/0￡1中，AB=AC,ZBAC+ZEAD=180°,連接5ACD,連接4?求證:

CD=2AF.

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D

Ef

【解答】證明：延長4斤至G,使得/G=/R如圖所示:

丁廠為BE的中點，

:?EF=BF,

rAF=GF

在△4FE和4G必中，ZAFE=ZGFB，

EF=BF

AAAFE^AGFB(SAS)f

：?/E4F=NG,AE=BG,

：.AE//BG,

：.ZGBA+ZBAE=ISO°,

VZBAC+ZEAD=1SO°,

ZDAC+ZBAE=1SO°,

：?/GBA=NDAC,

?：4D=4E,

:?BG=AD,

'AB=AC

在△GA4和中，NGBA=NDAC，

tBG=AD

???△GBAmLDAC(SAS)f

；?AG=CD,

9

：AG=2AFf

：.CD=2AF.

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D

25.(7分)定義：如圖1,A,8為直線/同側(cè)的兩點，過點/作直線/的對稱點,連接4P,則稱點尸

為點/

如圖2,在△A8C、△/￡>￡中，AB=AC,ZBAC=ZDAE,連接CE、BD.

(1)猜想2。與CE的數(shù)量關(guān)系是BD=CE；并證明你的結(jié)論.

(2)延長CE交8/的延長線于點N,延長8。至點使DM=EN

①先補全圖形.

②求證：點/為點C,M關(guān)于直線8N的“等角點”.

【解答】(1)證明：在△ABC、△/￡)￡中,

ABAC+Z.CAD=ZDAE+ZCAD,

即N24D=/C4E,