河南省焦作市2022-2023學年高二下學期期中數(shù)學試卷(解析)

高中數(shù)學精編資源絕密★啟用前焦作市普通高中2022—2023學年（下）高二年級期中考試數(shù)學考生注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.或C. D.【答案】C【解析】【分析】解對數(shù)函數(shù)不等式化簡集合A，然后利用交集運算求解即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，又，所以.故選：C2.已知函數(shù)且（其中是的導函數(shù)），則實數(shù)（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】求出導函數(shù)，由可求得．【詳解】由已知，所以，解得．故選：C．3.已知隨機變量X的數(shù)學期望，方差，若隨機變量Y滿足，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)期望和方差的兩個公式，計算即可.【詳解】因為隨機變量X的數(shù)學期望，方差，所以.故選：B4.已知雙曲線的焦距為，若，c，c成等比數(shù)列，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列建立方程，再由可求出即可得解.【詳解】因為，c，c成等比數(shù)列，所以，即，解得，因為雙曲線，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：C5.記為等比數(shù)列的前n項和．若，則（）A.12 B.15 C.18 D.21【答案】B【解析】【分析】設公比為，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，分與兩種情況討論，可求出結(jié)果.【詳解】設公比為，當時，由，，解得，則；當時，由，，得，顯然，從而得，即，得，即，解得或，均不符合題意，綜上，.故選：B．6.若曲線在處的切線的傾斜角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出，然后利用二倍角公式及弦切互化計算即可.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：D7.已知在數(shù)列中，，則（）A. B.1 C.3 D.2【答案】B【解析】【分析】由題意可得數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且，由此計算即可得出結(jié)果.【詳解】由，可得，，，所以數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且，因為，則.故選：B．8.已知數(shù)列的通項公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】由題意得數(shù)列為遞增數(shù)列等價于“對任意恒成立”，得，即對任意恒成立，故，所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選：A.9.“保護環(huán)境，綠色出行”是現(xiàn)代社會提倡的一種環(huán)保理念．小紅早上上學的時候，可以乘坐公共汽車，也可以騎單車，還可以步行．已知小紅騎單車的概率為0.5，乘坐公共汽車的概率為0.4，步行的概率為0.1，而且騎單車、乘坐公共汽車、步行時，小紅準時到校的概率分別為0.9，0.9，0.8，則小紅準時到校的概率是（）A.0.9 B.0.89 C.0.88 D.0.87【答案】B【解析】【分析】分別求出乘坐公共汽車和騎單車、步行準時到校的概率，然后求和即為準時到校的概率.【詳解】小紅上學騎單車準時到校的概率為，乘坐公共汽車準時到校的概率為，步行準時到校的概率為，因此小紅準時到校的概率為：，故選：B10.的展開式中的系數(shù)是（）A.20 B. C.10 D.【答案】D【解析】【分析】先把二項式分為三部分，分別求每個二項式展開式中的系數(shù)計算即可.【詳解】因為,展開式中的項是,則展開式中的系數(shù)是.故選:D.11.已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)a的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對求導，由在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可得在恒成立，即在恒成立，令，轉(zhuǎn)化為求，可得的取值范圍；【詳解】的定義域為，，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則在恒成立，則，即，令，，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.故，故實數(shù)a的最小值為.故選：A12.設，則（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】令，，利用導數(shù)可求得的單調(diào)性，從而確定，，令即可得到大小關系.【詳解】令，，則，在上單調(diào)遞增，，即；取，則令，，則，在上單調(diào)遞增，，即；取，則，即，即，綜上，.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查采用構造函數(shù)的方式比較大小的問題，解題關鍵是能夠根據(jù)的形式的共同點，準確構造函數(shù)和，利用導數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性后，通過賦值來確定大小關系.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，．若為的導函數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】先利用奇函數(shù)性質(zhì)求出時函數(shù)的解析式，求出導函數(shù)，代入計算即可.【詳解】當時，，，所以，即當時，，所以，所以，故答案為：14.寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)解析式：__________．①定義域為R；②值域為；③是單調(diào)遞減函數(shù)．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的三個性質(zhì)，寫出符合條件的函數(shù)即可.【詳解】的定義域為,的值域為，在上為減函數(shù).故答案為：（答案不唯一）15.已知函數(shù)，則的極小值為__________．【答案】【解析】【分析】求函數(shù)的導數(shù)，判斷給定區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的極小值.【詳解】因為，所以，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，故當，取極小值.故答案為：．16.已知數(shù)列的前n項和為，若（為非零常數(shù)），且，則__________．【答案】12【解析】【分析】由所給的遞推關系，令計算出，代入即可得出結(jié)果.【詳解】由，，當時，，即，得，當時，，即，得，當時，，即，得，因為，即，又，解得.故答案為：12．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，且，角A為銳角．（1）求角A的大?。唬?）若的外接圓面積為，求b．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題設結(jié)合正弦定理及兩角和的正弦公式可得，由求得，，即可得出角；（2）由的外接圓面積得出外接圓半徑，由求出，由正弦定理可得，即可得出結(jié)果．【小問1詳解】∵，∴由正弦定理可得，即，即，∵，∴，∴，又∵A為銳角，∴．【小問2詳解】由于的外接圓面積為，故外接圓半徑為，∵，∴由正弦定理可得．18.已知正項等比數(shù)列的前n項和為，且．（1）證明：數(shù)列等比數(shù)列；（2）已知數(shù)列滿足，求的前n項和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先通過等比數(shù)列通項公式及前n項和公式列方程求出通項公式及前n項和，然后利用等比數(shù)列的概念證明即可；（2）先求出，然后利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】設的公比為，∵，∴，解得，∴，∴，,又∴數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）可知，等比數(shù)列的通項公式為，∴．∴，，兩式相減得，∴．19.研究表明，過量的碳排放會導致全球氣候變暖等環(huán)境問題，減少碳排放具有深遠的意義．中國明確提出節(jié)能減排的目標與各項措施，工業(yè)和信息化部在2022年新能源汽車推廣應用中提出了財政補貼政策后，某新能源汽車公司的銷售量逐步提高，如圖是該新能源汽車公司在2022年1~5月份的銷售量y（單位：萬輛）與月份x的折線圖．（1）依據(jù)折線圖計算x，y的相關系數(shù)r，并據(jù)此說明可用線性回歸模型擬合y與x的關系；（若，則線性相關程度很強，可用線性回歸模型擬合）（2）請建立y關于x的線性回歸方程，并預測2022年8月份的銷售量．參考數(shù)據(jù)及公式：，相關系數(shù)，在線性回歸方程中，．【答案】（1），說明見解析（2），9.25萬輛【解析】【分析】（1）由折線圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合公式求得，即可得到結(jié)論；（2）由（1）中的數(shù)據(jù)，利用回歸系數(shù)的公式，求得和，得出回歸直線方程，令時，求得的值，即可求解．【小問1詳解】解：由該新能源汽車公司在2022年1~5月份的銷售量y與月份x的折線圖中的數(shù)據(jù)，可得，，，，所以，故可用線性回歸模型擬合y與x的關系．【小問2詳解】解：由（1）中的數(shù)據(jù)，可得，則，故y關于x的線性回歸方程為，當時，．故可以預測2022年8月份的銷售量為萬輛．20.如圖，在四棱錐中，，，，，．（1）求證：平面．（2）在線段上是否存在一點H（與端點A，B不重合），使得二面角的余弦值為？若存在，請確定H點的位置；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，H是線段的中點【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出線線垂直，再由線面垂直的判定定理求解即可；（2）建立空間直角坐標系，設，利用向量法求出二面角的余弦值，解之即可.【小問1詳解】由題可知在中，．∵，∴．又∵是等腰直角三角形，∴，∴．又，∴，∴．∵平面平面，∴平面．【小問2詳解】以E為原點，直線，分別為x軸、y軸，過點E且與平面垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則．易知平面的一個法向量為．設，則．設平面的法向量為，，則，即，令，則，∴．由題意可知二面角為銳二面角，∴，解之得，∴H是線段的中點．21.已知拋物線C：的焦點為F，為該拋物線上一點．（1）求的值；（2）若斜率為2的直線l與拋物線C交于異于點P的A，B兩點，且滿足，求直線l的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將點P代入拋物線方程求出拋物線方程，然后利用焦半徑公式求解即可；（2）設直線方程，代入拋物線方程，結(jié)合韋達定理及數(shù)量積的坐標運算建立方程，求解即可.【小問1詳解】因為為該拋物線上一點，所以，則，所以拋物線方程為，由拋物線定義知．【小問2詳解】設直線l的方程為，聯(lián)立，整理可得，由，可得，所以，因為，所以，所以，所以，則，即，解得或，又當時，直線l經(jīng)過點P，所以不符合題意，故直線l的方程為.22已知函數(shù)．（1）若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)，證明：當時，恒成立．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，令，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍；（2）先構造函數(shù)利用導數(shù)證明當時，不等式成立，則問題轉(zhuǎn)化為證明恒成立，即證恒成立，即證在上恒成立，再構造函數(shù)利用導數(shù)證明即可．【小問