2024-2025學(xué)年上海某中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

2024-2025學(xué)年廣東省茂名市化州一中高二(上)月考

數(shù)學(xué)試卷(10月份)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合U=口,2,3,4,5},A={1,2,4},B={1,5},貝。仁川)CB=()

A.OB.{1}C.{5}D.{1,5}

2.已知空間中兩個不重合的平面a和平面0,直線/u平面a,則，〃優(yōu)'是“a〃優(yōu)’的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.設(shè)向量記=(cos0,sin。),元=(3,2),若沅_L元,則tcm20等于()

AUBAc__—D——

A，561212u'5

4.國家射擊運(yùn)動員甲在某次訓(xùn)練中的5次射擊成績(單位：環(huán))為9,6,m,10,8,其中爪為整數(shù)，若這5

次射擊成績的第40百分位數(shù)為8,則機(jī)=()

A.6B.7C.8D.9

5.函數(shù)y=(2*+3—2(a>0,a力1)的圖象恒過定點(diǎn)4,若點(diǎn)4在直線、+，=一1上，且n>0,貝歸?n+

門的最小值為()

A.13B.16C.11+6<2D.28

6.牛頓冷卻定律(Newton'slawofcooling)是牛頓在1701年用實(shí)驗確定的：物體在空氣中冷卻，如果物體

的初始溫度為生℃,環(huán)境溫度為詼。(：，貝狂分鐘后物體的溫度火單位：久)滿足：8=拆+(的-焉”一".已

知環(huán)境溫度為20。&一塊面包從溫度為120久的烤箱里拿出，經(jīng)過10分鐘溫度降為70冤，那么大約再經(jīng)過

多長時間，溫度降為3(rC?(參考數(shù)據(jù)：伍2=0.7,"371.1,"5=1.6)()

A.33分鐘B.28分鐘C.23分鐘D.18分鐘

7.設(shè)2,B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，且PQ4)=標(biāo)P(B)=|,P(X+B)=|,則PQ48)=()

1121

A-3B5C5DW

8.已知函數(shù)f⑺=白哧絲匕g(x)=ax+l(aH°),若丫=f(久)和y=g(x)圖象存在3個交點(diǎn)(%,乃)，

(%2,72)，(%3,%)，則%+丫2+丫3=()

A.1B.2C.3D.4

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知函數(shù)/(%)=2sinxcosx—2sin2x,給出下列四個選項，正確的有()

A.函數(shù)/(%)的最小正周期是7T

B.函數(shù)f(x)在區(qū)間有刑上是減函數(shù)

C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-弟。)對稱

O

D.函數(shù)/(久)的圖象可由函數(shù)y=dis譏2x的圖象向左平移J個單位，再向下平移1個單位得到

10.若三條直線匕：2x—y+1=0,l2：x+y—1=0,Z3：2%+ay+a-2=0可以圍成一個三角形，則

實(shí)數(shù)a的值可以為()

A.-1B.0C.1D.3

11.在正方體48CD—AiBiGDi中，點(diǎn)P滿足前=4就+〃西，其中;16[0,1],E[0,1],貝1|()

A.當(dāng)2=〃時，2]?〃平面AC。]

B.當(dāng)4=1時，三棱錐P-&BC的體積為定值

C.當(dāng)2=1時，APB。的面積為定值

D.當(dāng)2+〃=1時，直線&D與。止所成角的范圍為有芻

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.經(jīng)過4(3,4),B(-l,c)兩點(diǎn)的直線/的方向向量為(1,2),則直線Z的方程為.

13.若二次函數(shù)/(%)=--2%+in在區(qū)間(0,4)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ni的取值范圍是.

14.若復(fù)數(shù)z=A(1+sind-也羅)+isin9(S)<8<兀)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于直線y=x上，則2的最大值

為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

為檢測同學(xué)體能，學(xué)校從高一年級隨機(jī)抽取了100名同學(xué)參加體能測試，并將成績分?jǐn)?shù)分成五組：第一組

[45,55),第二組[55,65),第三組[65,75),第四組[75,85),第五組[85,95],繪制成如圖所示的頻率分布直

方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3,第一組和第五組的頻率相同.

(1)估計這100名同學(xué)體能成績分?jǐn)?shù)的平均分和第66百分位數(shù)；

(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人進(jìn)行成績分析，第二組同學(xué)成績的平均數(shù)和方差分別

為62和40,第四組同學(xué)成績的平均數(shù)和方差分別為80和70,據(jù)此估計這次第二組和第四組所有同學(xué)成績

的方差.

16.(本小題15分)

直線I的方程為(m+l)x+y—2m-3=0(mER).

(1)證明直線1過定點(diǎn)；

(2)已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線I分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于4、B兩點(diǎn)，當(dāng)AdOB的面積最小時，求

A的周長及此時直線I的方程.

17.(本小題15分)

設(shè)A4BC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且(b+a)(sinz_ABC—sinNBAC)=c(sinZ718C—sinC),

BC,AC邊上的兩條中線2D,BE相交于點(diǎn)P.

(1)求/BAC；

(2)若力D=C,BE=2,3s乙DPE=<求△ABC的面積.

18.(本小題17分)

如圖，在三棱柱ABC—41816中，側(cè)面4B8141，均為正方形，AB=BC=2,AB1BC,。是4B

的中點(diǎn).

(1)求證：BC，/平面力iDC；

(2)求二面角D-&C-4的余弦值.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)/'(x)=log2a-x2).

(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間(只需寫出結(jié)果即可);

(2)求不等式/(2Y-1)</(x)的解集；

(3)若方程[/(x)]2一機(jī)"(x)+n=0在區(qū)間(一1,1)內(nèi)有3個不等實(shí)根，求4"+】-5-2機(jī)+；的最小值.

4

參考答案

1.C

2.5

3.2

4.C

5.B

6.C

1.D

8.C

9.AB

10.BD

11.ABD

12.2%—y—2=0

13.(-8,1]

14.72-1

15.解:(1)由鹿忌可知:|io(o,o45+0Q2O+a)=0.7'

解彳導(dǎo).y=0.005

用牛行，5=0.025

則每組的頻率依次為：0.05,0.25,0.45,0.2,0.05,

所以平均數(shù)為50X0.05+60x0.25+70X0.45+80X0.2+90x0.05=69.5,

因為0.05+0.25=0.30<0.66,0.05+0.25+0.45=0.75>0.66,

設(shè)第66百分位數(shù)為x,則久e[65,75),

則0.30+(乂-65)x0.045=0.66,解得:%=73,

故第66百分位數(shù)為73；

(2)設(shè)第二組、第四組同學(xué)成績的平均數(shù)與方差分別為五,五，S「S2，

且兩組頻率之比為何=也

所以第二組和第四組所有同學(xué)成績的平均數(shù)1=5義62廣80=70,

則第二組和第四組所有同學(xué)成績的方差為：

S?=|對+(Xi-X)2]+*同+(%2-乂溝

=|[40+(62-70)2]+([70+(80-70)2]

400

二

故估計第二組和第四組所有同學(xué)成績的方差是竽.

16.解：(1)直線/的方程(m+l)x+y-2m—3=0變形為—2)+x+y—3=0,

由得到x=2,y=l,

又％=2,y=l時，(租+1)%+y-2m-3=0恒成立，故直線，恒過定點(diǎn)(2,1)；

(2)由(zu+l)x+y—2m—3=0,

令％=0,得到y(tǒng)=2m+3>0,令y=0,得到％=苦洋>0,

故相>-1,

所以工4隗=2、(2根+3)、鬻=陪，

令Tn+1=t>0,得到S—OB=('：)—4+4t+—>2J4t?工+4=8,

當(dāng)且僅當(dāng)4t=：,即t=：時取等號，此時爪=一,

直線I的方程為％+2y-4=0,

又4(4,0),B(0,2),AB=V42+22=2/5,

當(dāng)A40B的面積最小時，△4。8的周長為6+2，虧，此時直線/的方程為x+2y-4=0.

17.解：(1)因為(b+a)(sinZ71BC—sinZ.BAC)=c(sinZ-ABC—sinC),

由正弦定理得(b+a)(b-a)=c(b-c),

整理可得力2+c2-a2=be,

由余弦定理得cosNBAC=廬=1,

而乙84ce(0,兀)，

所以NBAC=g；

(2)因為8C,2C邊上的兩條中線4。，BE相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P是三角形的重心,

則小=第=手，BP=竽智

因為N4PB=NDPE,AD=77,BE=2,cos乙DPE==,

14

所以在△4BP中，由余弦定理0?=AB2=PA2+PB2-2PA-PBcos乙APB=(早產(chǎn)+-2x^x^x

<7

IP

所以c=2,又BE=2,ABAC-p則&E=2,

所以b=2AE=4,

1

42

-XXXn7T-

所以△ZBC的面積為5=2si3=2v3.

18.解:(1)證明:如圖,連接AQn&C=E,連接DE,

在三棱柱ABC—4/1G中，側(cè)面4CC14是平行四邊形，所以E是4G的中點(diǎn),

又D是4B的中點(diǎn)，所以DE//BQ,又DEu平面BC】C平面

所以BG〃平面&DC；

(2)因為側(cè)面力BBMi，BCC/i均為正方形，所以B8114B,BBr1BC.

又AB,BCu平面ABC,ABCBC=B,

所以BBi1平面48C,

故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以｛元，瓦?，西｝為一組正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，

因為力B=BC=2,側(cè)面4BB141，BCC/i均為正方形，所以&A=2,4C=

又C(2,0,0),￡>(0,1,0),41(0,2,2),

所以而=(一2,1,0),砸=(0,-1,-2).

設(shè)平面&DC的法向量為元=(久,y,z),

(n-CD=-2x+v=0

則L一.，取元=(12—1),

[n-ArD=-y-2z=0

又前=（2,-2,0）,理=（0,0,2），

設(shè)平面/遇。的法向量萬=（%'，〃），

（m-AC=2xf—2yr=0口「一/一八、

則ntl——>,y，取記=（1,1,0）.

設(shè)二面角4-DC—Z的大小為仇由圖知6為銳角，

所以cose=Icos〈記，元）|=嘉=7^77=T-

所以二面角。-&C一A的余弦值為苧.

19.解：（1）由/（x）=1。。2（2-*2）,得2-/>（）,解得xe（-V2,Y1）,

又?.?）/=1082%在（0,+8）單調(diào)遞增，y=2-/在（一，2,0）單調(diào)遞增，在（0,42）單調(diào)遞減,

/（X）=log2（2一萬2）的單調(diào)增區(qū)間為（_/%0）；