2025高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)-函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)-函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性-專項(xiàng)訓(xùn)練TOC\o"1-3"\h\u一、重難點(diǎn)題型歸納 1題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式 1題型3構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值 3題型4對稱性、奇偶性的運(yùn)用 4◆類型1對稱軸 5◆類型2中心對稱+軸對稱構(gòu)造周期性 6◆類型3“類”周期函數(shù) 7◆類型4對稱性解決恒成立 8題型5三角函數(shù)中的對稱性問題 9題型6復(fù)雜奇函數(shù)問題 11題型7函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題 12題型8兩個(gè)函數(shù)的對稱問題 13二、最新真題、?？碱}組練 14題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式1、對于任意x1,x2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配圖解不等式3、涉及到偶函數(shù)時(shí)：如果口朝上：誰離對稱軸（x=0）遠(yuǎn)，誰的函數(shù)值就大；如果口朝下：誰離對稱軸（x

【例題1】（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x+2)=A．?∞,?2 B．?2,C．?∞,?2∪0,+∞ 【變式1-1】1.（2023·湖南常德·常德市一中?？寄M預(yù)測）定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足fx?f?x=xexA．?23,2 B．2,+∞ C．?∞,?2【變式1-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=sinx?1+ex?1A．3,+∞ B．1,+∞ C．?∞【變式1-1】3.（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=ex?1+e1?A．?4 B．?12 C．2 【變式1-1】4.（2024·廣西·廣西師范大學(xué)附屬外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=ax(A．?23 B．?34 C．【變式1-1】5.（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)f(x)是定義在R的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減，若實(shí)數(shù)a滿足f題型2利用奇偶性、周期性對稱性求值函數(shù)周期性的常用結(jié)論與技巧設(shè)函數(shù)y=fx①若f(x+②若f(x+③若f(x+④若f(x+⑤f(x【例題2】（2022·全國·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x),g(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(3)=2，若對任意x∈R，都有f(x+6)=f(x)+f(3)，對任意m,n∈R且m+n=4，都有g(shù)(m)=g(n)，則f(99)+g(99)=【變式2-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)fx存在導(dǎo)函數(shù)f'x，且滿足f?x=fx,fA．y=x B．y=0 C．y=x+1 D．y=?x+1【變式2-1】2.（多選）（2022·山東·濰坊七中高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)y=fx的定義域?yàn)镽，且滿足f1+x=f1?x，fx?2+f?xA．y=fx+1是偶函數(shù) B．y=fC．函數(shù)y=fx?lgx有10【變式2-1】3.（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)+f(x?1)=f(2022)，f(?2x+1)=f(2x+5)，若f12=12，則f(2022)=題型3構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值對于fx【例題3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ln(x+1+x2)+1x+4在[?8，8]A．8 B．6 C．4 D．2【變式3-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax3+bsinx+3A．?1 B．2 C．5 D．7【變式3-1】2.（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx=alnx+1x?1+bsinA．?1 B．2 C．5 D．7【變式3-1】3.（2022·河南省淮陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=2ex+1?1【變式3-1】4.（2022·江西·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=alnx2

【變式3-1】5.若函數(shù)fx=tx2+2x+t2+題型4對稱性、奇偶性的運(yùn)用函數(shù)對稱性（異號對稱）（1）軸對稱：函數(shù)fx對于定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x滿足fa+x=fb?x，則函數(shù)f2.如果函數(shù)y=fx滿足fa+3.y=f(a?（2）點(diǎn)對稱：若函數(shù)f(x)①f②f③f（2）點(diǎn)對稱：若函數(shù)f(x)①f②f③f◆類型1對稱軸

【例題4-1】（2022·寧夏·銀川一中高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?∞,1∪1,+∞，且fx+1為奇函數(shù)，當(dāng)x<1A．4 B．2 C．?12 D．?6【變式4-1】1.已知函數(shù)fx=2eA．?2B．?12C．?1D．?【變式4-1】2.已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=f(a?x)，若函數(shù)y=x2?ax?5與y=f(x)的圖像的交點(diǎn)為x1,y1，A．1 B．2 C．3 D．4【變式4-1】3.已知函數(shù)fx①函數(shù)fx②函數(shù)fx③函數(shù)fx的定義域?yàn)镽④對于任意的x∈?1,0，f'x<0（A．②③ B．①③ C．②④ D．①②③◆類型2中心對稱+軸對稱構(gòu)造周期性關(guān)于對稱中心與對稱軸構(gòu)造周期的經(jīng)驗(yàn)結(jié)論1.若函數(shù)有兩個(gè)對稱中心（a，0）與（b，0）），則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|.2.若函數(shù)有兩條對稱軸x=a與x=b，則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|.3.若函數(shù)有一個(gè)對稱中心（a，0）與一條對稱軸x=b，，則函數(shù)具有周期性，周期T=4|a-b|.【例題4-2】已知函數(shù)fx為定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且滿足f12+x=f32?x，當(dāng)【變式4-2】1.定義在R上的奇函數(shù)fx滿足f2?x=fx，且在0,1上單調(diào)遞減，若方程fx=?1在0,1上有實(shí)數(shù)根，則方程A．30 B．14 C．12 D．6【變式4-2】2.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)fx的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f3?x+f?x=0，若曲線y=fx在6,f6A．y=?4x?8088 B．y=4x+8088 C．y=?14x?【變式4-2】3.若函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù)，又y=f(x+1)為偶函數(shù)，且?1≤x1<x2≤1時(shí)，[f(x2)?f(A．f(2017)<f(2018)<f(2019) B．f(2018)<f(2017)<f(2019)C．f(2018)<f(2019)<f(2017) D．f(2019)<f(2018)<f(2017)

【變式4-2】4.(多選)（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃┒x在R上的函數(shù)fx?gx，其導(dǎo)函數(shù)分別為f'x?A．f'B．gx關(guān)于?1,1C．gxD．g◆類型3“類”周期函數(shù)“似周期函數(shù)”或者“類周期函數(shù)”，俗稱放大鏡函數(shù)，要注意以下幾點(diǎn)辨析：1.是從左往右放大，還是從右往左放大.2.放大（縮?。r(shí)，要注意是否函數(shù)值有0.3.放大（縮小）時(shí)，是否發(fā)生了上下平移.【例題4-3】設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在非零常數(shù)T，對于任意x∈D，都有f(x+T)=T?f(x)，則稱函數(shù)y=f(x)是“似周期函數(shù)”，非零常數(shù)T為函數(shù)y=f(x)的“似周期”．現(xiàn)有下面四個(gè)關(guān)于“似周期函數(shù)”的命題：①如果“似周期函數(shù)”y=f(x)的“似周期”為?1，那么它是周期為2的周期函數(shù)；②函數(shù)f(x)=2x是“似周期函數(shù)③如果函數(shù)f(x)=cosωx是“似周期函數(shù)”，那么“ω=2kπ,k∈Z或ω=(2k+1)π,k∈ZA．0B．1C．2D．3【變式4-3】1.已知函數(shù)f(x)滿足當(dāng)x≤0時(shí)，2f(x?2)=f(x)，且當(dāng)x∈(?2,0]時(shí)，f(x)=|x+1|?1；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=logax(a>0且a≠1).若函數(shù)f(x)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)恰好有3對，則aA．(625,+∞) B．(4,64) C．(9,625) D．(9,64)【變式4-3】2.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足f(x+1)=2f(x)，且當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)=x(x?1)．若對任意x∈(?∞,m]，都有f(x)≥?12，則m的取值范圍是（A．?∞,32 C．?∞,52 【變式4-3】3.定義在R上函數(shù)滿足fx+1=12fx，且當(dāng)x∈0,1時(shí)，fx=1?A．72 B．92 C．134◆類型4對稱性解決恒成立常見不等式恒成立轉(zhuǎn)最值問題：（1）?x（2）?x（3）?x（4）?x（5）?x（6）?x（7）?x（8）?x【例題4-4】已知函數(shù)f(x)=lg(x+x2+1)，且對于任意的A．(?∞，0)C．[4，+【變式4-4】1.已知函數(shù)f(x)=2x+m2x+1（0≤x≤1），函數(shù)g(x)=(m?1)x（1≤x≤2）.若任意的x1∈0,1A．1,53 B．2,3 C．2,5【變式4-4】2.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(x+1)關(guān)于直線x=?1對稱.當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)={2?14x2+1,0≤x<22?A．[?14,0) B．[12,1]【變式4-4】3.已知f(x)=2sin|πx|?sin|πx|，g(x)=|lnx|?2m，若對于題型5三角函數(shù)中的對稱性問題1.三角函數(shù)的對稱性，周期性，奇偶性，單調(diào)性，考查時(shí)可能單獨(dú)考，也可能以多選的形式綜合在一個(gè)題目中考查.2.三角函數(shù)的奇偶性（1）函數(shù)y=Asin(ωx+φ)是奇函數(shù)?φ=（2）函數(shù)y=Acos(ωx+φ)是奇函數(shù)?φ=（3）函數(shù)y=Atan(ωx+φ3.三角函數(shù)的對稱性（1）函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的對稱軸由ωx（2）函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的圖象的對稱軸由ωx（3）函數(shù)y=Atan(ωx+4.基本規(guī)律1.三角函數(shù)的對稱中心（對稱軸）有數(shù)個(gè)，適當(dāng)結(jié)合條件確定合適.2.要注意一個(gè)隱含性質(zhì)：一次函數(shù)是直線，它上邊任何一個(gè)點(diǎn)都可以作為對稱中心.一般情況下，選擇它與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，或則別的合適的點(diǎn)【例題5】（2022·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象的一條對稱軸與其相鄰的一個(gè)對稱中心的距離為π4，將f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象.若函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間π2A．π6,π2 B．π3,【變式5-1】1.（2023·天津·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)fx=sinπ2x，gx=eA．4051 B．4049 C．2025 D．2023【變式5-1】2.已知函數(shù)y=sinx+1與y=x+2x在[?a?，??a]（a∈Z，且a>2017）上有m個(gè)交點(diǎn)(x1A．0B．mC．2mD．2017【變式5-1】3.已知函數(shù)f(x)=2(x+1)+sinx+ln(x2+1A．(?∞,23?1) B．(?∞,?23+1) C．題型6復(fù)雜奇函數(shù)問題1.若fx滿足fa+x+特殊的奇函數(shù)：（考試難點(diǎn)）：①對數(shù)與反比例復(fù)合：②指數(shù)與反比例復(fù)合：y=③對數(shù)與無理式復(fù)合：3.形如y=【例題6】已知函數(shù)fx=12x+1+A．0,eB．0,eC．0,1

【變式6-1】1.對于定義在D上的函數(shù)fx，點(diǎn)Am,n是fx圖像的一個(gè)對稱中心的充要條件是：對任意x∈D都有fx+f【變式6-1】2.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x2+1?x)，若a，b的最大值為A．1 B．10 C．5 D．8【變式6-1】3.已知函數(shù)fx=x?e2+lnexe?x，若A．34 B．54 C．2 題型7函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題【例題7】（2024?青島開學(xué)）將函數(shù)y=13?x2?2(x∈[?3,3])的圖象繞點(diǎn)(?3,0)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0≤α≤θ)，得到曲線C，對于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角α，曲線C都是一個(gè)函數(shù)的圖象，則A．32 B．23 C．1 【變式7-1】1.（2024春?池州期末）設(shè)D是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，f(x)是定義在D上的函數(shù)，若f(x)的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π3后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中f(1)A．3 B．1 C．33 【變式7-1】2.（2024春?新華區(qū)校級期末）將函數(shù)y=?x2+x(x∈[0,1])圖像繞點(diǎn)（1,0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角(0<θ<A．π6 B．π4 C．π3【變式7-1】3.（2024?沈河區(qū)校級四模）將函數(shù)?x=exx≥0的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θθ∈0,π，得到曲線CA．π4 B．π2 C．3π4【變式7-1】4.（多選）（2024?雨花區(qū)校級模擬）已知函數(shù)y=f(x)，x∈A，且π∈A，函數(shù)y=f(x)，x∈A的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)nπ4所得新的函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象重合，其中n可以取任意正整數(shù)，則fπ的值不可能為（A．0 B．3π3 C．π 題型8兩個(gè)函數(shù)的對稱問題【例題8】（2024?武侯區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f(x)=ax?ex與函數(shù)g(x)=xlnx+1的圖像上恰有兩對關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A．(e?1,+∞) B．e?12,+∞ C．e?12【變式8-1】1.（2024春?海淀區(qū)校級期末）若函數(shù)y=x3?x2?1?a，（(x∈1e,eA．0,1e3C．1e3+2,【變式8-1】2.（2024?云南模擬）已知函數(shù)fx=16x3?mx+3，gx=?5x?4ln1【變式8-1】3.（2024春?大同期中）已知函數(shù)fx=ln?x與函數(shù)gx=e【變式8-1】4.（2024?景德鎮(zhèn)模擬）對于定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)，若滿足（1）f(0)=0；（2）當(dāng)x∈R，且x≠0時(shí)，都有xf'(x)>0；（3）當(dāng)x1<0<x2，且|x1|=|x2|時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，則稱f(x)為“偏對稱函數(shù)”1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R，且f(x)+gA．?21 B．?22 C．?23 D．?242．（2024·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fx+1為奇函數(shù)，fx+2為偶函數(shù)，當(dāng)x∈1,2時(shí)，fA．?94 B．?32 C．3．(多選)（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)=sin(2x+A．f(x)B．f(x)C．直線x=7π6D．直線y=32

4．(多選)（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域均為R，記gA．f(0)=0 B．g?12=0 5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）若fx=(6．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，fx7．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)為偶函數(shù)，若對任意x∈R有f1+x2參考答案與試題解析重難點(diǎn)專題01函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性TOC\o"1-3"\h\u題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式 1題型2利用奇偶性、周期性對稱性求值 7題型3構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值 11題型4對稱性、奇偶性的運(yùn)用 14◆類型1對稱軸 15◆類型2中心對稱+軸對稱構(gòu)造周期性 19◆類型3“類”周期函數(shù) 24◆類型4對稱性解決恒成立 28題型5三角函數(shù)中的對稱性問題 33題型6復(fù)雜奇函數(shù)問題 38題型7函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題 42題型8兩個(gè)函數(shù)的對稱問題 46題型1利用函數(shù)性質(zhì)解不等式1、對于任意x1,x2、解不等式常涉及到奇偶性，注意配圖解不等式3、涉及到偶函數(shù)時(shí)：如果口朝上：誰離對稱軸（x=0）遠(yuǎn)，誰的函數(shù)值就大；如果口朝下：誰離對稱軸（x【例題1】（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x+2)=A．?∞,?2 B．?2,C．?∞,?2∪0,+∞ 【答案】B【分析】設(shè)g(x)=f(x+2)=log3(3x+3?【詳解】設(shè)g(因?yàn)間(?所以g(所以f(x+2)所以f(x)設(shè)y=3x令y'>0，則3x所以y=3x因?yàn)楹瘮?shù)y=所以gx在0,+∞所以fx在2,+∞因?yàn)閒a所以a?1?2所以(a?3)2≥(2所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為?2,4故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷出f(x)的圖象關(guān)于直線x【變式1-1】1.（2023·湖南常德·常德市一中校考模擬預(yù)測）定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足fx?f?x=xexA．?23,2 B．2,+∞ C．?∞,?2【答案】A【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)gx【詳解】由fx?f令gx=fx?又x∈0,+∞時(shí)，所以gx在0,+∞由f2a?fa又gx所以g2所以2a≤a+2，即所以a的取值范圍為?2故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)gx【變式1-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx=sinx?1+ex?1A．3,+∞ B．1,+∞ C．?∞【答案】B【分析】構(gòu)造gx=sinx+ex?e?x?x,x∈R，發(fā)現(xiàn)gx為奇函數(shù)，然后【詳解】解：假設(shè)gx所以g?x=sin所以gx而fx=sinx?1+ex?1?e由fx=因?yàn)閑x?1+1ex?1所以f'x≥0,因?yàn)閒x+f所以3?2x<2?x，解得x>1，故選：B【變式1-1】3.（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=ex?1+e1?A．?4 B．?12 C．2 【答案】BC【分析】令t=x?1，得到g(t)=et+e?t+t2?1，推得【詳解】由函數(shù)f(令t=x?1，則x可得g(?所以gt為偶函數(shù)，即函數(shù)fx的圖象關(guān)于又由g'(t可得φ'(t)=e當(dāng)t>0時(shí)，g'(t)>0，g當(dāng)t<0時(shí)，g'(t)<0，g由不等式f(2?ax)<f所以不等式1?ax<x所以x2+ax+1>0x2?解得?2<a故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用換元法設(shè)t=x?1，從而得到g(t【變式1-1】4.（2024·廣西·廣西師范大學(xué)附屬外國語學(xué)校校考模擬預(yù)測）設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=ax(A．?23 B．?34 C．【答案】B【解析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)易得x≥0時(shí)f2x=f2x，進(jìn)而根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)在x≥0上的單調(diào)性，將不等式很成立問題轉(zhuǎn)化|x【詳解】當(dāng)x∈[0,b若對任意的x∈[0,b+1]，均有f由于a>1,當(dāng)x≥0時(shí)，又∵函數(shù)f(∴f(x+b)≥f(2x由區(qū)間的定義可知b>?1,若x+b≥0，于是由于x的最大值為b+1，故b∴b+x<0,∴x+b≤?2故b的最大值為?3故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題，涉及指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，分類討論思想，關(guān)鍵是x≥0時(shí)f2x=f2x，化歸為f【變式1-1】5.（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)f(x)是定義在R的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減，若實(shí)數(shù)a滿足f【答案】1【分析】先利用偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式化簡為f(|log3a|)≥f(1)【詳解】因?yàn)閒(x)所以f(所以f(log3因?yàn)閒(x)為[0,+∞)上的減函數(shù)，|解得?1≤log3a≤1，所以13【點(diǎn)睛】1.函數(shù)值不等式的求法：（1）利用函數(shù)的奇偶性、特殊點(diǎn)函數(shù)值等性質(zhì)將函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)與（2）利用函數(shù)單調(diào)性將f(2.偶函數(shù)的性質(zhì)：f(x)=3.若f(x)在D上為增函數(shù)，對于任意x若f(x)在D上為減函數(shù)，對于任意x題型2利用奇偶性、周期性對稱性求值函數(shù)周期性的常用結(jié)論與技巧設(shè)函數(shù)y=fx①若f(x+②若f(x+③若f(x+④若f(x+⑤f(x【例題2】（2022·全國·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x),g(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(3)=2，若對任意x∈R，都有f(x+6)=f(x)+f(3)，對任意m,n∈R且m+n=4，都有g(shù)(m)=g(n)，則f(99)+g(99)=【答案】2【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)f(x),g(x)的周期性，再利用性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】因函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且任意x∈R，都有f(x+6)=f(x)+f(3)則當(dāng)x=?3時(shí)，f(3)=f(?3)+f(3)=2f(3)，即f(3)=0，有f(x+6)=f(x)，則f(x)是以6為周期的周期函數(shù)，f(99)=f(16×6+3)=f(3)=0，又函數(shù)g(x)是R上的偶函數(shù)，且任意m,n∈R且m+n=4，都有g(shù)(m)=g(n)則對?x∈R,g(x)=g(4?x)=g(x?4)，函數(shù)g(99)=g(24×4+3)=g(3)=2，所以f(99)+g(99)=2.故答案為：2【變式2-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)fx存在導(dǎo)函數(shù)f'x，且滿足f?x=fx,fA．y=x B．y=0 C．y=x+1 D．y=?x+1【答案】B【分析】利用fx是偶函數(shù)、周期為4，得fx關(guān)于x=2對稱，x=2022是fx的對稱軸，即x=2022是f【詳解】fx的定義域?yàn)镽，由f?x=f由f4?x=f?x因?yàn)閒x=f?x=f4?x又因?yàn)?022=2+505×4，所以x=2022也是fx因?yàn)閒x在R上存在導(dǎo)函數(shù)f所以x=2022是fx即f'2022=0，曲線y=f故切線方程可能為y=0.故選：B.【變式2-1】2.（多選）（2022·山東·濰坊七中高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)y=fx的定義域?yàn)镽，且滿足f1+x=f1?x，fx?2+f?xA．y=fx+1是偶函數(shù) B．y=fC．函數(shù)y=fx?lgx有10【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可推導(dǎo)得到fx關(guān)于直線x=1和點(diǎn)?1,0對稱，且周期為8；令gx=fx+1，?x=fx+3=?fx?1【詳解】∵f1+x=f1?x，∴f2+x=f又fx?2+f?x=0，∴fx+2∴fx+4=?fx則fx是周期為8對于A，令gx=fx+1∴fx+1對于B，令?x=fx+3∴fx+3對于C，作出fx和y=當(dāng)x>10時(shí)，lgx>1由圖象可知：fx與y=lgx則y=fx?lg對于D，∵f1∴k=1故選：ABC.【變式2-1】3.（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)+f(x?1)=f(2022)，f(?2x+1)=f(2x+5)，若f12=12，則f(2022)=【答案】0?50【分析】依題意可得fx+4=fx，即可得到fx是以4為周期的周期函數(shù)，再由f(?2x+1)=f(2x+5)，可得f2=f4=f0，即可求出f2022，從而得到f(x+1)+f(x?1)=0且【詳解】解：因?yàn)閒(x+1)+f(x?1)=f(2022)，所以f(x+2)+f(x)=f(2022)，所以f(x+4)+f(x+2)=f(2022)，則fx+4所以fx是以4所以f(2022)=f(2)，又f(?2x+1)=f(2x+5)，所以f2又f2+f0即f(x+1)+f(x?1)=0且fx+1由f12=12，所以f所以k=1=1故答案為：0；?50題型3構(gòu)造奇偶函數(shù)求函數(shù)值對于fx【例題3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ln(x+1+x2)+1x+4在[?8，8]A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【分析】設(shè)gx=ln(x+1+x2【詳解】解：設(shè)gx=ln因?yàn)間?x所以函數(shù)gx所以gx所以fx所以M+m=8．故選：A．【變式3-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=ax3+bsinx+3A．?1 B．2 C．5 D．7【答案】C【分析】令gx【詳解】設(shè)gx則g?x=a?xf(x)=g(x)+3，則f(m)+f(?m)=g(m)+3+g(?m)+3=6，而f所以f?m故選：C【變式3-1】2.（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)fx=alnx+1x?1+bsinA．?1 B．2 C．5 D．7【答案】C【分析】設(shè)gx【詳解】設(shè)gx則g?x故f?x?3=?f所以f?x故f?m因?yàn)閒m=1，所以故選：C【變式3-1】3.（2022·河南省淮陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=2ex+1?1【答案】?6【分析】把fx的圖象向上平移3個(gè)單位長度，可得函數(shù)gx=?2ex+1【詳解】由題意，得fx把fx的圖象向上平移3個(gè)單位長度，可得函數(shù)g當(dāng)x∈?π,π時(shí)，則在?π,π故fx在?π,故答案為：?6．【變式3-1】4.（2022·江西·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx=alnx2【答案】-6【分析】令gx=fx+2，由奇偶性定義可知g【詳解】令gx∵g-x∴gx為∵gm=fm解得：f-故答案為：-6.【變式3-1】5.若函數(shù)fx=tx2+2x+t2+【答案】2【詳解】試題分析：由題意，fx=tx2+2x+t2+sinxx2+t=t+2x+sinxx2+t考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義.題型4對稱性、奇偶性的運(yùn)用函數(shù)對稱性（異號對稱）（1）軸對稱：函數(shù)fx對于定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x滿足fa+x=fb?x，則函數(shù)f2.如果函數(shù)y=fx滿足fa+3.y=f(a?（2）點(diǎn)對稱：若函數(shù)f(x)①f②f③f（2）點(diǎn)對稱：若函數(shù)f(x)①f②f③f◆類型1對稱軸【例題4-1】（2022·寧夏·銀川一中高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?∞,1∪1,+∞，且fx+1為奇函數(shù)，當(dāng)x<1A．4 B．2 C．?12 D．?6【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)對稱性求和即可．【詳解】解：當(dāng)x<1時(shí)，fx∴對稱軸為x=?2，∵fx+1∴fx+1∴fx∴fx關(guān)于1,0設(shè)x,y為y=fx則2?x,?y在fx∴?y=?4?x即y=x?4對稱軸為x=4．作出圖像如下：由圖像知fx不妨設(shè)x1由二次函數(shù)的對稱性知x1x3∴fx=3故選：A．【變式4-1】1.已知函數(shù)fx=2eA．?2B．?12C．?1D．?【答案】A【解析】函數(shù)fx=2e則函數(shù)fx=2et?12a2t+設(shè)g（t）∵函數(shù)f（t）有唯一零點(diǎn)，∴y=g∴此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，∴2?a=a2，解得a=?2【變式4-1】2.已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=f(a?x)，若函數(shù)y=x2?ax?5與y=f(x)的圖像的交點(diǎn)為x1,y1，A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】求出f（x）的對稱軸，y=|x2-ax-5|的圖象的對稱軸，根據(jù)兩圖象的對稱關(guān)系，求和，解方程可得所求值．【詳解】∵f（x）=f（a-x），∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=a2又y=|x2-ax-5|的圖象關(guān)于直線x=a2當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，兩圖象的交點(diǎn)兩兩關(guān)于直線x=a2∴x1+x2+x3+…+xm=m2?當(dāng)m奇數(shù)時(shí)，兩圖象的交點(diǎn)有m-1個(gè)兩兩關(guān)于直線x=a2對稱，另一個(gè)交點(diǎn)在對稱軸x=a∴x1+x2+x3+…+xm=a?m-12解得a=4．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次型函數(shù)圖象的對稱性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．【變式4-1】3.已知函數(shù)fx①函數(shù)fx②函數(shù)fx③函數(shù)fx的定義域?yàn)镽④對于任意的x∈?1,0，f'x<0（A．②③ B．①③ C．②④ D．①②③【答案】A【詳解】函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，當(dāng)x→+∞或?∞←x時(shí)，f(x)→0，又x=0，x=±1，x=±2，x=±3，……時(shí)，f(x)=0，且均為變號零點(diǎn).又因?yàn)楹瘮?shù)滿足f(x)=sinπx(x2故②③正確.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的綜合知識：①函數(shù)f(x)對于定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，存在非零常數(shù)T，滿足f(x+T)=f(x)，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)；②函數(shù)f(x)對于定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x滿足f(a+x)=f(b?x)，則函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a+b2對稱，特別地當(dāng)f(x)=f(2a?x)時(shí)，函數(shù)f(x)關(guān)于直線③在函數(shù)f(x)定義域(a,b)內(nèi)，存在常數(shù)c使得f(c)=0，則x=c叫做函數(shù)的零點(diǎn).◆類型2中心對稱+軸對稱構(gòu)造周期性關(guān)于對稱中心與對稱軸構(gòu)造周期的經(jīng)驗(yàn)結(jié)論1.若函數(shù)有兩個(gè)對稱中心（a，0）與（b，0）），則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|.2.若函數(shù)有兩條對稱軸x=a與x=b，則函數(shù)具有周期性，周期T=2|a-b|.3.若函數(shù)有一個(gè)對稱中心（a，0）與一條對稱軸x=b，，則函數(shù)具有周期性，周期T=4|a-b|.【例題4-2】已知函數(shù)fx為定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且滿足f12+x=f32?x，當(dāng)【答案】5【詳解】∵足f12+x=f32?x，∴fx=f2?x，又因函數(shù)fx為偶函數(shù)，∴fx=f?x=f2+x作出圖象：由圖象可知有10個(gè)交點(diǎn)，并且關(guān)于12，12中心對稱，【變式4-2】1.定義在R上的奇函數(shù)fx滿足f2?x=fx，且在0,1上單調(diào)遞減，若方程fx=?1在0,1上有實(shí)數(shù)根，則方程A．30 B．14 C．12 D．6【答案】A【解析】根據(jù)條件可得出fx的圖象關(guān)于x=1對稱，fx的周期為4，從而可考慮fx的一個(gè)周期，利用?1,3，根據(jù)fx在0,1上是減函數(shù)可得出fx在1,2上是增函數(shù)，fx在?1,0上是減函數(shù)，在2,3上是增函數(shù)，然后根據(jù)fx=?1在0,1上有實(shí)數(shù)根，可判斷該實(shí)數(shù)根是唯一的，并可判斷【詳解】由f2?x=fx知函數(shù)f∵f2?x=fx，f∴f?x∴fx+4∴fx考慮fx的一個(gè)周期，例如?1,3由fx在0,1上是減函數(shù)知fx在fx在?1,0上是減函數(shù)，fx在對于奇函數(shù)fx有f0=0故當(dāng)x∈0,1時(shí)，fx<f0=0當(dāng)x∈?1,0時(shí)，fx>f0=0方程fx=?1在則這實(shí)數(shù)根是唯一的，因?yàn)閒x在0,1則由于f2?x=fx，故方程f在?1,0和2,3上fx則方程fx=?1在?1,0和從而方程fx當(dāng)x∈?1,3，方程fx=?1當(dāng)x∈?1,11，方程fx=?1故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了由f2a?x=fx可判斷f【變式4-2】2.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)fx的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f3?x+f?x=0，若曲線y=fx在6,f6A．y=?4x?8088 B．y=4x+8088 C．y=?14x?【答案】B【分析】由函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，得出f0=0，再由f3?x+f?x=0得出函數(shù)f(x)的最小正周期為【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)镽的函數(shù)fx的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f因?yàn)閒3?x+f?x=0，f6?x+f3?x因?yàn)閒'?2022=故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，以及導(dǎo)函數(shù)的周期性，求原函數(shù)的切線問題，屬于較難題.【變式4-2】3.若函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù)，又y=f(x+1)為偶函數(shù)，且?1≤x1<x2≤1時(shí)，[f(x2)?f(A．f(2017)<f(2018)<f(2019) B．f(2018)<f(2017)<f(2019)C．f(2018)<f(2019)<f(2017) D．f(2019)<f(2018)<f(2017)【答案】D【分析】由題意可知，函數(shù)y=f(x)的周期T=4，再由當(dāng)?1≤x[f(x2)?f(x1【詳解】∵函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù)，又y=f(x+1)為偶函數(shù)，∴f(?x)=?f(x)，f(?x+1)=f(x+1)，∴f(x)=f(x+4)，即函數(shù)y=f(x)的周期T=4，∵?1≤x1<x2∴f(x2)?f(x1)>0即∴f(2017)=f(1+4×504)=f(1)，f(2018)=f(2+4×504)=f(2)=f(0)，f(2019)=f(?1+4×505)=f(?1)，∴f(2019)<f(2018)<f(2017).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.【變式4-2】4.(多選)（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考二模）定義在R上的函數(shù)fx?gx，其導(dǎo)函數(shù)分別為f'x?A．f'B．gx關(guān)于?1,1C．gxD．g【答案】ABD【分析】對于選項(xiàng)A，利用已知條件fx=f?x，即得結(jié)果.對于選項(xiàng)B，由題意可推導(dǎo)出g'x?1為偶函數(shù)，gx+1為奇函數(shù)，所以[g?1+x+g?1?x【詳解】因?yàn)閒x=f?x可得為f因?yàn)閒x+g'x所以g'x?1為偶函數(shù)，所以g因?yàn)閒'x+gx所以gx+1為奇函數(shù)，gxg'則g?1+x+g?1?x=c其中c為常數(shù)，又令x等價(jià)于x+1，gx+因?yàn)間x關(guān)于1,0對稱，所以g所以令x等價(jià)于x+3，所以gx+4故可看成數(shù)列an而因?yàn)間x關(guān)于1,0對稱，所以g1=0故a1,a5,a3,a7,所以gxgg3所以g1故選：ABD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查利用抽象函數(shù)關(guān)系式求解函數(shù)周期性、對稱性、奇偶性的問題；對于與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)，有如下結(jié)論：①若fx連續(xù)且可導(dǎo)，那么若fx為奇函數(shù)，則f'x為偶函數(shù)；若②若fx連續(xù)且可導(dǎo)，那么若f'x關(guān)于x=a對稱，則fx關(guān)于點(diǎn)a,fa◆類型3“類”周期函數(shù)“似周期函數(shù)”或者“類周期函數(shù)”，俗稱放大鏡函數(shù)，要注意以下幾點(diǎn)辨析：1.是從左往右放大，還是從右往左放大.2.放大（縮?。r(shí)，要注意是否函數(shù)值有0.3.放大（縮?。r(shí)，是否發(fā)生了上下平移.【例題4-3】設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在非零常數(shù)T，對于任意x∈D，都有f(x+T)=T?f(x)，則稱函數(shù)y=f(x)是“似周期函數(shù)”，非零常數(shù)T為函數(shù)y=f(x)的“似周期”．現(xiàn)有下面四個(gè)關(guān)于“似周期函數(shù)”的命題：①如果“似周期函數(shù)”y=f(x)的“似周期”為?1，那么它是周期為2的周期函數(shù)；②函數(shù)f(x)=2x是“似周期函數(shù)③如果函數(shù)f(x)=cosωx是“似周期函數(shù)”，那么“ω=2kπ,k∈Z或ω=(2k+1)π,k∈Z以上正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】根據(jù)題意，首先理解“似周期函數(shù)”的定義，逐一分析，從而可判斷命題的真假.【詳解】解：①∵“似周期函數(shù)”y=f(x)的“似周期”為?1，∴f(x?1)=?f(x)，∴f(x?2)=?f(x?1)=f(x)，故y=f(x)它是周期為2的周期函數(shù)，故①正確；②若函數(shù)f(x)=2x是“似周期函數(shù)”，則存在非零常數(shù)T，使即2x+T=T?2x恒成立，故③若函數(shù)f(x)=cosωx是“似周期函數(shù)”，則存在非零常數(shù)T，則即cosω(x+T)=Tcos即cosωx?故cosωT=TsinωT=0，故ω=2kπ,k∈Z或ω=(2k+1)π,k∈Z所以以上正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2.故選：C.【變式4-3】1.已知函數(shù)f(x)滿足當(dāng)x≤0時(shí)，2f(x?2)=f(x)，且當(dāng)x∈(?2,0]時(shí)，f(x)=|x+1|?1；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=logax(a>0且a≠1).若函數(shù)f(x)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)恰好有3對，則aA．(625,+∞) B．(4,64) C．(9,625) D．(9,64)【答案】C【分析】先作出函數(shù)f(x)在(?∞,0]上的部分圖象，再作出f(x)=log【詳解】先作出函數(shù)f(x)在(?∞,0]上的部分圖象，再作出f(x)=log如圖所示，當(dāng)0<a<1時(shí)，對稱后的圖象不可能與f(x)在(?∞,0]的圖象有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a>1時(shí)，要使函數(shù)f(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱后的圖象與所作的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，

則a>1?loga故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.【變式4-3】2.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足f(x+1)=2f(x)，且當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)=x(x?1)．若對任意x∈(?∞,m]，都有f(x)≥?12，則m的取值范圍是（A．?∞,32 C．?∞,52 【答案】B【分析】作出圖示，求出當(dāng)2<x≤3時(shí)，函數(shù)的解析式，求出f(x)=?12成立的【詳解】解：∵x∈(0,1]時(shí)，f(x)=x(x?1)如圖所示：當(dāng)2<x≤3時(shí)，f(x)=4f(所以要使對任意x∈(?∞,m]，都有f(x)≥?12，則m≤10?故選：B．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：圖像解析式求解過程容易求反，畫錯(cuò)示意圖，畫成向左側(cè)擴(kuò)大到2倍，導(dǎo)致題目出錯(cuò)，需加深對抽象函數(shù)表達(dá)式的理解，平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)這方面練習(xí)，提高抽象概括、數(shù)學(xué)建模能力．【變式4-3】3.定義在R上函數(shù)滿足fx+1=12fx，且當(dāng)x∈0,1時(shí)，fx=1?A．72 B．92 C．134【答案】D【分析】由題意可得，在區(qū)間n,n+1n∈Z上，fx=12【詳解】根據(jù)題設(shè)可知，當(dāng)x∈1,2時(shí)，x?1∈0,1，故同理可得：在區(qū)間n,n+1n∈Z上，f所以當(dāng)n≥4時(shí)，fx作函數(shù)y=fx在72,4上，由fx由圖象可知當(dāng)x≥154時(shí)，故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題◆類型4對稱性解決恒成立常見不等式恒成立轉(zhuǎn)最值問題：（1）?x（2）?x（3）?x（4）?x（5）?x（6）?x（7）?x（8）?x【例題4-4】已知函數(shù)f(x)=lg(x+x2+1)，且對于任意的A．(?∞，0)C．[4，+【答案】B【解析】本題根據(jù)函數(shù)的解析式先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，再運(yùn)用單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式，接著運(yùn)用參變分離構(gòu)建新函數(shù)，最后借導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的最大值即可解題.【詳解】f(x)的定義域?yàn)镽，f(?x)=lg(x2又f(x)在(0,+∞∴f(x+1x?1)>?f[m又x∈(1,2]，則x?1>0，x?6<0，∴(x+1)(x?1)(x?6)<?m恒成立；設(shè)g(x)=(x+1)(x?1)(x?6)=x則g'(x)=3x2?12x?1=3∴g(x)在(1，2]內(nèi)單調(diào)遞減，g(x)的最大值為從負(fù)數(shù)無限接近于0，∴0≤?m，m≤0，故選：B.【變式4-4】1.已知函數(shù)f(x)=2x+m2x+1（0≤x≤1），函數(shù)g(x)=(m?1)x（1≤x≤2）.若任意的x1∈0,1A．1,53 B．2,3 C．2,5【答案】D【解析】問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的值域是g(x)值域的子集，分別求出f(x)和g(x)的值域，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可.【詳解】對任意的x1∈0,1，存在x即fx在0,1上的值域是gx在∵f(x)=2當(dāng)m<1時(shí)，∴m?1<0，∴fx在0,1上單調(diào)遞增，∴fx的值域?yàn)橛帧遟(x)=(m?1)x在1,2上單調(diào)遞減，∴gx的值域?yàn)椋?m?2,m?1∴m+1∴m+1當(dāng)m>1時(shí)，m?1>0，∴fx在0,1上單調(diào)遞減，∴fxgx的值域?yàn)椋簃?1,2m?2，∴m+12當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=1,g(x)=0，顯然不滿足題意.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為5故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的值域是g(x)值域的子集.【變式4-4】2.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(x+1)關(guān)于直線x=?1對稱.當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)={2?14x2+1,0≤x<22?A．[?14,0) B．[12,1]【答案】D【分析】結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，由f(x+1)關(guān)于直線x=?1對稱，可知f(x)為偶函數(shù)，從而可將題中不等式轉(zhuǎn)化為|2?2x|≤|x+m|，整理得3x2?(8+2m)x+4?m2【詳解】當(dāng)0≤x<2時(shí)，f(x)=2函數(shù)y=?14x2+1在[0,2)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)f(x)在[0,2)上單調(diào)遞減，且f(x)>2當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)=2?log2x，易知函數(shù)f(x)在[2,+∞)∴函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減.∵f(x+1)關(guān)于直線x=?1對稱，∴f(x)關(guān)于x=0對稱，即f(x)為偶函數(shù)，∴不等式f(2?2x)≥f(x+m)可化為f(|2?2x|)≥f(|x+m|)，∴|2?2x|≤|x+m|恒成立，即|2?2x|2≤|x+m|令g(x)=3x∴對任意的x∈[m,m+1]，g(x)≤0恒成立，∴{g(m)=3即{?8m+4≤0?4m?1≤0，解得故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能力與計(jì)算能力，屬于較難題.【變式4-4】3.已知f(x)=2sin|πx|?sin|πx|，g(x)=|lnx|?2m，若對于【答案】?【解析】先分析題意即fx1min≥gx【詳解】依題意，對于?x1∈?23,??x∈?23,?16時(shí)故當(dāng)πx∈?2π3,?π當(dāng)πx∈?π2,?π而函數(shù)f(x)=2x?x故根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，f(x)=2sin|πx|?sin|πx|在對于x∈e?1,當(dāng)x∈e?1,1時(shí)ln當(dāng)x∈1,e2時(shí)ln故g(x)故依題意知，1≥?2m，即所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是?2故答案為：?2【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)y=fx,x∈（1）若?x1∈a,b，?x（2）若?x1∈a,b，?x（3）若?x1∈a,b，?x（4）若?x1∈a,b，?x2∈題型5三角函數(shù)中的對稱性問題1.三角函數(shù)的對稱性，周期性，奇偶性，單調(diào)性，考查時(shí)可能單獨(dú)考，也可能以多選的形式綜合在一個(gè)題目中考查.2.三角函數(shù)的奇偶性（1）函數(shù)y=Asin(ωx+φ)是奇函數(shù)?φ=（2）函數(shù)y=Acos(ωx+φ)是奇函數(shù)?φ=（3）函數(shù)y=Atan(ωx+φ3.三角函數(shù)的對稱性（1）函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的對稱軸由ωx（2）函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的圖象的對稱軸由ωx（3）函數(shù)y=Atan(ωx+4.基本規(guī)律1.三角函數(shù)的對稱中心（對稱軸）有數(shù)個(gè)，適當(dāng)結(jié)合條件確定合適.2.要注意一個(gè)隱含性質(zhì)：一次函數(shù)是直線，它上邊任何一個(gè)點(diǎn)都可以作為對稱中心.一般情況下，選擇它與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，或則別的合適的點(diǎn)【例題5】（2022·湖南·長沙一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象的一條對稱軸與其相鄰的一個(gè)對稱中心的距離為π4，將f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象.若函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間π2A．π6,π2 B．π3,【答案】B【分析】由題意，根據(jù)余弦函數(shù)的周期性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象平移性質(zhì)以及單調(diào)性，可得答案.【詳解】由函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象的一條對稱軸與其相鄰的一個(gè)對稱中心的距離為π4，則函數(shù)fx的周期T=4×π由將f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，可得g由x∈π2,3π4，2x?π3+φ∈2π由0<φ<π，當(dāng)k=0時(shí)，φ∈π故選：B.【變式5-1】1.（2023·天津·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)fx=sinπ2x，gx=eA．4051 B．4049 C．2025 D．2023【答案】B【分析】判斷兩函數(shù)的對稱性或周期，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而求得答案.【詳解】函數(shù)fx=singx=e故可作出函數(shù)函數(shù)fx=sin由圖像可知，在直線x=1的右側(cè)，(1,2025]包含ffx在(1,3],(3,5],?,(2023,2025]每個(gè)周期內(nèi)和g則共有2024個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對稱性可知，在直線x=1的左側(cè)，fx和且在直線x=1的兩側(cè)的交點(diǎn)是關(guān)于直線x故這4048個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2024×2=4048，而x=1故fx與gx的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決此類函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，首先要明確函數(shù)的性質(zhì)，比如周期性對稱性等，然后采用數(shù)形結(jié)合的方法，即作出函數(shù)圖象，解決問題，關(guān)鍵在于要能正確的作出函數(shù)圖象.【變式5-1】2.已知函數(shù)y=sinx+1與y=x+2x在[?a?，??a]（a∈Z，且a>2017）上有m個(gè)交點(diǎn)(x1A．0B．mC．2mD．2017【答案】B【詳解】由圖可知交點(diǎn)成對出現(xiàn)，每對交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（0，1）對稱，橫坐標(biāo)和為0，縱坐標(biāo)和為2，所以x1+y【變式5-1】3.已知函數(shù)f(x)=2(x+1)+sinx+ln(x2+1A．(?∞,23?1) B．(?∞,?23+1) C．【答案】A【分析】由題設(shè)，構(gòu)造g(x)=f(x)?2，易證g(x)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證g(x)為增函數(shù)，結(jié)合題設(shè)不等式可得g(3x?9x)<g(3?m?3【詳解】由題設(shè)，令g(x)=f(x)?2=2x+sin∴g(?x)=?2x+sin∴g(x)為奇函數(shù)，又g'(x)=2+cos∵f(3x?∴g(3x?∴m<33x+3x?1∴m<23?1，即m∈故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造g(x)=f(x)?2并證明其奇偶性、單調(diào)性，結(jié)合題設(shè)不等式可將問題轉(zhuǎn)化為m<33x題型6復(fù)雜奇函數(shù)問題1.若fx滿足fa+x+特殊的奇函數(shù)：（考試難點(diǎn)）：①對數(shù)與反比例復(fù)合：②指數(shù)與反比例復(fù)合：y=③對數(shù)與無理式復(fù)合：3.形如y=【例題6】已知函數(shù)fx=12x+1+A．0,eB．0,eC．0,1【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù)gx=fx?1【詳解】∵fx∴f令gx=fx?1又g'又利用基本不等式知ex+1exln22x+1故g'x>0由fax2即gax2≥?g1?2ax當(dāng)a=0時(shí)顯然成立；當(dāng)a≠0時(shí)，需a>0Δ=4a2綜上可得0≤a≤1，故選：D.【變式6-1】1.對于定義在D上的函數(shù)fx，點(diǎn)Am,n是fx圖像的一個(gè)對稱中心的充要條件是：對任意x∈D都有fx+f【答案】?【分析】根據(jù)點(diǎn)Am,n是f【詳解】解：因?yàn)閒x由于f3?即m=?23，所以?23，故答案為：?2【變式6-1】2.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x2+1?x)，若a，b的最大值為A．1 B．10 C．5 D．8【答案】B【詳解】因?yàn)閒(x)+f(?x)=ln(x2+1?x)+ln(x2+1+x)=0?a2?2a≥?2b+b2?(a?1)2≥(b?1)2?{a≥b點(diǎn)睛：(1)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決問題時(shí)，先要正確理解和把握函數(shù)相關(guān)性質(zhì)本身的含義及其應(yīng)用方向.(2)在研究函數(shù)性質(zhì)特別是奇偶性、周期、對稱性、單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時(shí)，要注意用好其與條件的相互關(guān)系，結(jié)合特征進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化研究.如奇偶性可實(shí)現(xiàn)自變量正負(fù)轉(zhuǎn)化，周期可實(shí)現(xiàn)自變量大小轉(zhuǎn)化，單調(diào)性可實(shí)現(xiàn)去“f”，即將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化自變量大小關(guān)系,對稱性可得到兩個(gè)對稱的自變量所對應(yīng)函數(shù)值關(guān)系.【變式6-1】3.已知函數(shù)fx=x?e2+lnexe?x，若A．34 B．54 C．2 【答案】A【解析】通過函數(shù)fx解析式可推得ffe2020+f2e2020【詳解】解：因?yàn)閒x所以f=ln令S=f則2S=fe所以20192a+b=2019，所以a+b=2，其中b>0當(dāng)a>0時(shí)1=當(dāng)且僅當(dāng)b2a=2a當(dāng)a<0時(shí)1=≥1當(dāng)且僅當(dāng)b?2a=?2a因?yàn)?4<54，所以故選：A.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.題型7函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題【例題7】（2024?青島開學(xué)）將函數(shù)y=13?x2?2(x∈[?3,3])的圖象繞點(diǎn)(?3,0)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0≤α≤θ)，得到曲線C，對于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角α，曲線C都是一個(gè)函數(shù)的圖象，則A．32 B．23 C．1 【答案】B【分析】先畫出函數(shù)y=13?x2?2(x∈[?3,3])的圖象，然后根據(jù)由圖可知當(dāng)此圓弧繞點(diǎn)(?3,0)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角大于【詳解】解：由y=13?x2x2+y+2先畫出函數(shù)y=13?這是一個(gè)圓弧AB，圓心為M(0,?2),如圖所示，由圖可知當(dāng)此圓弧繞點(diǎn)(?3,0)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角大于∠MAB時(shí)，曲線C都不是一個(gè)函數(shù)的圖象，即當(dāng)圓心M(0,?2)在x軸上時(shí)，所以θ最大值即為∠MAB，tan∠MAB=23，所以θ故選：B.【變式7-1】1.（2024春?池州期末）設(shè)D是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，f(x)是定義在D上的函數(shù)，若f(x)的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π3后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中f(1)A．3 B．1 C．33 【答案】B【分析】直接利用定義和函數(shù)的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】解：由題意可得：問題相當(dāng)于圓上由6個(gè)點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π3設(shè)f(π)處的點(diǎn)為A1∵f(x)的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π3∴旋轉(zhuǎn)后A1的對應(yīng)點(diǎn)A2也在同理A2的對應(yīng)點(diǎn)A以此類推，f(x)對應(yīng)的圖象可以為一個(gè)圓周上6等分的6個(gè)點(diǎn)，當(dāng)f（1）=3時(shí)，即A1(1,當(dāng)f（1）=33時(shí)，即A1當(dāng)f（1）=0時(shí)，即A6(1,0)，此時(shí)A1(12，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的求法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查函數(shù)定義等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題【變式7-1】2.（2024春?新華區(qū)校級期末）將函數(shù)y=?x2+x(x∈[0,1])圖像繞點(diǎn)（1,0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角(0<θ<A．π6 B．π4 C．π3【答案】B【詳解】由題設(shè)可知曲線C仍是一個(gè)函數(shù)的圖像等價(jià)于函數(shù)圖像C上每一點(diǎn)出的切線存在．函數(shù)的圖像順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，先從點(diǎn)A(0,0)旋轉(zhuǎn)，由于y'=?2x+1，因此函數(shù)y=?x2+x(x∈點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于如何理解旋轉(zhuǎn)后的圖像是函數(shù)．依據(jù)函數(shù)的定義可知當(dāng)函數(shù)的圖像上的每一點(diǎn)處的切線存在時(shí)，旋轉(zhuǎn)后的圖像是函數(shù)．因此在解答本題時(shí)，先考慮兩個(gè)特殊點(diǎn)處的切線是否存在，考慮到點(diǎn)B1,0是旋轉(zhuǎn)起點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)【變式7-1】3.（2024?沈河區(qū)校級四模）將函數(shù)?x=exx≥0的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θθ∈0,π，得到曲線CA．π4 B．π2 C．3π4【答案】ABCD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，一個(gè)x不能對應(yīng)兩個(gè)y，對于這幾個(gè)選項(xiàng)，分別作圖分析，看有沒有不符合函數(shù)定義的選項(xiàng).【詳解】如上圖所示，L1,L2,L3,L4分別是故選：ABCD．【變式7-1】4.（多選）（2024?雨花區(qū)校級模擬）已知函數(shù)y=f(x)，x∈A，且π∈A，函數(shù)y=f(x)，x∈A的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)nπ4所得新的函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象重合，其中n可以取任意正整數(shù)，則fπ的值不可能為（A．0 B．3π3 C．π 【答案】AC【分析】對選項(xiàng)A:設(shè)fπ=0，即f(x)必過Pπ,0.由題意，將P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π4，π2，3π4，π，5π4，3π2，2π后仍在函數(shù)f(x)圖象上，根據(jù)函數(shù)概念分析可得【詳解】解：若fπ=0，則通過連續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π4，依次可得f2π2=?2π2，f(0)=?π，f?2π2=?故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象重合，則點(diǎn)π,fπ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π4，π2，3π4，π，5π4，3π題型8兩個(gè)函數(shù)的對稱問題【例題8】（2024?武侯區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f(x)=ax?ex與函數(shù)g(x)=xlnx+1的圖像上恰有兩對關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A．(e?1,+∞) B．e?12,+∞ C．e?12【答案】A【分析】根據(jù)題意將函數(shù)fx與gx的圖像上恰有兩對關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為a=ex?x【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx與gx的圖像上恰有兩對關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，所以?fx=g(x)，即ex?ax=xlnx+1有兩解，則a=ex?xlnx?1x有兩解，令?(x)=ex?xlnx?1x，則?'(x)=ex?1x?1x故選：A.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題；（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用【變式8-1】1.（2024春?海淀區(qū)校級期末）若函數(shù)y=x3?x2?1?a，（(x∈1e,eA．0,1e3C．1e3+2,【答案】A【詳解】根據(jù)題意得到x3?x2?1?a=?（x2?3lnx）=-x2+3lnx,這個(gè)方程由兩個(gè)不同的根，變量分離得到a=即0,1故答案為A．點(diǎn)睛：本題中涉及根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)取值，是高考經(jīng)常涉及的重點(diǎn)問題，（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.【變式8-1】2.（2024?云南模擬）已知函數(shù)fx=16x3?mx+3，gx=?5x?4ln1【答案】8【分析】由題意轉(zhuǎn)化成f'x+gx在1e【詳解】函數(shù)f'x與gx等價(jià)于f'x+g令?==則?'所以在1e,1上，?'在1,4上，?'x≤0則?x≤?1?1?4因?4又?4則?x所以?4?1解得8ln故答案為:8【變式8-1】3.（2024春?大同期中）已知函數(shù)fx=ln?x與函數(shù)gx=e【答案】1,+∞【分析】求出函數(shù)fx關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為y=lnx，方程ex?【詳解】解：fx關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為y=lnx，若函數(shù)fx與函數(shù)gx的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，只需要方程ex?e?1x?a=lnx有解，方程可化為a=ex?e?1x?lnx，令?x=ex?e?1x?lnx，有故答案為：1,+∞【變式8-1】4.（2024?景德鎮(zhèn)模擬）對于定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)，若滿足（1）f(0)=0；（2）當(dāng)x∈R，且x≠0時(shí)，都有xf'(x)>0；（3）當(dāng)x1<0<x2，且|x1|=|x2|時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，則稱f(x)為“偏對稱函數(shù)”【答案】1【分析】根據(jù)“偏對稱函數(shù)”的定義，以及函數(shù)的單調(diào)性，對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷滿足題意的函數(shù)個(gè)數(shù).【詳解】f由（2）可知，當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)>0，當(dāng)x<0時(shí)，f'故“偏對稱函數(shù)”要滿足在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在對①：因?yàn)閒1(π)=f1(2π)=0故f1所以f1(x)=xsinx不是對②：f2由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知f2(x)在故f2所以f2(x)=ln(x對③：f3(x)=x2+|x|取x1=?1，x2