《工程力學(xué)》課件第3章

第3章

空間力系的簡(jiǎn)化與平衡3.1空間力系的簡(jiǎn)化3.2空間力系的平衡3.3物體的重心3.4平行力系中心3.1空間力系的簡(jiǎn)化

1.空間力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化如圖3.1(a)所示，設(shè)有一空間一般力系F1、F2、…、Fn分別作用于剛體上A1、A2、…、An點(diǎn)。在剛體上取任意點(diǎn)O為簡(jiǎn)化中心，根據(jù)力的平移定理，把各力分別向O點(diǎn)平移，于是得到一個(gè)作用在O點(diǎn)的空間匯交力系、、…、及空間力偶系m1、m2、…、mn(如圖3.1(b)所示)，即=Fi

i=1，2，…，n(3.1)mi=mO(Fi)i=1，2，…，n(3.2)圖3.1上述空間匯交力系可進(jìn)一步合成為作用在O

點(diǎn)的一個(gè)力R，即空間力偶系也可進(jìn)一步合成為一個(gè)合力偶，其力偶矩為(3.3)(3.4)力系中各力的矢量和R′=

Fi稱(chēng)為該力系的主矢；力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心O

點(diǎn)的力矩的矢量和MO=

mO(Fi)稱(chēng)為該力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。因此，空間一般力系向任意一點(diǎn)簡(jiǎn)化，可以得到一個(gè)力R

和一個(gè)力偶M(也可以說(shuō)成空間一般力系與一個(gè)力和一個(gè)力偶等效)，如圖3.1(c)所示。該力的作用點(diǎn)在簡(jiǎn)化中心，大小和方向與該力系的主矢相同，即R=R′；該力偶的力偶矩等于該力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩，即M=MO。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，一般采用解析法進(jìn)行，即先求出各個(gè)矢量在三個(gè)正交坐標(biāo)軸上的投影，然后求出矢量的大小和方向。具體計(jì)算公式如下：(3.5)(3.6)(3.7)(3.8)(3.9)(3.10)

2.空間力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論空間一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的最終結(jié)果有四種可能：一個(gè)合力、一個(gè)合力偶、一個(gè)力螺旋和平衡。這四種結(jié)果可由力系的主矢和力系對(duì)任意一點(diǎn)的主矩來(lái)判斷，具體歸納如表3.1所示。表3.1空間力系簡(jiǎn)化結(jié)果3.2空間力系的平衡

1.空間一般力系的平衡條件上面已經(jīng)說(shuō)明了空間一般力系向任意一點(diǎn)簡(jiǎn)化后，一般情況下等效于作用在簡(jiǎn)化中心的一個(gè)力和一個(gè)力偶，這個(gè)力的大小和方向與該力系的主矢相同，這個(gè)力偶的力偶矩等于該力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。所以，空間一般力系平衡的充分與必要條件為：該力系的主矢和對(duì)任意點(diǎn)的主矩同時(shí)為零，即(3.11)(3.12)

2.空間一般力系的平衡方程根據(jù)公式(3.5)、(3.6)、(3.8)、(3.9)，將公式(3.11)表示為解析式，得

于是可知，空間一般力系平衡的解析條件是：力系中所有各力在三個(gè)正交坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零，并且各力對(duì)于每一個(gè)坐標(biāo)軸力矩的代數(shù)和也分別等于零。公式(3.12)稱(chēng)為空間一般力系的平衡方程。

3.幾種特殊空間力系的平衡方程

1)空間匯交力系的平衡方程將匯交力系的匯交點(diǎn)取為坐標(biāo)原點(diǎn)，容易看出：都恒等于零。所以，空間匯交力系的平衡方程為(3.13)空間匯交力系有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可以求解三個(gè)未知量。

2)空間平行力系的平衡方程由于平行力系各力的作用線相互平行，因此取坐標(biāo)軸z平行各力，容易看出：都恒等于零。所以，空間平行力系的平衡方程為(3.14)

空間平行力系有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可以求解三個(gè)未知量。

4．空間力系平衡方程的應(yīng)用

【例3.1】F1、F2、F3、F4各力在空間的位置如圖3.2所示。已知四個(gè)力的大小相等，數(shù)值為10kN。求各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。

解圖3.2由于F4與x

軸和y軸的夾角不容易確定，不宜直接按照公式Fx=Fcos(F，x)、Fy=Fcos(F，y)來(lái)求解。這時(shí)，可以先將力F4投影到Oxy平面上，得到分力F4xy，然后將F4xy向x軸和y軸投影。這種求投影的方法稱(chēng)之為二次投影法。于是得到：

【例3.2】掛物架如圖3.3所示，三根桿子用鉸鏈連接于O點(diǎn)。平面BOC是水平面，且OB=OC，平面OAC是鉛垂面，其它角度如圖所示。如果O點(diǎn)懸掛重物的重量為P=1kN，不計(jì)三根桿子的重量，求三根桿子所受的力。圖3.3

解(1)研究對(duì)象：掛物架。

(2)受力分析：因?yàn)椴挥?jì)桿子的重量，所以桿子都是二力桿，力系是一個(gè)空間匯交力系，可以寫(xiě)出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。其受力圖如圖3.3所示。

(3)列平衡方程：取坐標(biāo)系Oxyz如圖所示，Ox、Oy軸位于水平面BOC內(nèi)，且Ox軸平行于BC，Oy軸垂直于BC，Oz軸鉛垂向上。聯(lián)立求解上面三個(gè)方程，得FA=－1.414kN，負(fù)號(hào)表示FA的實(shí)際方向與圖中所假設(shè)方向相反，即OA桿實(shí)際受壓力作用。

FB=FC=0.707kN，F(xiàn)B、FC的實(shí)際方向與圖中所假設(shè)方向相同，即這兩個(gè)桿實(shí)際受拉力作用。

【例3.3】三輪小車(chē)O1O2O3靜止于水平面上，如圖3.4所示。已知D

點(diǎn)是線段O1O2的中點(diǎn)，EM⊥O1O2。O1O2=1m，O3D=1.6m，O1E=0.4m，EM=0.6m。在三輪車(chē)上的M點(diǎn)放置一個(gè)重為P=10kN的貨物。求地面作用于三輪車(chē)三個(gè)輪子O1、O2、O3上的鉛直反力。

解：(1)研究對(duì)象：三輪車(chē)。

(2)受力分析：三輪車(chē)共受到四個(gè)鉛直方向的力作用，該力系是一個(gè)空間平行力系，可以寫(xiě)出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。其受力圖如圖3.4所示。圖3.4

(3)列平衡方程：取坐標(biāo)系O1xyz如圖所示，O1x、O1y軸位于水平底板面O1O2O3上，O1z軸鉛垂向上。聯(lián)立求解上面三個(gè)方程，得

FN1=4.12kN，F(xiàn)N2=2.13kN，F(xiàn)N3=3.75kN

【例3.4】矩形平板重為P，在A點(diǎn)處用球鉸鏈、B點(diǎn)處用滑動(dòng)支承連接在墻上，并在C處用無(wú)重桿CE將平板固定于水平位置上，如圖3.5所示。已知CE桿與水平面的夾角為α，且AD=a，AB=b。求A、B處的反力及桿所受的力。

解(1)研究對(duì)象：矩形平板。

(2)受力分析：桿CE是二力桿，平板共受到七個(gè)力的作用，該力系是一個(gè)空間一般力系，可以寫(xiě)出六個(gè)獨(dú)立的平衡方程。其受力圖如圖3.5所示。

(3)列平衡方程：取坐標(biāo)系A(chǔ)xyz如圖所示，注意利用合力矩定理計(jì)算力T對(duì)軸的力矩。圖3.5求出：ZB＝0求出：XB＝0求出：求出：求出：3.3物體的重心

1.物體的重心下面討論重心位置的確定。設(shè)物體各微小部分所受到的重力為ΔPi(i=1，2，…)，則它們的合力大小為P=∑ΔPi

(3.15)這就是物體的重量。取直角坐標(biāo)系Oxyz，Oz軸鉛直，如圖3.6所示。設(shè)每一微小部分重力作用點(diǎn)的坐標(biāo)為(xi、yi、zi)，重心C點(diǎn)的坐標(biāo)為(xC、yC、zC)。對(duì)Ox、Oy兩個(gè)坐標(biāo)軸分別應(yīng)用合力矩定理，即得合重力對(duì)某軸之力矩等于各微小重力對(duì)同一軸之力矩的代數(shù)和：－yCP=－∑yiΔPi，xCP=∑xiΔPi圖3.6

無(wú)論物體在空間怎樣放置，其重心在物體上的位置保持不變。所以，將物體各微小部分的重力ΔPi按相同方向逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)90°，使它們都與Oy軸平行，如圖3.6中虛線所示。也可以理解為將物體與坐標(biāo)系固連在一起繞Ox軸旋轉(zhuǎn)90°，使Oy軸向上，則合重力P的作用線仍通過(guò)C點(diǎn)。這時(shí)再對(duì)Ox軸應(yīng)用合力矩定理即得：－zCP=－∑ziΔPi由上面三個(gè)式子即可得到計(jì)算物體重心的坐標(biāo)公式為：(3.16)如果物體是均勻連續(xù)的，它們單位體積的重量γ是常量，以ΔVi表示微小體積，物體的總體積為V=∑ΔVi。將P=γV和ΔPi=γΔVi代入式(3.16)即得：(3.17)當(dāng)ΔV→0時(shí)，對(duì)上式取極限即得：(3.18)式中，為整個(gè)物體的體積。(3.19)

可以看出，均質(zhì)物體的重心只決定于物體的幾何形狀和尺寸，而與物體的重量無(wú)關(guān)。所以，均質(zhì)物體的重心和物體的形心(物體幾何形狀的中心)重合。又因?yàn)閷?duì)一個(gè)物體而言，重力加速度g

為常數(shù)，所以任何物體的重心與其質(zhì)心(物體質(zhì)量的中心)是重合的。對(duì)于均質(zhì)薄殼或薄板，設(shè)厚度為t，單位面積為dA，則單元體積為dV=tdA，代入式(3.18)即得其重心坐標(biāo)公式為：式中，為整個(gè)薄殼或薄板的面積。(3.20)一般情況下，曲面或曲線的重心不在曲面或曲線上。

2.確定物體重心的幾種方法

(1)對(duì)稱(chēng)判斷法：凡是具有對(duì)稱(chēng)面、對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心的均質(zhì)物體，其重心一定在其對(duì)稱(chēng)面、對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心上。例如：圓球的重心在球心，矩形的重心在兩對(duì)角線的交點(diǎn)。

(2)積分法：對(duì)于形狀簡(jiǎn)單的均質(zhì)物體，重心可以根據(jù)式(3.18)、(3.19)或(3.20)通過(guò)積分而求出。幾種常用簡(jiǎn)單物體的重心列于表3.2。表3.2簡(jiǎn)單幾何形狀物體的形心

(3)分割法：工程中一些形狀復(fù)雜的物體，往往可以看成是由幾個(gè)形狀簡(jiǎn)單、規(guī)則的物體組合而成，稱(chēng)這類(lèi)物體為組合體。這些簡(jiǎn)單形狀物體的重心往往是已知的，或根據(jù)積分法很容易求出，則組合體的重心可以根據(jù)式(3.17)等公式求出。

(4)負(fù)面積法：如果在物體內(nèi)切去一部分(例如：鉆一個(gè)孔或槽)，要求剩余部分物體的重心時(shí)，仍然可以利用式(3.17)等公式求出，只是切去部分的面積(或體積)應(yīng)取為負(fù)值，稱(chēng)為負(fù)面積法(或負(fù)體積法)

(5)實(shí)驗(yàn)法：對(duì)于形狀特別復(fù)雜或非均質(zhì)物體，其重心不便于利用公式進(jìn)行計(jì)算，程上常采用實(shí)驗(yàn)方法來(lái)測(cè)定。常用的實(shí)驗(yàn)方法有懸掛法和稱(chēng)重法兩種。懸掛法：如果需要求一個(gè)薄板的重心，可用細(xì)繩將板在任意一點(diǎn)A

懸掛起來(lái)。根據(jù)二力平衡條件，重心必在過(guò)懸掛點(diǎn)A的鉛直線即細(xì)繩所在直線上，在板上畫(huà)出此直線AA1，如圖3.7(a)所示。然后將板懸掛于另外一點(diǎn)B，并在板上畫(huà)出鉛直線BB1，如圖3.7(b)所示。兩條直線的交點(diǎn)C就是該薄板的重心。圖3.7稱(chēng)重法：形狀復(fù)雜、體積龐大的物體可用稱(chēng)重法求其重心。例如，圖3.8所示的壓氣機(jī)連桿，可先稱(chēng)出連桿的重量P，再把連桿的一端放置在臺(tái)秤上，另一端放在支點(diǎn)上，使連桿處于水平位置，此時(shí)由秤上讀出的數(shù)字，即是該端支反力FN的大小。分析連桿的平衡，可以得到：圖3.8式中l(wèi)

可以直接量得，重心到O

點(diǎn)的距離xC即可算出。再利用連桿具有對(duì)稱(chēng)面，就可以確定連桿的重心位置。

【例3.5】Z形鋼截面圖形如圖3.9(a)所示，圖中尺寸單位為mm。求截面圖形形心位置。圖3.9解

(1)采用分割法：可以把Z字形圖形看成是由圖3.9(a)所示的三個(gè)矩形組合而成的。取坐標(biāo)系如圖所示，每一個(gè)矩形的形心坐標(biāo)和面積為：x1=15mm，y1=45mm，A1=300mm2x2=35mm，y2=30mm，A2=400mm2x3=45mm，y3=5mm，A3=300mm2仿照公式(3.17)得：

(2)采用負(fù)面積法：可以把Z字形圖形看成是在邊長(zhǎng)為60mm和50mm的矩形Ⅰ中切?、蚝廷髢蓧K矩形(畫(huà)有陰影線)而得到的，如圖3.9(b)所示。