廣東省六校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)廣東省六校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A=x∈Rx2?x?2<0，B=y∣y=A.?1,4 B.0,2 C.12,1 2.命題“?x>0,x2+x>0”的否定是A.?x>0,x2+x>0 B.?x>0,x2+x≤03.已知等邊?ABC的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)D,E分別為AB,BC的中點(diǎn)，若DF=3EF，則AF=A.12AB+34AC B.14.將函數(shù)fx=sin2x?π6的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的12(縱坐標(biāo)不變)A.0,π8 B.π8,π45.已知x>0，y>0，且1x+2y=1，則2x+1yA.4 B.42?1 C.66.將曲線y=e2x(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ后第一次與x軸相切，則tanA.e B.e2 C.2e D.7.如圖，在已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，N是棱AB上的點(diǎn)，且AN=A.1341 B.1354 C.351278.已知函數(shù)f(x)=cos3x?cos2x，x∈(0,π)，若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,A.14 B.?14 C.1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1、z2對(duì)應(yīng)的向量分別為a1、a2，則下列說(shuō)法不A.z1z2=a1?a2 B.z1?z10.已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，若S25A.當(dāng)n=24，Sn最大 B.使得Sn<0成立的最小自然數(shù)n=48

C.a23+11.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，Q是線段AB的中點(diǎn)，P是線段BCA.三棱錐P?A1QC的體積為定值

B.直線PQ與AC所成角的正切值的最小值是22

C.在直三棱柱ABC?A1B三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=m,1，b=m,?1，若2a?b13.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an?2n∈N?，14.若存在a，b，c∈π,2π(a,b,c互不相等)，滿足sinωa+sin四、解答題：本題共4小題，共48分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)在ΔABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的三邊分別是a，b，c，且2(1)求角C的值；(2)若c=5，2tanA=3tanB16.(本小題12分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(?1,0)，F(xiàn)21,0，點(diǎn)A(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；(2)已知直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON，求?OMN面積的取值范圍．17.(本小題12分)(一)如圖所示，已知四棱錐P?ABCD中，BC=CD=PA=PB=PC=PD=2，∠ABC=∠ADC=90(1)求證：BD⊥平面PAC；(2)當(dāng)四棱錐P?ABCD的體積最大時(shí)，求二面角P?BC?A的正弦值．(二)已知函數(shù)fx(1)若a=?1，求函數(shù)y=f(x)的極值；(2)討論fx(3)若x1,x2x118.(本小題12分)給定正整數(shù)n≥2，設(shè)數(shù)列a1,a2,?,an是1,2,?,n的一個(gè)排列，對(duì)i∈1,2,?,n，xi表示以ai為首項(xiàng)的遞增子列的最大長(zhǎng)度(數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的長(zhǎng)度)，yi表示以ai為首項(xiàng)的遞減子列的最大長(zhǎng)度．我們規(guī)定：當(dāng)ai后面的項(xiàng)沒(méi)有比ai大時(shí)，xi=0，當(dāng)ai后面的項(xiàng)沒(méi)有比ai小時(shí)，yi=0.例如數(shù)列：(1)若n=4，a1=1，a2=4，a3=2，a4(2)求證：?i∈1,2,?,n?1，x(3)求i=1nxi參考答案1.D

2.B

3.A

4.C

5.D

6.C

7.A

8.B

9.ACD

10.ABD

11.ABD

12.2

13.2n+114.9415.解：(1)因?yàn)?a?bc=2cosB，所以2sinA?sinB=2sinCcosB，

則2sin(B+C)?sinB=2sinCcosB，

所以2sinBcosC=sinB，0<B<π，sinB≠0，

故cosC=22，又0<C<π16.解：(1)設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

依題意：12a2+12b2=1a2=b2+1解得a2=2b2=1,

∴橢圓C的方程為x22+y2=1．

橢圓的離心率為e=ca=12．

(2)當(dāng)直線OM不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，直線OM的斜率存在且不為0，

設(shè)其方程為y=kx(k≠0)，

由y=kxx2+2y2=2，

消去y得x2=217.(一)

(1)證明：因?yàn)锽C=CD，∠ABC=∠ADC=90°，AC=AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC，所以AB=AD，

設(shè)AC∩BD=Q，連接PQ，則△QBC≌△QDC，點(diǎn)Q為BD的中點(diǎn)，又PB=PD，所以PQ⊥BD，

又∠DQC=∠BQC，且∠DQC+∠BQC=180°，所以AC⊥BD，又AC∩PQ=Q，AC，PQ?平面PAC

所以BD⊥平面PAC;

(2)解：由(1)可知，BD⊥平面PAC，BD?平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAC，取AC的中點(diǎn)為O，連接PO，則PO⊥AC，又平面ABCD∩平面PAC=AC，PO?平面PAC，所以PO⊥平面ABCD，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC，垂足為H，連接PH，則PH⊥BC，所以∠PHO為二面角P?BC?A的平面角，

因?yàn)樗睦忮FP?ABCD的體積為：

VP?ABCD=13×SABCD×|PO|=13×|AB|×|BC|×|PO|=13×2×|AB|×PH2?OH2=23×|AB|×3?(|AB|2)2=43×|AB|24×(3?|AB|24)≤43×32=2，當(dāng)且僅當(dāng)|AB|24=3?|AB|24，即|AB|=6時(shí)體積最大，

此時(shí)|OH|=12|AB|=62，|OP|=(3)2?(62)2=62，

在Rt△POH中，tan∠PHO=|OP||OH|=1，所以∠PHO=45°，所以二面角P?BC?A的大小為45°，

所以二面角P?BC?A的正弦值為22．

．

(二)

(1)解：若a=1，f(x)=lnx+2x+(x+1)，定義域?yàn)?0,+∞)，

所以f′(x)=1x?2x2+1=x2+x?2x2=(x?1)(x+2)x2.f′(x)=0，解得：x=1．

當(dāng)x變化，f′(x)，f(x)變化情況如下表所示：

故f(x)有極小值，極小值為f(1)=4，無(wú)極大值．

(2)解：f′(x)=1x?2x2?a=?ax2+x?2x2，

(i)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)在(0,2)單調(diào)遞增，(2,+∞)單調(diào)遞減;

(ii)當(dāng)a<0時(shí)，Δ=1?8a>0，f′(x)=0有兩根，設(shè)x1=1?1?8a2a，x2=1+1?8a2a，

則x2<0<x1，f(x)在(0,x1)單調(diào)遞減，(x1,+∞)18.解：(1)以a1為首項(xiàng)的最長(zhǎng)遞增子列是a1，a3，a4，

以a2為首項(xiàng)的最長(zhǎng)遞減子列是a2，a3和a2，a4．

所以x1=3，y2=2．

i=14|xi?yi|=|3?0|+|0?2|+|2?0|+|0?0|=7．

(2)對(duì)i∈{1,2,?,n?1}，由于a1，a2，?，an是1，2，?，n的一個(gè)排列，故ai≠ai+1．

若ai<ai+1，則每個(gè)以ai+1為首項(xiàng)的遞增子列都可以在前面加一個(gè)ai，

得到一個(gè)以ai為首項(xiàng)的更長(zhǎng)的遞增子列，所以xi>xi+1;

而每個(gè)以ai為首項(xiàng)的遞減子列都不包含ai+1，且ai<ai+1，

故可將ai替換為ai+1，得到一個(gè)長(zhǎng)度相同的遞減子列，所以yi≤yi+1．

這意味著xi?yi>xi+1?yi+1;

若ai>ai+1，同理有yi>yi+1，xi≤xi+1，故xi?yi<xi+1?yi+1．

總之有xi?yi≠xi+1?yi+1，從而xi?yi和xi+1?yi+