2019年高考數(shù)學(xué)文科一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)54幾何概型

課時(shí)作業(yè)54幾何概型一、選擇題1．(2018·武漢調(diào)研)在長(zhǎng)為16cm的線段MN上任取一點(diǎn)P，以MP、NP為鄰邊作一矩形，則該矩形的面積大于60cm2的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(3,4)解析：本題考查幾何概型．設(shè)MP＝x，則NP＝16－x，由x(16－x)＞60，解得6＜x＜10，所以所求概率P＝eq\f(10－6,16)＝eq\f(1,4)，故選A.答案：A2．(2018·貴陽一模)已知函數(shù)f(x)＝kx＋1，其中實(shí)數(shù)k的值隨機(jī)選自區(qū)間[－2,1]，則對(duì)任意的x∈[0,1]，f(x)≥0的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析：當(dāng)x＝0時(shí)，k∈[－2,1]；當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，k≥－eq\f(1,x)，而x∈(0,1]?－eq\f(1,x)∈(－∞，－1]，故k≥－1，從而k∈[－1,1]．因此所求概率為eq\f(1－－1,1－－2)＝eq\f(2,3).故選C.答案：C3．(2018·湖南省五市十校高三聯(lián)考)在矩形ABCD中，AB＝2AD，在CD上任取一點(diǎn)P，△ABP的最大邊是AB的概率是()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(2)－1D.eq\r(3)－1解析：分別以A，B為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交CD于P1，P2，則當(dāng)P在線段P1P2間運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使得△ABP的最大邊是AB，易得eq\f(P1P2,CD)＝eq\r(3)－1，即△ABP的最大邊是AB的概率是eq\r(3)－1.答案：D4．(2018·武漢市武昌區(qū)調(diào)研)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“l(fā)og0.5(4x－3)≥0”A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)解析：因?yàn)閘og0.5(4x－3)≥0，所以0<4x－3≤1，即eq\f(3,4)<x≤1，所以所求概率P＝eq\f(1－\f(3,4),1－0)＝eq\f(1,4).答案：D5．一只小蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,27)D.eq\f(27,64)解析：根據(jù)幾何概型知識(shí)，概率為體積之比，即P＝eq\f(4－23,43)＝eq\f(1,8).答案：A6．(2018·洛陽市第一次統(tǒng)一考試)若θ∈[0，π]，則sin(θ＋eq\f(π,3))>eq\f(1,2)成立的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D．1解析：依題意，當(dāng)θ∈[0，π]時(shí)，θ＋eq\f(π,3)∈[eq\f(π,3)，eq\f(4π,3)]，由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))>eq\f(1,2)得eq\f(π,3)≤θ＋eq\f(π,3)<eq\f(5π,6)，0≤θ<eq\f(π,2).因此，所求的概率等于eq\f(π,2)÷π＝eq\f(1,2)，選B.答案：B7．(2018·深圳調(diào)研)設(shè)實(shí)數(shù)a∈(0,1)，則函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)解析：本題考查幾何概型．由函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零點(diǎn)，可得Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋1)＝4a－3≥0，解得a≥eq\f(3,4)，即有eq\f(3,4)≤a＜1，結(jié)合幾何概型的概率計(jì)算公式可得所求的概率為P＝eq\f(1－\f(3,4),1－0)＝eq\f(1,4)，故選D.答案：D8．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)A.eq\f(π,12)B．1－eq\f(π,12)C.eq\f(π,6)D．1－eq\f(π,6)解析：點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的點(diǎn)位于以O(shè)為球心，以1為半徑的半球外．記“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為事件M，則P(M)＝eq\f(23－\f(1,2)×\f(4π,3)×13,23)＝1－eq\f(π,12).答案：B9．(2018·安徽淮南一模)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，也是古代東方數(shù)學(xué)的代表作．書中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為8步和15步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)投豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率是()A.eq\f(3π,20)B.eq\f(π,20)C.eq\f(3π,10)D.eq\f(π,10)解析：依題意，直角三角形的斜邊長(zhǎng)為17.設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則由等面積法，可得eq\f(1,2)×8×15＝eq\f(1,12)×(8＋15＋17r)，解得r＝3，∴向此三角形內(nèi)投豆子，豆子落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率是P＝eq\f(π×32,\f(1,2)×8×15)＝eq\f(3π,20).答案：A10．(2018·太原模擬)如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形(陰影部分)圍成一個(gè)大正方形，中間空出一個(gè)小正方形組成的圖形，若在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在小正方形的概率為eq\f(1,5)，則圖中直角三角形中較大銳角的正弦值為()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(1,5)D.eq\f(\r(3),3)解析：本題考查幾何概型．設(shè)大正方形邊長(zhǎng)為a，直角三角形中較大銳角為θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，則小正方形的面積為a2－4×eq\f(1,2)×acosθ×asinθ＝a2－a2sin2θ，則由題意，得eq\f(a2－a2sin2θ,a2)＝eq\f(1,5)，解得sin2θ＝eq\f(4,5).因?yàn)棣取蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以sinθ＋cosθ＝eq\r(1＋sin2θ)＝eq\f(3,\r(5))①，sinθ－cosθ＝eq\r(1－sin2θ)＝eq\f(1,\r(5))②.由①＋②解得sinθ＝eq\f(2\r(5),5)，故選B.答案：B二、填空題11．(2018·黃山一模)向面積為S的△ABC內(nèi)任意投擲一點(diǎn)P，則△PBC的面積小于eq\f(S,2)的概率為________．解析：∵S△PBC<eq\f(1,2)S△ABC，∴h′<eq\f(h,2)，其中h′為△PBC中BC邊上的高，h為△ABC中BC邊上的高．設(shè)DE為△ABC的中位線(如圖所示)，則梯形BCED(陰影部分)中的點(diǎn)滿足要求，∴所求概率P＝eq\f(S梯形BCED,S△ABC)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)12．在體積為V的三棱錐S－ABC的棱AB上任取一點(diǎn)P，則三棱錐S－APC的體積大于eq\f(V,3)的概率是________．解析：由題意可知eq\f(VS－APC,VS－ABC)＞eq\f(1,3)，三棱錐S－ABC的高與三棱錐S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，則PM，BN分別為ΔAPC與△ABC的高，所以eq\f(VS－APC,VS－ABC)＝eq\f(S△APC,S△ABC)＝eq\f(PM,BN)＞eq\f(1,3)，又eq\f(PM,BN)＝eq\f(AP,AB)，所以eq\f(AP,AB)＞eq\f(1,3).故所求的概率為eq\f(2,3)(即為長(zhǎng)度之比)．答案：eq\f(2,3)13．(2018·甘肅省張掖市第一次考試)在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)θ，則使eq\r(2)≤eq\r(2)sinθ＋eq\r(2)cosθ≤2成立的概率為________．解析：由eq\r(2)≤eq\r(2)sinθ＋eq\r(2)cosθ≤2，得eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))≤1，結(jié)合θ∈[0，π]，得θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴使eq\r(2)≤eq\r(2)sinθ＋eq\r(2)cosθ≤2成立的概率為eq\f(\f(π,2),π)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)14.(2018·山東青島一模)如圖所示，四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為2的大正方形，若直角三角形中較小的銳角θ＝eq\f(π,6).現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是________．解析：易知小正方形的邊長(zhǎng)為eq\r(3)－1，故小正方形的面積為S1＝(eq\r(3)－1)2＝4－2eq\r(3)，大正方形的面積為S＝2×2＝4，故飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(4－2\r(3),4)＝eq\f(2－\r(3),2).答案：eq\f(2－\r(3),2)[能力挑戰(zhàn)]15．(2018·江西贛州十四縣聯(lián)考)已知定義在區(qū)間[－3,3]上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的x∈[－3,3]，都有f(f(x)－2x)＝6，則在[－3,3]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得f(x)的值不小于4的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(5,6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)解析：由題意設(shè)對(duì)任意的x∈[－3,3]，都有f(x)－2x＝a，其中a為常數(shù)，且a∈[－3,3]，則f(a)＝6，f(a)－2a＝a，∴6－2a＝a，得a＝2，故f(x)＝2x＋2，由f(x)≥4得x≥1，因此所求概率為eq\f(3－1,3＋3)＝eq\f(1,3).答案：C16．(2018·云南省第一次統(tǒng)一檢測(cè))在平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4≤0,x＞0,y＞0))內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)(a，b)，則函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)解析：不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的△AOB的內(nèi)部及邊界AB(不包括邊界OA，OB)，則S△AOB＝eq\f(1,2)×4×4＝8.函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，則應(yīng)滿足a＞0且x＝eq\f(4b,2a)≤1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0,a≥2b))，可得對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分(包括邊界OC，BC，不包括邊界OB)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2b,a＋b－4＝0))，解得a＝eq\f(8,3)，b＝eq\f(4,3)，所以S△COB＝eq\f(1,2)×4×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，根據(jù)幾何