貴州省黔東南苗族侗族自治州東南州名校2023學(xué)年高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷（含解析）

1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷注意事項(xiàng)1考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（ ）ABCD2已知集合，則（）ABCD3已知半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱，若圓柱的高為2，則球的體積與圓柱的體積的比為（ ）ABCD4九章算術(shù)有如下問題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤，問

2、次一尺各重幾何?”意思是：“現(xiàn)在有一根金箠， 長(zhǎng)五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在細(xì)的一端截下一尺，重斤，問各尺依次重多少?”按這一問題的顆設(shè)，假設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重量依次成等差數(shù)列，則從粗端開始的第二尺的重量是（ ）A斤B 斤C斤D斤5已知函數(shù)，其中，記函數(shù)滿足條件：為事件，則事件發(fā)生的概率為ABCD6已知正四面體的棱長(zhǎng)為，是該正四面體外接球球心，且，則（ ）ABCD7拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，則（ ）ABCD8已知,則 ()ABCD9在正方體中，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，給出下列命題：；平面；和成角為.正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A0B1C2D310已知橢圓內(nèi)有一條以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，則直線的方程為(

3、)ABCD11已知函數(shù)，則（ ）ABCD12馬林梅森是17世紀(jì)法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物，梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上對(duì)2p1作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作，人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn)，將形如2P1（其中p是素?cái)?shù)）的素?cái)?shù)，稱為梅森素?cái)?shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是（ ）A3B4C5D6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知無蓋的圓柱形桶的容積是立方米，用來做桶底和側(cè)面的材料每平方米的價(jià)格分別為30元和20元，那么圓桶造價(jià)最低為_元.14將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的最大值為_.15

4、若函數(shù)為奇函數(shù)，則_.16如圖，從一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形紙片的三個(gè)角上，沿圖中虛線剪出三個(gè)全等的四邊形，余下部分再以虛線為折痕折起，恰好圍成一個(gè)缺少上底的正三棱柱，而剪出的三個(gè)相同的四邊形恰好拼成這個(gè)正三棱柱的上底，則所得正三棱柱的體積為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為平行四邊形，側(cè)面為正方形，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的大小.18（12分）在三角形中，角，的對(duì)邊分別為，若.（）求角；（）若，求.19（12分）如圖，在正四棱錐中，點(diǎn)、分別在線段、上，（1）若，求證：；（2）若二面角的大小為，求線段的

5、長(zhǎng)20（12分）如圖1，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，現(xiàn)將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.21（12分）已知函數(shù).（1）若對(duì)任意x0，f（x）0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2（x1x2），證明：.22（10分）如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面為正三角形，且面面，分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）（文科）求三棱錐的體積；（理科）求二面角的正切值.2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的

6、四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【答案解析】所求的分母特征，利用變形構(gòu)造，再等價(jià)變形，利用基本不等式求最值.【題目詳解】解：因?yàn)闈M足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：【答案點(diǎn)睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.2、A【答案解析】根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)可知，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【題目詳解】，集合，由交集運(yùn)算可得.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查由對(duì)數(shù)的

7、性質(zhì)比較大小，集合交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3、D【答案解析】分別求出球和圓柱的體積，然后可得比值.【題目詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，則，所以圓柱的體積.又球的體積，所以球的體積與圓柱的體積的比，故選D.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的體積求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4、B【答案解析】依題意，金箠由粗到細(xì)各尺重量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則，由此利用等差數(shù)列性質(zhì)求出結(jié)果【題目詳解】設(shè)金箠由粗到細(xì)各尺重量依次所成得等差數(shù)列為，設(shè)首項(xiàng)，則，公差，.故選B【答案點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題5、D【答案解析】由得，分別以為橫縱坐標(biāo)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

8、由圖可知，.6、A【答案解析】如圖設(shè)平面，球心在上，根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得，根據(jù)平面向量的加法的幾何意義，重心的性質(zhì)，結(jié)合已知求出的值.【題目詳解】如圖設(shè)平面，球心在上，由正四面體的性質(zhì)可得：三角形是正三角形，在直角三角形中，因?yàn)闉橹匦?，因此，則，因此，因此，則，故選A.【答案點(diǎn)睛】本題考查了正四面體的性質(zhì)，考查了平面向量加法的幾何意義，考查了重心的性質(zhì)，屬于中檔題.7、B【答案解析】根據(jù)拋物線定義得，即可解得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，所?故選B【答案點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8、B【答案解析】利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求解即可【題目詳解】，本題

9、正確選項(xiàng)：【答案點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力9、C【答案解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法對(duì)四個(gè)命題逐一分析，由此得出正確命題的個(gè)數(shù).【題目詳解】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，.，所以，故正確.，不存在實(shí)數(shù)使，故不成立，故錯(cuò)誤.，故平面不成立，故錯(cuò)誤.，設(shè)和成角為，則，由于，所以，故正確.綜上所述，正確的命題有個(gè).故選：C【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線線、線面位置關(guān)系的向量判斷方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.10、C【答案解析】設(shè)，則，相減得到，解得答案.【題目詳解】設(shè)，設(shè)直線斜率為，則，相減得到：，的中點(diǎn)為，即，故，直線

10、的方程為：.故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)點(diǎn)差法求直線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.11、A【答案解析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，先求得的值，再求得的值.【題目詳解】依題意，.故選：A【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.12、C【答案解析】模擬程序的運(yùn)行即可求出答案【題目詳解】解：模擬程序的運(yùn)行，可得：p1，S1，輸出S的值為1，滿足條件p7，執(zhí)行循環(huán)體，p3，S7，輸出S的值為7，滿足條件p7，執(zhí)行循環(huán)體，p5，S31，輸出S的值為31，滿足條件p7，執(zhí)行循環(huán)體，p7，S127，輸出S的值為127，滿足條件p7，執(zhí)行循環(huán)體，p9，S511，輸出S的值為

11、511，此時(shí)，不滿足條件p7，退出循環(huán)，結(jié)束，故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是5，故選：C【答案點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】設(shè)桶的底面半徑為，用表示出桶的總造價(jià)，利用基本不等式得出最小值.【題目詳解】設(shè)桶的底面半徑為，高為，則，故，圓通的造價(jià)為解法一： 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).解法二：，則，令，即，解得，此函數(shù)在單調(diào)遞增；令，即，解得，此函數(shù)在上單調(diào)遞減； 令，即，解得，即當(dāng)時(shí)，圓桶的造價(jià)最低.所以 故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.14、【答案解析

12、】由三角函數(shù)圖象相位變換后表達(dá)函數(shù)解析式，再利用三角恒等變換與輔助角公式整理的表達(dá)式，進(jìn)而由三角函數(shù)值域求得最大值.【題目詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則所以，當(dāng)函數(shù)最大，最大值為故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題考查表示三角函數(shù)圖象平移后圖象的解析式，還考查了利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)式并求最值，屬于簡(jiǎn)單題.15、-2【答案解析】由是定義在上的奇函數(shù),可知對(duì)任意的,都成立,代入函數(shù)式可求得的值.【題目詳解】由題意,的定義域?yàn)?是奇函數(shù),則,即對(duì)任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題考查奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、1【答案解

13、析】由題意得正三棱柱底面邊長(zhǎng)6，高為，由此能求出所得正三棱柱的體積【題目詳解】如圖，作，交于，由題意得正三棱柱底面邊長(zhǎng)，高為，所得正三棱柱的體積為：故答案為：1【答案點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的翻折問題、正三棱柱體積的求法、三棱柱的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意翻折前后的不變量三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【答案解析】（1）連接，交與，連接，由，得出結(jié)論；（2）以為原點(diǎn)，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用夾角公式求出即可.【題目詳解】（1）連接，交與，連接，在中，又平面，平面，所以平面；

14、（2）由平面平面，為平面與平面的交線，故平面，故，又，所以平面，以為原點(diǎn)，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量為，由，得，平面的法向量為，由，故二面角的大小為.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18、（）（）8【答案解析】（）由余弦定理可得，即可求出A,（）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和兩角和的正弦公式和正弦定理即可求出.【題目詳解】（）由余弦定理，所以，所以，即，因?yàn)?，所以；（）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，由正弦定理得，所?【答案點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理與余弦定理解三角形，屬于簡(jiǎn)單題.19、（1）證明見解析；（2）【答案解析

15、】試題分析：由于圖形是正四棱錐，因此設(shè)AC、BD交點(diǎn)為O，則以O(shè)A為x軸正方向，以O(shè)B為y軸正方向，OP為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，可用空間向量法解決問題（1）只要證明0即可證明垂直；（2）設(shè)，得M(，0，1)，然后求出平面MBD的法向量，而平面ABD的法向量為，利用法向量夾角與二面角相等或互補(bǔ)可求得試題解析: (1)連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O，以O(shè)A為x軸正方向，以O(shè)B為y軸正方向，OP為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)镻AAB，則A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)由，得N，由，得M，所以，(1，1，0)因?yàn)?，所以MNAD(2) 解：因?yàn)镸在PA上，可設(shè)

16、，得M(，0，1)所以(，1，1)，(0，2，0)設(shè)平面MBD的法向量(x，y，z)，由，得其中一組解為x1，y0，z，所以可取(1，0，)因?yàn)槠矫鍭BD的法向量為(0，0，1)，所以cos，即，解得，從而M，N，所以MN 考點(diǎn)：用空間向量法證垂直、求二面角20、（1）證明見解析；（2）.【答案解析】（1）利用線面平行的定義證明即可（2）取的中點(diǎn)，并分別連接，然后，證明相應(yīng)的線面垂直關(guān)系，分別以，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可【題目詳解】證明：（1）在圖1中，連接.又，分別為，中點(diǎn)，所以.即圖2中有.又平面，平面，所以平面.解：（2）在圖2中，取的中點(diǎn)，并分別連接，.

17、分析知，.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又，所以，.分別以，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，則，所以.又，所以.分析知，直線與平面所成角的正弦值為.【答案點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明以及利用空間向量求解線面角問題，屬于基礎(chǔ)題21、（1）；（2）證明見解析.【答案解析】（1）求出，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即求的范圍；（2）由（1）可知， .對(duì)分和兩種情況討論，構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法和基本不等式證明結(jié)論【題目詳解】（1）由，得.令.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.對(duì)任意恒成立，.（2）證明：由（1）可知，在上單調(diào)遞增

18、，在上單調(diào)遞減，.若，則，令在上單調(diào)遞增，.又，在上單調(diào)遞減，.若，則顯然成立.綜上，.又以上兩式左右兩端分別相加，得，即，所以.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.22、（1）見解析（2）（文） （理）【答案解析】（1）證明：取PD中點(diǎn)G，連結(jié)GF、AG，GF為PDC的中位線，GFCD且，又AECD且，GFAE且GF=AE，EFGA是平行四邊形，則EFAG，又EF不在平面PAD內(nèi)，AG在平面PAD內(nèi)，EF面PAD； （2）（文）解：取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，面PAD面ABCD，PAD為正三角形，PO面ABCD，且，又PC為面ABCD斜線，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，F(xiàn)到面ABCD距離，故；（理）連OB交CE于M，可得RtEBCRtOAB，MEB=AOB，則MEB+MB