專題12 壓軸中的閱讀理解題型（解析版）

專題12壓軸中的閱讀理解題型閱讀理解型問題在近幾年的各地中考試題中頻頻“亮相”，應(yīng)該特別引起我們的重視.它由兩部分組成：一是閱讀材料；二是考查內(nèi)容．它要求學生根據(jù)閱讀獲取的信息回答問題．提供的閱讀材料主要包括：一個新的數(shù)學概念的形成和應(yīng)用過程，或一個新的數(shù)學公式的推導與應(yīng)用，或提供新聞背景材料等．考查內(nèi)容既有考查基礎(chǔ)的，又有考查自學能力和探索能力等綜合素質(zhì)的．這類問題一般文字敘述較長，信息量較大，內(nèi)容豐富，超越常規(guī)，源于課本，又高于課本，各種關(guān)系錯綜復(fù)雜，不僅能考查同學們閱讀題中文字獲取信息的能力，還能考查同學們獲取信息后的抽象概括能力、建模能力、決策判斷能力等.同時，更能夠綜合考查同學們的數(shù)學意識和數(shù)學綜合應(yīng)用能力.題型特點：先給出一段材料，讓學生理解，再設(shè)立新的數(shù)學概念，新概念的解答可以借鑒前面材料的結(jié)論或思想方法．解題策略：從給的材料入手，通過理解分析本材料的內(nèi)容，捕捉已知材料的信息，靈活應(yīng)用這些信息解決新材料的問題．解決閱讀理解問題的關(guān)鍵是要認真仔細地閱讀給定的材料，弄清材料中隱含了什么新的數(shù)學知識、結(jié)論，或揭示了什么數(shù)學規(guī)律，或暗示了什么新的解題方法，然后依題意進行分析、比較、綜合、抽象和概括，或用歸納、演繹、類比等進行計算或推理論證，并能準確地運用數(shù)學語言闡述自己的思想、方法、觀點．展開聯(lián)想，將獲得的新信息、新知識、新方法進行遷移，建模應(yīng)用，解決題目中提出的問題.閱讀理解題一般可分為如下幾種類型：方法模擬型——通過閱讀理解，模擬提供材料中所述的過程方法，去解決類似的相關(guān)問題；判斷推理型——通過閱讀理解，對提供的材料進行歸納概括；按照對材料本質(zhì)的理解進行推理，作出解答；遷移發(fā)展型——從提供的材料中，通過閱讀，理解其采用的思想方法，將其概括抽象成數(shù)學模型去解決類同或更高層次的另一個相關(guān)命題． （2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料，解答問題：材料1為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．材料2已知實數(shù)m，n滿足，，且，顯然m，n是方程的兩個不相等的實數(shù)根，由書達定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：方程的解為_______________________；(2)間接應(yīng)用：已知實數(shù)a，b滿足：，且，求的值；(3)拓展應(yīng)用：已知實數(shù)x，y滿足：，且，求的值．（1）利用換元法降次解決問題；（2）模仿例題解決問題即可；（3）令=a，-n=b，則+a-7=0，+b=0，再模仿例題解決問題．【答案】(1)，，，(2)或(3)15【詳解】（1）解：令y=，則有-5y+6=0，∴（y-2）（y-3）=0，∴=2，=3，∴=2或3，∴，，，，故答案為：，，，；（2）解：∵，∴或①當時，令，，∴則，，∴，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，∴，此時；②當時，，此時；綜上：或（3）解：令，，則，，∵，∴即，∴，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，∴，故．本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，冪的乘方與積的乘方，換元法，解一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會模仿例題解決問題．（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點作于點，則：在中，CD=asinB在中，根據(jù)上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號．參考數(shù)據(jù)：，（1）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)表示AD后，即可建立關(guān)聯(lián)并求解；（2）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出AE和BC，即可求解．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：如圖2，過點作于點，在中，，在中，，，；（2）解：如圖3，過點作于點，，，，在中，又，即，，．本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的前提．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：如圖，和都是等邊三角形，點在上．求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．(1)【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．(2)【拓展遷移】如圖，四邊形和四邊形都是正方形，點在上．①試猜想：以、、為邊的三角形的形狀，并說明理由．②若，試求出正方形的面積．（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，再證△EBA≌△DBC（SAS）∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，求出∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，可得△ADC為鈍角三角形即可；（2）①以、、為邊的三角形是直角三角形，連結(jié)CG，根據(jù)正方形性質(zhì)，得出∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∠BEA=∠BGE=45°，再證△EBA≌△GBC（SAS）得出AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，可證△AGC為直角三角形即可；②連結(jié)BD，根據(jù)勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面積公式求解即可．【答案】(1)鈍角三角形；證明見詳解(2)①直角三角形；證明見詳解；②S四邊形ABCD=【詳解】（1）證明：∵△ABC與△EBD均為等邊三角形，∴BE=BD，AB=CB，∠EBD=∠ABC=60°，∴∠EBA+∠ABD=∠ABD+∠DBC，∴∠EBA=∠DBC，在△EBA和△DBC中，，∴△EBA≌△DBC（SAS），∴∠AEB=∠CDB=60°，AE=CD，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=120°，∴△ADC為鈍角三角形，∴以、、為邊的三角形是鈍角三角形．（2）證明：①以、、為邊的三角形是直角三角形．連結(jié)CG，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴∠EBG=∠ABC，EB=GB，AB=CB，∵EG為正方形的對角線，∴∠BEA=∠BGE=45°，∴∠EBA+∠ABG=∠ABG+∠GBC=90°，∴∠EBA=∠GBC，在△EBA和△GBC中，，∴△EBA≌△GBC（SAS），∴AE=CG，∠BEA=∠BGC=45°，∴∠AGC=∠AGB+∠BGC=45°+45°=90°，∴△AGC為直角三角形，∴以、、為邊的三角形是直角三角形；②連結(jié)BD，∵△AGC為直角三角形，，由（2）可知，AE=CG，∴AC=，∴四邊形ABCD為正方形，∴AC=BD=，∴S四邊形ABCD=．本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理是解題關(guān)鍵．1．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考二模）閱讀下列材料，完成探究與運用．【材料】工程隊為推進修筑公路的進度，特引進新設(shè)備，引進后平均每天比原計劃多修5米，現(xiàn)在修60米與原計劃修45米所需時間相同．問現(xiàn)在平均每天修多少米？解：設(shè)現(xiàn)在平均每天修x米，則可列出分式方程，…．同學們在解答完成后，張老師介紹了另一種解法：由，從而可得：，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，…．【探究】小恒同學對老師的解法很感興趣，于是再進行探究，由比例式得成立，同時也成立，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律．(1)請將他發(fā)現(xiàn)的規(guī)律補充完整：已知a，b，c，d均不為0，若，則①____，②______；【運用】(2)請用上述規(guī)律，解分式方程．【答案】(1)；(2)，【分析】（1）根據(jù)閱讀材料和探究材料可直接得出答案；（2）直接利用（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解分式方程即可．【詳解】（1）解：小恒同學發(fā)現(xiàn)的規(guī)律為：已知a，b，c，d均不為0，若，則①，②；故答案為：；（2）解：，從而可得：，∴，∴，∴，解得，，經(jīng)檢驗，都是原方程的解，故原方程的解為，．2．（2022·河南南陽·統(tǒng)考二模）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯認為：“一切平面圖形中最美的是圓”，它的完美來自對稱，其中切弦（chordofcontact）亦稱切點弦，是一條特殊弦，從圓外一點向圓引兩條切線，連接這兩個切點的弦稱為切弦．此時，圓心與已知點的連線垂直平分切弦．(1)任務(wù)一：為了說明切弦性質(zhì)的正確性，需要對其進行證明，如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出“證明”過程．已知：如圖1，P是外一點，__________________________________________．求證：__________________________________________．證明：(2)任務(wù)二：如圖2，在任務(wù)一的條件下，CD是的直徑，連接AD、BC，若，，，求OP的長．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)命題的條件和結(jié)論即可寫成已知和求證，連接OA、OB，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，然后證明Rt△OAP≌Rt△OBP，從而可得，最后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可解答；（2）連接OA、OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠AOD和∠BOC，從而求出∠AOB，然后在Rt△OBP中利用銳角三角函數(shù)進行計算即可解答．【詳解】(1)解：任務(wù)一：已知：如圖①，P是⊙O外一點，PA、PB與⊙O分別相切于點A、B，連接AB、OP，求證：OP垂直平分AB．證明：連接OA、OB，∵PA、PB與⊙O分別相切于點A、B，∴，∵OA＝OB，OP＝OP，∴，∴，∵OA＝OB，∴OP垂直平分AB；(2)任務(wù)二：連接OA、OB，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由（1）得，，∵，，∴．3．（2022·重慶·西南大學附中校考模擬預(yù)測）閱讀材料：材料一：對于一個四位數(shù)n，若滿足各個數(shù)位上的數(shù)字均不為零，且千位數(shù)字與百位數(shù)字的差等于十位數(shù)字與個位數(shù)字的差，則稱這個數(shù)為“等差數(shù)”.例如：，∵，∴8563是“等差數(shù)”；，∵，∴2715不是“等差數(shù)”；材料二：將一個四位數(shù)n（十位上的數(shù)字不為零）千位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字交換，百位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換可以得到一個新的四位數(shù)，記.例如：，，則.請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)判斷4312和2817是否為“等差數(shù)”，并說明理由；(2)求證：對于任意一個“等差數(shù)”m，都能被11整除；(3)若s和t都是“等差數(shù)”，其中，（，，，，a，b，x，y均為整數(shù)），且，求s的值.【答案】(1)4312不是“等差數(shù)”，2817是“等差數(shù)”，理由見解析(2)見解析(3)8912和5612【分析】（1）根據(jù)“等差數(shù)”定義分別計算驗證即可；（2）設(shè)一個“等差數(shù)”為：，（p，q，a，b均為正整數(shù)），則，然后將這兩個表達式代入中，進行整式的化簡，結(jié)合“等差數(shù)”定義，即可證出結(jié)果；（3）根據(jù)“等差數(shù)”的定義，得出，，然后求出和，然后代入，結(jié)合“等差數(shù)”的定義，化簡得出，根據(jù)a，b，x，y的范圍，分類討論，即可解決問題．【詳解】(1)解：4312不是“等差數(shù)”，2817是“等差數(shù)”，理由如下：∵4-3=1≠1-2=-1，∴4312不是“等差數(shù)”，∵2-8=-6=1-7=-6，∴2817是“等差數(shù)”；(2)證明：設(shè)一個“等差數(shù)”為：，（p，q，a，b均為正整數(shù)），則，則=∵是“等差數(shù)”，∴，∴，∵p，q，a，b均為正整數(shù)，故F(m)都能被11整除；(3)解：∵和都是“等差數(shù)”，∴，即，∵t是“等差數(shù)”，∴，即，∵∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，，，，a，b，x，y均為整數(shù)，∴當a=2時，x=8，此時y=x-4=4，b=a+3=5，，；當a=4時，x=5，此時y=x-4=1，b=4+3=7，，；當a=6時，x=2，y=2-4=-2（不符合題意）；∴s為8912和5612．4．（2022·吉林長春·校考一模）【閱讀材料】我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點，過另外兩個頂點分別向該直線作垂線，即可得“三垂直模型”．如圖①，在中，，，分別過A、B向經(jīng)過點C的直線作垂線，垂足分別為D、E，易證：．（無需證明）(1)【問題探究】如果，其他條件不變，如圖②，求證：．(2)【學以致用】如圖③，在平面直角坐標系中，，點，點B在第二象限，，求AB所在直線的函數(shù)表達式．(3)【拓展應(yīng)用】如圖④，在矩形ABCD中，，，點E為邊BC上一個動點，連結(jié)AE，將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，點A落在點P處，當點P在矩形ABCD外部時，連結(jié)PC、PD．當為直角三角形時，直接寫出BE的長．【答案】(1)見解析；(2)y=-x+；(3)4或2+【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，且∠ADC=∠BEC=90°，可得結(jié)論；（2）過點B作BN⊥x軸于點N，先證△NBO∽△FOA，可得，可求點B坐標，利用待定系數(shù)法可求解析式；（3）分兩種情況討論，由全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，又∵∠ADC=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，且∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC∽△CEB；（2）如圖，過點B作BN⊥x軸于點N，∴∠NBO+∠BON=90°,∵∴∠AOF+∠BON=90°∴∠NBO=∠AOF∵∠BNO=∠AFO=90°∴△NBO∽△FOA，∴，∵點A（1，2），∴OF=1，AF=2，∵，∴，∴NB=，ON=3，∴點B（-3，），∵設(shè)直線AB表達式：y=kx+b，∴∴∴直線AB的解析式為：y=-x+；（3）當∠CDP=90°時，如圖，過點P作PH⊥BC，交BC延長線于點H，∵∠ADC+∠CDP=180°，∴點A，點D，點P三點共線，∵∠BAP=∠B=∠H=90°，∴四邊形ABHP是矩形，∴AB=PH=4，∵將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，∴AE=EP，∠AEP=90°，∴∠AEB+∠PEH=90°，且∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠PEH，且∠B=∠H=90°，AE=EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴BE=PH=4，當∠CPD=90°時，如圖，過點P作PH⊥BC，交BC延長線于點H，延長HP交AD的延長線于N，則四邊形CDNH是矩形，∴CD=NH=4，DN=CH，設(shè)BE=x，則EC=6-x，∵將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，∴AE=EP，∠AEP=90°，∴∠AEB+∠PEH=90°，且∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠PEH，且∠B=∠EHP=90°，AE=EP，∴△ABE≌△EHP（AAS），∴PH=BE=x，AB=EH=4，∴PN=4-x，CH=4-（6-x）=x-2=DN，∵∠DPC=90°，∴∠DPN+∠CPH=90°，且∠CPH+∠PCH=90°，∴∠PCH=∠DPN，且∠N=∠CHP=90°，∴△CPH∽△PDN，∴，∴∴x=2±∵點P在矩形ABCD外部，∴x=2±，∴BE=2+，綜上所述：當BE的長為4或2+時，△DPC為直角三角形．5．（2022·山東·統(tǒng)考一模）閱讀材料：如圖1，在中，D，E分別是邊AB，AC的中點，小亮在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長DE到點F，使，連接CF，證明，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．類比遷移：（1）如圖2，AD是的中線，E是AC上的一點，BE交AD于點F，且，求證：．小亮發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進行證明．證明：如圖2，延長AD至點M，使，連接MC，……請根據(jù)小亮的思路完成證明過程．方法運用：（2）如圖3，在等邊中，D是射線BC上一動點（點D在點C的右側(cè)），連接AD．把線段CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，F(xiàn)是線段BE的中點，連接DF、CF．請你判斷線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析【分析】(1)延長AD至M，使，連接MC，證明，結(jié)合等角對等邊證明即可．(2)延長DF至點M，使，連接BM、AM，證明，△ABM是等邊三角形，代換后得證．【詳解】（1）證明：延長AD至M，使，連接MC．在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系為：．證明如下：延長DF至點M，使，連接BM、AM，如圖2所示：∵點F為BE的中點，∴在和中，∵，∴∴，，∴∵線段CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE∴，，∴∵是等邊三角形∵，，∴∵，∴在和中，∵，∴∴，，∴∴是等邊三角形，∴．6．（2022·河南商丘·統(tǒng)考一模）閱讀材料如圖1，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長DE到點F，使EF＝DE，連接CF，證明△ADE≌△CFE，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．(1)類比遷移如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于點E，交AD于點F，且AE＝EF，求證：AC＝BF．小明發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進行證明．證明：如圖2，延長AD至點M，使MD＝FD，連接MC，……請根據(jù)小明的思路完成證明過程．(2)方法運用如圖3，在等邊△ABC中，D是射線BC上一動點（點D在點C的右側(cè)），連接AD．把線段CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE．F是線段BE的中點，連接DF，CF．①請你判斷線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；②若AB＝4，CFCD請直接寫出CF的長．【答案】(1)見解析(2)①線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系為：AD＝2DF，證明見解析；②CF的長為1或2【分析】（1）類比材料，運用倍長中線輔助線作法，證得結(jié)論．（2）①運用倍長中線輔助線作法，結(jié)合三角形全等證明及等邊三角形性質(zhì)，得出結(jié)論．②運用分類討論思想，分別求出CF為△BDE的中位線和CF不是△BDE的中位線，兩種情況下，CF的長．【詳解】（1）（1）證明：如圖，延長AD至M，使MD＝FD，連接MC，在△BDF和△CDM中，∵，∴△BDF≌△CDM（SAS），∴MC＝