初中數(shù)學(xué)幾何模型(六)相似三角形模型

初中數(shù)學(xué)幾何模型（六）相似三角形模型（一）相似三角形的五大模型：1、A字型與反A字型2、8字型與反8字型3、共角共邊母子型相似模型（含射影定理）4、一線三等角相似模型5、旋轉(zhuǎn)相似模型（二）相似拓展模型1、對(duì)角互補(bǔ)相似：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，若∠EOF=90°，求證：OEOF證明：連接OC、EF，∵∠ACB=90°，∠EOF=90°，∴C、E、O、F四點(diǎn)共圓，∴∠1=∠2；∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OC=OA=OB=12AB，∴∠A=∠1，∴∠A=∵∠EOF=∠ACB=90°，∴△EOF∽△BCA，∴OEOF=變式一：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，若∠EOF=90°，EM⊥AB，F(xiàn)N⊥AB，垂足分別是M、N。求證：AM=ON。證明：連接OC、EF?！摺螦=∠2，∠AME=∠FOE=90°，∴△EMA∽△EOF，∴MEAM易證：△EMO∽△ONF，（一線三等角）∴OEOF=MEOM變式二：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，若∠EOF=90°，連接EF，探究AE、EF、BF的數(shù)量關(guān)系。（倍長(zhǎng)類中線）2、倒數(shù)相似（三平行）如圖，AB//EF//CD，求證：1AB證明：∵EF//AB，∴EFAB=DF∵EF//CD，∴EFCD=由①+②，得：EFAB+EFCD=DFBD+BF兩邊同時(shí)除以EF，得：1AB3、以等腰三角形（含等邊三角形）為背景的一線三等角。4、十字架模型：（1）正方形對(duì)邊兩點(diǎn)之間的線段垂直，則這兩條線段相等；（2）正方形對(duì)邊兩點(diǎn)之間的線段相等，則這兩條線段垂直；題目：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在BC、CD上，且BE=CF，探究AE與BF之間的關(guān)系，并說明理由。略解：（1）AE與BF之間的位置關(guān)系：AE⊥BF；（2）AE與BF之間的數(shù)量關(guān)系：AE=BF；由△ABE≌△BCF可得這兩個(gè)關(guān)系。變式1：如圖所示，在正方形ABCD中，E是邊CD上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與C、D重合），連接BE，M是BE上的點(diǎn)，過點(diǎn)M作GF⊥BE交BC于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G，求證：BE=FG。變式2：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、H、F、G分別在AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于點(diǎn)O，且EF⊥GH，求證：EF=GH。典型例題：1、如圖，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，AE∶AD=1∶4，BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，求AF∶CF的值。提示：過點(diǎn)D作DG//BF，交AC于點(diǎn)G。利用三角形中位線定理和平行線分線段成比例定理就能夠求出AF∶CF的值。也可以過點(diǎn)D作AC的平行線與BF交于一點(diǎn)。2、如圖，在△ABC紙板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P沿直線剪下一個(gè)與△ABC相似的小三角板，如果有4種不同的剪法，求AP長(zhǎng)的取值范圍。解：（1）當(dāng)過點(diǎn)P的直線平行于AB或BC時(shí)，過點(diǎn)P作PD//AB，△PCD∽△ACB，過點(diǎn)P作PE//BC，△APE∽△ACB，此時(shí)，0<AP<4。（2）過點(diǎn)P作∠APF交AB于點(diǎn)F，使∠APF=∠B，△APF∽△ABC，此時(shí)，0<AP≤4。（3）過點(diǎn)P作∠CPG交BC于點(diǎn)G，使∠CPG=∠CBA，當(dāng)點(diǎn)G不與點(diǎn)B重合時(shí)，△CPG∽△CBA，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)，△CPG∽△CBA，∴CB2=CP?CA，∴CP=1，∴AP=3，此時(shí)，3≤AP<4。綜上所述，AP長(zhǎng)的取值范圍為3≤AP<4。3、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E。（一線三等角（全等）可以證明這兩個(gè)問題。）（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE。（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE。4、如圖，直角三角形的直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，∠OAB=30°，若點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=6x解：過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C。∵∠BCO=∠ODA=∠AOB=90°，∴△BCO∽△ODA，（一線三等角）∴S△BCOS△ODA∴OBOA=tan30°=33，∴S△BCO∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=6x上，∴S△ODA=12∵點(diǎn)B在第二象限，∴經(jīng)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)解析式為y=-2x5、問題1：如圖1，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上的一點(diǎn)，PA=PD，∠APD=90°，求證：AB+CD=BC。問題2：如圖2，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=45°，P是BC上一點(diǎn)，PA=PD，∠APD=90°，求AB+CDBC問題1：由一線三等角（全等）易證：△ABP≌△PCD，∴AB=PC，CD=BP，∵BP+PC=BC，∴AB+CD=BC。問題2：過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F。由問題1可得：EF=AE+DF，∵AE⊥BC，DF