2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題六 解析幾何 第7講　探究性問(wèn)題解析版

第7講探究性問(wèn)題（新高考專(zhuān)用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 5【考點(diǎn)一】探究性問(wèn)題 5【專(zhuān)題精練】 24真真題自測(cè)一、解答題1．（2024·天津·高考真題）已知橢圓的離心率．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)，其中．(1)求橢圓方程．(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)使得．若存在求出這個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2024·上?！じ呖颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求的長(zhǎng);(2)設(shè)的上、下頂點(diǎn)分別為、，記的面積為的面積為，若，求的取值范圍(3)若點(diǎn)在軸上方，設(shè)直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，是否存在軸上方的點(diǎn)，使得成立?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：1．(1)(2)存在，使得恒成立.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)該直線方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元，結(jié)合韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，故，，其中為半焦距，所以，故，故，所以，，故橢圓方程為：.（2）若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率存在，則可設(shè)該直線方程為：，設(shè)，由可得，故且而，故，因?yàn)楹愠闪?，故，解?若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率不存在，則或，此時(shí)需，兩者結(jié)合可得.綜上，存在，使得恒成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍問(wèn)題，往往需要用合適的參數(shù)表示目標(biāo)代數(shù)式，表示過(guò)程中需要借助韋達(dá)定理，此時(shí)注意直線方程的合理假設(shè).2．(1)；(2)；(3)存在，【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即得.（2）設(shè)，求出，再利用給定關(guān)系求出的范圍，進(jìn)而求出的范圍.（3）設(shè)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算及共線向量的坐標(biāo)表示可得，再聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求解即得.【詳解】（1）設(shè)，由點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，得，即，又，所以.（2）設(shè)，而，則，由，得，即，又，則，解得，，所以的范圍是.（3）設(shè)，由圖象對(duì)稱性，得、關(guān)于軸對(duì)稱，則，又，于是，則，同理，由，得，因此，即，則，設(shè)直線，由消去得，則，即，而，解得，，由，得，所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】探究性問(wèn)題一、單選題1．（2024·湖南益陽(yáng)·一模）已知拋物線，的焦點(diǎn)分別為、，若、分別為、上的點(diǎn)，且線段平行于軸，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，是直角三角形 B．當(dāng)時(shí)，是等腰三角形C．存在四邊形是菱形 D．存在四邊形是矩形2．（2024·陜西榆林·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.若，點(diǎn)為雙紐線上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①關(guān)于軸不對(duì)稱②關(guān)于軸對(duì)稱③直線與只有一個(gè)交點(diǎn)④上存在點(diǎn)，使得A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2024·福建泉州·二模）雙曲線，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖，已知?jiǎng)又本€l與雙曲線C左、右兩支分別交于P，Q兩點(diǎn)，與其兩條漸近線分別交于R，S兩點(diǎn)，則下列命題正確的是（

）A．存在直線l，使得B．當(dāng)且僅當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，C．存在過(guò)的直線l，使得取到最大值D．若直線l的方程為，則雙曲線C的離心率為二、多選題4．（2025·四川巴中·模擬預(yù)測(cè)）已知A，B為雙曲線的左，右頂點(diǎn)，分別為雙曲線C的左，右焦點(diǎn)．下列命題中正確的是（

）A．若R為雙曲線C上一點(diǎn)，且，則B．到雙曲線C的漸近線的距離為C．若P為雙曲線C上非頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則直線的斜率之積為2D．雙曲線C上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱5．（2024·江蘇常州·二模）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的兩條光線經(jīng)過(guò)的右支上的兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，其中共線，則（

）A．若直線的斜率存在，則的取值范圍為B．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，光線由經(jīng)過(guò)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為6C．當(dāng)時(shí)，的面積為12D．當(dāng)時(shí)，6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)和點(diǎn)在點(diǎn)的兩側(cè)），則（

）A．若為的中線，則B．若為的角平分線，則C．存在直線，使得D．對(duì)于任意直線，都有三、填空題7．（2024·北京順義·三模）已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，曲線：.①曲線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且關(guān)于對(duì)稱；②當(dāng)直線l與曲線有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l斜率的取值范圍為；③當(dāng)直線l與曲線有奇數(shù)個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l斜率的取值共有4個(gè)④存在定點(diǎn)Q，使得過(guò)Q的任意直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)都不可能為2以上說(shuō)法正確的是8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：上存在兩點(diǎn)，，，直線與軸交于點(diǎn)，拋物線：上存在兩點(diǎn)，，，從點(diǎn)向直線作垂線，則垂足的軌跡方程為．9．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）橢圓的右焦點(diǎn)是F，過(guò)F的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn).點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線AB上存在異于F的點(diǎn)P，使得，則的取值范圍是.四、解答題10．（24-25高三上·上海寶山·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且右焦點(diǎn)F?到雙曲線.漸近線的距離為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn).①若直線過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F?，且△AF?B的面積為求實(shí)數(shù)k的值；②若直線過(guò)定點(diǎn)P(0,2)，且k>0，在x軸上是否存在點(diǎn)T(t,0)使得以TA、TB為鄰邊的平行四邊形為菱形?若存在，則求出實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.11．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，離心率為2.(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），證明：當(dāng)直線，的斜率均存在時(shí)，，的斜率之積為定值.12．（2024·全國(guó)·二模）橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線AP與直線的交點(diǎn)為，是否存在定實(shí)數(shù)，使Q，B，N三點(diǎn)共線?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：題號(hào)123456答案CCDBCABDBD1．C【分析】設(shè)出的坐標(biāo)并求得PQ，由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，結(jié)合圖象求得正確答案.【詳解】依題意，線段平行于軸，不妨設(shè)在第一象限，設(shè)，則，焦點(diǎn)，A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，解得，所以，則，是直角三角形，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，解得，所以，由于，所以關(guān)于直線對(duì)稱，而，所以此時(shí)是等腰三角形.對(duì)于CD選項(xiàng)，先考慮四邊形是平行四邊形，則，則，此時(shí)，，所以四邊形是矩形，不是菱形，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.故選：C2．C【分析】用定義法把動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程求出來(lái)，利用代換，方程沒(méi)有變化，可知雙紐線關(guān)于軸，軸，原點(diǎn)對(duì)稱，再利用它與聯(lián)立方程組，解得只有一組解，可知③正確，再利用原點(diǎn)到的距離正好是,可知滿足題意，所以④正確，從而可以做出所有選項(xiàng)的判斷.【詳解】①設(shè)Mx,y到定點(diǎn)的距離之積為4，可得.，整理得，即曲線的方程為，由用代換，方程沒(méi)變，可知曲線關(guān)于軸對(duì)稱，由用代換，方程沒(méi)變，可知曲線關(guān)于軸對(duì)稱，由用代換，用同時(shí)代換，方程沒(méi)變，可知曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，圖象如圖所示：所以①不正確，②正確；③聯(lián)立方程組，可得，即，所以，所以直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以③正確.④原點(diǎn)O0,0滿足曲線的方程，即原點(diǎn)在曲線上，則，即曲線上存在點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，滿足，所以④正確.故選:C.3．D【分析】根據(jù)與漸近線平行的直線不可能與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)可對(duì)A項(xiàng)判斷；設(shè)直線分別與雙曲線聯(lián)立，漸近線聯(lián)立，分別求出和坐標(biāo)，從而可對(duì)B、C項(xiàng)判斷；根據(jù)，求出，從而可對(duì)D項(xiàng)判斷.【詳解】解：對(duì)于A項(xiàng)：與漸近線平行的直線不可能與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)：設(shè)直線，與雙曲線聯(lián)立，得：，其中，設(shè)，由根與系數(shù)關(guān)系得：，所以線段PQ中點(diǎn)，將直線，與漸近線聯(lián)立得點(diǎn)S坐標(biāo)為，將直線與漸近線聯(lián)立得點(diǎn)R坐標(biāo)為，所以線段RS中點(diǎn)，所以線段PQ與線段RS的中點(diǎn)重合．所以，對(duì)任意的直線l，都有，故B項(xiàng)不正確；對(duì)于C項(xiàng)：因?yàn)闉槎ㄖ?，?dāng)k越來(lái)越接近漸近線的斜率時(shí)，趨向于無(wú)窮，所以會(huì)趨向于無(wú)窮，不可能有最大值，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)：聯(lián)立直線l與漸近線，解得，聯(lián)立直線l與漸近線，解得由題可知，，，解得，所以，故D項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：①定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.4．BC【分析】根據(jù)雙曲線的定義、漸近線、斜率、對(duì)稱等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對(duì)于雙曲線，，A選項(xiàng)，根據(jù)雙曲線的定義，由，解得或，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，雙曲線的一條漸近線方程為，即，到直線的距離為，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，設(shè)，則，，所以，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，設(shè)不同兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，則，兩式相減并化簡(jiǎn)得，則，即，此時(shí)直線，代入雙曲線方程得，，這與是雙曲線上不同的兩點(diǎn)矛盾，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解雙曲線定義有關(guān)問(wèn)題，一定要注意雙曲線定義中的“絕對(duì)值”.在雙曲線中，有關(guān)弦和中點(diǎn)的問(wèn)題，可以考慮利用“點(diǎn)差法”來(lái)解決.5．ABD【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線的斜率，可得判定A正確；根據(jù)雙曲線的定義，求得由經(jīng)過(guò)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程，可判定B正確；根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，得到，得到，設(shè)，列出方程，求得，進(jìn)而可判定C錯(cuò)誤；在直角中，結(jié)合，可判定D正確．【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)分別作的兩條漸近線的平行線，則的斜率分別為和，對(duì)于A中，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)均在的右支時(shí)，或，所以A正確；對(duì)于B中，光線由經(jīng)過(guò)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程為，所以B正確；對(duì)于C中，由，得，即，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，整理得，解得或（舍去），所以，，所以的面積，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，在直角中，，所以，所以D正確．故選：ABD．6．BD【分析】首先設(shè)直線的方程，并聯(lián)立拋物線，根據(jù)韋達(dá)定理，再根據(jù)各項(xiàng)描述，拋物線的定義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】設(shè)題意可得，則，設(shè)，不妨令，都在第一象限，

聯(lián)立，則，且，即，所以，，則，，如上圖所示，對(duì)于A：若為的中線，則，所以，所以，故，所以，則，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若為的角平分線，則，作垂直準(zhǔn)線于，則且，所以，即，則，將代入整理，得，則，所以，故B正確；對(duì)于C：若，即，即為等腰直角三角形，此時(shí)，即，所以，所以，所以，所以，則此時(shí)為同一點(diǎn)，不合題設(shè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，而，結(jié)合，可得，即恒成立，故D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算.7．①②④【分析】將點(diǎn)分別代入曲線的方程即可判斷①；將曲線方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓的方程，結(jié)合圖像利用直線和圓的位置關(guān)系逐項(xiàng)分析即可判斷②③④.【詳解】對(duì)于①，將點(diǎn)分別代入曲線的方程，得，，所以曲線關(guān)于對(duì)稱，將代入曲線的方程得，所以曲線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以曲線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且關(guān)于對(duì)稱，故①正確；由，得，即，即，所以或，即或，所以曲線表示以，為圓心，為半徑的兩個(gè)圓，如圖所示，設(shè)過(guò)點(diǎn)A且與圓N相切的直線方程為，則點(diǎn)N到該直線的距離，解得，，即圖中直線AC的斜率為1，直線AD的斜率為，直線AO的斜率為，直線AC的方程為，點(diǎn)M到直線AC的距離，則直線AC與圓M相切于點(diǎn)B，設(shè)過(guò)點(diǎn)A且與圓M相切的直線方程為，則點(diǎn)M到該直線的距離，解得，，由圖可知，當(dāng)直線l與曲線有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l斜率的取值范圍為，故②正確；由圖可知，直線AO與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，直線AD與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)也為3，直線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，所以當(dāng)直線l與曲線有奇數(shù)個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線l斜率的取值共有3個(gè)，故③錯(cuò)誤；因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)O的任意直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1或3，所以存在定點(diǎn)Q（Q與O重合），使得過(guò)Q的任意直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)都不可能為2，故④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將曲線方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓的方程，是解決本題的關(guān)鍵.8．,【分析】設(shè)直線：、：（），分別聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理和兩點(diǎn)距離公式可得直線與直線均過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)、，進(jìn)而確定點(diǎn)的軌跡，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】設(shè)直線：，由，得，需有，所以，所以，則直線：，故點(diǎn)的坐標(biāo)為1,0．若直線的斜率為0，，故，若直線的斜率存在，設(shè)直線：（）．由，得，，所以，即，得，所以直線的方程為或，綜上，直線必過(guò)點(diǎn)0,2或點(diǎn).若直線過(guò)0,2，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（去除原點(diǎn)），圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以點(diǎn)的軌跡方程為（）．若直線過(guò)，設(shè)：，由可得，由可得，當(dāng)：時(shí)，過(guò)的垂線方程為，此時(shí).同理當(dāng)：時(shí)，此時(shí).故此時(shí)點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（去除部分），圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以點(diǎn)的軌跡方程為：（或）．故答案為：（）或（或）．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵是由條件挖掘出直線與直線均過(guò)定點(diǎn)，設(shè)直線方程時(shí)要注意方程形式的選擇，聯(lián)立方程消元時(shí)也要注意條件的特點(diǎn)消去，再根據(jù)垂直關(guān)系挖掘出隱圓，這也是本題關(guān)鍵點(diǎn)之一．9．【分析】分類(lèi)討論直線AB的斜率是否為0，設(shè)設(shè)，聯(lián)立方程，由數(shù)量積結(jié)合韋達(dá)定理可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知：，則F1,0，因?yàn)橹本€AB過(guò)F，可知直線AB與橢圓必相交，若直線AB的斜率為0，即直線AB為x軸，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，則，解得，當(dāng)，此時(shí)點(diǎn)即為點(diǎn)，不合題意；當(dāng)，此時(shí)點(diǎn)，；若直線AB的斜率不為0，設(shè)，則，聯(lián)立方程，消去x得，則，因?yàn)?，則，可得，整理得，則，，即，可得，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，可得，所以；綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決圓錐曲線中范圍問(wèn)題的方法一般題目中沒(méi)有給出明確的不等關(guān)系，首先需要根據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)及曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)確定不等關(guān)系；然后構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或引入?yún)?shù)根據(jù)參數(shù)范圍求解，解題時(shí)應(yīng)注意挖掘題目中的隱含條件，尋找量與量之間的轉(zhuǎn)化．10．(1)(2)①;②【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式求解橢圓參數(shù)即可；（2）①把直線與橢圓聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，即可求出面積等式，最后求解k的值；②把菱形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)角線互相垂直問(wèn)題，最后轉(zhuǎn)化為兩對(duì)角線的斜率之積為，通過(guò)這個(gè)等式轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，即可求解取值范圍.【詳解】（1）由雙曲線.的漸近線方程為，再由橢圓的右焦點(diǎn)分別為到漸近線的距離為可得：，因?yàn)椋越獾?，再由橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，可得，所以由，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①直線過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F?可得：，即，所以由直線與橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立方程組，消去得：，設(shè)兩交點(diǎn)Ax1所以，又橢圓左焦點(diǎn)F1-1,0到直線的距離為，所以，解得：或（舍去），即；②假設(shè)存在點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形，由于直線過(guò)定點(diǎn)，且，可知直線方程為，與橢圓聯(lián)立方程組，消去得：，由，且，解得，

設(shè)兩交點(diǎn)Ax1,y1,B所以，即，整理得，又因?yàn)椋?，則.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)是把以為鄰邊的平行四邊形為菱形，轉(zhuǎn)化為對(duì)角線互相垂直，再利用求解中點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示斜率，最后利用斜率乘積等于，從而得到關(guān)于的函數(shù)來(lái)求取值范圍.11．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題中條件找到雙曲線中的，從而求出的方程.（2）利用平移齊次化進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）由雙曲線C:x2a2-又離心率為2，則，即，，即，代入，可得，，，因此，的方程為：.（2）將雙曲線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到雙曲線為，得到的雙曲線如圖所示，則平移到，平移到，平移后，變?yōu)?，，設(shè)，，直線的方程為：①，②，將①代入②，用“1”的代換得，則，各項(xiàng)同時(shí)除以，得，則，又直線過(guò)，則，即，因此，故當(dāng)直線，的斜率存在時(shí)，，的斜率之積為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：平移齊次化的步驟，（1）平移；（2）與圓錐曲線聯(lián)立并其次化；（3）同除；（4）利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行證明結(jié)論；如果是過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題還需要平移回去.12．(1)(2)【分析】（1）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，寫(xiě)出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式和韋達(dá)定理，橢圓離心率表達(dá)式進(jìn)行聯(lián)立，求得，即得橢圓方程；（2）先由直線與軸垂直時(shí)的情況，求出，當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得韋達(dá)定理，由特殊情況取時(shí)求得點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)判斷是否共線檢驗(yàn)是否可得到Q，B，N三點(diǎn)共線完成猜想證明.【詳解】（1）

如圖，設(shè)，當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，直線方程為.聯(lián)立消去，得.顯然，則即.又離心率則，即.解得.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意知，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，則AP的方程為，令，得，，由三點(diǎn)共線，可得，，解得當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立消去，得.，AP的方程為，令，得，即共線，故Q，B，N三點(diǎn)共線.故存在定實(shí)數(shù)，使Q，B，N三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓與直線相交產(chǎn)生的定直線存在性命題，屬于難題.解題思路是先由特殊情況—直線與軸垂直時(shí)的情況，得到定直線，再由一般情況，推理該定直線是否符合題意進(jìn)行檢驗(yàn)證明從而得解.規(guī)律方法：探索性問(wèn)題的求解策略(1)若給出問(wèn)題的一些特殊關(guān)系，要探索一般規(guī)律，并能證明所得規(guī)律的正確性，通常要對(duì)已知關(guān)系進(jìn)行觀察、比較、分析，然后概括一般規(guī)律．(2)若只給出條件，求“不存在”“是否存在”等語(yǔ)句表述問(wèn)題時(shí)，一般先對(duì)結(jié)論給出肯定的假設(shè)，然后由假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理，從而得出結(jié)論．專(zhuān)題精練專(zhuān)題精練一、單選題1．（2024·北京豐臺(tái)·二模）已知曲線與直線，那么下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，曲線與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，存在，曲線與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，曲線與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，存在，曲線與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn)2．（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線：對(duì)稱，若，則（

）A．5 B． C．4 D．3．（2024·陜西商洛·三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若上存在點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知坐標(biāo)原點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為．若第一象限內(nèi)的拋物線上存在一點(diǎn)，使得的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則直線與外接圓的關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交且過(guò)圓心 D．相交但不過(guò)圓心二、多選題5．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓方程為，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）．A． B．存在m值使橢圓的離心率C．橢圓的焦距不確定 D．橢圓的焦點(diǎn)在y軸6．（2024·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，點(diǎn)分別為的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別為的左?右頂點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于另一點(diǎn)，則（

）A．的離心率為B．的最小值為C．上存在一點(diǎn)，使D．面積的最大值為27．（2024·安徽阜陽(yáng)·一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為兩點(diǎn)都在上，，三點(diǎn)共線，（不與重合）為上頂點(diǎn)，則（

）A．的最小值為4 B．為定值C．存在點(diǎn)，使得 D．8．（2022·廣東韶關(guān)·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，直線過(guò)且交于不同的兩點(diǎn)，在線段上，點(diǎn)為在上的射影．線段交軸于點(diǎn)，下列命題正確的是（

）A．對(duì)于任意直線，均有B．不存在直線，滿足C．對(duì)于任意直線，直線與拋物線相切D．存在直線，使三、填空題9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在拋物線上存在一動(dòng)點(diǎn)（非原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線分別交軸、軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交軸、軸于點(diǎn)．若與的面積相等，則直線的方程為．10．（22-23高二下·河南新鄉(xiāng)·期末）已知拋物線上存在兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)），使得，直線AB與x軸交于M點(diǎn)，將直線AB繞著M點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與該拋物線交于C，D兩點(diǎn)，則四邊形ACBD面積的最小值為．11．（2023·上海閔行·二模）不與軸重合的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，雙曲線：上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱，AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，若，則的值為.12．（2023·安徽安慶·二模）已知在平面直角坐標(biāo)系中橢圓的離心率為分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上不同于四個(gè)頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)線段到，若在軸上存在一點(diǎn)，滿足，垂足為，則.四、解答題13．（23-24高三上·上?！るA段練習(xí)）已知A0,3和是橢圓Γ：上兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓Γ的離心率；(2)若過(guò)點(diǎn)P的直線交Γ于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求直線的方程：(3)過(guò)中點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓Γ有兩個(gè)交點(diǎn)M，N，試判斷在軸上是否存在點(diǎn)使得.若存在，求出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.14．（2022·廣東茂名·一模）已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為Fc,0，下頂點(diǎn)為B，直線BF與橢圓C交于另一點(diǎn)D，且．(1)求橢圓C的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為A，過(guò)點(diǎn)A的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，直線OP與交于點(diǎn)H．直線OQ與交于點(diǎn)G，設(shè)的面積為，的面積為，試探究是否存在最小值．若存在，求出此時(shí)直線PQ的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．（2024·山西呂梁·三模）如圖，已知分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，Px0,y0橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若到左焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)動(dòng)點(diǎn)Px0,y0作橢圓的切線，分別與直線和相交于兩點(diǎn)，記四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.16．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)A，B為橢圓C：的短軸端點(diǎn)，P為橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，D在直線上．(1)求直線，的斜率的乘積；(2)證明：；(3)過(guò)右焦點(diǎn)F作x軸的垂線，E為上異于F的任意一點(diǎn)，直線交C于M，N兩點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，是否存在，，的某個(gè)排列，使得這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列？若存在，加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：題號(hào)12345678答案CBDDADACDBCDAC1．C【分析】根據(jù)曲線的對(duì)稱性，分別討論當(dāng)直線與曲線的上、下半部分相切時(shí)的取值即可求解.【詳解】曲線的圖象如圖所示，若，當(dāng)直線與曲線上半部分相切時(shí)，由整理得，由得，當(dāng)直線與曲線下半部分相切時(shí)，由整理得，由得，結(jié)合曲線圖象的對(duì)稱性可得，當(dāng)或時(shí)，曲線與直線有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，曲線與直線沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，，曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，AB說(shuō)法錯(cuò)誤；若，當(dāng)直線與曲線上半部分相切時(shí)，由整理得，由得，當(dāng)直線與曲線下半部分相切時(shí)，由整理得，由得，結(jié)合曲線圖象的對(duì)稱性可得，對(duì)于任意的，曲線與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，C說(shuō)法正確，D說(shuō)法錯(cuò)誤，故選：C2．B【分析】設(shè)直線為，聯(lián)立拋物線可得與交點(diǎn)橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合題目條件可計(jì)算出直線方程，再借助線段的中點(diǎn)在上計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)直線為，代入拋物線得，則，，∴，直線為，線段的中點(diǎn)記為，則，.又中點(diǎn)在上，∴.故選：B.3．D【分析】根據(jù)雙曲線定義和，得到，結(jié)合，得到不等式，又雙曲線的離心率大于1，得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，所以離心率，又雙曲線的離心率大于1，所以．故選：D．4．D【分析】根據(jù)給定條件，求出外接圓的半徑及圓心坐標(biāo)，再判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】由，得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，顯然的外接圓圓心在線段的垂直平分線上，則，半徑為，由的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，得點(diǎn)在拋物線上，，即，顯然點(diǎn)到直線的距離，所以直線與的外接圓相交但不過(guò)圓心.故選：D5．AD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)橢圓方程的特點(diǎn)列不等式，解不等式即可；B選項(xiàng)，根據(jù)離心率得到，然后分和兩種情況討論；C選項(xiàng)，求焦距即可判斷；D選項(xiàng)，根據(jù)橢圓方程判斷焦點(diǎn)位置.【詳解】由題知橢圓方程，則，即且，A錯(cuò)誤；若，所以，得，故焦距是不確定的，C正確；對(duì)于B，由于橢圓離心率，得，若，即，解得，符合題意；若，即，解得，符合題意，B正確；對(duì)于D，若，橢圓焦點(diǎn)在y軸，若，橢圓焦點(diǎn)在x軸，D錯(cuò)誤．故選：AD．6．ACD【分析】熟悉橢圓的離心率公式，橢圓焦半徑取值范圍為，焦半徑三角形頂角在上頂點(diǎn)時(shí)取最大，先對(duì)選項(xiàng)A、B、C作出判斷，對(duì)于選項(xiàng)D，就需要設(shè)出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，再把三角形面積計(jì)算公式轉(zhuǎn)化到兩根關(guān)系上來(lái)，最后代入韋達(dá)定理得到關(guān)于的函數(shù)式，從而求出最值.【詳解】由題知，該橢圓中，所以離心率為正確；根據(jù)橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)得，距離最大為，距離最小為，又直線的斜率不為0，所以，B錯(cuò)誤；當(dāng)橢圓的對(duì)稱可知當(dāng)為短軸頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，由余弦定理得，故，即上存在一點(diǎn)，使正確；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與的方程得，設(shè)，則，所以，又點(diǎn)到直線的距離為，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為正確；故選：ACD.7．BCD【分析】求出可判斷A；由橢圓的對(duì)稱性可判斷B；因?yàn)?，所以以為直徑的圓與橢圓有交點(diǎn)可判斷C；求出可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由橢圓的方程可知，所以焦點(diǎn)，設(shè)Ax1,y1，則因?yàn)锳x1,，即，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由橢圓的對(duì)稱性可知，，可得B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以以為直徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，則存在點(diǎn)，使得，故C正確；對(duì)于D，設(shè)Ax1,y1則，故D正確．故選:BCD．8．AC【分析】A選項(xiàng)由為線段的中點(diǎn)以及拋物線定義即可判斷，B選項(xiàng)由及拋物線方程求出，坐標(biāo)，再說(shuō)明，，三點(diǎn)共線，即存在直線即可，C選項(xiàng)設(shè)，，表示出直線，聯(lián)立拋物線，利用即可判斷，D選項(xiàng)設(shè)出直線，聯(lián)立拋物線得到，通過(guò)焦半徑公式結(jié)合基本不等式得即可判斷．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，如圖，由拋物線知為的中點(diǎn)，軸，所以為線段的中點(diǎn)，由拋物線的定義知，所以，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)，，，，，為線段的中點(diǎn)，則，，，由，得，解得，，又，，故，，，可得，，故存在直線，滿足，所以選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由題意知，為線段的中點(diǎn)，從而設(shè)，則，直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立可得：，又，代入整理得，則，所以直線與拋物線相切，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)的方程，聯(lián)立，則，所以，，由，而，由，得，解得：，故，所以，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：AC．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)晴：（1）直線與拋物線的位置關(guān)系一般需要設(shè)出直線方程，然后與拋物線聯(lián)立，進(jìn)而利用根與系數(shù)的關(guān)系；（2）有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．9．或.【分析】本題先求帶切線方程，進(jìn)而求出直線的方程，由面積相等求出，代入求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)．由，得，所以直線的方程為，直線的方程為，所以，，，，從而的面積的面積．由，得，所以，解得或．所以直線的方程為或，即或．故答案為：或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以拋物線為載體，考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、三角形的面積公式，考查方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．主要采用待定系數(shù)的方法求解.10．【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，由條件證明，由此可得，再求，求四邊形ACBD面積的解析式，求其最小值即可.【詳解】由已知直線的斜率存在，且不為，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，，方程的判別式，設(shè)，則，所以因?yàn)?，所以，所以，所以，又異于坐?biāo)原點(diǎn)，所以，所以，所以，所以直線的方程為，且所以直線與軸的交點(diǎn)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，聯(lián)立，消得，，方程的判別式，設(shè)，則，所以，由已知，所以四邊形ACBD面積，設(shè)，則，，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，設(shè)，可得，，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最小值，最小值為，所以四邊形ACBD面積的最小值為.故答案為：.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．11．【分析】由點(diǎn)差法得，結(jié)合得，代入斜率公式化簡(jiǎn)并利用可求得.【詳解】設(shè)，則，兩式相減得，即，即，所以，因?yàn)槭茿B垂直平分線，有，所以，即，化簡(jiǎn)得，故，則.故答案為：12．【分析】由條件結(jié)合離心率定義求，由條件證明，結(jié)合橢圓定義可得，利用中位線性質(zhì)求.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，則，故，由題可知，解得.因?yàn)椋詾榫€段的中點(diǎn)，且是的垂直平分線，則.由橢圓定義可知.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.故答案為：.

13．(1)(2)或(3)存在，【分析】（1）代入兩點(diǎn)得到關(guān)于的方程，解出即可；（2）以為底，求出三角形的高，即點(diǎn)到直線的距離，再利用平行線距離公式得到平移后的直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到點(diǎn)坐標(biāo)，則得到直線的方程；（3）設(shè)該直線方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元，結(jié)合韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.【詳解】（1）由題意得，解得，橢圓方程為：.所以.（2），則直線的方程為，即，，由（1）知，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，則將直線沿著與垂直的方向平移單可，此時(shí)該平行線與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)，設(shè)該平行線的方程為：，則，解得或，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，解得或，即或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立得，，此時(shí)該直線與橢圓無(wú)交點(diǎn).綜上直線的方程為或.（3）橢圓方程為：.若過(guò)中點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率存在，則可設(shè)該直線方程為：，設(shè)，由可得，故且而，故，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，解?若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率不存在