2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列 第4講　子數(shù)列與增減項問題解析版

第4講子數(shù)列與增減項問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 4【考點一】奇數(shù)項、偶數(shù)項 4【考點二】兩數(shù)列的公共項 12【考點三】數(shù)列有關(guān)增減項問題 16【專題精練】 20考情分析：子數(shù)列問題(包括數(shù)列中的奇偶項、公共數(shù)列以及分段數(shù)列)與數(shù)列的增減項問題是近幾年高考的重點和熱點，一般方法是構(gòu)造新數(shù)列，利用新數(shù)列的特征(等差、等比或其他特征)求解原數(shù)列．真題自測真題自測一、解答題1．（2023·全國·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當(dāng)時，．2．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項公式；(2)設(shè)的前n項和為，求證：；(3)求．參考答案：1．(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.2．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項公式進行基本量運算即可得解；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項與前n項和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；（3）先求得，進而由并項求和可得，再結(jié)合錯位相減法可得解.【詳解】（1）設(shè){an}公差為d，{bn由可得（舍去），所以；（2）證明：因為所以要證，即證，即證，即證，而顯然成立，所以；（3）因為，所以，設(shè)所以，則，作差得，所以，所以.考點突破考點突破【考點一】奇數(shù)項、偶數(shù)項一、單選題1．（2024·全國·二模）數(shù)列的奇數(shù)項成等比數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列，是數(shù)列的前項和，，，，，則（

）A．，且B．當(dāng)，且時，數(shù)列是遞減數(shù)列C．D．2．（2024·河北張家口·三模）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）數(shù)列an前n項和為，且滿足，，則（

）A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前項和為4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，則（

）A．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列 B． C． D．三、填空題5．（2024·山東青島·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則.6．（2024·云南曲靖·一模）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋我國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程．已知大衍數(shù)列滿足，，則，數(shù)列的前50項和為．四、解答題7．（2024·山西·三模）已知等差數(shù)列的公差，前項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.8．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足當(dāng)時，(1)求和，并證明當(dāng)為偶數(shù)時是等比數(shù)列；(2)求參考答案：題號1234答案DAABDBD1．D【分析】首先分別求奇數(shù)項和偶數(shù)項的通項公式，再根據(jù)通項公式，判斷選項.【詳解】由，所以，奇數(shù)項的首項為，公比，偶數(shù)項的首項，公比，所以，，A.，，即，當(dāng)時，不成立，故A錯誤；B.，，，所以當(dāng)，且時，數(shù)列不是遞減數(shù)列，故B錯誤；C.，故C錯誤；D.，，故D正確.故選：D2．A【分析】分奇數(shù)項和偶數(shù)項求遞推關(guān)系，然后記，利用構(gòu)造法求得，然后分組求和可得.【詳解】因為，所以，，且，所以，記，則，所以，所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，，記bn的前n項和為，則.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵在于先分奇數(shù)項和偶數(shù)項求遞推公式，然后再并項得bn的遞推公式，利用構(gòu)造法求通項，將問題轉(zhuǎn)化為求bn的前503．ABD【分析】A選項直接由遞推關(guān)系式即可求出；B選項由即可判斷；C,D選項由分組求和及等比數(shù)列求和公式即可判斷.【詳解】對于A：，正確；對于B:，有，兩式相加，得，又，所以，為偶數(shù)由，得：，也即，為奇數(shù)，所以，正確；對于C:由B可知：，則，錯誤.對于D：數(shù)列的前項和記為，，正確故選：ABD4．BD【分析】根據(jù)題意分別得到數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項的性質(zhì)，進而得到其通項公式，從而判斷ABC，利用等比數(shù)列的求和公式與分組求和法判斷D.【詳解】對于AB：當(dāng)為奇數(shù)時，，則，則數(shù)列的奇數(shù)項是以3為首項，為公比的等比數(shù)列，所以當(dāng)為奇數(shù)時，.當(dāng)為偶數(shù)時，，則，則數(shù)列的偶數(shù)項是以2為首項，為公比的等比數(shù)列，所以當(dāng)為偶數(shù)時，，所以，，易知A錯誤，B正確；對于C：由以上分析知，所以，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：BD.5．【分析】依題意可得，記，即可得到，從而求出的通項公式，再由分組求和法計算可得.【詳解】因為，所以，，且，所以，記，則，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，則，記的前項和為，則.故答案為：6．50650【分析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，可推出，利用累加法可得，從而求得即可求解，根據(jù)，即可求解.【詳解】當(dāng)時，①，當(dāng)時，②，由①②可得，，所以，累加可得，，所以，令且為奇數(shù))，，當(dāng)時，成立，所以當(dāng)為奇數(shù)，，當(dāng)為奇數(shù)，，所以當(dāng)為偶數(shù)，，所以故；根據(jù)所以的前項的和．故答案為：；7．(1)(2)【分析】（1）依題意得到關(guān)于、的方程組，解得、，即可求出通項公式；（2）由（1）可得，利用分組求和法計算可得.【詳解】（1）因為，，所以，解得或，因為，所以，則；（2）由（1）可得，所以.8．(1)3，7，證明見解析(2)【分析】（1）利用遞推公式易求，，利用遞推關(guān)系可證結(jié)論；（2）由（1）可得為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，可求得，計算可求結(jié)論.【詳解】（1）因為當(dāng)時，，所以，.，，又，當(dāng)為偶數(shù)時，是以為首項，以為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）知，，設(shè)，則

為偶數(shù)時，當(dāng)為奇數(shù)時，；設(shè)，為奇數(shù)時，，.規(guī)律方法：(1)數(shù)列中的奇、偶項問題的常見題型①數(shù)列中連續(xù)兩項和或積的問題(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；②含有(－1)n的類型；③含有{a2n}，{a2n－1}的類型；④已知條件明確的奇偶項問題．(2)對于通項公式分奇、偶不同的數(shù)列{an}求Sn時，我們可以分別求出奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一項，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.【考點二】兩數(shù)列的公共項一、單選題1．（2024·河南·二模）已知數(shù)列和數(shù)列的通項公式分別為和，若它們的公共項從小到大依次排列構(gòu)成新數(shù)列，則滿足不等式的最大的整數(shù)（

）A．134 B．135 C．136 D．1372．（23-24高二上·廣東茂名·期末）已知兩個等差數(shù)列2，6，10，，202及2，8，14，，200，將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和為（

）A．1678 B．1666 C．1472 D．1460二、多選題3．（2021·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則（

）A． B．C．的前項和 D．的前項和為4．（2022·河北·模擬預(yù)測）將數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則下列說法正確的有（

）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的前n項和為三、填空題5．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前n項和，且，數(shù)列的通項公式為，將數(shù)列與的公共項按它們在原來數(shù)列中的先后順序排成一個新數(shù)列數(shù)列的通項公式為．6．（2023·湖南邵陽·模擬預(yù)測）數(shù)列和數(shù)列的公共項從小到大構(gòu)成一個新數(shù)列，數(shù)列滿足：，則數(shù)列的最大項等于.參考答案：題號1234答案ABBCBD1．A【分析】求出數(shù)列的通項公式，再解不等式即得.【詳解】依題意，令，則，即有，顯然是5的正整數(shù)倍，令，因此，由，解得，所以最大的整數(shù).故選：A2．B【分析】求出新數(shù)列的公差，確定新數(shù)列的項數(shù)，利用前項和公式求解即可.【詳解】第一個數(shù)列的公差為4，第二個數(shù)列的公差為6，故新數(shù)列的公差是4和6的最小公倍數(shù)12，則新數(shù)列的公差為12，首項為2，其通項公式為，令，得，故，則，故選：B.3．BC【分析】先分析出數(shù)列為數(shù)列的子數(shù)列，從而判斷出，求出的前項和.【詳解】令，所以，當(dāng)時，，所以數(shù)列為數(shù)列的子數(shù)列，所以，所以的前項為.故選：BC.【點睛】等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換和靈活運用性質(zhì)．4．BD【分析】與公共項從小到大排列出，可知為等比數(shù)列，求出通項公式再利用錯位相減求的前n項和，即可知正確選項.【詳解】數(shù)列中的項為1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67，…，數(shù)列中的項為2，4，8，16，32，64，128，…，∴數(shù)列是首項為4，公比為4的等比數(shù)列，∴；∴，記數(shù)列的前n項和為，則，，兩式相減：，∴.故選：BD5．【分析】由和的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式，可得，再由題意得到求得k，即可求解.【詳解】由，可得，解得，當(dāng)時，，即，可得數(shù)列是首項和公比均為3的等比數(shù)列，所以，設(shè)是的第m項，則，因為，所以不是中的項，因為，所以是中的項，所以所以.故答案為：.6．/1.75【分析】由條件求數(shù)列的通項公式，再研究數(shù)列的單調(diào)性，由此確定其最大項.【詳解】數(shù)列和數(shù)列的公共項從小到大構(gòu)成一個新數(shù)列為：，該數(shù)列為首項為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以因為所以當(dāng)時，，即，又，所以數(shù)列的最大項為第二項，其值為.故答案為：.規(guī)律方法：兩個等差數(shù)列的公共項是等差數(shù)列，且公差是兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)；兩個等比數(shù)列的公共項是等比數(shù)列，公比是兩個等比數(shù)列公比的最小公倍數(shù)．【考點三】數(shù)列有關(guān)增減項問題一、單選題1．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）在數(shù)列中的相鄰兩項與之間插入一個首項為，公差為的等差數(shù)列的前項，記構(gòu)成的新數(shù)列為，若，則前65項的和為（

）A． B．-13 C． D．-142．（2022·全國·模擬預(yù)測）某社團專門研究密碼問題．社團活動室用的也是一把密碼鎖，且定期更換密碼，但密碼的編寫方式不變，都是以當(dāng)日值班社員的姓氏為依據(jù)編碼的，密碼均為的小數(shù)點后的前6位數(shù)字．編碼方式如下；①x為某社員的首拼聲母對應(yīng)的英文字母在26個英文字母中的位置；②若x為偶數(shù)，則在正偶數(shù)數(shù)列中依次插入數(shù)值為的項得到新數(shù)列，即；若x為奇數(shù)．則在正奇數(shù)數(shù)列中依次插入數(shù)值為的項得到新數(shù)列，即③N為數(shù)列的前x項和．如當(dāng)值社員姓康，則K在26個英文字母中排第11位．所以．前11項中有所以有8個奇數(shù)．故，所以密碼為282051，若今天當(dāng)值社員姓徐，則當(dāng)日密碼為（

）A．125786 B．199600 C．200400 D．370370二、多選題3．（23-24高二下·河北承德·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，以下說法正確的是（

）A．B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，不是數(shù)列中的項D．若是數(shù)列中的項，則的值可能為74．（22-23高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）在一次《數(shù)列》的公開課時，有位教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照此方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.下面我們將數(shù)列1，2進行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列；第2次得到數(shù)列；第次得到數(shù)列記，數(shù)列的前項為，則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列中，，若在數(shù)列每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使得新數(shù)列也是一個等差數(shù)列，則新數(shù)列的第43項為.6．（2024·河南安陽·三模）如圖，某數(shù)陣滿足：每一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成公比相同的等比數(shù)列，數(shù)陣中各項均為正數(shù)，，則；在數(shù)列中的任意與兩項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，則．參考答案：題號1234答案ABABDAC1．A【分析】根據(jù)題意，得到數(shù)列中及其后面項的和為，求解.【詳解】解：數(shù)列為：，，設(shè)及其后面項的和為，則，所以數(shù)列是以1為首項，公差為的等差數(shù)列.所以前65項的和為，故選：A.2．B【分析】按照所給密碼規(guī)則，逐條對照計算求解即可.【詳解】X在26個英文字母中排第24位．所以，前24項中有，所以有21個偶數(shù)．故，的小數(shù)點后的前6位數(shù)字為199600．故選：B3．ABD【分析】求出通項判斷A；求出公差、通項判斷BC；探討數(shù)列an與bn【詳解】對于A，由題意得，A正確；對于B，新數(shù)列的首項為2，公差為2，故，B正確；對于C，由B選項知，令，則，即是數(shù)列an的第8項，C錯誤；對于D，插入個數(shù)，則，則等差數(shù)列an中的項在新的等差數(shù)列bn中對應(yīng)的下標(biāo)是以1為首項，于是，而是數(shù)列an的項，令，當(dāng)時，，D正確.故選：ABD4．AC【分析】根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，再進行推理運算即可.【詳解】由題意可知，第1次得到數(shù)列1,3,2，此時第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2，此時第3次得到數(shù)列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此時第4次得到數(shù)列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此時第次得到數(shù)列1，，2此時，故A項正確；結(jié)合A項中列出的數(shù)列可得：用等比數(shù)列求和可得則又所以，則，故B項錯誤；由B項分析可知，故C項正確.，故D項錯誤.故選：AC.5．【分析】先計算出等差數(shù)列的公差，進而得到新的等差數(shù)列的公差，從而求出的通項公式，求出新數(shù)列的第項.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，設(shè)在數(shù)列每相鄰兩項之間插入三個數(shù)所得新數(shù)列為，則新的等差數(shù)列的公差為，首項為，所以新數(shù)列的通項公式為，故.故答案為：.6．【分析】設(shè)第一行公差為，各列的公比為且，結(jié)合已知條件求得，即可寫出通項公式；再根據(jù)題意確定前70項的組成，應(yīng)用分組求和、等比數(shù)列前n項和公式求和即可.【詳解】設(shè)第一行公差為，各列的公比為且，且，則，，，，所以，則，由各項均為正數(shù)，故，則，即，綜上，，故，由上，前n項為，且，故在之前共有項，則，則，綜上，前70項為，.故答案為：；【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用等差、等比數(shù)列通項公式求行列間的公差、公比，確定行列通項公式為關(guān)鍵.規(guī)律方法：解決此類問題的關(guān)鍵是通過閱讀、理解題意，要弄清楚增加了(減少了)多少項，增加(減少)的項有什么特征，在求新數(shù)列的和時，一般采用分組求和法，即把原數(shù)列部分和增加(減少)部分分別求和，再相加(相減)即可．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·河南南陽·一模）已知等比數(shù)列的公比與等差數(shù)列的公差均為2，且，設(shè)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前20項的和為（

）A． B． C． D．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：，則（

）A．511 B．677 C．1021 D．20373．（2023·河南·二模）大衍數(shù)列0，2，4，8，12，18，?來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.其通項公式為記數(shù)列的前n項和為，則（

）參考公式：.A．169125 B．169150 C．338300 D．3383254．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列通項公式為，將數(shù)列的公共項從小到大排列得到數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項和為，則（

）A． B． C． D．5．（2024·河北秦皇島·二模）將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到數(shù)列，則的前30項的和為（

）A．3255 B．5250 C．5430 D．62356．（23-24高三上·江西·期中）在等差數(shù)列中，，成公比不為1的等比數(shù)列，是的前項和，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則（

）A．1 B． C． D．7．（2023·江西南昌·二模）已知數(shù)列的通項公式為，保持數(shù)列中各項順序不變，對任意的，在數(shù)列的與項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項的和為，則（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．81928．（22-23高二上·浙江金華·期末）已知數(shù)列是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，在之間插入1個數(shù)，使這3個數(shù)成等差數(shù)列，記公差為，在之間插入2個數(shù)，使這4個數(shù)成等差數(shù)列，公差為，在之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)成等差數(shù)列，公差為，則（

）A．當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減 B．當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增C．當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減 D．當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增二、多選題9．（2023·河南·模擬預(yù)測）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，大衍數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量的總和.大衍數(shù)列從第一項起依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….記大衍數(shù)列an的前項和為，其通項公式.則（

）參考公式：A．是數(shù)列中的項 B．C． D．10．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知等差數(shù)列{a?}的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入k個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，下列說法正確的有（

）A．B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，不是數(shù)列中的項D．若是數(shù)列中的項，則k的值可能為611．（2024·浙江紹興·二模）已知數(shù)列與滿足，且，.若數(shù)列保持順序不變，在與項之間都插入個后，組成新數(shù)列，記的前項和為，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，記，分別為，的前項和，若，，則．13．（2023·廣東廣州·一模）將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則.14．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，，若將數(shù)列an與數(shù)列bn的公共項按從大到小的順序排列組成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前99項和為．四、解答題15．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）已知為等差數(shù)列的前n項和，，，.(1)求的通項公式；(2)記為數(shù)列的前n項和，若，求n的最小值.16．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）記數(shù)列的前項和為，已知且．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前2n項和．17．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，且，數(shù)列滿足．(1)求和的通項公式；(2)若將數(shù)列和的公共項按從小到大的順序組成一個新的數(shù)列，求數(shù)列的前n項和．18．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項積為，數(shù)列bn滿足，（，）．(1)求數(shù)列an，b(2)將數(shù)列an，bn中的公共項從小到大排列構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的通項公式．19．（2024·河北滄州·一模）在數(shù)列中，已知．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在數(shù)列中的和之間插入1個數(shù)，使成等差數(shù)列；在和之間插入2個數(shù)，使成等差數(shù)列；…；在和之間插入個數(shù)，使成等差數(shù)列，這樣可以得到新數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項和為，求（用數(shù)字作答）．參考答案：題號12345678910答案BBBDCCCDABDABD題號11答案BCD1．B【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義及求和公式計算即可.【詳解】因為，所以，則，根據(jù)題意，，所以.故選：B.2．B【分析】由題意可得，，結(jié)合所給條件計算即可得.【詳解】.故選：B.3．B【分析】根據(jù)分組求和以及參考公式即可求解.【詳解】由，故.故選：B4．D【分析】首先判斷出數(shù)列項的特征，從而判斷出兩個數(shù)列公共項所構(gòu)成新數(shù)列的首項以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個數(shù)列的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，即所以的前項和.故選：D.5．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的特點得到數(shù)列和數(shù)列均為等差數(shù)列，然后令，得到，然后通過列舉得到數(shù)列an為等差數(shù)列，最后利用等差數(shù)列求和公式計算即可.【詳解】顯然數(shù)列和數(shù)列均為等差數(shù)列，令，其中，可得，則，則數(shù)列an為等差數(shù)列，且，公差為，所以an的前30項的和為.故選：C.6．C【分析】根據(jù)題意，求得，，進而得到數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列的通項公式為，得出，結(jié)合裂項法求和，即可求解.【詳解】因為等差數(shù)列中，，成公比不為1的等比數(shù)列，所以，可得，解得，所以，則，可得，由數(shù)列為正奇數(shù)列，對于數(shù)列，設(shè)時，可得為偶數(shù)；當(dāng)時，可得為奇數(shù)，所以數(shù)列與的公共項從小到大排列得到數(shù)列的通項公式為，則，所以.故選：C.7．C【分析】插入組共個，可知前面插入12組數(shù)，最后面插入9個，從而可得插入的數(shù)之和為，又數(shù)列的前13項和，可得【詳解】插入組共個，∵，∴前面插入12組數(shù)，最后面插入9個．，∵，∴，又數(shù)列的前13項和為，故選：C．8．D【分析】根據(jù)數(shù)列的定義，求出通項，由通項討論數(shù)列的單調(diào)性.【詳解】數(shù)列是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，則公比為，由題意，得，時，，有，，數(shù)列單調(diào)遞增，A選項錯誤；時，，，若數(shù)列單調(diào)遞增，則，即，由，需要，故B選項錯誤；時，，解得，時，，由，若數(shù)列單調(diào)遞減，則，即，而不能滿足恒成立，C選項錯誤；時，，解得或，由AB選項的解析可知，數(shù)列單調(diào)遞增，D選項正確.故選：D【點睛】思路點睛：此題的入手點在于求數(shù)列的通項，根據(jù)的定義求得通項，再討論單調(diào)性.9．ABD【分析】根據(jù)的通項公式，分類討論為奇偶情況，即可逐項求解判斷.【詳解】對A：當(dāng)為偶數(shù)時，，解得，不符題意；當(dāng)為奇數(shù)時，，解得，符合題意，故A正確；對B：，故B正確；對C：由題意知，所以，故C錯誤；對D：故D正確；故選：ABD.10．ABD【分析】對于選項A：根據(jù)等差數(shù)列通項公式運算即可；對于BC：分析可知公差，結(jié)合等差數(shù)列通項公式運算求解；對于D：可知公差，結(jié)合等差數(shù)列通項公式運算求解.【詳解】對于選項A：因為，故A正確；對于選項BC：當(dāng)時，可知公差，所以，故B正確；則，令，解得，所以是數(shù)列中的項，故C錯誤；對于選項D，當(dāng)時，可知公差，則，即，所以若是數(shù)列中的項，則k的值可能為6，故D正確.故選：ABD.11．BCD【分析】利用構(gòu)造等比數(shù)列法判斷A；繼而結(jié)合可判斷B；根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，計算數(shù)列的項數(shù)，可確定，判斷C，確定數(shù)列的項，利用等比數(shù)列的求和公式可判斷D.【詳解】對于A，，且，則，即數(shù)列為等比數(shù)列，，故，則，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，新數(shù)列為，由于，，即數(shù)列從到共有項，到共有項，而和之間有個10，故，C正確；對于D，結(jié)合C的分析，可得，D正確，故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵時CD選項的判斷，解答時要結(jié)合數(shù)列的特點，判斷數(shù)列的項數(shù)，從而確定項的取值.12．【分析】根據(jù)已知條件得到關(guān)于、的二元一次方程組，解方程組，求出、，即可求出數(shù)列an的通項公式，，由此可得數(shù)列bn的通項公式，分組求和即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為．由，得①，由得②，聯(lián)立①②，，解得，所以．則，所以．故答案為：13．【分析】由題意歸納得出，即得的表達式，利用裂項求和法，即可求得答案.【詳解】數(shù)列：，數(shù)列：，則an為：，則，所以，故，故答案為：14．【分析】分類討論奇偶性，可知，利用裂項相消法分析求