重慶市萬州區(qū)2024屆高三數(shù)學下學期8月月考試題含解析

Page272023-2024年高三上期8月月考數(shù)學試題注意事項：1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，在試卷上作答無效；3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回；4.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法化簡集合A，再利用并集的定義求解.

【詳解】由得，所以，.

故選：C.2.已知，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求得，結(jié)合，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，，可得，因為，可得，解得，所以.故選：C.3.已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，若滿足，則x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇偶性和單調(diào)性直接去“”，得不等式，解不等式即得答案.【詳解】因為是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以由得，解得，故選：B.4.函數(shù)圖象的對稱軸是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸可求出結(jié)果.【詳解】，由，得，所以函數(shù)圖象的對稱軸是.故選：A5.若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則的離心率為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，得出方程，求得，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，又由圓的圓心為，半徑為，因為一條漸近線被圓所截得的弦長為，可得，所以，即，所以．故選：B．6.若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，，再利用導數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可求解.【詳解】，構(gòu)造函數(shù)，則，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，故，所以，即，所以；令，則，令，則在上單調(diào)遞增，，使，當時，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，在時，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，又，所以在上單調(diào)遞減，故，即，所以，綜上，故選:C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵點是構(gòu)造函數(shù),然后利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可解題.7.在銳角中，角的對邊分別為，為的面積，，且，則的周長的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用面積公式和余弦定理可得，然后根據(jù)正弦定理及三角變換可得，再根據(jù)三角形是銳角三角形，得到的范圍，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域的問題.【詳解】，，∴，即，為銳角，∴，又，由正弦定理可得，所以，其中，，因為為銳角三角形，所以，則，即：，所以，又，∴，即，故的周長的取值范圍是.故選：C.8.定義在上的偶函數(shù)滿足，當時，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】等價于與的圖象在有5個交點，利用已知可得是周期為4的函數(shù)，且圖象關(guān)于對稱，畫出的圖象結(jié)合圖象可得答案.【詳解】，又是偶函數(shù)，所以，則，所以的周期為4，由得的圖象關(guān)于對稱，當時，，可得大致圖象如下，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有個零點，等價于與的圖象在有5個交點，結(jié)合圖象，當時與的圖象恰好有5個交點，當時與的圖象有3個交點，不符合題意，可得，此時，可得，則實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題的關(guān)鍵點是等價于與的圖象在有5個交點，利用已知條件畫出它們的圖象，考查了學生的思維能力、運算能力.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分.9.重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風紙半張，隨機舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為下圖的扇形COD，其中，，動點P在上（含端點），連結(jié)OP交扇形OAB的弧于點Q，且，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C. D.【答案】BD【解析】【分析】作，分別以為x，y軸建立平面直角坐標系，利用向量坐標求解即可.【詳解】如圖，作，分別以為x，y軸建立平面直角坐標系，則，，，，設(shè)，則由可得，且，若，則，解得（負值舍去），故，A錯誤；若，則，，，故B正確；由于，故，故，故C錯誤；由于而，所以，所以，故D正確，故選：BD10.已知正三棱錐的四個頂點在球的球面上，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，且，與該三棱錐的四個面都相切的球記為球，則（）A.三棱錐的表面積為 B.球的表面積為C.球的體積為 D.球的半徑為【答案】BD【解析】【分析】利用CE⊥EF得到正三棱錐的三條側(cè)棱PA，PB，PC互相垂直，，根據(jù)棱錐的表面積公式計算判斷A；正三棱錐的外接球的就是棱長為的正方體的外接球，求出其半徑，根據(jù)球的表面積及體積公式可判斷BC；利用體積法求出球的半徑可判斷D.【詳解】取AC的中點M，連接PM，BM，∵PA＝PC，AB＝BC，∴AC⊥BM，AC⊥PM，又BM∩PM＝M，BM，PM面PBM，∴AC⊥面PBM，∵PB面PBM，∴AC⊥PB，∵E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∴EF∥PB，∵EF⊥CE，∴PB⊥CE，∵AC∩CE＝C，AC，CE面PAC，∴PB⊥面PAC，∵PA，PC面PAC，∴PB⊥PA，PB⊥PC，從而得到正三棱錐的三條側(cè)棱PA，PB，PC互相垂直，則正三棱錐中，，三棱錐的表面積為，故A錯誤；正三棱錐的外接球的就是棱長為的正方體的外接球，其半徑球的表面積為，故B正確；球的體積，故C錯誤；設(shè)球的半徑為，則，即，則，故D正確．故選：BD．【點睛】方法點睛：求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出球的半徑，外接球半徑的常見求法有：（1）若同一頂點的三條棱兩兩垂直，則（為三條棱的長）；（2）若面，，則（為外接圓半徑）；（3）可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球；（4）特殊幾何體可以直接找出球心和半徑．11.在平面直角坐標系中，定義為兩點、的“切比雪夫距離”，又設(shè)點及上任意一點，稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”，記作，給出下列四個命題，正確的是（）A對任意三點，都有；B.已知點和直線，則；C.到定點的距離和到的“切比雪夫距離”相等的點的軌跡是正方形.D.定點、，動點滿足，則點的軌跡與直線（為常數(shù)）有且僅有2個公共點.【答案】AD【解析】【分析】對于選項A，根據(jù)新定義，利用絕對值不等性即可判斷；對于選項B，設(shè)點是直線上一點，且，可得，討論，的大小，可得距離，再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；對于選項C，運用新定義，求得點的軌跡方程，即可判斷；對于選項D，根據(jù)定義得，再根據(jù)對稱性進行討論，求得軌跡方程，即可判斷．【詳解】A選項，設(shè)，由題意可得：同理可得：，則：，則對任意的三點，，，都有；故A正確；B選項，設(shè)點是直線上一點，且，可得，由，解得或，即有，當時，取得最小值；由，解得，即有，的范圍是，無最值，綜上可得，，兩點的“切比雪夫距離”的最小值為，故B錯誤；C選項，設(shè)，則，若，則，兩邊平方整理得；此時所求軌跡為或若，則，兩邊平方整理得；此時所求軌跡為或，故沒法說所求軌跡是正方形，故C錯誤；D選項，定點、，動點滿足（），則：，顯然上述方程所表示的曲線關(guān)于原點對稱，故不妨設(shè)x≥0，y≥0.(1)當時，有，得：；(2)當時，有，此時無解；(3)當時，有；則點P的軌跡是如圖所示的以原點為中心的兩支折線.結(jié)合圖像可知，點的軌跡與直線（為常數(shù)）有且僅有2個公共點，故D正確.故選：AD.【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.12.由倍角公式，可知可以表示為的二次多項式．一般地，存在一個（）次多項式（），使得，這些多項式稱為切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多項式．運用探究切比雪夫多項式的方法可得（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】通過求，來判斷出正確選項.【詳解】，所以，A錯誤.，所以，B正確..所以，由于，所以，由于，所以，所以由解得，所以，C正確.，所以D錯誤.故選：BC【點睛】三角函數(shù)化簡求值問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意，利用三角恒等變換的公式進行化簡.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知均為正實數(shù)，，則的最小值是__________.【答案】4【解析】【分析】將看成一個整體，將所求式轉(zhuǎn)化為常見二元最值問題，借助“1”的代換，適當變形后利用基本不等式求解即可.【詳解】設(shè)，，原題轉(zhuǎn)化為：已知，，且，求的最小值.由.當且僅當即時，等號成立.所以的最小值為4.故答案為：4.【點睛】方法點睛：一般地，處理多元最值問題的思考角度有以下幾個：從元的個數(shù)角度，關(guān)鍵在于減元處理，代入消元、整體換元、三角換元等方法；從元的次數(shù)角度，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化目標函數(shù)（代數(shù)式），如一次二次比分式型，齊次比型，雙勾函數(shù)型等等；從元的組合結(jié)構(gòu)角度，關(guān)鍵在于結(jié)構(gòu)分析，將問題轉(zhuǎn)化為整體元的和、積、差、平方和、倒數(shù)和等并列結(jié)構(gòu)的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等號取到的條件.14.楊輝三角是二項式系數(shù)在三角形中的一種排列，在歐洲這個表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，我國南宋數(shù)學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)了如圖所示的表，這是我國數(shù)學史上的一次偉大成就，如圖所示，在“楊輝三角”中去除所有為1的項，依次構(gòu)成數(shù)列，2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，則此數(shù)列的前119項的和為__________．(參考數(shù)據(jù)：，，)【答案】131022【解析】【分析】分析“楊輝三角形”的性質(zhì)，每一行的數(shù)字和為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，除去1之后各行的項的個數(shù)為首項為1，公差為1的等差數(shù)列，其中所求數(shù)列的前119項可以視為，楊輝三角形中前17行中除去1和第17行的最后一個數(shù)之外的項之和，分別計算即可.【詳解】n次二項系數(shù)對應(yīng)楊輝三角的第n+1行，例如，系數(shù)分別為1,2,1,對應(yīng)楊輝三角的第三行，令x=1,就可以求出該行的系數(shù)之和，第1行為，第2行為，第3行為，以此類推即每一行數(shù)字和為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則楊輝三角形的前n項和為，若去除所有的為1的項，則剩下的每一行的個數(shù)為1,2,3,4，……，可以看成構(gòu)成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則前n項和，可得當n=14，再加上第15行的前14項時，所有項的個數(shù)和為119，由于最右側(cè)為2,3,4,5，……，為一個首項為2，公差為1的等差數(shù)列，則第15行的第15項為16，則楊輝三角的前17項和為，且前17行中有個1，故此數(shù)列的前119項的和為.故答案為：131022【點睛】本題考查在“楊輝三角形”中由其性質(zhì)求項的系數(shù)和，屬于難題.15.《九章算術(shù)》中記載：將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵，將一塹堵沿其一頂點與相對的棱剖開，得到一個陽馬（底面是長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐）和一個鱉臑（四個面均為直角三角形的四面體）.在如圖所示的塹堵中，且有鱉臑C1-ABB1和鱉臑，現(xiàn)將鱉臑沿線BC1翻折，使點C與點B1重合，則鱉臑經(jīng)翻折后，與鱉臑拼接成的幾何體的外接球的表面積是______.【答案】【解析】【分析】當沿線BC1翻折，使點C與點B1重合，則鱉臑經(jīng)翻折后，A點翻折到E點，關(guān)于對稱，所拼成的幾何體為三棱錐，根據(jù)外接球的性質(zhì)及三棱錐性質(zhì)確定球心，利用勾股定理求出半徑即可求解.【詳解】當沿線BC1翻折，使點C與點B1重合，則鱉臑經(jīng)翻折后，A點翻折到E點，關(guān)于對稱，所拼成的幾何體為三棱錐,如圖，由可得,,即為正三角形，所以外接圓圓心為三角形中心，設(shè)三棱錐外接球球心為，連接，則平面，連接,,在中作,垂足為，如圖，因,,所以是的中點，由矩形可知,因為為三角形的中心，所以在中，,所以,故答案為：【點睛】本題主要考查了幾何體的翻折問題，三棱錐的外接球，球的表面積公式，考查了空間想象力，屬于難題.16.如圖是數(shù)學家GerminalDandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）；在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，設(shè)圖中球，球的半徑分別為和，球心距離,截面分別與球，球切于點，，（，是截口橢圓的焦點），則此橢圓的離心率等于______．【答案】【解析】【分析】利用已知條件和幾何關(guān)系找出圓錐母線與軸的夾角為，截面與軸的夾角為的余弦值，即可得出橢圓離心率．【詳解】如圖，圓錐面與其內(nèi)切球，分別相切與，連接,則，，過作垂直于，連接，交于點C設(shè)圓錐母線與軸的夾角為，截面與軸的夾角為.在中，，解得即則橢圓的離心率【點睛】“雙球模型”橢圓離心率等于截面與軸的交角的余弦與圓錐母線與軸的夾角的余弦之比，即．四、解答題：本題共6小題，共70分.17.數(shù)列的前n項和為，已知．（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求和：．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用和等比數(shù)列定義判斷可得答案；（2）由（1）得，再利用分組求和、等比數(shù)列求和可得答案.【小問1詳解】由，可知時，，兩式相減可得，所以，又，得，故是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）得，所以．18.如圖，在四棱錐中，平面，正方形的邊長為2，，設(shè)為側(cè)棱的中點.（1）求正四棱錐的體積；（2）求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出點到平面的距離，再根據(jù)四棱錐的體積公式求解即可；（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線與平面所成角.【小問1詳解】解：∵在四棱錐中，平面，正方形的邊長為，，為側(cè)棱的中點，∴到平面的距離，正方形的面積，∴正四棱錐的體積：；【小問2詳解】解：以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，∵直線與平面所成角，∴，∴.∴直線與平面所成角為.19.今年的5月20日是全國第34個“中學生營養(yǎng)日”，今年的主題是“科學食養(yǎng)助力兒童健康成長”.圍繞這個主題，在今年的5月19日，中國校園健康行動領(lǐng)導小組、中國國際公司促進會、中國關(guān)心下一代健康體育基金會、中國關(guān)心下一代工作委員會健康體育發(fā)展中心、中國國際跨國公司促進會中國青少年兒童健康安全食品聯(lián)合工作委員會、中國青少年兒童健康安全食品管理委員會等單位在京共同啟動了“中國青少年兒童營養(yǎng)健康標準推廣實施行動”.我校也希望大力改善學生的膳食結(jié)構(gòu)，讓更多的學生到食堂正常就餐，而不是簡單地用面包，方便面或者零食來填飽肚子.于是學校從晚餐在食堂就餐的學生中隨機抽取了100名學生，針對他們晚餐時更喜歡吃面食還是更喜歡吃米飯做了調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：更喜歡吃面食更喜歡吃米飯總計男生302555女生202545總計5050100（1）依據(jù)小概率的獨立性檢驗，判斷晚餐是否更喜歡吃面食與性別是否有關(guān)聯(lián)？（2）在樣本中，從晚餐更喜歡吃面食的學生中按性別分層抽樣抽取5人，在這5人中任選2人，其中女生的人數(shù)為X，請寫出X的分布列；（3）現(xiàn)用頻率估計概率，在全校學生中，從晚餐更喜歡吃面食的學生中任選3人，其中男生人數(shù)為Y，請寫出Y的期望和方差.附：，其中．0.050.010.0053.8416.6357.879【答案】（1）沒有關(guān)聯(lián)（2）分布列見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意計算，從而根據(jù)獨立性檢驗思想即可求解；（2）由題意，在抽取出來的5人中，男生有3人，女生有2人，再根據(jù)分布列的求解步驟即可求解；（3）由題意可得，再根據(jù)二項分布的期望公式及方差公式即可求解.【小問1詳解】零假設(shè)：晚餐是否更喜歡吃面食與性別沒有關(guān)聯(lián).由列聯(lián)表，計算，得根據(jù)小概率0.05的獨立性檢驗，我們沒有充分的理由推斷不成立.所以我們認為晚餐更喜歡吃面食與性別沒有關(guān)聯(lián).【小問2詳解】由題意，在抽取出來的5人中，男生有3人，女生有2人，從中任取2人，女生人數(shù)為X，則X所有可能的值為0，1，2，其中所以，X的分布列為X012P【小問3詳解】在樣本中晚餐喜歡吃面食學生共50人，其中男生有30人，其頻率為，所以，所以20.已知命題：實數(shù)滿足不等式；命題：實數(shù)滿足方程表示雙曲線.（1）若命題為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法，分解因式后，直接求解；（2）分別求解兩個命題為真命題時的取值范圍，再轉(zhuǎn)化為子集關(guān)系，即可求解.【小問1詳解】由，得，而，所以所以實數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】命題為真時，實數(shù)的取值范圍為；命題為真時，，即實數(shù)的取值范圍為，而是的充分不必要條件，即，所以（等號不同時成立），解得，所以實數(shù)的取值范圍.21.已知橢圓的一個焦點為，橢圓上的點到的最大距離為3.（