空間向量法解決立體幾何探索性問題 教學(xué)設(shè)計

空間向量法解決立體幾何探索性問題【教學(xué)目標(biāo)】1.體會直線方向向量和平面法向量的作用，感悟向量是研究立體幾何問題的工具.2.掌握用向量法解決空間中位置關(guān)系探索性問題的一般思路3.會用空間向量法分析和解決立體幾何中簡單的有關(guān)平行、垂直位置關(guān)系的探索性問題【教學(xué)重難點(diǎn)】1.教學(xué)重點(diǎn)：用向量表示空間圖形基本要素及關(guān)系；用向量方法解決空間中位置關(guān)系的探索性問題2.教學(xué)難點(diǎn)：建立空間圖形基本要素與向量之間的關(guān)系，恰當(dāng)引入?yún)?shù)建立方程，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的化歸思想【教學(xué)過程】復(fù)習(xí)回顧問題1：如何用向量表示空間中的平行關(guān)系？問題2：如何用向量表示空間中的垂直關(guān)系？【設(shè)計意圖】通過復(fù)習(xí)前面所學(xué)知識，引入本節(jié)新課，建立新舊知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。2．引入新課問題3：如何利用向量法解決與平行、垂直有關(guān)的探索性問題呢？【答案】一般先假設(shè)所求的點(diǎn)存在，設(shè)定參數(shù)表示已知條件，根據(jù)題目進(jìn)行向量運(yùn)算求解，若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點(diǎn)，否則不存在。【設(shè)計意圖】提出本節(jié)課解決的問題及一般思路，引入新課3.典例分析題型一平行關(guān)系中的動點(diǎn)探究例1.如圖，長方體中，，，，線段B1C上是否存在一點(diǎn)P，使得A1P∥平面ACD1【分析】根據(jù)條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，那么問題中涉及的點(diǎn)、向量，以及平面ACD1的法向量n等都可以用坐標(biāo)表示。如果點(diǎn)P存在，那么就有n.=0，由此通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果?！舅伎肌咳绾斡米鴺?biāo)表示向量A1P？由于點(diǎn)P在線段B1C上，利用向量共線定理，可寫出向量A1P的坐標(biāo).解（1）因為長方體，所以，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系：因為A，C，D1的坐標(biāo)分別為A(3D1(0，0，2)，所以設(shè)平面的法向量為，則，解得設(shè)線段上存在點(diǎn)使得平面，由（1）得，，平面的法向量，所以，由解得，即為線段中點(diǎn)時，平面.【設(shè)計意圖】通過例題，提高學(xué)生分析和解決問題的能力，提高學(xué)生的推理能力，規(guī)范解答過程.問題3：本例若直接設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，坐標(biāo)表示向量的過程會有什么變化？設(shè)點(diǎn)P(x,y,z),則=(x?3，y?4，z?2)，=(?3，0，?2)因為點(diǎn)P在線段BC1上，所以//，P滿足=λ(0≤λ≤1),即(x?3，y?4，z?2)=(?3λ，0，?2λ)所以P(3?3λ，4，2?2λ）=(?3λ，4，?2λ)若動點(diǎn)所在直線與坐標(biāo)軸共線，可直接設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若動點(diǎn)在面內(nèi)的直線上，則依據(jù)：根據(jù)平面向量共線定理—若，使得，用一個參數(shù)表示所求點(diǎn)的坐標(biāo)【設(shè)計意圖】通過典例分析，了解解決空間向量法解決與平行有關(guān)的探索性問題的一般思路，提高學(xué)生的推理能力，運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化思想。題型二垂直關(guān)系中的動點(diǎn)探究如圖,在長方體中，AB=2，BC=CC1＝1.線段CD上是否存在一點(diǎn)E，使得A1E⊥平面AB1D1，若存在，求DE的長；若不存在，請說明理由?！痉治觥肯雀鶕?jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示相關(guān)的點(diǎn)、直線的方向和平面AB1D1的法向量；利用點(diǎn)Ｅ的特殊位置,引入?yún)?shù)，設(shè)出點(diǎn)Ｅ的坐標(biāo)；通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果【設(shè)計意圖】通過典例分析，學(xué)習(xí)解決空間向量法解決與垂直有關(guān)的探索性問題的一般步驟，提高學(xué)生的推理能力，運(yùn)算能力，滲透數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。鞏固練習(xí)（教材P31練習(xí)2）如圖，在四面體ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，直線AD上是否存在點(diǎn)F，使得AE//CF？規(guī)律小結(jié)立體幾何中的動點(diǎn)的存在性問題通常使用坐標(biāo)法來進(jìn)行解答，此方法不需要復(fù)雜的作圖推理及論證，只需要通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷。解題策略：先假設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)做條件，此列方程（組），解方程（組），把點(diǎn)是否存在問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)是否在規(guī)定范圍內(nèi)有解問題。3.課堂小結(jié)問題8：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？試從知識、方法、數(shù)學(xué)思想、經(jīng)驗等方面談?wù)劊R方面

學(xué)習(xí)了如何用向量法解決立體幾何探索性問題

思想方法轉(zhuǎn)化與化歸

空間中直線、平面間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量間的關(guān)系.

數(shù)形結(jié)合

借助圖形建立合適的空間直角坐標(biāo)系，建立空間圖形與向量的聯(lián)系.方程思想引入?yún)?shù)，將存在性探究問題，轉(zhuǎn)化為方程或方程組是否有限定范圍解的問題.

經(jīng)驗

引入?yún)?shù)時，盡量減少參數(shù)個數(shù)可以簡化計算；若點(diǎn)在坐標(biāo)軸等特殊位置，可直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)；若點(diǎn)在直線上，可利用向量共線引入?yún)?shù).探索線面位置關(guān)系的存在性問題利用空間向量坐標(biāo)法解決立體幾何的位置關(guān)系探索性問題一般思路：（1）根據(jù)題設(shè)條件的垂直關(guān)系，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，將相關(guān)點(diǎn)、相關(guān)向量用坐標(biāo)表示。（2）假設(shè)所成的點(diǎn)或參數(shù)存在，用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)線、面滿足的位置關(guān)系，構(gòu)建方程（組）求解，若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在。動點(diǎn)的設(shè)法（減少變量數(shù)量）在解決探索性問題中點(diǎn)的存在性，經(jīng)常需要設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，而(x,