2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（原卷版）

專題33等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................4

【考點(diǎn)1】等差數(shù)列的基本運(yùn)算................................................4

【考點(diǎn)2】等差數(shù)列的判定與證明..............................................5

【考點(diǎn)3】等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用...............................................7

【分層檢測(cè)】................................................................8

【基礎(chǔ)篇】..................................................................8

【能力篇】.................................................................10

【培優(yōu)篇】.................................................................10

考試要求：

1.理解等差數(shù)列的概念.

2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.

3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.

4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.

；知識(shí)梳理

1.等差數(shù)列的概念

(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)

數(shù)列就叫做等差數(shù)列.

數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：外+1—z=d(〃GN*,d為常數(shù)).

(2)等差中項(xiàng)：由三個(gè)數(shù)〃，A,?組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)兒叫做

〃與6的等差中項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A=a+b.

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式

(1)若等差數(shù)列｛〃〃｝的首項(xiàng)是ai,公差是d,則其通項(xiàng)公式為an—a\-\-(n—1)d.

n（幾—1）dn（〃i+斯）

(2)前〃項(xiàng)和公式:Sn=M41+

3.等差數(shù)列的性質(zhì)

(1)通項(xiàng)公式的推廣：an—am-\-(n—m)d(n,

(2)若｛斯｝為等差數(shù)列，且左+/=加+幾(左，I,m,幾￡N*),貝!J四+

(3)若｛斯｝是等差數(shù)列，公差為d,則以，ak+m,ak+2m,…(k,zn￡N*)是公差為md的等差數(shù)列.

(4)若S九為等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，則數(shù)列Sm,Sim~SmyS3加一S2加，…也是等差數(shù)列.

(5)若S〃為等差數(shù)列｛麗｝的前n項(xiàng)和，則數(shù)列［篇也為等差數(shù)列.

|常用結(jié)論

1.已知數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式是z=p〃+q(其中.，q為常數(shù))，則數(shù)列｛斯｝一定是等差數(shù)列，且公

差為p.

2.在等差數(shù)列｛板｝中，ai>0,d<0,則S存在最大值；若ai<0,d>0,則S存在最小值.

3.等差數(shù)列｛麗｝的單調(diào)性：當(dāng)d>0時(shí)，｛詼｝是遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時(shí)，｛服｝是遞減數(shù)列；當(dāng)d=

0時(shí)，｛斯｝是常數(shù)列.

4.數(shù)列｛a〃｝是等差數(shù)列QS,=A〃2+B〃(A,3為常數(shù)).

.真題自測(cè)

一、單選題

1.(2024?全國(guó)?高考真題)記S“為等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，已知S5=%,%=1，則％=()

2

2.（2024?全國(guó)?高考真題）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為'，若Sg=l,則%+%=（）

72

A.-2B.-C.1D.-

39

3.（2023?全國(guó)?高考真題）記S“為等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和.若%+%=1。，。4〃8=45,則=（）

A.25B.22C.20D.15

<?

4.（2023?全國(guó)?高考真題）記S,為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，設(shè)甲：｛%｝為等差數(shù)列；乙：｛1｝為等差數(shù)列，則

（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

二、填空題

5.（2024?全國(guó)?高考真題）記S“為等差數(shù)列｛%｝的前九項(xiàng)和，若4+4=7,3a2+a5=5,則兒=.

6.（2024?北京?高考真題）設(shè)｛鬼｝與抄“｝是兩個(gè)不同的無(wú)窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合

M=kl4=%#cN*｝,給出下列4個(gè)結(jié)論：

①若｛4｝與也,｝均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素；

②若｛4｝與｛2｝均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；

③若｛4｝為等差數(shù)列，也“｝為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；

④若｛%｝為遞增數(shù)列，｛￡｝為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

7.（2023?北京?高考真題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于祛碼的、用來(lái)

測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)己知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列｛%｝,該數(shù)列的前

3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且％=1,%=12,%=192,則%=；數(shù)列也,｝所有項(xiàng)的和

為.

8.（2022?全國(guó)?高考真題）記S“為等差數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和.若2s3=3S?+6,則公差仁.

3

■考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】等差數(shù)列的基本運(yùn)算

一、單選題

1.（2024?四川攀枝花三模）數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，6=-1,也=S,+w（“-l）（〃eN*）,設(shè)么=（_1）"風(fēng),

則數(shù)歹!）｛"｝的前51項(xiàng)之和為（）

A.-149B.-49C.49D.149

2.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）已知在正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，?4=16,且名』0e成等差數(shù)列，貝U-

（）

A.157B.156C.74D.73

二、多選題

3.（2024?貴州畢節(jié)三模）已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，且邑=4S2，%,=2a.+l（"eN*）,則（）

2

A.an=2n-lB.Sn=n

c.數(shù)列的前〃項(xiàng)和為￡D.數(shù)歹U｛%+2"｝的前〃項(xiàng)和為2向+/一2

4.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S"=4+A，則下列結(jié)

論正確的是（）

A.當(dāng)〃？>"（桃〃eN*）時(shí)，am>anB.Sn+Sn+2<2Sn+i

C.數(shù)列席｝是等差數(shù)列D.S“-gzln〃

三、填空題

5.（2024?湖北襄陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）蚊香具有悠久的歷史，我國(guó)蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān)，如圖為某

校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上收長(zhǎng)度為1的線段A8,作一個(gè)等邊三角形

ABC,然后以點(diǎn)5為圓心，A3為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。（第一段圓?。?，再以點(diǎn)C為

圓心，。為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,再以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑逆時(shí)針畫圓弧......

以此類推，當(dāng)?shù)玫降?蚊香”恰好有15段圓弧時(shí)，"蚊香"的長(zhǎng)度為.

蚊香

4

6.（2024?內(nèi)蒙古?三模）假設(shè)在某種細(xì)菌培養(yǎng)過(guò)程中，正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)正常細(xì)菌分裂成2個(gè)

正常細(xì)菌和1個(gè)非正常細(xì)菌），非正常細(xì)菌每小時(shí)分裂1次（1個(gè)非正常細(xì)菌分裂成2個(gè)非正常細(xì)菌）.若1

個(gè)正常細(xì)菌經(jīng)過(guò)14小時(shí)的培養(yǎng)，則可分裂成的細(xì)菌的個(gè)數(shù)為.

反思提升：

1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量m,an,d,n,Sn,知其中三個(gè)就能求另

外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題.

2.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而ai和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基

本量，用它們表示已知和未知是常用方法.

【考點(diǎn)2】等差數(shù)列的判定與證明

一、解答題

1.（2024?四川自貢?三模）已知數(shù)列｛4｝的前項(xiàng)和為邑，且J-陷（"-1）.

⑴證明：數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

（2）若%,%，%成等比數(shù)列,求S0的最大值.

2.（2024?重慶?三模）已知在數(shù)列｛4｝中，[=14+1=意「

⑴求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛4%+J的前幾項(xiàng)和S.;

⑵在AABC中，角A,B,。的對(duì)邊分別為b,c,且。=,/?cosC+ccosB=-2acosA,求5c面

a

〃〃+in

積的最大值.

111c，

3.（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知---+----+…+-----=2（neN<n>l,〃為常數(shù)）.

aa

4%。2a3nn+l〃〃+1

⑴數(shù)列｛4｝能否是等比數(shù)列？若是，求生的值（用。表示）；否則，說(shuō)明理由；

⑵已知4=0=1,求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和S,,.

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S",且滿足a“+l=W、,〃eN*M5=9.

n

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）已知4d=（??+an+1）-2",求數(shù)列也｝的前九項(xiàng)和

5.（2024?廣東深圳?一模）設(shè)S,為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知％=4,邑=2。，且為等差數(shù)列.

⑴求證：數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；

⑵若數(shù)列出｝滿足仇=6,且駕=子，設(shè)1為數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，集合M=[7；|7；eN*｝,求M（用列

Vnan+2I）

5

舉法表示）.

6.（23-24高三上?北京東城?期末）若有窮數(shù)列A：?！毙摹?（"4）滿足：q+%+]_,.=c（ceR,，=1,2,…，9，

則稱此數(shù)列具有性質(zhì)R.

⑴若數(shù)列A：-2,%,%，2,6具有性質(zhì)Pc,求。2，%，c的值;

（2）設(shè)數(shù)列A具有性質(zhì)庶，且4</<???</，"為奇數(shù)，當(dāng)%%>0（14時(shí)，存在正整數(shù)左，使得

a廠a『k,求證：數(shù)列A為等差數(shù)列；

⑶把具有性質(zhì)R，且滿足|%+%|=機(jī)（笈eN*4g根為常數(shù)）的數(shù)列A構(gòu)成的集合記作北（〃即）.求出

所有的〃，使得對(duì)任意給定的相，。，當(dāng)數(shù)列Ae4（〃,〃。時(shí)，數(shù)列A中一定有相同的兩項(xiàng)，即存在

反思提升：

1.證明數(shù)列是等差數(shù)列的主栗方法：

（1）定義法：對(duì)于的任意自然數(shù)，驗(yàn)證或一?！?為同一常數(shù).即作差法，將關(guān)于斯.1的an

代入an-an-l,再化簡(jiǎn)得到定值.

（2）等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2a"i=a”+a"2（"三3,〃?N*）都成立.

2.判定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結(jié)論：

（1）通項(xiàng)公式:an=pn+q（p,q為常數(shù)）Q｛a,J是等差數(shù)列.

⑵前〃項(xiàng)和公式：Sn=An2+Bn（A,3為常數(shù)）Q｛加｝是等差數(shù)列.問(wèn)題的最終判定還是利用定義.

【考點(diǎn)3】等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

一、單選題

1.（2024?山西運(yùn)城?三模）已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，；%-q=2,則%+%。-。8=（）

A.4B.-2C.-4D.-8

2.（2023?吉林白山?模擬預(yù)測(cè)）若等差數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S",且滿足S’.XXS4w<0,對(duì)任意正整數(shù)”，

都有⑷2kM，則機(jī)的值為（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

二、多選題

3.（23-24高二上?河北石家莊?階段練習(xí)）關(guān)于等差數(shù)列｛%｝和等比數(shù)列｛4｝,下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的有（）

6

A.等差數(shù)列｛%｝,若m+n=p+q,貝ijq”+a”=4+4

B.等比數(shù)列｛〃｝,若,則根+〃=p+q

C.若S"為數(shù)列｛%｝前w項(xiàng)和，則-S，N.-S?,,,仍為等差數(shù)列

D.若S“為數(shù)列也｝前〃項(xiàng)和，則S“應(yīng)“一j同”-S.仍為等比數(shù)列

4.（2024?遼寧?二模）設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，S.是其前〃項(xiàng)的和.且與〈黑，56=S7>S8,則下面結(jié)論正確的

是（）

A.d<0B.a7=0

C.臬與S’均為S”的最大值D.滿足5"<0的”的最小值為14

三、填空題

5.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S,,且$28=56,則

%2+%3+%4+《5+%6+〃17=.

6.（23-24高二上,上海?期末）等差數(shù)列｛%｝中，已知q=5,且在前”項(xiàng)和S“中，僅當(dāng)”=10時(shí)，%最大,

則公差d的取值范圍為.

反思提升：

1.項(xiàng)的性質(zhì):在等差數(shù)列｛a4｝中,若加+〃=p+q（M,n,p,q￡N*）,則加+斯=他+的.

2.和的性質(zhì)：在等差數(shù)列｛麗｝中，S1為其前〃項(xiàng)和，則

（1）52”=n（a1+。2"）=…=n（an+斯+1）;

（2）S2n-1=（2〃-l）<7n.

（3）依次左項(xiàng)和成等差數(shù)列，即&：,Sik—Sk,S3尢-S23…成等差數(shù)列.

3.求等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的最值，常用的方法：（1）利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng),

或者利用性質(zhì)求其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；（2）利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)

和S,=A7Z2+B”（A,3為常數(shù)，AW0）為二次函數(shù)，通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

分層檢測(cè)

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?天津?yàn)I海新?三模）已知數(shù)列也,｝為各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，S”為數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，4Sn=an-an+1,

則出的值為（）

7

A.4B.8C.12D.16

2.（2024海南?模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列｛%｝的公比不為1,若4=2,且3%,%-生成等差數(shù)列，則見(jiàn)=（）

A.2x3"-B.3"C.2X(-3)"TD.(-3)”

3.（2024?山西陽(yáng)泉?三模）已知等差數(shù)列應(yīng)｝中，的是函數(shù)/（x）=sin（2x-塞）的一個(gè)極大值點(diǎn)，則tanQ+%）

的值為（）

A.gB.V3C.±6D.-V3

4.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知遞增數(shù)列｛%｝滿足若%+%）=14,a「《2=24,

則數(shù)列｛4｝的前2023項(xiàng)和為（）

A.2044242B.2045253C.2046264D.2047276

二、多選題

5.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為5“，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列說(shuō)法正確的

是（）

A.當(dāng)加eN*時(shí)，Sm,S2m,邑,“是等差數(shù)列

B.數(shù)列伊｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列是等差數(shù)列

ss-S

D.當(dāng)p,q均為正整數(shù)且。力4時(shí)，~^二」一工

p+qp-q

6.（2023?山東濰坊?模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)和為S,,,正項(xiàng)等比數(shù)列出｝的前”項(xiàng)積為則

（）

A.數(shù)列是等差數(shù)列B.數(shù)列｛3%｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛In?；｝是等差數(shù)列D.數(shù)列［祟］是等比數(shù)列

7.（2023?安徽安慶?二模）已知｛風(fēng)｝為等差數(shù)列，前九項(xiàng)和為S,,,4=10,公差d=-2,則（）

A.S4-S7

B.當(dāng)〃二6或7時(shí)，S“取得最小值

C.數(shù)列｛聞｝的前10項(xiàng)和為50

D.當(dāng)冊(cè)2023時(shí)，｛4｝與數(shù)列｛3m+10｝（相eN）共有671項(xiàng)互為相反數(shù).

8

三、填空題

8.（2023?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛q｝的前九項(xiàng)和為S“，且S"=〃2-4%則4+%=.

S13S

9.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)乂是等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，若”=77,則$=.

10.（2024?北京延慶?一模）北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石）,

環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多

9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且三層共有扇面形石板（不含天心石）3402塊，則上層

有扇形石板塊.

四、解答題

2"+%

1L（2024?陜西安康,模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,q,+[=—京.

+2

（1）證明：數(shù)列[是等差數(shù)列；

⑵設(shè)2=&必乜，求也｝的前〃項(xiàng)和小

an

12.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）已知公差不為。的等差數(shù)列｛?！ǎ凉M足=。自3，且〃2。3-。5=。4-%.

⑴求｛q｝的通項(xiàng)公式；

（2）記S〃是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，證明：—+—+—+—<2.

【能力篇】

一、單選題

1.（2024全國(guó)高考真題）已知6是。，。的等差中項(xiàng)，直線依+力+C=0與圓/+;/+4丫_1=0交于4,2兩點(diǎn)，

則|A3|的最小值為（）

A.1B.2C.4D.275

二、多選題

2.（2024?山東臨沂?二模）已知｛q｝是等差數(shù)列，*是其前〃項(xiàng)和，則下列命題為真命題的是（）

A.若4+。4=9,%+%=18,則q+。2=5B.若%+43=4,則S]4=28

C.若工5<。，則$7>S8D.若｛4｝和｛%?%/都為遞增數(shù)列，則4>0

三、填空題

3.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）在正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，4=16,%+%=12,則為％……%）的最大值為.

四、解答題

4.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）已知無(wú)窮數(shù)歹式4｝（見(jiàn)#0,〃eN*）,構(gòu)造新數(shù)列｛?。凉M足砂=%-4，39｝

9

滿足才)=或「d，…，3*滿足才)=濫|)一。"化"左6*),若忖*)｝為常數(shù)數(shù)列，則稱｛%｝為％階

分⑴1(jt-l)

等差數(shù)列；同理令噌=比"，歐)=茄，…，歐O=的32入N*),若慟"為常數(shù)數(shù)列，則稱｛4｝為

女階等比數(shù)列.

⑴已知｛4｝為二階等差數(shù)列，且4=1,4=4,或)=2,求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若｛4｝為左階等差數(shù)列，｛2｝為一階等比數(shù)列，證明：｛嫦1