2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念（（解析版））

專題20任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................7

【考點(diǎn)1】象限角及終邊相同的角..............................................7

【考點(diǎn)2】弧度制及其應(yīng)用....................................................12

【考點(diǎn)3］三角函數(shù)的定義及應(yīng)用..............................................17

【分層檢測】...............................................................21

【基礎(chǔ)篇】.................................................................21

【能力篇】.................................................................28

【培優(yōu)篇】.................................................................31

考試要求：

1.T解任意角的概念和弧度制的概念.

2.能進(jìn)行弧度與角度的互化.

3.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.

M知識梳理

1.角的概念的推廣

(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的喘點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.

、大!按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.

(2)分六［按終邊位置不同分為象限色和軸線角.

(3)終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S={四夕=a+

k360。，左GZ}.

2.弧度制的定義和公式

(1)定義：長度等于坐/旨的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1rad.

(2)公式

|a|=:(弧長用/表示)

角a的弧度數(shù)公式

角度與弧度的換算1?！?80皿1rad一

弧長公式弧長l=\a\r

扇形面積公式

3.任意角的三角函數(shù)

⑴定義

如圖，設(shè)a是一

個任意角，它的

前提*4,

終邊與單位圓交

于點(diǎn)P(x,y)

正弦L叫做a的正弦函數(shù),記作sina,即sina=y_

余弦工叫做a的余弦函數(shù),記作cosa,即cosa=1

正切)叫做a的正切函數(shù)，記作tana,即tana=、(xW0)

定義

正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上

三角函數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們

統(tǒng)稱為三角函數(shù)

(2)定義的推廣

2

設(shè)尸(x,y)是角a終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離為r(r>0),那么sina=*cosa

=',tana=%W0).

常用結(jié)論

1.三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.角度制與弧度制可利用180。=兀rad進(jìn)行互化，在同一個式子中，采用的度量制必須一致,

不可混用.

3.象限角

第一象限角｛?|2ATT<a<2fcTT,k&Z

la\2kk&z]

第二象限角7T4-乎<a<2kTT+7T,

(a,kEz]

第三象限角尿TT+"<ot<2A：Tr+等

殊L4e

F十<aFZ

第四象限角la<2

4.軸線角

;真題自測

一、單選題

1.(2023?全國?高考真題)已知函數(shù)〃x)=sin3+0)，3>0)在區(qū)間已引單調(diào)遞增，直線x=￡和丁=等

為函數(shù)y=/(x)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則/

1

A.B.——C.

22

2.(2022?全國?高考真題)沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的''會

圓術(shù)〃，如圖，A5是以。為圓心，0A為半徑的圓弧，。是A3的中點(diǎn)，。在AB上，CDLAB.”會圓術(shù)〃

CD2

給出A3的弧長的近似值s的計(jì)算公式：S=AB+^-.當(dāng)Q4=2,NAO3=60。時，s=()

OA

3

9-4g

-2~

二、填空題

3.（2023?北京?高考真題）已知命題P：若a,"為第一象限角，且貝hana>tan￡.能說明p為假命題

的一組。,夕的值為a=，P=

4.（2023?全國?高考真題）已知函數(shù)〃x）=sin（0x+。），如圖A,B是直線y=g與曲線y=/（%）的兩個交

點(diǎn)，若|A8|=g貝4（兀）=

6

5.（2023?全國?高考真題）若,貝!]sin9—cose=.

6.（2021?北京?高考真題）若點(diǎn)人（85。⑼11。）關(guān)于丁軸對稱點(diǎn)為甌0式。+芻,411（。+9））,寫出。的一個取值為

o6

參考答案：

1.D

【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入x=-三即可得到答案.

【詳解】因?yàn)?'（x）=sin（0x+9）在區(qū)間

T2冗IT冗2兀

所以，=可一15,且0>°,貝用5'由于=2,

當(dāng)％=巳時，/（%）取得最小值，則2弓+0=2也—方，keZ,

則°=2加一5小兀,kGZ,不妨取女=0,則/(x)=sin12x一■—j,

6

故選：D.

4

2.B

【分析】連接OC,分別求出AB,OC,CD,再根據(jù)題中公式即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接OC,

因?yàn)镃是A3的中點(diǎn)，

所以O(shè)C_LAB,

又CDLAB,所以o,c,r＞三點(diǎn)共線，

即8=Q4=OB=2,

又ZAO3=60°,

所以AB=Q4=OB=2,

則。C=G故CD=2-B

c（2-石）11-473

2s

所以2d-------=------

OA22

9兀兀

3.T7

【分析】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性以及任意角的定義分析求解.

【詳解】因?yàn)椤▁）=tanx在（0向上單調(diào)遞增，若0＜%＜用＜（貝ijtan/＜tan4,

取1=2占兀+g,4=2左2兀+4，勺,左2eZ,

則tana=tan（2勺兀+%）=tan%,tan（3=tan（2%2元+4）=tan4，即tanavtan力，

令％>k2,則a—'=（2/兀+4）_（2&兀+4）=2（/_&）兀+（%_4），

5

因?yàn)?（占一左2）兀之2九,一微v4—尸0v0,則a—￡=2（左一左2）兀+（4一A））＞皇＞0，

即勺〉左2，則。＞￡.

TTTT97rTT

不妨取左=1,左2=。，%=1，&=可，即。=工,/?=耳滿足題意.

97T冗

故答案為：

43

4.一走

2

【分析】設(shè)小,；：2底,￡|,依題可得，=聿，結(jié)合sinx=:的解可得，研%-石）=年，從而得

到0的值，再根據(jù)/（I；。以及/（。）＜0,即可得/5）=5布,-罰，進(jìn)而求得〃兀）.

【詳解】設(shè)什國,句,2［尤2,可，由可得=5，

1兀、5K_

由sin%=—可知，X=—+2e或%=—+2E,keZ,由圖可知，

266

&%2+夕一（0%+0）=%兀一弓=g，BPCD［X2，「?切=4.

因?yàn)?（g兀）=sin（g+o）=0,所以g+o=E,即0=_g?i+E,kwZ.

所以/（x）=sin（4x-g兀+左兀］=sin^4x-j7i+^7i^,

^f^/（^）=sin^4x-17r^i!（/（x）=-sin^4x-17t^,

又因?yàn)椤?。）?,所以〃x）=sin14x-g”,兀）=si“47i-：T=-￥.

故答案為：

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出。以及函數(shù)F（尤）的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),

以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

5.一些

5

【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系求sin。，進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?。e1o，W，貝Ijsin0＞0,cos6＞0,

又因?yàn)閠ane=22g=1,貝｝jcose=2sin，，

cose/2

6

且cos?e+sii？8=4sin2e+sin?8=5sin2。=1,解得sin。=好或sin。=（舍去）,

55

所以sin。-cos。=sin-2sin0=-sin0=

5

故答案為：一正.

5

6.1|（滿足。=||+丘，左eZ即可）

TTTT

【分析】根據(jù)A,2在單位圓上，可得ae+J關(guān)于〉軸對稱，得出e+J+e=%+2左鞏無ez求解.

OO

【詳解】A（cose,sin。）與Bcos辦?卜巾+.71關(guān)于y軸對稱,

6

7T

即關(guān)于y軸對稱，

O

冗

0-\---\-0=71+2左跖keZ

69

57r

貝lj0=br+——,keZ,

12

57r

當(dāng)上=0時，可取。的一個值為石■.

故答案為：=57r（滿足6=左左+157r，左eZ即可）.

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1］象限角及終邊相同的角

一、單選題

1.（23-24高一下,河南?階段練習(xí)）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角。的集合是（）

A.jaI7+2EWaW（2左+1）兀，左￡z|B.|不+左兀WaW（2+1）兀,％￡Z

C.I-^-+2hi<a<（2^-1）K,Z:Gz|D.—弓+2%兀VaV2左兀/￡Z

ct（1n

2.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知角a第二象限角，且cos,=cos5,則角I是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

7

二、多選題

3.（23-24高一上?吉林長春?期末）下列說法正確的是（）

A.為第一象限角"是"■!■為第一象限角或第三象限角"的充分不必要條件

JT1

B.aa=—+2kn,keZ"是"sina=—〃的充要條件

62

C.設(shè)加二,aa二E±:，左EZ,,N=，zo=?,攵￡Z,,則“8〃是“8wN〃的充分不必要條件

A

D."sin9＞0"是"tan-＞0"的必要不充分條件

4.（22-23高二下?吉林長春?期末）下列說法正確的是（）

A.軸截面為等腰直角三角形的圓錐，其側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為也兀

B.若]＜夕＜71,貝lj-2sin（'1'+a]sin（7t-a）=sina-cosa

C.已知a為銳角，sina=g,角夕的終邊上有一點(diǎn)尸（2,1）,則tan（（z+0=l

D.在-360。360。范圍內(nèi)，與-410。角終邊相同的角是310。和-50。

三、填空題

5.（2022?河南開封?三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角/均以。尤為始邊，它們的終邊關(guān)于直線＞=%

對稱.若sina=g,則sin（a-尸）=.

6.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊在第二象限，sin&=@，

23

則tana的值為.

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)任意角的概念以及角的終邊所在位置，即可確定角a的集合.

5兀

【詳解】終邊落在陰影部分的角為9+（左+1）兀，kwZ,

即終邊落在陰影部分（包括邊界）的角a的集合是傳+1）私左ez}.

故選：B.

2.A

【分析】寫出象限角a的取值范圍，可求出?Of是第一象限角或第三象限角，再由cosO￡f＞?？傻贸鲞x項(xiàng).

JT

【詳解】因?yàn)榻莂第二象限角，所以^+2也＜&＜兀+2配伍eZ）,

所以:+也＜1＜5+也（左eZ）,所以角￡是第一象限角或第三象限角.

422v72

8

acinn

又因?yàn)镃OS,=cos-,即cos§>0,所以角［是第一象限角,

故選:A.

3.AC

TT

【分析】對于A,利用象限角，求得角a的范圍，可判定充分性，取a=1,驗(yàn)證必要性即可；對于B,考

查sina=g時，a的取值范圍，可判定必要性不成立；對于C,根據(jù)集合

N的關(guān)系即可判定；對于D,

根據(jù)條件求得a的取值范圍即可判斷.

【詳解】對于A,因?yàn)?。為第一象限?

兀

所以2E<a<—+2kn,eZ,

2

7C

貝ijE<a<—+kji.kGZ,

4

當(dāng)％為偶數(shù)時，。為第一象限角,

當(dāng)上為奇數(shù)時，a為第三象限角,

所以充分性成立;

當(dāng)a=gjr時，a為第一象限角，貝iJ2a=q27r,為第二象限角,

即必要性不成立，故A正確;

TT

對于B,當(dāng)a=—+2E,左eZ時,

6

sma=；成立，則充分性成立;

|TT5冗

當(dāng)sina=—時，a=—+2左?；騛=---i-2fai,kwZ,

266

故必要性不成立，則B錯誤;

（4k-l）7lT

對于C,M=aa=fai土;，kEZ}=<aa=------,ksZ\,

4

a=-,k^z\,

而雙=a

4

則〃N,故則是的充分不必要條件，故C正確;

對于D,當(dāng)sin6>>0時，2E<6<2E+無，左cZ,

則E<—<fai+一,左EZ,

22

A

則tan/A0,故充分性成立,

9

當(dāng)tane〉0時，H<—<^7i+—,^eZ,

222

貝ij2kji<3<2kn+Ti,kGZ,

則sin6>0成立，

A

所以"sine>0"是"tan彳>0"的充要條件，故D錯誤,

2

故選：AC.

4.ABD

【分析】對于A,根據(jù)扇形相關(guān)知識計(jì)算即可;

對于B,根據(jù)角的范圍判斷正弦值和余弦值的符號，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡即可；

31

對于C,通過同角三角函數(shù)關(guān)系和三角函數(shù)定義求得tana=1，tan￡==,再通過兩角和的正切公式代入

計(jì)算即可；

對于D,根據(jù)終邊相同的角的概念直接判斷.

【詳解】對于A,圓錐的軸截面為等腰直角三角形，設(shè)其母線長為無，則其底面圓的直徑為叵t，

則圓錐側(cè)面展開圖的半徑（即圓錐母線長）為尤，弧長（即底面周長）為回，

所以其側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為叵=缶，故A正確；

X

兀

對于B,右/<。<兀，貝!Jsina>0,cosaVO,則sina—cosa>0,

則，一2sin+a]sin（兀一a）=J1-2cosasina=J（sina-cosaf

=bina-cosa|=sina-cosa,故B正確；

n

對于C,若。為銳角，sincr=-,則cosa=—sin2a=、,則tana=s,"=「,

55cosa4

角夕的終邊上有一點(diǎn)尸（2,1）,貝ljtan￡=g,

31

-+-

tana+tan尸42

則tan(cr+/?)==2,故C錯誤;

1-tanor-tan/?l-3xl

42

對于D,在-360。360。范圍內(nèi)，與T10。角終邊相同的角是310。和-50。，故D正確.

故選：ABD

7

5.——

9

【分析】根據(jù)給定條件，用a表示出夕，再代入并結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式計(jì)算作答.

【詳解】因在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角夕均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于直線Y=x對稱,

10

則有a+/3=2k7i+—,kE,Z,即/?=2k7i+--a,keZ,而sina=§,

17

所以，左eZ,sin(a-P)=sin(2a---2fcr)=-cos2a=-1+2sin2a=--.

7

故答案為：

6.-4A/5

【分析】由題知W在第一象限，cos^=|,tan-=^-,再根據(jù)正切的二倍角公式求解即可.

22322

ex

【詳解】解：由a在第二象限可知，?在第一、三象限，

2

又sin0=@>O,所以?在第一象限，

232

所以cosg=],故tan4=好.

2322

2tan-2x好

因止匕tana=--------—=-----2_=-4百.

?。a,5

1-tan~-1——

24

故答案為：-4A/5

反思提升：

(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的

所有角的集合，然后通過集合中的參數(shù)-上?Z)賦值來求得所需的角.

⑵確定ka,取kGN*)的終邊位置的方法

nn

先寫出ht或食勺范圍，然后根據(jù)上的可能取值確定ka或食勺終邊所在的位置.

K.K

【考點(diǎn)2】弧度制及其應(yīng)用

一、單選題

1.(2023?陜西安康?三模)羽毛球運(yùn)動是一項(xiàng)全民喜愛的體育運(yùn)動，標(biāo)準(zhǔn)的羽毛球由16根羽毛固定在球托

上，測得每根羽毛在球托之外的長為6cm,球托之外由羽毛圍成的部分可看成一個圓臺的側(cè)面，測得頂端

所圍成圓的直徑是6cm,底部所圍成圓的直徑是2cm,據(jù)此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展開圖的圓

712兀

B.C.—D.兀

23

11

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕.源遠(yuǎn)流長的磚雕，由東周瓦當(dāng)、漢代畫像磚

等發(fā)展而來，明清時代進(jìn)入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派.蘇

派磚雕被稱為"南方之秀"，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運(yùn)用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑

中.圖（1）是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環(huán)ABCD,如圖（2）,磚雕厚度為6cm,AD=80cm,CD=3AB，

CO所對的圓心角為直角，則該梅花成雕的表面積為（單位：cn?）（）

圖⑴圖⑵

A.320071B.480TT+960C.6880TI+960D.368071+960

二、多選題

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖，設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)4（1,0）,以x軸的非負(fù)半軸為始邊作銳

7T

角a,0,a-13,它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)片，A，P.若。=：，則下列說法正確的是（）

TlJ

A.當(dāng)月=:時，0ap的面積為了

44

B.當(dāng)力=3時，扇形0A出的面積為5

OO

C.當(dāng)尸=:時，四邊形0Ap4的面積為2+4一應(yīng)

D.四邊形0AA6面積的最大值為1

4.（23-24高三上?云南昆明?階段練習(xí)）質(zhì)點(diǎn)A,2在以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，半徑為1的圓上同時出發(fā)做逆

時針勻速圓周運(yùn)動，點(diǎn)4的起點(diǎn)在射線y=A（xNO）與圓。的交點(diǎn)處，點(diǎn)4的角速度為lrad/s,點(diǎn)8

的起點(diǎn)在圓。與x軸正半軸的交點(diǎn)處，點(diǎn)B的角速度為2rad/s,則下列說法正確的是（）

A.在2s末時，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（-cos4,-sin4）

jr

B.在2s末時，劣弧AB的長為2-§

12

C.在57ts末時，點(diǎn)A與點(diǎn)3重合

D.當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)2重合時，點(diǎn)A的坐標(biāo)可以為

5.（2023?上海普陀?一模）若圓。上的一段圓弧長與該圓的內(nèi)接正六邊形的邊長相等，則這段圓弧所對的圓

心角的大小為.

6.（2024?上海黃浦?二模）如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實(shí)線部分（它由線段尸與分別以

為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點(diǎn)C,。是線段A3上的動點(diǎn)，點(diǎn)。為線段AB,8的中

點(diǎn)，點(diǎn)瓦尸在以A3為直徑的半圓弧上，且NOCE,/O□尸均為直角.若至=1百米，則此步道的最大長度為一

百米.

/|

參考答案:

1.C

【分析】將圓臺補(bǔ)成圓錐，則羽毛所在曲面為大圓錐的側(cè)面截去一個小圓錐的側(cè)面所得，求出小圓錐的母

線長后可得展開圖圓心角.

【詳解】將圓臺補(bǔ)成圓錐，則羽毛所在曲面為大圓錐的側(cè)面截去一個小圓錐的側(cè)面所得，

X1

設(shè)小圓錐母線長為X,則大圓錐母線長為x+6,由相似得三=即x=3,

x+63

回可估算得球托之外羽毛所在的曲_面_的展開圖的圓心角為小2兀?1=三27t

2.C

【分析】先求出C￡?=60兀cm，AB=20;icm，進(jìn)而求得梅花磚雕的側(cè)面積及扇環(huán)A5CD的面積可得該梅花磚

雕的表面積.

【詳解】

13

D

\

?、\\

?\I

d-B------------c

延長D4與CB交于點(diǎn)。.由CD=3AB，AD=80cm,得Q4=40cm,OD=120cm.

因?yàn)镃D所對的圓心角為直角，所以8=60兀cm，AB=207icm.

所以該梅花磚雕的側(cè)面積S惻=6(co+AB+AO+8C)=480兀+960(cm12),

2

扇環(huán)ABCD的面積為[(兀x1202_兀x402)=32007t(cm),

貝U該梅花磚雕的表面積黑面積=480兀+960+2x3200；!=68807t+960(cm2).

故選：C.

3.AC

【分析】根據(jù)三角形面積公式可判斷A；由扇形面積公式可判定B；S四邊形加速=$2”+$人,根據(jù)三角形

面積公式即可判斷C；S四邊形切片=5AAO4+SAW,借助三角函數(shù)恒等式化簡即可判斷D.

【詳解】由題意，得圓的半徑廠=1,ZAOPi=a,AAOP=a-p.

對于A,由a=—,P=—,得N&OP=/3-(a-/3)=2/3—a=—,

346

1TT1

貝=^xlxlxsinz=:，故A正確；

264

對于B,當(dāng)尸時，因?yàn)?g—B=

o366

所以扇形0Al的面積S=[XFX12=2,故B錯誤；

2612

7T11

對于C,當(dāng)=a時,S四邊形3pA=S^OAP+%期「=]Xlxlxsin(?！?

1.，兀兀)12+s/6—A/2,,Trfe

=-sin-------+-=--———,故C正確；

2(34)48

對于D,§四邊形0相片=^AACWJ+Szxqoq

=；xlxlxsin/+；xlxlxsin(a-/)=gsin/+gsin(a-/),

由a=5，得§四邊形0M6=g‘in'+Jsin[g■一廣

1.f-)1).7C萬兀.d

=—sinp+—Isin—cosp-cos—smp\

14

1.11.1.兀

=—smp+——cosp=——sinp+——cosp=—sinp+—\,

442、222I3）

所以當(dāng)〃+?=g,即〃時，鼠邊形出4取得最大值，為:，故D錯誤.

326/

故選：AC

4.BD

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的定義以及弧長公式判斷AB；設(shè)/時刻點(diǎn)A與點(diǎn)8重合，求出

冗

則^=1+2E（左eZ）可以判斷CD.

【詳解】由題意，2s末時，射線08逆時針旋轉(zhuǎn)了4rad,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（cos4,sin4）,A錯;

點(diǎn)A的初始位置為2s后，射線。4逆時針旋轉(zhuǎn)了2rad,

則乙403=4-（2+。=2-1,所以劣弧AB的長為24，B對；

設(shè)/時刻點(diǎn)A與點(diǎn)3重合，貝lJ2/T=/=1+2E（左eZ）,

JT7

令,+2配=5兀=>左右Z,所以在51s末時，點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合，C錯；

TTTT

由C知，/=1時，點(diǎn)A與點(diǎn)B第一次重合，此時射線。4逆時針旋轉(zhuǎn)了；，

射線08逆時針旋轉(zhuǎn)了g,可得A與點(diǎn)2重合于1cos^,sin與），

此時點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-g,咚）.D對，

故選：BD.

5.1弧度

【分析】根據(jù)弧度的定義求解即可.

【詳解】圓的內(nèi)接正六邊形的邊長等于圓半徑，弧長等于半徑的弧所對圓心角為1弧度角.

故答案為：1弧度.

2

【分析】設(shè)半圓步道直徑為尤百米，連接A瓦3E,借助相似三角形性質(zhì)用尤表示CE,結(jié)合對稱性求出步道

長度關(guān)于無的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.

【詳解】設(shè)半圓步道直徑為無百米，連接AE,BE,顯然/AE8=90,

由點(diǎn)。為線段鉆,8的中點(diǎn)，得兩個半圓步道及直道CE,DF都關(guān)于過點(diǎn)。垂直于A3的直線對稱，

貝UAC=L-X,BC=L+無，又CEJ.AB,則RtACE回RtVECB,有CE2=AC3C,

22

15

即有DF=CE=,因止匕步道長f（x）=2j；—J+也=Ji—4/+口,0<x<1,

4x7t

求導(dǎo)得小）=一；^?+兀'由小）=°'得x=^7Z'

71711

當(dāng)°<X</2時,f'（x）>0,函數(shù)”x）遞增，當(dāng)/2〈尤<7時,/（幻<0,函數(shù)/（X）遞減,

2771+42卜+42

兀2

7171

因此當(dāng)戶主工時'/⑴-1-4(-)2

27777+2^/7742

所以步道的最大長度為近土上百米.

2

故答案為：

2

反思提升：

應(yīng)用弧度制解決問題時應(yīng)注意:

（1）利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.

⑵求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

（3）在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.

【考點(diǎn)3】三角函數(shù)的定義及應(yīng)用

一、單選題

TT

1.（2024?湖北?模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，繞原點(diǎn)將x軸的正半軸逆時針旋轉(zhuǎn)角a（0<c<1）交單位圓于A

點(diǎn)、順時針旋轉(zhuǎn)角"：<尸<今交單位圓于B點(diǎn)，若A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為與，且Q4B的面積為變，則8點(diǎn)的縱

42134

坐標(biāo)為（）

A.一3B一.C.一述D.一述

2262613

2.（2024?新疆烏魯木齊?二模）已知角。（0。<。<360。）終邊上A點(diǎn)坐標(biāo)為（sin310o,cos310。），則。=（）

A.130°B.140°C.220°D.230°

二、多選題

3.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）下列命題正確的是（）

A.。：〃。是第二象限角或第三象限角〃，9：〃costz<0〃，則夕是4的充分不必要條件

B.若。為第一象限角，則c°s。+sine=坐

Vl+cos2acos2a2

C.在;.ABC中，若tanA-tan3>l,則ASC為銳角三角形

16

D.已知且cos2a則tane=^——

I4j32

4.（2024?河北保定?二模）一般地，任意給定一個角aeR,它的終邊。尸與單位圓的交點(diǎn)尸的坐標(biāo)，無論

是橫坐標(biāo)x還是縱坐標(biāo)y,都是唯一確定的，所以點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)X、縱坐標(biāo)y都是角。的函數(shù).下面給出這些

函數(shù)的定義：

①把點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)y叫作a的正弦函數(shù)，記作sine,即丫=$也。；

②把點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)尤叫作a的余弦函數(shù)，記作cosa,即無=cosa；

③把點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)y的倒數(shù)叫作a的余割，記作csca,即:=csca；

④把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)龍的倒數(shù)叫作a的正割，記作seca,即工=sectz.

C.函數(shù)〃x）=secx的定義域?yàn)樽骵Z}

D.sec2a+sin2a+csc26z+cos2a>5

三、填空題

5.（2024?全國，模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，若角a-1的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為x軸非負(fù)半軸，終邊經(jīng)

過點(diǎn)P（—3,—4）,貝卜2?2二+三）=.

3

6.（2023?江西贛州?二模）已知。為銳角，滿足siYe+sinOcose-3cos,貝！Jtan9=.

參考答案：

1.B

【分析】利用三角函數(shù)定義求出sin%cosa,利用三角形面積公式求出sin（a+月），進(jìn)而求出。+尸，再利用

差角的正弦求出sin3即可得解.

【詳解】由A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為*得sina="cosa=］顯然%戊吟

17

而SA0B=gx1x1xsin(a+尸)=,即sin(a+0=,又:</<^，

因止匕乙<。+/?<兀，a+P=-,有￡=至一a,

244

sin/7=sin(--a)=(cos6z+sin?)=—x(—+—)=IZ2/E?顯然j5點(diǎn)在第四象限，

422131326

所以5點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-小旦.

26

故選：B

2.B

【分析】先確定角a的終邊所在的位置，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及商數(shù)關(guān)系即可得解.

【詳解】因?yàn)閟in310°<0,cos310°>0,

所以角a的終邊在第二象限，

cos310。cos(360°-50°)cos50°

又因?yàn)閠ane=

sin310°sin(360°-50°)-sin50°

cos(140°-90°)sin140°

=tan140°

-sin(140°-90°)cos140°

且0。<夕<360。，

所以a=140。.

故選：B.

3.ACD

【分析】對A,根據(jù)充分，必要條件的概念判斷；對B,利用二倍角余弦公式化簡求解；對C,將條件式切

化弦結(jié)合三角變換求解判斷；對D,利用二倍角余弦公式化簡條件式，再弦化切求解.

【詳解】對于A,若a是第二象限角或第三象限角，貝Ucosa<0.若cosa<0,取c=7i,cosa=-1<0,

此時a不是第二象限角或第三象限角，則P是4的充分不必要條件，故A正確；

對于B,由于a為第一象限角，貝i]cosa>0,sina>0,

cosasinacosasina

J1+cos2aJl-cos2aVl+2cos2a-lJl-(l-Zsi/a)

coscrsinar-,,…1

=nr.=，故B車日厭；

V2coscrV2sma

jT4H，八sinA-sinBsinA-sinB-cosA-cosB八-?,

對于C,在ABC中，若tanA-tan3=-------------->14,則-------------------->0,所rr以

cosAcosBcosA?cosB

-cos(A+B)_cosC

->u,

cosAcosBcosAcosB

故cosA-cosacosC>0,所以cosA>0,cosB>0,cosC>0,故ASC為銳角三角形，故C正確；

18

對于D,由cos2a=cosasina_1tana=@,所以3—3tan2a=7^+7^tan2°,貝！J

cosa+sina1+tana3

3-75_(3-^)2

tan2a=

3+#)4

知tana=-——，故D正確.

2

故選：ACD.

4.ABD

【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)及余割正割的定義逐一判斷即可.

5?！?_/?

【詳解】CSC]=-=—A正確;

sin——

4

coscr?seca=costz---=1,B正確；

cosa

函數(shù)/(%)=secx的定義域?yàn)椴纷驟Z：,C錯誤;

2.2221II1I4

seca+sma+esca+cosa=l-\-----,——i------=l-\---------,------^―=1+—,―25,

cosasinasincrcosasin2a

當(dāng)sin2tz=±1時，等號成立，D正確.

故選:ABD.

24

5.——

7

【分析】先利用三角函數(shù)的定義得到tan[a-5,再利用倍角公式和誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得tanpa+^J.

【詳解】由三角函數(shù)的定義，得