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文檔簡介

專題10指數(shù)與指數(shù)函數(shù)(新高考專用)

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................8

【考點1】指數(shù)累的運算......................................................8

【考點2]指數(shù)函數(shù)的圖象及應用..............................................12

【考點3】指數(shù)函數(shù)的性質及應用..............................................17

【分層檢測】...............................................................22

【基礎篇】.................................................................22

【能力篇】.................................................................29

【培優(yōu)篇】.................................................................33

考試要求:

1.理解有理數(shù)指數(shù)嘉的含義,了解實數(shù)指數(shù)嘉的意義,掌握指數(shù)嘉的運算性質.

2.通過實例,了解指數(shù)函數(shù)的實際意義,能用描點法或借助計算工具畫出指數(shù)函數(shù)的圖象.

3.理解指數(shù)函數(shù)的單調性,特殊點等性質,并能簡單應用.

知識梳理

1.根式的概念及性質

n

⑴概念:式子、打叫做根式,這里〃叫做根指數(shù),。叫做被開方數(shù).

⑵①負數(shù)沒有偶次方根.

n

②0的任何次方根都是0,記作訴=。.

n

③(g)"=W(〃GN*,且〃>1).

④為大于1的奇數(shù)).

n._[a,

⑤而=|a|=《八(〃為大于1的偶數(shù)).

—g,〃<0

2.分數(shù)指數(shù)幕

m打?----

規(guī)定:正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)累的意義是"=應(。>0,m,"GN*,且〃>1);正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)

m1

易的意義是相:=’~(。>0,m,〃GN*,且〃>1);0的正分數(shù)指數(shù)易等于0;0的負分數(shù)指數(shù)累

沒有意義.

3.指數(shù)幕的運算性質

實數(shù)指數(shù)累的運算性質:aras=ar+s-,(陵)$=貯;(abY=a'br,其中a>0,b>0,r,s@R.

4.指數(shù)函數(shù)及其性質

⑴概念:函數(shù)y=〃(a>0,且aWl)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,定義域是R.

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質

a>\0<a<l

二】

圖象

i左

定義域R

值域(0,+8)

過定點(0,1),即x=0時,y=l

性質

當x>0時,y>l;當x<0時,y>l;

2

當x<0時,0<y<l當x>0時,0<y<l

在(一8,+8)上是增函數(shù)在(一8,+8)上是減函數(shù)

丁=〃與的圖象關于y軸對稱

I常用結論

1.畫指數(shù)函數(shù)y=〃(a>0,且aWl)的圖象,應抓住三個關鍵點:(1,a),(0,1),[-1,5).

2.指數(shù)函數(shù)丁=或0>0,且aWl)的圖象和性質跟。的取值有關,要特別注意應分與0<a<l

來研究.

3.在第一象限內,指數(shù)函數(shù)丁=〃3>0,且aWl)的圖象越高,底數(shù)越大.

真題自測

一、單選題

1.(2023?全國?高考真題)設函數(shù)/(*)=2中甸在區(qū)間(0,1)上單調遞減,則。的取值范圍是()

A.(—0,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+co)

2.(2。23?全國?高考真題)已知/(、)=為是偶函數(shù)’則"()

A.-2B.-1C.1D.2

3.(2023?全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=e3:記"/三,b=f%,c=f三,則(

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

4.(2022?全國?高考真題)已知9加=10,〃=10"—ll,b=8”—9,貝!J()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

5.(2022?全國?高考真題)設。=0.1e叫6=g,c=-ln0.9,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

6.(2021?全國?高考真題)下列函數(shù)中最小值為4的是()

?.?4

A.y=x9+2x+4B.y=sinX\+T~.—?

z|sinx\

4

C.y=2x+229~xD.y=lnx+—

Inx

7.(2023?北京?高考真題)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+8)上單調遞增的是()

3

A./(尤)=-lnxB./(x)=±

2

C./(%)=--D./(%)=3I%-11

X

8.(2023?天津?高考真題)設〃=1.0產5力=1.0產6,0=0.6。5,則。也。的大小關系為()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

參考答案:

1.D

【分析】利用指數(shù)型復合函數(shù)單調性,判斷列式計算作答.

【詳解】函數(shù)>=2,在R上單調遞增,而函數(shù)〃X)=2MA")在區(qū)間(0,1)上單調遞減,

2n

則有函數(shù)丁=*5-°)=5-當2一幺在區(qū)間((),1)上單調遞減,因此21,解得。22,

242

所以。的取值范圍是[2,+oo).

故選:D

2.D

【分析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.

【詳解】

因為仆)=:為偶函數(shù),則“X)-〃-)=圣-"=#二口=。,

e—1\\,e"_]e以—]Q—1

又因為X不恒為O可得e-e"=o,即e,=e(〃-W

則x=(a_l)x,即1=a—l,解得a=2.

故選:D.

3.A

【分析】利用作差法比較自變量的大小,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性及二次函數(shù)的性質判斷即可.

【詳解】令g(x)=-(x-l)2,則g(x)開口向下,對稱軸為尤=1,

因為當一1一1-y-="丁一M(A/6+V3)2-42=9+672-16=672-7>0,

gr-pi1f1a+64nnV6G

所以----1-1-------=------------------>0,Bp------1>1--

2(2)2222

4

由二次函數(shù)性質知g件)<g(當,

因為1—1—+—42=8+4\/3—16=4\/3—8=4(^/3—2)<0,

即乎所以g(日)>g(#),

又>=6、為增函數(shù),故.<C<〃,即6>C>4.

故選:A.

4.A

【分析】法一:根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調性即可知m=log910>l,再利用基本不等式,換底公式

可得機>lgH,10&9>根,然后由指數(shù)函數(shù)的單調性即可解出.

【詳解】[方法一]:(指對數(shù)函數(shù)性質)

由9-0可得加-。=需>1,而lg91gH<]比詈'T等卜Li,所以懸,

即機>lgll,所以a=l(r_11>10段1_11=0.

又Ig81gio<[g8;gl。)=(等)<(lg9)2,所以皆>守,即1叫9>加,

所以匕=8"'—9<8|喻9—9=0.綜上,a>Q>b.

[方法二]:【最優(yōu)解】(構造函數(shù))

由9"'=10,可得根=log910w(l,1.5).

根據(jù)a,b的形式構造函數(shù)/(x)=x"'-x-l(x>l),則((尤)=欣7-1,

令/'(x)=0,解得%=加占,由根=log910e(l,1.5)知1e(0,l).

Ax)在(1,依)上單調遞增,所以了(10)>/(8),即a>b,

又因為7(9)=9隰|°一10=0,所以。>0>6.

故選:A.

【點評】法—:通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調性比較,方法直接常用,屬于通性通法;

法二:利用。,。的形式構造函數(shù)/(x)=W-x-l(x>l),根據(jù)函數(shù)的單調性得出大小關系,簡單明了,是該

題的最優(yōu)解.

5

5.C

【分析】構造函數(shù)f(x)=ln(l+x)-x,導數(shù)判斷其單調性,由此確定a,b,c的大小.

【詳解】方法一:構造法

1Y

設/(x)=ln(l+x)—x(x>—1),因為/(x)=------1=------,

1+x1+x

當?!?一1,0)時,f\x)>0,當%£(0,+8)時/'(x)<o,

所以函數(shù)/(%)=ln(l+X)-%在(0,+8)單調遞減,在(-1,0)上單調遞增,

所以/c1)</(0)=0,所以In弓一(<0,故]>111號=一1110.9,即6>C,

191Q--I-L1

所以了(一啟)<“0)=0,所以In^+^cO,故2<ei。,所以工/。<上,

10101010109

故a<6,

設g(x)=xeX+ln(l-元)(0<x<l),則ex+—+!

令h(x)=ex(x2—1)+1,h\x)=ex(x2+2x—1),

當0<尤<忘-1時,/?'。)<0,函數(shù)/7。)=/(丁一1)+1單調遞減,

當夜-1<X<1時,〃'(無)>0,函數(shù)坂》)=/。2-1)+1單調遞增,

又〃(0)=0,

所以當0<x<0-1時,心)<0,

所以當0<x<應-1時,g'(x)>0,函數(shù)g(尤)=xe*+ln(l-x)單調遞增,

所以g(01)>g(0)=0,即0」e〃>—In0.9,所以

故選:C.

方法二:比較法

解:a=O.le01,b=-^~,c=-ln(l-0.1),

1—0.1

①lntz-lnZ>=0.1+ln(l-0.1),

令/(-^)=x+ln(l-x),xe(0,0.1],

1—x

貝IJf\x)=\--=--<0,

1-x1—x

故f(x)在(0,0.1]上單調遞減,

可得/(0-1)</(0)=0,即]na-lnb<0,所以a<b;

(2)d!-c=O.leol+ln(l-O.l),

令^(x)=xex+ln(l—x),xG(0,0.1],

6

i,/\尤%1+--1

貝mi!Jg(x)=xe+e-----=-------------,

')\-x1-x

令k(x)=(l-^x)(l-x)ex-1,所以kr(x)=(l-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1]上單調遞增,可得左(%)>左(0)>。,即g\x)>0,

所以gO)在(。。1]上單調遞增,可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以

故c<a<b.

6.C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質可判斷A選項不符合題意,再根據(jù)基本不等式〃一正二定三相等〃,即可得出

反。不符合題意,C符合題意.

【詳解】對于A,^=X2+2X+4=(X+1)2+3>3,當且僅當尤=-1時取等號,所以其最小值為3,A不符合

題意;

對于B,因為0<kinx|vi,y=binx|+gjN2a=4,當且僅當卜inx|=2時取等號,等號取不到,所以其

最小值不為4,B不符合題意;

對于C,因為函數(shù)定義域為R,而2、>0,y=2'+22T=2工+222"=4,當且僅當丁=2,即x=l時取

等號,所以其最小值為4,C符合題意;

對于D,y-Inx+-^―,函數(shù)定義域為(0,1)(1,+co),而InxeR且InxwO,如當lnx=-l,v=-5,D不符

合題意.

故選:C.

【點睛】本題解題關鍵是理解基本不等式的使用條件,明確"一正二定三相等"的意義,再結合有關函數(shù)的性

質即可解出.

7.C

【分析】

利用基本初等函數(shù)的單調性,結合復合函數(shù)的單調性判斷ABC,舉反例排除D即可.

【詳解】

對于A,因為y=lnx在(0,+e)上單調遞增,y=-x在(0,+<?)上單調遞減,

所以/(x)=-lnx在(0,+8)上單調遞減,故A錯誤;

對于B,因為y=2]在(0,+“)上單調遞增,y=B在(0,+。)上單調遞減,

7

所以"x)=:在(0,+8)上單調遞減,故B錯誤;

對于C,因為y=g在(0,+8)上單調遞減,y=-%在(0,+?>)上單調遞減,

所以〃無)=-^住(0,+8)上單調遞增,故C正確;

對于D,因為d=39=3:=VL〃1)=捫=3。=1,〃2)=尹=3,

顯然"力=3斤”在(0,+8)上不單調,D錯誤.

故選:C.

8.D

【分析】根據(jù)對應幕、指數(shù)函數(shù)的單調性判斷大小關系即可.

【詳解】由y=在R上遞增,則“=1.0產5<匕=].0產6,

由y=尤。5在[0,+8)上遞增,貝Ua=1.01。5>c=O.605.

所以6>a>c.

故選:D

卬考點突破

【考點1】指數(shù)基的運算

一、單選題

1.(2022?重慶九龍坡?模擬預測)雷達是利用電磁波探測目標的電子設備.電磁波在大氣中大致沿直線傳

播.受地球表面曲率的影響,雷達所能發(fā)現(xiàn)目標的最大直視距離

L=J(R+%y-R。+Q(R+h2y_R。=J2R%+q+j2K4+/if(如圖),其中%為雷達天線架設高度,也為

探測目標高度,R為地球半徑.考慮到電磁波的彎曲、折射等因素,R等效取8490km,故R遠大于4,4.假

設某探測目標高度為25m,為保護航母的安全,須在直視距離412km外探測到目標,并發(fā)出預警,則艦載

預警機的巡航高度至少約為()

(參考數(shù)據(jù):-2x8.4914.12)

8

雷達直視距離

A.6400mB.8100mC.9100mD.10000m

2.(2024?廣東深圳一模)已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù),在區(qū)間(0,+“)上單調遞增,且對任意為,三,

均有,(卒2)="芯)〃々)成立,則下列函數(shù)中符合條件的是()

A.y=ln|x|B.y=x3C.y=2忖D.J=|x|

二、多選題

3.(2023?云南曲靖?模擬預測)若實數(shù)滿足2,+2陽=1,則()

A.無<0且><TB.x+y的最大值為-3

umr的最小值為7口.[出'11卜。

4.(22-23高一上?江蘇蘇州?階段練習)下列說法正確的是()

A.若且%+y>4,則x,y至少有一個大于2

B.V%£R,=X

C.若2<Z?<4,貝?。菀?<2?—6<4

D.正+3+不的最小值為2

三、填空題

5.(2023?黑龍江齊齊哈爾?一模)請寫出滿足方程3,-]=log5y的一組實數(shù)對(x,y):.

6.(2023?湖北武漢?模擬預測)已知實數(shù)。,b滿足4"+2a=3,log?炳斤+6=,,貝|。+萬6=

參考答案:

1.C

【分析】根據(jù)題意,列出關于"的方程,然后求解即可.

【詳解】根據(jù)題意知,L=412km,R=M90km,h2=0.025km,

由乙=J(R+、)2_R2+J(R+1)2_R2=Q2R%+h;+小2桃+后,

9

因為R遠大于九,h2

0412=7(8490+/?!)2-84902+7(8490+0.025)2-84902

X0x84909+72x8490x0.025?41.2x+20.6,

角軍得%?9.03km,

團艦載預警機的巡航高度至少約為9100m.

故選:C

2.D

【分析】由指數(shù)、對數(shù)運算性質結合函數(shù)單調性、奇偶性定義逐一判斷每個選項即可求解.

【詳解】對于A,/(^)=ln|.iqx,|=ln|jq|+ln|x2|=/(^)+/(x2),故A錯誤;

對于B,/(-I)=-1=故y=d不是偶函數(shù),故B錯誤;

對于C,〃王)〃尤2)=盧2聞=沙+引=〃占+々),故C錯誤;

對于D,/(再%)=,司=|再同=/(%)/(%),

又y=〃x)=k|定義域為全體實數(shù),它關于原點對稱,且/(r)=r|=W=〃x),

即函數(shù)F(尤)是定義域為R的偶函數(shù),

當x>。時,〃x)=x單調遞增,滿足題意.

故選:D.

3.ABD

【分析】對于AD,利用指數(shù)函數(shù)的性質即可判斷;對于BC,利用指數(shù)的運算法則與基本不等式的性質即可

判斷

【詳解】由2'+2陽=1,可得2刈=1--2x>0,2x=l-2y+1>0,所以x<0且"T,故A正確

可得12工+*4,,即2日94,=2-2,所以x+yW—3,

由2*+2V+1=1>2d2*-2-v+1=2,2*+刈,

24

當且僅當x=y+l=-l,即x=-l,y=--2時,等號成立,所以x+y的最大值為一3,故B正確;

好成佃+到32-2y2-2x1222.2無

討)=5++5+々-=9,

72X2yVT2y

當且僅當x=y=Togz3時,等號成立,

10

所以的最小值為9,故C錯誤;

因為2*=1-2yM,貝U2印=2(1-)=2-4-2\

所以Q)+QT.2,+,=2,+2向=2-3-2,<2,故D正確.

故選:ABD.

4.AC

【分析】根據(jù)逆否命題的真假性即可判斷A,根據(jù)哥的運算性質即可判斷B,根據(jù)不等式的性質即可判斷C,

根據(jù)對勾函數(shù)的單調性即可判斷D.

【詳解】對于A,若乙》均不大于2,則x<2,y42,貝|x+y<4,故x+y>4,則x,y至少有一個大于

2為真命題,故A正確,

x,x>0

對于B,B.VxeR,=國=,故B錯誤,

-x,x<n0

又寸于C,由1<a<3'f導2v2a<6,由2Vz2V4彳導—4<—h<—2,以—2<2cl-Z?<4,C正確,

對于D,由于,函數(shù)y=x+!在[石,也)單調遞增,故4rK+^百1473

+-r^——,D

xA/A+3A/33

錯誤,

故選:AC

5.[0,上)(答案不唯一)

【分析】運用對數(shù)式與指數(shù)式互化、根式與指數(shù)幕互化計算即可.

3

【詳解】ffl3^-|=log5y,

冏3X--

叼=52,

國令X=0得:y=53=華,即:(°,乎)?

故答案為:(0,當)(答案不唯一).

6.1

【分析】由log?師萬+6=:可變形為*&仍叫+bg2(3b+l)=3,故考慮構造函數(shù)〃x)=2,+x,判斷函數(shù)

的單調性,利用單調性化簡等式,由此可求。涉.

11

【詳解】因為log2班訂T+6=t,化簡得log2(3b+l)+(3b+l)=3.

所以2晦(3%)+卜氏(38+1)=3,又4。+2a=2?"+2a=3,

構造函數(shù)〃x)=2,+x,

因為函數(shù)y=2”,尸龍在(-?,+?)上都為增函數(shù),

所以函數(shù)尤)在(T?,y)上為單調遞增函數(shù),

由/。)=3,02?=log2(3Z?+1)=1,

11

解得a=],6=§,

3,,

0a+—b=l.

2

故答案為:1.

反思提升:

(1)指數(shù)幕的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)幕統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)幕,以便利用法則計算,還應注意:

①必須同底數(shù)幕相乘,指數(shù)才能相加.

②運算的先后順序.

(2)當?shù)讛?shù)是負數(shù)時,先確定符號,再把底數(shù)化為正數(shù).

(3)運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù),也不能既有分母又含有負指數(shù).

【考點2】指數(shù)函數(shù)的圖象及應用

一、單選題

V4.3T

1.(23-24高三下?山東濟南?開學考試)函數(shù)〃X)=尤:二的圖象大致為()

12

2.(23-24高一上?湖北?階段練習)函數(shù)y=log.無+4+2(4>0且中1)的圖象恒過定點小力),若

則見土里的最小值為()

m+n=b-k,n>0,

mn

c95

A.9B.8C.—D.一

22

二、多選題

3.(20-21高一上?山東濟南?期中)下列四個結論中,正確的結論為()

A.函數(shù)〃x)=x與函數(shù)g⑺二正相等

B.若函數(shù)f(x)=優(yōu)-。(。>0且的圖象沒有經過第二象限,貝必>1

C.當x?l,2)時,關于x的不等式尤2+〃優(yōu)+4<0恒成立,則實數(shù)m的取值范圍為旭<-5

D.若函數(shù)〃尤)=(無:?的最大值為最小值為機,則M+租=2

2

4.(2024?山東臨沂一模)已知函數(shù)〃x)=k:+a(aeR),則()

2—1

A.的定義域為(f,0)U(0,")

B.〃尤)的值域為R

C.當a=l時,〃尤)為奇函數(shù)

D.當4=2時,/(-x)+/(x)=2

三、填空題

5.(2024?云南曲靖?一模)如圖,在第一象限內,矩形ABCD的三個頂點AB,C分別在函數(shù)

的圖象上,且矩形的邊分別與兩坐標軸平行,若A點的縱坐標是2,則。點的

3

6.(2023?上海浦東新?模擬預測)設〃x)=x(一一+1.若函數(shù)y=/(x)的定義域為(—,1)(1,內),則關

于X的不等式4的解集為.

參考答案:

13

1.A

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性,再根據(jù)特殊值即可得到選項.

qX4TOXO-X

【詳解】由函數(shù)=〃f)=W^=/(x),令%2_1?o,解得犬w±l,

x—1x—1

則其定義域為{x|xH±l},關于原點對稱,

所以函數(shù)在定義內為偶函數(shù),排除c,D選項,因為/(o)=止30+3]°=-2,觀察選項可知,選A.

—1

故選:A

2.B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)性質求得左=11=3,然后妙用〃1〃可得.

【詳角軍】當%=1時,y=logql+ai+2=3,

所以,函數(shù)尸1叫%+。1+2過定點(1,3),得左=1,。=3,

所以,m+n=3-l=2,

因為機>0,n>0,

.9n+m911(91V、9n1/\

所以,-----=—i——=——I——\(m+n\=-10H----1—>—110+2v9I—8,

mnmn2\mnJ2(mnJ2)

9nm

當且僅當彳—機=—n,即相=不3,幾=15時,等號成立,

24乙

所以,蟲”的最小值為8.

mn

故選:B

3.BD

【解析】根據(jù)兩個函數(shù)的值域不同可判斷選項A不正確,根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象的特點可判斷選項B,分離參數(shù)

m得機<-x-:=g(x),只需mvgG).,即可判斷選項C,

f(x\=(X+.=2+1是一個奇函數(shù)加常數(shù)1,奇函數(shù)在定義域內最大值與最小值之和等于0可判斷選項

D,進而可得正確選項.

【詳解】對于選項A:函數(shù)〃x)=x值域為R,函數(shù)8(尤)=而值域為[。,內),所以〃x)=x與函數(shù)

g(x)=正不是相等函數(shù),故選項A不正確;

對于選項B:若函數(shù)〃力=/-。(。>0且"1)的圖象沒有經過第二象限,則[7(0)=/“<0,解得:0>1,

14

故選項B正確;

對于選項C:當xe(l,2)時,關于x的不等式尤2+皿+4<0恒成立,

—f—4-4-/、4/\

即能<------=-%__,令g(x)=-x__,貝lj〃Z<g(x)1rfJ

XXx

因為y=x+:在xe(l,2)單調遞減,所以g(x)=-了-。在xe(1,2)單調遞增,

所以g(x)>g⑴=-5,所以〃區(qū)-5,故選項C不正確;

對于選項D:函數(shù)/?(元)=(x+l)'=2+1,令〃(村=々則

V7%2+1x2+lx+1

“(一尤)=善[=-3),所以"3=言是奇函數(shù),所以〃(力而+〃(x)皿=°,

因此M+機=/?(x)1mx+l+/?(x)min+1=2,故選項D正確,

故選:BD

【點睛】思路點睛:不等式恒成立問題一般采用分離參數(shù)法求參數(shù)范圍

若不等式20(xe。)(%是實參數(shù))恒成立,將〃x,X)N0轉化為XNg(x)或;14g(x)(xeZ>)恒成

立,進而轉化為4?g(x)1mx或4Wg(x)1nhi(xeO),求g(x)的最值即可.

4.ACD

【分析】由分母不為零求出函數(shù)的定義域,即可判斷A,再分2、-1>0、-1<2,-1<0分別求出函數(shù)值的取

值范圍,即可得到函數(shù)的值域,從而判斷B,根據(jù)奇偶性判斷C,根據(jù)指數(shù)募的運算判斷D.

2

【詳解】對于函數(shù)4無)=;^—-+^(?eR),令2*-1W0,解得XWO,

所以“X)的定義域為(y,0)U(0,M),故A正確;

22

因為2”>0,當2'-1>0時彳^>。,所以k7+a〉。,

2'-12X-1

22

當_]<2》_]<0時_二<—2,所以7^~~-+a<—2+a,

2X-12X-1

綜上可得“力的值域為2+Q).(〃,y),故B錯誤;

當a=l時/(司=^^+1=|^,貝(一》)=|77±^=一|7±^=一/(%),

所以/(x)=歹二j+l為奇函數(shù),故C正確;

當“=2時〃到=7-+2=V沿-4-1+1,則V+1+i+瀉+1+1=2,

Z—1z—1乙—1乙—1

故D正確.

15

故選:ACD

【分析】根據(jù)指對幕函數(shù)的圖象及解析式求出A點的橫坐標、C點縱坐標,即可得。點的坐標.

【詳解】由題意,縱坐標都為2,則8點橫坐標為8,即C點橫坐標為8,

所以A點的橫坐標為(3y=工,C點縱坐標為(3)8=J_,

33381

由"CD為矩形及題圖知:。點的坐標是(,?

381

故答案為:(〈,上)

Jo1

6.[1,+8)

【分析】由函數(shù)〃尤)的定義域可求得實數(shù)。的值,可得出函數(shù)〃尤)的解析式,求出的值,然后利用

指數(shù)函數(shù)的單調性可解不等式/>/(?),即可得其解集.

【詳解】若aWO,對任意的xeR,2'=-?>0,則函數(shù)/'(力的定義域為R,不合乎題意,

所以,a>0,由可得xwlog?。,

因為函數(shù)y=的定義域為何尤*1},所以,log2a=l,解得a=2,

所以,/(x)=x(=+gj,貝lJ/(a)=/(2)=2(=+gj=2,

由可得2,N2,解得x21.

因此,不等式。工2/(〃)的解集為[1,+8).

故答案為:[L+℃).

反思提升:

1.對于有關指數(shù)型函數(shù)的圖象問題,一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手,通過平移、伸縮、

對稱變換得到.特別地,當?shù)讛?shù)。與1的大小關系不確定時應注意分類討論.

2.有關指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖象,數(shù)形結合求解.

【考點3】指數(shù)函數(shù)的性質及應用

一、單選題

1.(2024?黑龍江哈爾濱?一模)酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全,根據(jù)國家有關規(guī)

定:100mL血液中酒精含量達到20?79mg的駕駛員即為酒后駕車,80mg及以上認定為醉酒駕車.假設某

駕駛員喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后,他血液中酒精含

量會以每小時30%的速度減少,那么他至少經過幾個小時才能駕駛?()(結果取整數(shù),參考數(shù)據(jù):

16

lg3?0.48,lg7?0.85)

A.1B.2C.3D.4

2.(2024,湖北武漢?模擬預測)如果"工〈〃,記國為區(qū)間(。力)內的所有整數(shù).例如,如果2<%<3.5,則國=3;

11+擊,則

如果1.2(尤<3.5,貝!J㈤=2或3;如果2.3<xv2.7,貝1」國不存在.已知丁=1+-----1----+-

4/2折

()

A.36B.35C.34D.33

二、多選題

3.(2024?湖南?模擬預測)已知函數(shù)/(%)是定義域為R的偶函數(shù),g(x)是定義域為R的奇函數(shù),且

/⑺+g(x)=2e1函數(shù)廠(x)=〃2x)-2時⑺在[0,+動上的最小值為—11,則下列結論正確的是()

A./(x)=e^+e-xB.g(x)在實數(shù)集R單調遞減

C.m=3D.根=—3.3或一

4

?>1

4.(2021?遼寧葫蘆島?二模)設函數(shù)〃x)=王r旨,則下列選項正確的是()

A.〃x)為奇函數(shù)

B.的圖象關于點(0,1)對稱

C.的最小值為e+1

貝IJ1-1(左<1+工,且人工1

D.若=左有兩個不等實根,

“尤)Tee

三、填空題

5.(2022?上海普陀?一模)由于疫情防控需要,某地鐵站每天都對站內進行消毒工作,設在藥物釋放過程中,

站內空氣中的含藥量y(毫克/每立方米)與時間x(o<尤<;](小時)成正比.藥物釋放完畢后,y與X滿足

關系y=9八*(匕常數(shù),xzg).據(jù)測定,空氣中每立方米的含藥量降低到3毫克以下時,乘客方可進站,則

地鐵站應安排工作人員至少提前分鐘進行消毒工作.

17

6.(2021?上海松江?一模)從以下七個函數(shù):y=x,y=',y=Y,y=2*,y=k>g,x,v=sin尤,y=cosx中選取兩

x

個函數(shù)記為了(X)和ga),構成函數(shù)"x)=/(x)+g(x),若網(wǎng)X)的圖像如圖所示,則尸(無)=

參考答案:

1.D

【分析】設經過X個小時才能駕駛,貝40.6x100x(1-30%),<20,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質及對數(shù)的運算計算

可得.

【詳解】設經過尤個小時才能駕駛,則0.6x100x(1-30%)'<20即07<,

由于y=0.7,在定義域上單調遞減,x>1QO1=83lg>lg3-0.480.48

So-73lg0.7lg7-l0.85-10.15

他至少經過4小時才能駕駛.

故選:D.

2.B

【分析】根據(jù)給定條件,構造函數(shù)/(x)=]4x24(x>0),利用導數(shù)的幾何意義建立不等式,借助裂項相消法求

和及指數(shù)函數(shù)性質求出T的范圍即可得解.

【詳解】令函數(shù)/(%)=]4冗。4(兀>0),求導得:(%)=1-4-1

y[x

A2

則eN-)可視為函數(shù)/(x)=己芯4(x>0)在%〃處的切線斜率,

設A(〃,/(?)),B(n+l,f(n+1)),則直線AB的斜率=/("+1)-/(“)=f(n+1)-/(?),

n+l-n

14々々I

由導數(shù)的幾何意義有廣5+1)<做5<(5),因止匕刀一<彳[(幾+1)4—〃4]<

歹〃+13sjn

A333333331111

而[②_在)+(37-2區(qū))+(4%-3%)++(82*-8P)]<-r+-7=+-7=++-j==T,

3班也也咽

4-4-42

即有r>§(824—l)>§(814—l)=1x26=34+§,

1114-222

又T=語++痼<1+那If=35+§,因此34+產<35+二

所以[乃=35.

18

故選:B

42

【點睛】思路點睛:觀察題設中所給和式的結構特征,構造函數(shù)/(x)=]x4(x>0),利用導數(shù)導數(shù)的幾何意

義建立不等式是解題的關鍵.

3.AC

【分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得出關于/(x),g(x)的方程組,即可得/(x),g(x)的解析式,從而得選項A;結合函數(shù)

的單調性,可判斷選項B;根據(jù)的解析式,求出廠⑺的解析式,利用換元法,將所求函數(shù)轉化為二次

函數(shù)的最值問題,結合二次函數(shù)的對稱軸和二次函數(shù)的定義域,即可求出其最小值,從而解得徵=3,即可

判斷選項C與選項D.

【詳解】A,因為為偶函數(shù),所以/(一?=因(耳,又g(x)為奇函數(shù),所以g(-x)=-g(x),

因為〃x)+g(x)=2e'①,所以〃—x)+g(-x)=2eT,即〃%)-8(力=2尸②,

由①②得:/(x)=ex+e-\g(x)=e'-e-\所以選項A正確;

B,因為函數(shù)、=/,,=--£在R上均為增函數(shù),

故g(x)=e「eT在R上單調遞增,所以選項B錯誤;

C、D,因為“ZxNeZx+emXeX+eTj-Z,

所以尸⑺=(e*+b)2-2m(e,+e-x)-2,

又=e*+又N2Je,e-=2,當即x=0時等號成立,t=ex+e~xe[2,+<x>),

h(t^—t2-2mt—2=(t—m)2-m2-2(f>2),對稱軸f=/〃,

當〃?>2時,函數(shù)在[2,間上為減函數(shù),在(m,+8)上為增函數(shù),

則的)min='(租)=一加2-2=-11,解得根=3或機=-3(舍);

1Q

當心42時,咐在[2,+應上單調遞增,砥焉=碓)=2—4a=—11,解得:加=寧>2,不符合題意.

綜上加=3,所以選項C正確,D錯誤.

故選:AC.

4.BD

【分析】A由奇偶性定義判斷正誤,B判斷/(-元)+f(x)=2是否成立即可,C應用特殊值法有

f(-l)=l-e<e+l,即可判斷正誤,D由題設方程有兩個不等實根,令g(x)=("l)陰轉化為當無-1>0時,

19

在x>0上/i(x)=(k-l),-x有兩個零點;當左-1<0時

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