破解離心率問題之建立齊次式和幾何化練習(xí)題及解析答案

破解離心率問題之建立齊次式和幾何化一．選擇題（共9小題）1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點，直線與橢圓交于，兩點，且，則該橢圓的離心率為A． B． C． D．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一點（在軸上方），連結(jié)并延長交橢圓于另一點，且，若垂直于軸，則橢圓的離心率為A． B． C． D．3．設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點．圓與雙曲線的右支交于點，且，則雙曲線離心率為A． B． C． D．4．如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線與圓在第二象限的一個交點，點在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．5．設(shè)圓錐曲線的兩個焦點分別為，．若曲線上存在點滿足，則曲線的離心率等于A．或 B．或 C．2或 D．或6．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，軸，若，，成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為A． B． C． D．7．如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線與圓在第二象限的一個交點，點在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．8．如圖，已知雙曲線上有一點，它關(guān)于原點的對稱點為，點為雙曲線的右焦點，且滿足，設(shè)，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為A． B． C． D．9．已知在菱形中，，曲線是以，為焦點，且經(jīng)過，兩點的橢圓，其離心率為；曲線是以，為焦點，漸近線分別和，平行的雙曲線，其離心率為，則A． B． C．1 D．二．多選題（共1小題）10．已知橢圓，雙曲線．若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，下列結(jié)論正確的是A．橢圓的離心率 B．雙曲線的離心率 C．橢圓上不存在點使得 D．雙曲線上存在點使得三．填空題（共9小題）11．已知橢圓，雙曲線．若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓與雙曲線的離心率之積為．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，為橢圓的四個頂點，為其右焦點，直線與直線相交于點，線段與橢圓的交點為，且則該橢圓的離心率為．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，分別為橢圓的右、下、上頂點，是橢圓的右焦點．若，則橢圓的離心率是．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的右焦點，，分別為橢圓的上、下頂點，直線與橢圓的另一個交點為，且直線的斜率為，則該橢圓的離心率為．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點位橢圓的左頂點，點、在橢圓上，若四邊形為平行四邊形，且，則橢圓的離心率等于．16．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與圓相切，且與雙曲線的兩漸近線分別交于點，，若，則該雙曲線的離心率為．17．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線的半焦距，點是圓上一點，線段交雙曲線的右支于點，且有，，則雙曲線的離心率是．18．設(shè)圓錐曲線的兩個焦點分別為，，若曲線上存在點滿足，則曲線的離心率等于．19．已知雙曲線右支上有一點，它關(guān)于原點的對稱點為，雙曲線的右焦點為，滿足，且，則雙曲線的離心率的值是．

破解離心率問題之建立齊次式和幾何化參考答案與試題解析一．選擇題（共9小題）1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點，直線與橢圓交于，兩點，且，則該橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)右焦點，將代入橢圓方程可得，可得，，，，由，可得，即有，化簡為，由，即有，由，可得，可得，故選：．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一點（在軸上方），連結(jié)并延長交橢圓于另一點，且，若垂直于軸，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，設(shè)，，由垂直于軸可得，由，可得，設(shè)，由，可得，，解得，，將，代入橢圓方程可得，即，即有，則，故選：．3．設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點．圓與雙曲線的右支交于點，且，則雙曲線離心率為A． B． C． D．【解答】解：可設(shè)為第一象限的點，且，，由題意可得，①由雙曲線的定義可得，②由勾股定理可得，③聯(lián)立①②③消去，，可得：，即，則，故選：．4．如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線與圓在第二象限的一個交點，點在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，，由整理可得：，即，因為點是雙曲線與圓在第二象限的一個交點，所以，，所以點坐標(biāo)為，設(shè)點，則，，由可得，所以，因為點在雙曲線上，所以，整理可得：，所以，即，兩邊同時平方可得：，所以，即，，可得：或（舍，所以，故選：．5．設(shè)圓錐曲線的兩個焦點分別為，．若曲線上存在點滿足，則曲線的離心率等于A．或 B．或 C．2或 D．或【解答】解：由題意可設(shè)：，，．當(dāng)圓錐曲線為橢圓時，，．離心率；當(dāng)圓錐曲線為雙曲線時，，，離心率．綜上可知，圓錐曲線的離心率為或．故選：．6．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，軸，若，，成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：，，成等差數(shù)列，，由橢圓定義可得，，，，，，可得，所以橢圓的離心率；故選：．7．如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線與圓在第二象限的一個交點，點在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【解答】解：，，聯(lián)立，解得，在第二象限，，設(shè)，則，，由，得，，，，又，，化簡得：，即，解得：或（舍．可得．故選：．8．如圖，已知雙曲線上有一點，它關(guān)于原點的對稱點為，點為雙曲線的右焦點，且滿足，設(shè)，且，則該雙曲線離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【解答】解：在中，，，在直角三角形中，，可得，，取左焦點，連接，，可得四邊形為矩形，，，，，，故選：．9．已知在菱形中，，曲線是以，為焦點，且經(jīng)過，兩點的橢圓，其離心率為；曲線是以，為焦點，漸近線分別和，平行的雙曲線，其離心率為，則A． B． C．1 D．【解答】解：，，設(shè)，則，，橢圓是以，為焦點，且經(jīng)過，兩點的橢圓，，，得，則橢圓的離心率為，則雙曲線是以，為焦點漸近線分別和，平行的雙曲線，則雙曲線中，的斜率，即，則，即，得，則，則，故選：．二．多選題（共1小題）10．已知橢圓，雙曲線．若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，下列結(jié)論正確的是A．橢圓的離心率 B．雙曲線的離心率 C．橢圓上不存在點使得 D．雙曲線上存在點使得【解答】解：橢圓，雙曲線，若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，設(shè)橢圓的右焦點坐標(biāo)，則正六邊形的一個頂點，對于．將代入橢圓方程，得：，結(jié)合，可得，因為，解得，故正確；對于．把代入雙曲線的漸近線方程不妨設(shè)，，得，所以，則雙曲線的離心率，故正確；對于．當(dāng)點是短軸的端點時，最大，由，得，又，從而可得，，所以，則，即，所以．，故錯誤；對于．當(dāng)點在實軸的端點時，向量與向量夾角為，此時，．，故正確；故選：．三．填空題（共9小題）11．已知橢圓，雙曲線．若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓與雙曲線的離心率之積為．【解答】解：不妨設(shè)，，可設(shè)橢圓的焦點坐標(biāo)，，正六邊形的一個頂點，，由，即，解得橢圓的；雙曲線的漸近線的斜率為，即，可得雙曲線的離心率為．即有橢圓與雙曲線的離心率之積為．故答案為：．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，為橢圓的四個頂點，為其右焦點，直線與直線相交于點，線段與橢圓的交點為，且則該橢圓的離心率為．【解答】解：直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，．，，，把代入橢圓方程得：，即，化簡得：，，解得或（舍去）．故答案為：．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，分別為橢圓的右、下、上頂點，是橢圓的右焦點．若，則橢圓的離心率是．【解答】解：，，，，，，，，，化為：，．解得，故答案為：．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的右焦點，，分別為橢圓的上、下頂點，直線與橢圓的另一個交點為，且直線的斜率為，則該橢圓的離心率為．【解答】解：由題意可得，，，由直線的方程代入橢圓方程，消去，可得，，即為，，直線的斜率為，可得，即有，由，可得，即．故答案為：．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點位橢圓的左頂點，點、在橢圓上，若四邊形為平行四邊形，且，則橢圓的離心率等于．【解答】解：是與軸重合的，且四邊形為平行四邊形，，則、兩點的縱坐標(biāo)相等，、的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，、兩點是關(guān)于軸對稱的．由題知：四邊形為平行四邊形，則，可設(shè)，，，代入橢圓方程解得：，設(shè)為橢圓的右頂點，由于，四邊形為平行四邊形，則，對點：，解得，根據(jù)得，即有，，即．故答案為：．16．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與圓相切，且與雙曲線的兩漸近線分別交于點，，若，則該雙曲線的離心率為．【解答】解：法1（代數(shù)法）：因為與相切，所以直線斜率，由對稱性不妨考慮情形．又雙曲線的漸近線方程為，則垂直其中一條漸近線，故與一漸近線的交點，即為該漸近線與在第二象限的交點，可得，如圖，設(shè)中點為，由，即，則有，又，故，且為的中點，所以為的中點，則，三等分，由，得，由在另一漸近線上，即有，則，故離心率．法2（幾何法）：設(shè)，則，由題意易知，，在中，，又，則有，即，故離心率．法3（參數(shù)方程法）：直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），代入，可得對應(yīng)的參數(shù)又對應(yīng)的參數(shù)，由及與相切，可知，即，則，則有，故離心率．故答案為：．17．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線的半焦距，點是圓上一點，線段交雙曲線的右支于點，且有，，則雙曲線的離心率是．【解答】解：由，，可得，，由雙曲線的定義可得，在直角三角形中，，在直