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2023屆江西省新余市重點(diǎn)中學(xué)高三第一次統(tǒng)測(cè)(一模)數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若函數(shù)的圖象上兩點(diǎn),關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖象上,則的取值范圍是()A. B. C. D.2.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)()A.伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度3.若的二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為32,則正整數(shù)的值為()A.7 B.6 C.5 D.44.已知函數(shù)滿足,且,則不等式的解集為()A. B. C. D.5.已知函數(shù)的最大值為,若存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立,則的最小值為()A. B. C. D.6.已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù),則為A. B. C. D.7.已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.8.已知復(fù)數(shù),其中,,是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.9.已知復(fù)數(shù)滿足:(為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.10.已知函數(shù),則()A.1 B.2 C.3 D.411.將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官,每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名,則不同的分配方案種數(shù)是()A.18種 B.36種 C.54種 D.72種12.已知集合,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)為銳角,若,則的值為____________.14.已知實(shí)數(shù)、滿足,且可行域表示的區(qū)域?yàn)槿切?,則實(shí)數(shù)的取值范圍為______,若目標(biāo)函數(shù)的最小值為-1,則實(shí)數(shù)等于______.15.定義,已知,,若恰好有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.16.已知實(shí)數(shù),滿足約束條件,則的最小值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)求函數(shù)的最大值.18.(12分)新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來(lái),電子購(gòu)物平臺(tái)成為人們的熱門選擇.為提高市場(chǎng)銷售業(yè)績(jī),某公司設(shè)計(jì)了一套產(chǎn)品促銷方案,并在某地區(qū)部分營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行試點(diǎn).運(yùn)作一年后,對(duì)“采用促銷”和“沒有采用促銷”的營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)各選取了50個(gè),對(duì)比上一年度的銷售情況,分別統(tǒng)計(jì)了它們的年銷售總額,并按年銷售總額增長(zhǎng)的百分點(diǎn)分成5組:,分別統(tǒng)計(jì)后制成如圖所示的頻率分布直方圖,并規(guī)定年銷售總額增長(zhǎng)10個(gè)百分點(diǎn)及以上的營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)為“精英店”.(1)請(qǐng)你根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為“精英店與采用促銷活動(dòng)有關(guān)”;采用促銷沒有采用促銷合計(jì)精英店非精英店合計(jì)5050100(2)某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤(rùn),通過(guò)分析上一年度的售價(jià)(單位:元)和日銷量(單位:件)的一組數(shù)據(jù)后決定選擇作為回歸模型進(jìn)行擬合.具體數(shù)據(jù)如下表,表中的:①根據(jù)上表數(shù)據(jù)計(jì)算的值;②已知該公司成本為10元/件,促銷費(fèi)用平均5元/件,根據(jù)所求出的回歸模型,分析售價(jià)定為多少時(shí)日利潤(rùn)可以達(dá)到最大.附①:附②:對(duì)應(yīng)一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線C:()的焦點(diǎn)F在直線上,平行于x軸的兩條直線,分別交拋物線C于A,B兩點(diǎn),交該拋物線的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).(1)求拋物線C的方程;(2)若F在線段上,P是的中點(diǎn),證明:.20.(12分)試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式,其中M,N.21.(12分)已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若的周長(zhǎng)是否有最大值?如果有,求出這個(gè)最大值,如果沒有,請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(10分)已知函數(shù).(1)若,證明:當(dāng)時(shí),;(2)若在只有一個(gè)零點(diǎn),求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
由題可知,可轉(zhuǎn)化為曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn),可轉(zhuǎn)化為方程有兩解,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,分析即得解【詳解】函數(shù)的圖象上兩點(diǎn),關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上,即曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn),即方程有兩解,即有兩解,令,則,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故時(shí)取得極大值,也即為最大值,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以滿足條件.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn),考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.2.B【解析】
分析:根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷即可.詳解:將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),
得到再將得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到故選B.點(diǎn)睛:本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換,結(jié)合和的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.3.C【解析】
由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì),的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為計(jì)算.【詳解】的二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),掌握二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.4.B【解析】
構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè),則函數(shù)的導(dǎo)數(shù),,,即函數(shù)為減函數(shù),,,則不等式等價(jià)為,則不等式的解集為,即的解為,,由得或,解得或,故不等式的解集為.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式,考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,是難題.5.B【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的兩角和差公式得到,進(jìn)而可以得到函數(shù)的最值,區(qū)間(m,n)長(zhǎng)度要大于等于半個(gè)周期,最終得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)則函數(shù)的最大值為2,存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立,則區(qū)間(m,n)長(zhǎng)度要大于等于半個(gè)周期,即故答案為:B.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了三角函數(shù)的兩角和差的正余弦公式的應(yīng)用,以及三角函數(shù)的圖像的性質(zhì)的應(yīng)用,題目比較綜合.6.C【解析】
利用復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則即可得出.【詳解】z1z2=(cos23°+isin23°)?(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=.故答案為C.【點(diǎn)睛】熟練掌握復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵,復(fù)數(shù)問(wèn)題高考必考,常見考點(diǎn)有:點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算,復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算.7.B【解析】
由拋物線的定義轉(zhuǎn)化,列出方程求出p,即可得到拋物線方程.【詳解】由拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大,根據(jù)拋物線的定義可得,,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2x.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,拋物線方程的求法,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】試題分析:由,得,則,故選D.考點(diǎn):1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算;2、復(fù)數(shù)的模.9.A【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算求出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由,則,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.10.C【解析】
結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出,進(jìn)而可求出.【詳解】由題意可得,則.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】
把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【詳解】把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn),則不同的分配方案有種.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】
解不等式得出集合A,根據(jù)交集的定義寫出A∩B.【詳解】集合A={x|x2﹣2x﹣30}={x|﹣1x3},,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式與交集的運(yùn)算問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
∵為銳角,,∴,∴,,故.14.【解析】
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最小值,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】作出可行域如圖,則要為三角形需滿足在直線下方,即,;目標(biāo)函數(shù)可視為,則為斜率為1的直線縱截距的相反數(shù),該直線截距最大在過(guò)點(diǎn)時(shí),此時(shí),直線:,與:的交點(diǎn)為,該點(diǎn)也在直線:上,故,故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
根據(jù)題意,分類討論求解,當(dāng)時(shí),根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)無(wú)零點(diǎn),不合題意;當(dāng)時(shí),令,得,令,得或,再分當(dāng),兩種情況討論求解.【詳解】由題意得:當(dāng)時(shí),在軸上方,且為增函數(shù),無(wú)零點(diǎn),至多有兩個(gè)零點(diǎn),不合題意;當(dāng)時(shí),令,得,令,得或,如圖所示:當(dāng)時(shí),即時(shí),要有3個(gè)零點(diǎn),則,解得;當(dāng)時(shí),即時(shí),要有3個(gè)零點(diǎn),則,令,,所以在是減函數(shù),又,要使,則須,所以.綜上:實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù),指數(shù)函數(shù)的圖象和分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,還考查了分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,屬于中檔題.16.【解析】
作出滿足約束條件的可行域,將目標(biāo)函數(shù)視為可行解與點(diǎn)的斜率,觀察圖形斜率最小在點(diǎn)B處,聯(lián)立,解得點(diǎn)B坐標(biāo),即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域,該目標(biāo)函數(shù)視為可行解與點(diǎn)的斜率,故由題可知,聯(lián)立得,聯(lián)立得所以,故所以的最小值為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查分式型目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題,屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.【解析】
試題分析:由柯西不等式得試題解析:因?yàn)椋裕忍?hào)當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)成立.所以的最大值為.考點(diǎn):柯西不等式求最值18.(1)列聯(lián)表見解析,有把握;(2)①;②元時(shí)【解析】
(1)直接由題意列出列聯(lián)表,通過(guò)計(jì)算,可判斷精英店與采用促銷活動(dòng)是否有關(guān).(2)①代入表中數(shù)據(jù),結(jié)合公式求出;②由①中所得的線性回歸方程,若售價(jià)為,單價(jià)利潤(rùn)為,日銷售量為,進(jìn)而可求出日利潤(rùn),結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求最值.【詳解】解:(1)由題意知,采用促銷中精英店的數(shù)量為,采用促銷中非精英店的數(shù)量為;沒有采用促銷中精英店的數(shù)量為,沒有采用促銷中非精英店的數(shù)量為,列聯(lián)表為采用促銷沒有采用促銷合計(jì)精英店352055非精英店153045合計(jì)5050100因?yàn)橛械陌盐照J(rèn)為“精英店與采用促銷活動(dòng)有關(guān)”.(2)①由公式可得:所以回歸方程為②若售價(jià)為,單件利潤(rùn)為,日銷售為,故日利潤(rùn),解得.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.故當(dāng)售價(jià)元時(shí),日利潤(rùn)達(dá)到最大為元.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn),考查了線性回歸方程的求法,考查了函數(shù)最值的求解.在求函數(shù)的最值時(shí),常用的方法有:函數(shù)圖像法、結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析最值、基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法.其中最常用的還是導(dǎo)數(shù)法.19.(1);(2)見解析【解析】
(1)根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)在直線上,可求得的值,從而求得拋物線的方程;(2)法一:設(shè)直線,的方程分別為和且,,,可得,,,的坐標(biāo),進(jìn)而可得直線的方程,根據(jù)在直線上,可得,再分別求得,,即可得證;法二:設(shè),,則,根據(jù)直線的斜率不為0,設(shè)出直線的方程為,聯(lián)立直線和拋物線的方程,結(jié)合韋達(dá)定理,分別求出,,化簡(jiǎn),即可得證.【詳解】(1)拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,且該點(diǎn)在直線上,所以,解得,故所求拋物線C的方程為(2)法一:由點(diǎn)F在線段上,可設(shè)直線,的方程分別為和且,,,則,,,.∴直線的方程為,即.又點(diǎn)在線段上,∴.∵P是的中點(diǎn),∴∴,.由于,不重合,所以法二:設(shè),,則當(dāng)直線的斜率為0時(shí),不符合題意,故可設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線和拋物線的方程,得又,為該方程兩根,所以,,,.,由于,不重合,所以【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查拋物線的定義,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.20.y=2sin2x.【解析】
計(jì)算MN,計(jì)算得到函數(shù)表達(dá)式.【詳解】∵M(jìn),N,∴MN,∴在矩陣MN變換下,→∴曲線y=sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為y=2sin2x.【點(diǎn)睛】本題考查了矩陣變換,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.21.(Ⅰ);(Ⅱ)有最大值,最大值為3.【解析】
(Ⅰ)利用正弦定理將角化邊,再由余弦定理計(jì)算可得;(Ⅱ)由正弦定理可得,則,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得;【詳解】(Ⅰ)由得再由正弦定理得因此,又因?yàn)椋?(Ⅱ)當(dāng)時(shí),的周長(zhǎng)有最大值,且最大值為3,理由如下:由正弦定理得,所以,所以.因?yàn)?,所以,所以?dāng)即時(shí),取到最大值2,所以的周長(zhǎng)有最大值,最大值為3.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.22.(1)見解析;(2)【解析】
分析:(1)先構(gòu)造函數(shù),再求導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減,最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式;(2)研究零點(diǎn),等價(jià)研究的零點(diǎn),先求導(dǎo)數(shù):,這里產(chǎn)生兩個(gè)討論點(diǎn),一個(gè)是a與零,一個(gè)是x與2,當(dāng)時(shí),,沒有零點(diǎn);當(dāng)時(shí),先減后增,從而確定只有一個(gè)零點(diǎn)的必要條件,再利用零點(diǎn)存在定理確定條件的充分性,即得a的值.詳解:(1)當(dāng)時(shí),等價(jià)于.
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