《高等數(shù)學(xué)下冊(cè) 第3版》 習(xí)題及答案 劉金林 第8-12章 空間解幾-微分方程

習(xí)題解答

習(xí)題8.1

1.設(shè)向量/n=。+2)-3c,n=-2a-^3b-Ac,用。，dc表示

2m-3?.

解；2m—3n=2(a-\-2b-3c)-3(-2a+3%-4。)=3a-5bI6c

2.把A43C的邊3C四等分，分點(diǎn)依次是。，。2，。3,再把各分點(diǎn)與

點(diǎn)A連接.如果AB=c,BC=a,試用a,c表示向量〃A、D2A.D3A.

解：因?yàn)?C=Q,所以8D1=(,BD2

3a

=—,于是gA=-A〃=一(9+8〃)

/a、

=-(c+-),

4

同理D2A=-AD2=-(AB+BD2)=-(C+j)，

D3A=-AD,=_(43+股—節(jié).

3.用向量方法證明：二角形兩邊中點(diǎn)的連線平行與第二邊，且長(zhǎng)度為

第三邊的一半.

證明：設(shè)A8=c,AC=b,貝

2

A￡=-,于是

2

BC=AC—AB=b-c,

-bc11-----

DE=AE-AD=-----=-(b-c)=-BC,

2222

所以三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行與第三邊，且長(zhǎng)度為第三邊的一半.

4.指出下列各點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的哪個(gè)卦限

A(—1,2,3)；5(3,4,—2)；C(2,-4-3)；0(2-6,7).

解：4(—1,2,3)￡II；3(3,4,—2)EV；

C(2,Y,-3)￡VDI；D(2,-6,7)GIV.

5.指出下列各點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的位置

4-3,4,0)；8(0,1,-2)；C(0-3,0)；D(-2,0,0).

解：A(—3,4,0)￡x。y面；3(0,1,—2)￡yOz面；

C(0,-3,0)ey軸；￡>(-2,0,0)ex軸.

6.求點(diǎn)(a/,c)關(guān)于(1)各坐標(biāo)面；(2)各坐標(biāo)軸；(3)坐標(biāo)原點(diǎn)的

對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).

解：(1)各坐標(biāo)面：xOy面，(。,〃,一。)；y。z面，(-a,Z?,c)；zOx

面，(a,—b,c).

(2)各坐標(biāo)軸：x軸，(。,一匕,—c)；)，軸,(-a,b,-c)；z軸，(一心一b,c).

(3)坐標(biāo)原點(diǎn)：(—tz,—b,—c).

7.已知立方體的一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，三條棱在正的半坐標(biāo)軸上，若棱長(zhǎng)為

。，求它的其它各頂點(diǎn)的坐標(biāo).

解：如圖立方體在xOy面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為z

(0,0,0),m,o,o),(。,凡0),(0,?,0)；A]——

?

與xOy面平行的平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

Z

(0,0,67),(。,0,。)，(。,4,。)，(0,4,。)；J-------

X/

8.求平行于向量。=(5,-7,J7)的單位向量.

解：向量〃的單位向量為六，故平行于向量〃的單位向量為

同

其中同=j52+(—7)2+(S)2=9.

9.已知兩點(diǎn)=(2。1)、加2=(3,-45)，試用坐標(biāo)表達(dá)式表示句

量必加2及-3MM2.

解：M.M2=(3,-4,5)-(2,0,1)=(1,-4,4),

=-3(1,7,4)=(-3,12,-12)

10.求點(diǎn)(2,4,-5)到各坐標(biāo)軸的距離.

解：點(diǎn)到x軸的距離為為5)2=向;

點(diǎn)到)，軸的距離為隹+(-5)2=V29；

點(diǎn)到z軸的距離為A/22+42=275.

11.在yoz面上，求與三點(diǎn)4(2,1,2)、一(1,3,1)、。(0,-1,2)等距離的

點(diǎn).

解：設(shè)該點(diǎn)為(0,y,z),根據(jù)題意

222222

^2+(l-y)+(2-z)=Jl+(3-y)+(l-z),

yjl2+(1-^)2+(2-z)2=Q。?+(一1一y)~+(2一z)2,

解上述方程組，有)，=l,z=l,故所求點(diǎn)為：(0,1,1).

12.試證明以三點(diǎn)A(4,1,9)、8(10,7,6)、C(2,4,3)為頂點(diǎn)的三角形

為等腰直角三角形.

證明：利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算，可得

M寸=(10_4)2+(_]_1)2+(6_9)2=49,

|BC|2=(10-2)2+(-1-4)2+(6-3)2=98,

|C4|2=(4-2)2+(1-4)2+(9-3)2=49,

由于|A卻=|C4|,|BC|2=|A@+|C4『，故AA3C是等腰直角三如形.

13.設(shè)尸(4,0,2)、Q(3,—JS,3),計(jì)算向置尸。的模、方向余弦及方向

角.

解：向量PQ=(3—4,-V2-0,3—2)=(-1,-V2,1),

|PQ|二J(T)2+(_0)2+12=2,

1々夜1

所以COS6Z=——,COSp-----------,COS/=—；

222

24八3九71

a=—,8=—,/=—.

343

14.設(shè)三個(gè)力分別是耳=(2,1,6)、耳=(—5,2,0)、E=(l,—2,石)，

它們都作用于點(diǎn)尸(1,1,、6),合力為F=PQ,求：(1)點(diǎn)。的坐標(biāo)；(2)

尸。的大??；(3)尸。的方向余弦.

解：合力F為:

尸=BG=(2,1,石)+(-5,2,0)+(1,-2,75)=(-2,1,275)

(1)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(％,y,z),則

(%,Mz)-(1,1,V5)=#=(-2,1,275),

因此。的坐標(biāo)為(—1,2,36).

⑵閘T戶卜J(—2)2+12+(26尸=5,

212

(3)cosa=——,cosff=—,cosy=—f=,

55V5

15.設(shè)向量的方向余弦分別滿足(1)cos尸=0；(2)cosy=l；(3)

cos/?=cosy=0,那么這些向量與坐標(biāo)軸或坐標(biāo)面有什么關(guān)系？

解：(1)因?yàn)閏os〃=0,所以力=工，于是向量垂直于y軸，也就是

向量平行于zOx面.

(2)因?yàn)閏osy=1,所以/=0.于是向量平行于z軸正向，垂直于xOy面.

7T

(3)因cos〃=cosy=0,所以￡=7=,.于是向量既垂直于)，軸，又垂

直于z軸，亦即垂直于)，Oz面，從而向量平行于x軸.

16.設(shè)向量。與軸〃的夾角為30°,且其模是6,求〃在軸〃上的投影.

解：Prj“a-|a|cos^>=6cos=3^3

17.一向量的起點(diǎn)在點(diǎn)4(2,—3,7),它在工軸，y軸和z軸上的投影依

次為-2.4和6,求該向量的終點(diǎn)7?的坐標(biāo).

解：設(shè)終點(diǎn)8的坐標(biāo)為",y,z),根據(jù)題意有

x-2=-2

<y-(-3)=4,解得％=0,y=l,z=13,故3點(diǎn)為:(0,1,13).

z-7=6

18.設(shè)機(jī)=i—2/+5A,〃=22—3/—7上和0=7，+3)—44，求向

量〃=4機(jī)+3〃一。在工軸上的投影及在y軸上的分向量.

解：因?yàn)?/p>

a=47n+3n-p

=4(i-2j+5A:)+3(2i-3/—7A;)-(7i+3j—4A)

=3i-20j+3*

所以〃在x軸上的投影為3,在y軸上的分向量為-20j.

習(xí)題8.2

1.設(shè)a=2i+5j+Jfc,b=i—2j+5k,求

(1)。?方和。x6；(2)〃?(一3b)和3。x(—2b)；(3)a>〃夾角的

余弦.

解：(1)ah=2x1+5x(-2)4-1x5=-3,

ijk

axb=251=27i-9j-9k.

1-25

(2)a?(—3b)=—3a1=9,

3。x(-2ft)=-6(27i-9j-91)=-162i+54j+54*.

,，、、八ab-31

(3)*/cos0-~~~7=~/二—[—9

V22+52+l2712+(-2)2+52]()

2.設(shè)單位向量Q、b、。滿足a+b+c=(),求a-b+乃?c+c?a.

解：因?yàn)?。、》、c為單位向量，所以/=從=/=1,由〃+〃+c=0

有

0=(。+8+。)2=/+〃2+T+2(ab+bc+ca),

所以

…3

ab+bc+ca-——.

2

3.設(shè)向量a=i+j-4A,b=i-2j+2k,求

(1)。在》上的投影；(2)。在。上的投影.

解：(1)Prj8。二*lxl+lx(-2)-h(-4)x2_3

712+(-2)2+22

ab1X14-1X(-2)+(-4)X23nz

(2)Prj,b=-r-y=------/=—=--V2

同71+1+(-4)2

4.把質(zhì)量為100kg重的物體從(3,1,8)沿直線移動(dòng)到A/2(1，4,2),求

重力所作的功(長(zhǎng)度單位為n】，重力方向?yàn)閦軸負(fù)方向).

解：物體移動(dòng)的位移為=(1—3,4—1,2—8)=(—2,3,-6),

重力尸=(0,0,-100g),于是重力所作的功w二/?陷弧=600g.

5.設(shè)向量a=(3,5,-2),b=(2,l,4),若加+/而與z軸垂直，求4和

4的關(guān)系.

解：因?yàn)?/p>

Aa+他=4(3,5,-2)+4(2,1,4)=(34+2〃,54+〃,一2>1+4〃)，

z軸單位向量為（0,0,1）.若九1+/力與z軸垂直，則有

（-22+4//）-1=0,

因此2=2//.

6.己知”］（1,一3,4）、〃2（一2,1,-1）和知3（-3,-1,1）,求與MM；、

同時(shí)垂直的單位向量.

解：=（一3,4,-5）,M2M3=（-1,-2⑵,

ijk

M,M2XM2M.=-34-5=（-2,11,10）,

-1-22

于是與用1加2、同時(shí)垂直的單位向量

,（-2,11,10）（2112）

e=±-----n~:----=±I---==±--,?—,-.

MM2H必弧J（一2）2+112+1（）2I15153J

7.已知向量OA=8i+4j+A,OB=2i-2j+4,求的面積.

解：根據(jù)向量積的定義，可知三角形的面積

1------1——

S^AR=-OAOBsinZO=-OAxOB.又

△0A822

OAxOB=841=6i-6j-24k,

2-21

于是

SA府-6j—24*|=|府+(—6)2+(—24)2=.

8.設(shè)向量。=(2,3,-1)、b=(l,-2,3)和c=(2,l,2),向量d與。,b均

垂直，且在向量c上的投影為14,求向量d.

ijk

解：???axb=23-1=li-7j-lk,由題意可知

1-23

d=4(〃xb)=/l(7?—7)—7A:),(其中％為待定常數(shù))，又

.c,d2x72+1x(-7%)+2x(―72).42

Pr?d=-r-p=-----------/---------=14,由此得20=——

HVF7F7F7

所以d=一絲(7,—7,—7)=(-42,42,42).

7

9.*向量。=(9,14,16),b=(3,4,5),c=(1,2,2)是否共面?

91416

解：因?yàn)椋踑bc\=345=0,

122

所以。，九c三向量共面.

10.利用向量證明不等式

\cify+a2b2+1-\la\+?亞：+6+b；

其中％、%、生、，、①、久為任意實(shí)數(shù)，并說(shuō)明在何種條件下等號(hào)成

立.

證明：設(shè)a=（%,生，/）、b=（4,4,4）.由于a.b=M.8S。,

因此=|同例cos。］K同網(wǎng)

即,占+a2b2+a^\-J。；+a2+a；?J〃：+b；+〃；.

習(xí)題8.3

1.求過(guò)點(diǎn)(3,2,-5)且與平面3X一2)，+72-4=0平行于的平面

方程.

解：所求平面的法向量與平面3x—2y+7z—4=0一致為

〃二(3,-2,7).根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，得

3(x-3)-2(y-2)+7(z+5)=0,

即3x—2)，+7z+30=0.

2.求過(guò)點(diǎn)M(2,9,-6)且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)及點(diǎn)M的線段OM

垂直的平面方程.

解：因?yàn)?。例?2,9,-6),于是〃可取0M,根據(jù)平面的點(diǎn)法式

方程，得

2(%-2)+9(y-9)-6(z+6)=0,

即2x+9y—6z—121=0.

3.求過(guò)(2,-1,4)、(0,2,3)、(一1,3,-2)三個(gè)點(diǎn)的平面方程.

解：不妨假設(shè)M，加2，加3分別為(2,-L4)、(0,2,3)、(-1,3,-2),

因此所求平面的法向量可取〃=〃1知2XM}M.,而

M%=(—2,，一1)，MM=(—3,4,-6),

所以

ijk

n=-23-1=-14i-9j+A

-34-6

根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，所求平面的方程為

-14(x-2)-9(y+l)+l(z-4)=0,

即14x+9y-z-15=0.

4.指出下列各平面的特殊位置，并畫(huà)出圖形：

(1)y=0；(2)2x-5=()；

(3)3x-4^-12=0；(4)3x-y=0；

⑸y+2z=2；(6)x-2z=0；

(7)5x+6y-z=0

解：(1)表示xOz面；

(2)平行于yOz面的平面；

(3)平行丁z軸的平面;

(4)通過(guò)z軸的平面；

(5)平行于x軸的平面；

(6)通過(guò)y軸的平面；

(7)通過(guò)原點(diǎn)的平面.圖形(略).

5.求平面3x—4y+5z-12=0與三個(gè)坐標(biāo)面夾角的余弦.

解：平面3x—4y+5z—12=0的法向量”=(3,-4,5),rfffxOy.

yOz.xOz面的法向量分別為％=(0,0,1)、%=(1,0,0)、

%=(0,L0).因此與三個(gè)坐標(biāo)面夾角的余弦分別為

|3x0+(-4)x0+5xl|_V2

coscr22222

^3+(-4)+5->/0+0^+l-2

[3x]+Dx0+5xO|3yli

C°S-"2+(_4)2+5建#+0；+02

|3x0+(-4)xl+5x02V2

cos/=

732+(-4)2+52-V02+l2+02—

6.一平面平行于向量a=(2,3,-4)和力=(1-2,0)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

(1,0,-i)，求這平面方程.

解：所求平面的法向量可取“二〃義》，步以

ijk

n=23-4=-Si-4j-lk

1-20

根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，所求平面的方程為

-8(x-l)-4(y-0)-7(z+l)=0,

即8x+4y+7z—l=0.

7.求三個(gè)平面3x-z—6=0,x+y-l=0,x-3y-2z-6=0

的交點(diǎn).

解：三個(gè)平面的交點(diǎn)也就是下面方程組的解

3

x=一

3x-z-6=02

x+y-1=0.解得vy=——，

2

x-3y-2z-6=0

3

z=—

、2

3I3

故交點(diǎn)為

222

8.求下列特殊位置的平面方程：

(1)平行于yoz面且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2-5,3)；

解：(1)平行于yoz面的平面可設(shè)為/U+O=0,由于平面通過(guò)點(diǎn)

(2,-5,3),故

2A+D-0,

即O=—2A,

把上式代人所設(shè)方程，得

x-2=0.

(2)通過(guò)z軸和點(diǎn)(2,-4,1)；

解：(2)因?yàn)樗笃矫嫱ㄟ^(guò)z軸，必然平行于z軸，故。=0；又因?yàn)?/p>

平面通過(guò)原點(diǎn)，所以0=0.于是可設(shè)平面方程為

Ar+By=0,

由于平面通過(guò)點(diǎn)(2,-4,1),故

2/1-425=0,

即A=2B,

把上式代人所設(shè)方程，得

2x+y=0.

(3)平行于y軸且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(1-2,3)和(-6-2,7)；

解：(3)因?yàn)樗笃矫嫫叫杏?，軸，于是可設(shè)平面方程為

Ar+Cz+O=(),

由于平面經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(1,一2,3)和(-6-2,7),故

A+3C+O=0,

-6A+7C+O=0

47

即A=——D、C=——D,

2525

把上式代人所設(shè)方程，得

4x+7z-25=0.

9.求兩平面工+>-2+1=0與2%+2)，-22-3=0之間的距離.

解：在平面x+y-z+l=0上取一點(diǎn)(0,0,1),利用點(diǎn)到平面的距離

公式，得

d_|2xQ+2xQ-2xl-3|_5_573

百+2?+(-2)22A/36.

習(xí)題8.4

1.求過(guò)點(diǎn)(-1,2,5)且平行于直線上r—二1=V—27—3的直線方程.

1-3-1

解：所求直線的方向向量可取為(1,-3,-1),故由對(duì)稱式方程得到所求

直線為

x+1_j-2_z-5

~~T~-3

2.求過(guò)點(diǎn)6(2,3,1)和P2(3,-2,5)的直線方程.

解：因?yàn)橄蛄俊?=(1,-5,4)平行于所求直線，所以可取直線的方向

向量為［K,

故由對(duì)稱式方程得到所求直線為

x-2y—32-1

3.求直線1'的對(duì)稱式方程和參數(shù)方程.

2%+)，-2z+2=0

解：先求出直線上的一點(diǎn)(Xo，)'o，Zo).不妨取z0=l,代入直線方程

得

x-2y=Q

<2x+y=Q

解得/=0、%=0,即(0,0,1)是所給直線上的一點(diǎn).

下面再求直線的方向向量.由于兩平面的交線與這兩平面的法向量

/1,=(1,-2,1).々=(2，1，-2)都垂育，所以可取育線的方向向量為

s="x%=1-21=3i+4J+5A.

21-2

因此，所給直線的對(duì)稱式方程為

x-0_y-0_z-1

令口=2_，=二」二人得所給直線的參數(shù)方程為

345

x=3f,

<y=4t,

z=5t+l.

4.求過(guò)點(diǎn)(-1,3,-2)且與兩平面x—2y+3z—4=0和

3x+2y—5z+l=0平行的直線方程.

解：因?yàn)樗笾本€與兩平面平行，所以所求直線與兩平面的法向量

n,=(1,-2,3).n2=(3,2,—5)都垂直，故直線的方向向量為

s=n}xn2=1—23=2(2i+7j4-44)

32-5

因此，所給直線的對(duì)稱式方程為

x+1y—3z+2

274

L—>A-1y-5z+6.,x+2y-z+l=0

5.求直線L,：---=-----=-----與L、：的夾角.

1-321-x-y+z+2=0

解：直線乙的方向向量為4=(—3,2,1)?直線&的方向向量為

s="x%=l2-1=i-2j-3k

1-11

由兩直線的夾角公式，得

「冰?_|(-3)x1+2x(-2)+1x(-3)|_5

C0S—J(一3)2+22+/.J2+(_2y+(_3)2―1'

八5

6/=arccos—.

7

,3K+6y—32-8=0,,[^+2y-z-7=0,

6.證明直線1>與直線>平行.

2x—y—z=0[—2x+y+z—7=0

證明：直線右的方向向量為

36=-3(31+j+5k)；

Si="xn2=

2-1

直線G的方向向量為

Jk

$2=〃3X%=12-1=3i+j+5k

-211

直線G的方向向量對(duì)應(yīng)成比例，故兩直線平行.

3x4-y—z—13=0

7.求直線《‘與平面x—2y—z+3=0的夾角.

y+2z—8=0“

解：直線的方向向量為

ijk

s=n1xn2=31一l=3(i-2j+A)

012

平面的法向量為鹿=(1,—2,-1).由直線與平面的夾角公式，得

|lxl+(-2)x(-2)4-(-l)xl|2

sin(p=]~,'^==—,

/+(_2)2+(_1)2.2+(_2)2+『3

田.2

故69=arcsin—.

3

8.求過(guò)點(diǎn)(0,2,-1)且與直線\2x-y+3z-5=°垂直的平面方程.

x+2y-z+3=()

解：直線的方向向量為s可以看成平面的法向量〃，而

ijk

s=n]xn2=2-13=-5(i-j-k)

12-1

因此所求平面的方程為

l(x-0)-l(y-2)-l(z+l)=0,

即x-y-z+\=0.

9.求過(guò)點(diǎn)(3,1,-2)且通過(guò)直線一==￡的平面方程.

解：顯然點(diǎn)(4,-3,0)為直線上的點(diǎn)，也為平面內(nèi)的點(diǎn)，因此向量

a=(4,-3,0)-(3,1,-2)=(1,-4,2)

與向量》=(5,2,1)均垂直于所求平面的法向量〃，而

n=axb=1-42=-8i+9j+22A,

521

因此所求平面的方程為

-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0,

即8x-9y-22z-59=0.

10.確定下列每一組直線與平面的關(guān)系：

(1)上^二^^=口和x—3y-3z+4=0；

3-23

解：(1)直線方向向量為s=(3,-2,3),平面法向量〃二(1,-3,-3),

且

$力=(3,—2,3)-(1,-3,-3)=0,

又直線上的點(diǎn)(2,-3,1)不在平面內(nèi)，所以直線與平面平行.

_r—4v4-3z

⑵〒3和2…+3Z-7二。;

解：(2)直線方向向量為$=(2,-1,3),平面法向量〃=(2,—1,3),

且

sX〃=0

所以直線與平面垂直.

x-2y—2z+3

和8x—y+2z—8—0；

-125

解：(3)直線方向向量為s=(-l,2,5),平面法向量〃=(8,-1,2),

且

s?〃=(-1,2,5)-(8,-1,2)=0,

又直線上的點(diǎn)(2,2,-3)在平面內(nèi)，所以直線在平面內(nèi).

11.求過(guò)點(diǎn)(1,2,1)且與兩直線

x-y+z-l=O-x-y+z=0

和《7平行的平面方程.

x+2y-z+l=02尤一y+z=0

解：第一條直線的方向向量為

S1=，qx〃2=l-11=-i+2j+3A,

12-1

第二條直線的方向向量為

ijk

§2=%x%=1-1I=j+k.

2-11

而平面法向量〃既垂直與M又垂直與S2，故

ijk

n=s1xs2=-123=-i+j-k

011

因此所求平面的方程為

-l(x-l)+l(y-2)-l(z-l)=0,

即x-y+z=0.

12.設(shè)M。是直線L外一點(diǎn)，M是直線L上任意一點(diǎn)，且直線的方向

向量為s,證明：點(diǎn)M。到直線力的距離是

2_____I

MMx5=一|斗],

2[y

M()Mxs

故

同

x—2y+z—1—0

13.求點(diǎn)（2,-1,1）到直線的距離.

x+2y-z+3=0

解1設(shè)點(diǎn)（2,-1,1）與直線的垂直相交點(diǎn)為（%,%,z0）,則

%-2%+z。-1=°X0=-1

解得《

XO+2)，O_ZO+3=O.4=2%+2

又直線的方向向量為

S=/X嗎=1-21=2(J+2*),

12-1

向量。=(2,—1,1)—(%,%為)=(3,-1一%,—1-2)，0)垂直于s,即

a-s=(3,—1—y0,—1—2yo)(O,1,2)=—3—5y0—0,

34

解得為二—二.于是z0=-,故點(diǎn)（2,—1,1）到直線的距離為

d=J(2+l)2+(—1+|)2+(1—[)2

解2用上題的結(jié)論.

X+y—2—]=0

14.求直線《--，在平面工+），+2-1=0上的投影直線

x-y+z+l=0

的方程.

解：過(guò)直線’的平面束方程為

/-y+z+l=0

(x+y—z—1)+4(太-y+z+1)=0,

即(1+A)x+(1-2)y+(-1+/l)z+(—l+A)=0,

其中4為待定常數(shù).又此平面與平面x+y+z-1=0垂直的條件是

(14-2)l+(l-A)l+(-l+/l)l=0,

得至ijA=-l.

代入(1+4)x+(1—4)y+(―1++(―1+/I)=0得投影平面：

y-z-1=0

所以投影直線的方程為\y—z—l=0

x+y+z—l=0

習(xí)題8.5

1.一動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)B(—4,2,4)的距離是到點(diǎn)A(5,4,0)距離的兩倍，求動(dòng)

點(diǎn)M的軌跡方程.

解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)為(x,y,z),由題意有，|M8|二2|M4|,即

7(X+4)2+(3；-2)2+(Z-4)2=27(x-5)24-(y-4)2+(z-0)2,

化簡(jiǎn)得3/+3y2+3z2-48x-28y+8z+128=0.

2.建立以點(diǎn)(一1,一3,2)為球心，且過(guò)點(diǎn)的球面方程.

解:球心(-1-3,2)到球面上點(diǎn)(1-1,1)的距離為

R=^(-1-1)2+(-3+1)2+(2-1)2=3

所以所求球面方程(x+l)2+(y+3)2+(z-2)2=9.

3.方程+y2+z2-2x+4y-4z-7=0表示什么曲面？

解：通過(guò)配方，原方程可化為

(x-l)24-(y+2)24-(z-2)2=42,

與球面方程比較可知，此方程表示球心在點(diǎn)2)、半徑為4的球面.

4.將xoz坐標(biāo)面上的橢圓4/+z?=9繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的旋

轉(zhuǎn)曲面的方程.

解：在方程41+z?=9中保持z不變而將x改寫(xiě)為±b+/，故

所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為4x2+4產(chǎn)+z2=9.

5.將yoz坐標(biāo)面上的拋物線z2=4y繞y地旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的旋轉(zhuǎn)

曲面的方程.

解：在方程z?=4)，中保持)，不變而將z改寫(xiě)為土Jd+z2,故所求旋

轉(zhuǎn)曲面的方程為

x2+z2=4y

6.將xoy坐標(biāo)面上的雙曲線9--4)3=16分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)一

周，求所形成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

解：繞R軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為9x2-4y2-4z2=16,

繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為9^2-4y2+9z2=16.

7.說(shuō)明下列旋轉(zhuǎn)曲面是如何形成的？

222222

⑴二+上+^=1；(2)二-二+二=1；

44916916

(3)x2-3y2-3z2=1；(4)(z-a)2=x2+y2.

x2z2

解：(1)xoz坐標(biāo)面上的橢圓二十一=1繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周；或者

49

22

yoz坐標(biāo)面上的橢圓+=1繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周.

x2

(2)xoy坐標(biāo)面上的雙曲線正=1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周；或者

9

)，oz坐標(biāo)面上的雙曲線-與+￡=1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周.

(3)xoy坐標(biāo)面上的雙曲線-—3)°=1繞十軸旋轉(zhuǎn)一周；或者

xoz坐標(biāo)面上的雙曲線f-3z2=1繞兀軸旋轉(zhuǎn)一周.

(4)yoz坐標(biāo)面上的直線z=y+a繞z軸旋轉(zhuǎn)一周；或者

XOZ坐標(biāo)面上的直線Z=X+4繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周.

8.下列方程在平面解析幾何中與空間解析幾何中分別表示什么圖形?

(1)>,=1；(2)y=2x+\；

(3)~~y2=1;(4)x2+y2=9.

解：(1)平面：平行于x軸的一條直線；空間：平行于xoz坐標(biāo)面的一

個(gè)平面.

(2)平面：斜率為2,通過(guò)點(diǎn)(0,1)的一條直線；空間：平行于z軸的一個(gè)

平面.

(3)平面：實(shí)軸在大軸上，虛軸在y軸上的雙曲線；空間：母線平行于z軸

的一雙曲柱面.

(4)平面：圓心在原點(diǎn)，半徑為3的圓周；空間：母線平行于z軸的一回

柱面.

9.畫(huà)出下列方程所表示的曲面

丫2v2

(1)/+(),一。尸=(2)：———=1；

94

(3)----1-z2=1；(4)y2-4z=0；

9

(5)z=-(2+x2).

解：略.

習(xí)題8.6

1.畫(huà)出下列曲線的圖形:

x=2z=yja2-x2-y2x2+z2=/?2

(1)；(2)2

y=ix=y/_|_y=R2

解:略.

2.下列方程組在平面解析幾何中與空間解析幾何中各表示什么圖形:

22

>,=2x4-1Jj

(1)449

y=3x-2x=3

解：(1)平面：兩條相交直線的交點(diǎn)；空間：平行于z軸的兩相交平面

的交線.

(2)平面：實(shí)軸在x軸上，虛軸在y軸上的雙曲線的右支與一平行于y軸

直線的兩相交點(diǎn)；

空間：母線平行于z軸的雙曲柱面與平行于yoz面平面的兩相交直線.

3.將下列曲線的一般方程化為參數(shù)方程：

(1):+32=9

I

解：(1)將y=x代入V+3)，2+Z2=9,得4)，+Z2=9,取

y=13cosr,貝Uz=3sinf,從而得到該曲線的參數(shù)方程為

3

x=—cost,

2

3

-y=—cosr,(0<r<2^-).

z=3sinZ.

(x-l)2+y2+(z+l)2=4

z=0

解：(2)將z=(H弋入(x-l)2+y2+(z+l)2=4,得(x-l)2+y2=3,

取X=l+Gcos/,貝Ijy=百sin，，從而得到該曲線的參數(shù)方程為

x=1+6cost,

<y=6sin(0<Z<2不).

z=0.

r2+2v2+z2=9

4.分別求母線平行于x軸及），軸且通過(guò)曲線1：，一的柱

x-+廠-3z-=0

面方程.

解：消去方程組中的變量x,得V+4Z2=9,這就是母線平行于x軸

且通過(guò)曲線的柱面方程.同樣消去方程組中的變量），，得7Z2-V=9,這

就是母線平行于y軸且通過(guò)曲線的柱面方程.

5.求旋轉(zhuǎn)拋物面y2+z2-3x=0與平面y+z=l的交線在此少面上

的投影曲線的方程.

解：旋轉(zhuǎn)拋物面和平面的交線為

[y2+z2-3x=0

C：5.

y+z=1

由上述方程組消去變量z,得至IJ2），2—2），—3R+1=0.因此交線C在xQy

面上的投影曲線為

x=8cosr,

6.已知曲線｛y=4&sin/,（0<Z<2^）,求它在三個(gè)坐標(biāo)面上的

z=-472sint,

投影曲線的直角坐標(biāo)方程.

解：由x=8cosf,y=4&sin/得到《尸+（志了,即

丫2v2

—+2_=i.

6432

----十------1

因此曲線在xOy上的投影曲線直角坐標(biāo)方程為《6432

z=0

22

rz

由％=8cos/,z=-472sint得到(土尸+(—=尸=1，即一+—=1.因

84V26432

此曲線在M9z面上的投影曲線直角坐標(biāo)方程為

x2z2,

—十—=1

6432

y=0

由y=40sinr,z=-4及sint得到曲線在yOz面上投影柱面方程包含

于平面)，+z=0內(nèi)，并且-4夜后，因此曲線在yOz面上投影曲

線直角坐標(biāo)方程為

X—U,

7.求上半球0VzW一/一/與圓柱體1+),2的

公共部分在X。)，面和XOZ面上的投影.

解：由圖可見(jiàn)，所求立體為圓柱體的一部分，其在xoy面

上的投影為

x2+y2<ax,

z=0.

在xoz面上的投影為

z2+x2<a2,0<x<a,z>0

y=0.

8.求拋物面z=2x2+y2(0<z<4)在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影.

222

z=2x+y

解:聯(lián)立《得到萬(wàn)+5i,

z=4.

故拋物面在xoy面上的投影為

聯(lián)立二”;得到7

z>y\\y\<2

故拋物面在面上的投影為

x=0.

e"I2=2x2+y2/0…

聯(lián)乂《，得到z=2r，

［），=0.

z>2X2,|X|<41

故拋物面在xoz面上的投影為

y=0.

習(xí)題8.7

1.指出下列各方程所表示的曲面：

v2_2

(1)x2+4y2+9z2=1；(2)x2+------=0；

49

(3)x2+y2-4z2=1；(4)x2-y2-4z2=1；

2

(5)x~4-----z=0.

4

解：(1)橢球面；(2)橢圓錐面；(3)單葉雙曲面；

(4)雙葉雙曲面；(4)橢圓拋物面;

2.畫(huà)出下列方程所表示的二次曲面圖形

(1)4x2+9y2+16z2=16；(2)x2+4y2-z2=4；

(3)4x2-4y2-z2=4；(4)z=-+—；

34

(5)z2=犬+—.

4

解：略

總習(xí)題8

i.選擇題

(1)設(shè)向量。，瓦c滿足〃+6+c=0,則ax〃+》xc+cx。=().

A.0B.axbxcC.3(axb)D.》xc

解：由a+〃+c=O,得c=—(a+〃)，代人ax》+》xc+cxa有

?xft+ftx[-(a+6)]+[-(a+6)]xa

=axb-bxa-bxa=3(<axb).

故選(C).

x+3y+2z+1=0

(2)設(shè)直線L：4及平面7i：4x-2y+z-2=0,

2x-y-10z+3=0

則直線L().

A.平行于"B.在江上C.垂直于乃D.與萬(wàn)斜交.

解：直線￡的方向向量