福建省廈門市湖里實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4

第頁(yè)廈門市湖里實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023—2024學(xué)年上學(xué)期第二次獨(dú)立練習(xí)九年級(jí)數(shù)學(xué)練習(xí)卷滿分為150分，考試時(shí)間120分鐘一、選擇題（本大題有10小題，每小題4分，共40分．每小題有且只有一個(gè)選項(xiàng)正確）1.已知⊙O的半徑為5，點(diǎn)P在⊙O外，則OP的長(zhǎng)可能是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【詳解】設(shè)點(diǎn)與圓心的距離d，已知點(diǎn)P在圓外，則d>r.解：當(dāng)點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)時(shí)，OP>5cm，A、B、C均不符.故選D.“點(diǎn)睛”本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，就是比較點(diǎn)與圓心的距離化為半徑的大小關(guān)系.2.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在中，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為．根據(jù)拋物線的解析式直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是．故選：D．3.如圖，四邊形內(nèi)接于圓，圖中與相等的角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了圓周角定理；根據(jù)圓周角定理得出，即可求解．【詳解】解：∵，∴，故選：A．4.已知與相似，且相似比是，那么它們的面積比（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案．【詳解】解：∵與相似，且相似比是，∴，故選：C．5.如圖，在方格紙中，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到，則下列四個(gè)圖形中正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°逐項(xiàng)分析即可．【詳解】A、是由關(guān)于過(guò)B點(diǎn)與OB垂直的直線對(duì)稱得到，故A選項(xiàng)不符合題意；B、是由繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到，故B選項(xiàng)符合題意；C、與對(duì)應(yīng)點(diǎn)發(fā)生了變化，故C選項(xiàng)不符合題意；D、是由繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換．解題的關(guān)鍵是弄清旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．6.解一元二次方程，其中一個(gè)根為，則等于（）A.1 B. C.0 D.2【答案】B【解析】【分析】本題主要考查用公式法解一元二次方程，牢記求根公式：，利用求根公式可直接求解c的值．【詳解】解：已知一元二次方程；直接利用公式法可得：；因?yàn)槠渲幸粋€(gè)根為；可得，，；即，；∴；故選：B．7.如圖，，為的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，連接交于點(diǎn)，交弦于點(diǎn)．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.是等邊三角形【答案】D【解析】【分析】利用切線長(zhǎng)定理、等腰三角形的性質(zhì)以及垂徑定理即可判斷．【詳解】解：由切線長(zhǎng)定理可得：，，∴，，∴，故A，B，C正確，而中只滿足，無(wú)其他條件證明是等邊三角形，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理、等腰三角形性質(zhì)以及垂徑定理，關(guān)鍵是利用切線長(zhǎng)定理得到垂徑定理的前提條件．8.拋物線的對(duì)稱軸為直線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則，的大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)；根據(jù)解析式可得，拋物線開(kāi)口向上，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離越大，函數(shù)值越大，即可求解．【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，∴，拋物線開(kāi)口向上，，則∴，故選：A．9.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除捷法》中記錄了一個(gè)問(wèn)題：“直田積八百六十四步，只云長(zhǎng)闊共六十步，問(wèn)長(zhǎng)與闊幾何？”其大意是：矩形面積是864平方步，其中長(zhǎng)與寬的和為60步，問(wèn)長(zhǎng)與寬各多少步？若設(shè)長(zhǎng)為x步，則下列符合題意的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)長(zhǎng)為x步，根據(jù)題意列出一元二次方程即可，弄懂題意得到寬與長(zhǎng)是關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)長(zhǎng)為x步，根據(jù)題意得，．故選：A．10.如圖，矩形中，，，點(diǎn)是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，連接，，則面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得出點(diǎn)在為直徑的圓，在矩形內(nèi)的半圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到的最短距離為，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．【詳解】解：∵，點(diǎn)是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，∴點(diǎn)在為直徑的圓，在矩形內(nèi)的半圓上運(yùn)動(dòng)，∵矩形中，，，∴，如圖所示，取的中點(diǎn)，則∴點(diǎn)到的最短距離為，∴面積的最小值為，故選：C．二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，即可求解．【詳解】解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為：．12.已知x＝1是一元二次方程x2﹣mx+1＝0的一個(gè)解，則m的值是_____．【答案】2【解析】【分析】把x＝1代入一元二次方程x2﹣mx+1＝0，可得再解方程可得答案．【詳解】解：x＝1是一元二次方程x2﹣mx+1＝0的一個(gè)解，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解，掌握方程的解的含義是解題的關(guān)鍵．13.在中，已知半徑為，所對(duì)的圓心角，那么的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】本題考查了求弧長(zhǎng)；根據(jù)弧長(zhǎng)公式，即可求解．【詳解】解：∵在中，已知半徑為，所對(duì)的圓心角，∴的長(zhǎng)度為,故答案為：．14.如圖，在中，，是斜邊上的高．已知，，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查在三角形中求線段的長(zhǎng)，根據(jù)題意可得，根據(jù)可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵在中，，是斜邊上的高．∴，∴，∴，即∵，，∴，故答案為：．15.已知是半徑為的圓的內(nèi)接三角形，，則___________．【答案】或【解析】【分析】先畫出圖形，可能是銳角三角形也可能是鈍角三角形.當(dāng)是銳角三角形時(shí)，先作直徑，連接構(gòu)造直角三角形，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得，求出的三角函數(shù)值，即可求出的度數(shù)，即可知的度數(shù).當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，與互補(bǔ)，求出的度數(shù)，即可知的度數(shù).【詳解】解：如圖1，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則，是的直徑，，且，∴sin，，；如圖2，當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，則；綜上分析可知，或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的相關(guān)知識(shí)：“直徑所對(duì)的圓周角等于”，“同弧所對(duì)的圓周角相等”，以及根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.16.已知拋物線：將拋物線P關(guān)于x軸對(duì)稱得到拋物線，當(dāng)時(shí)，在拋物線上任取一點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為t，若，則的取值范圍是______．【答案】##【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)定取值范圍，對(duì)稱軸在變化，求參數(shù)取值范圍，首先利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得到拋物線，最后討論對(duì)稱軸所在范圍，求參數(shù)a的取值范圍，此題分類討論是關(guān)鍵．【詳解】解：由題可知關(guān)于x軸對(duì)稱得到拋物線為；；對(duì)稱軸為：；①當(dāng)時(shí)；函數(shù)的最大值為；∵M(jìn)為拋物線上任意一點(diǎn)，只要滿足；即；∵；∴；②，即時(shí)，把代入中，函數(shù)的最大值為；∴；∴；∵；∴這種情況無(wú)解；③當(dāng)時(shí)，即；把代入中，函數(shù)的最大值為；∵；∴不滿足；∵；綜上所述：；故答案為：．三、解答題（本大題有9小題，共86分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.解方程：．【答案】，【解析】【分析】本題考查解一元二次方程，掌握解一元二次方的方法是解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)因式分解法求解即可．【詳解】解：或解得：，18.如圖，四邊形是平行四邊形，E，F(xiàn)是對(duì)角線的三等分點(diǎn)，連接，證明：．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】只需要利用證明即可證明.【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵E，F(xiàn)是對(duì)角線的三等分點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知平行四邊形對(duì)邊平行且相等是解題的關(guān)鍵.19.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝﹣1．【答案】，【解析】【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再將x的值代入計(jì)算可得．【詳解】=＝，當(dāng)x=-1時(shí)，原式【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．20.某賓館有20個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為每天200元時(shí)，房間會(huì)全部住滿．當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑．如果游客居住房間，賓館需對(duì)每個(gè)房間每天支出40元的各種費(fèi)用．（1）若每個(gè)房間的定價(jià)為每天210元時(shí)，則會(huì)住滿______個(gè)房間，賓館的總利潤(rùn)是______元．（2）房?jī)r(jià)定為多少時(shí)，賓館利潤(rùn)取得最大值？【答案】（1），（2）房?jī)r(jià)定為元時(shí)，賓館利潤(rùn)取得最大值．【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；（1）根據(jù)題意列式計(jì)算即可得到答案；（2）設(shè)每個(gè)房間定價(jià)增加元，根據(jù)題意，得出利潤(rùn)的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到答案．【小問(wèn)1詳解】解：依題意得：；元，即會(huì)住滿個(gè)房間，賓館的總利潤(rùn)是元；故答案為：，．【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)每個(gè)房間定價(jià)增加x元，依題意得：所獲利潤(rùn)，當(dāng)元時(shí)，利潤(rùn)最大，元，即房?jī)r(jià)定為元時(shí)，賓館利潤(rùn)取得最大值．21.如圖，在中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，點(diǎn)落在邊上．（1）尺規(guī)作圖：作出（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）連接，若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】本考查了作圖—復(fù)雜作圖，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（1）以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫弧，交于，與，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧交之前的弧與點(diǎn)，作射線，以為圓心，為半徑畫弧，交射線于，連接，即為所求；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，從而得到，由勾股定理可得，得到，再由勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【小問(wèn)1詳解】解：如圖，即為所求，；【小問(wèn)2詳解】解：如圖，連接，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，在中，，，，，，．22.如圖，都是的半徑，．（1）求證：；（2）若，求的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】分析】（1）由圓周角定理得出，，再根據(jù)，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作半徑于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得出，證明，得出，在中根據(jù)勾股定理得出，在中，根據(jù)勾股定理得出，求出即可．【小問(wèn)1詳解】證明：∵，∴，∵，∴，，．【小問(wèn)2詳解】解：過(guò)點(diǎn)作半徑于點(diǎn)，則，，∴，，，，在中，，在中，，，，即的半徑是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握?qǐng)A周角定理．23.【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在上，，則銳角的大小為_(kāi)_________度．【探究】小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點(diǎn)P在上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)、、．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過(guò)證明，可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證．下面是小明部分證明過(guò)程：證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，四邊形是的內(nèi)接四邊形，．，．是等邊三角形．，請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程．【應(yīng)用】如圖③，是的外接圓，，點(diǎn)P在上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在的兩側(cè)，連結(jié)、、．若，則的值為_(kāi)_________．【答案】感知：；探究：見(jiàn)解析；應(yīng)用：．【解析】【分析】感知：由圓周角定理即可求解；探究：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過(guò)證明，可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證；應(yīng)用：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，通過(guò)證明得，可推得是等腰直角三角形，結(jié)合與可得，代入即可求解．【詳解】感知：由圓周角定理可得，故答案為：；探究：證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，四邊形是的內(nèi)接四邊形，．，．是等邊三角形．，，∴，，，是等邊三角形，，，即；應(yīng)用：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連結(jié)，四邊形是的內(nèi)接四邊形，．，．，，∴，，，是等腰直角三角形，，，即，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，鄰補(bǔ)角，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形；解題的關(guān)鍵是做輔助線構(gòu)造，進(jìn)行轉(zhuǎn)換求解．24.如圖，正方形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接（1）求證：．（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，連接．當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)不與重合），判斷的形狀，并說(shuō)明理由．（3）在（2）的條件下，已知，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的基本性質(zhì)以及直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，推出，即可證得結(jié)論；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，從而利用等腰三角形的性質(zhì)推出，再結(jié)合正方形對(duì)角線的性質(zhì)推出，即可證得結(jié)論；（3）結(jié)合已知信息推出，從而利用相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算求解即可．小問(wèn)1詳解】證：∵四邊形為正方形，∴，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，即：，在與中，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】解：為等腰直角三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∴，∴，，∵，∴，即：，∴，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形；【小問(wèn)3詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，，∴，解得：，（不合題意，舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)等，理解并熟練運(yùn)用基本圖形的證明方法和性質(zhì)，掌握勾股定理等相關(guān)計(jì)算方式是解題關(guān)鍵．25.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0），B（2，0），交y軸于C（0，﹣2），過(guò)A，C畫直線．（1）直接寫出二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)M在二次函數(shù)圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點(diǎn)為H．若M在y軸右側(cè)，且△CHM∽△AOC，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）OP=；（3）M坐標(biāo)（1，﹣2）或（，）．【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；

（2）根據(jù)線段的和差，可得AP的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得答案；

（3）分類討論：①當(dāng)H′在點(diǎn)C的下方時(shí)，根據(jù)平行線的判定