適用于新教材2025版高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)十五數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE十五數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)1．假如全集U是復(fù)數(shù)集C，那么()A．?UQ＝{無(wú)理數(shù)} B．R∩(?UR)＝{0}C．?UZ＝{分?jǐn)?shù)} D．?UR＝{虛數(shù)}【解析】選D.實(shí)數(shù)集與虛數(shù)集的并集等于全集U＝C，且實(shí)數(shù)集與虛數(shù)集的交集等于空集．2．已知復(fù)數(shù)a2－4＋(a＋2)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝()A．－2B．2C．±2D．4【解析】選B.由純虛數(shù)的定義可知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－4＝0，,a＋2≠0，))解得a＝2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】復(fù)數(shù)z＝(m2＋m)＋mi(m∈R，i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A．0或－1B．0C．1D．－1【解析】選D.因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋m＝0，,m≠0，))所以m＝－1.3．(2024·濟(jì)南高一檢測(cè))若實(shí)數(shù)x，y滿意x＋y＋(x－y)i＝2，則xy的值是()A．1B．2C．－2D．－3【解析】選A.由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))則xy＝1.4．(2024·濟(jì)南高一檢測(cè))已知復(fù)數(shù)z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的實(shí)部大于虛部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．－1或3B．{a|a>3或a<－1}C．{a|a>－3或a<1}D．{a|a>3或a＝－1}【解析】選B.由已知實(shí)部大于虛部，可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，即(a＋1)(a－3)>0，解得a>3或a<－1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a>3或a<－1}．5．以復(fù)數(shù)z＝3－4i的實(shí)部為虛部，虛部為實(shí)部的復(fù)數(shù)為()A．3－4i B．－3＋4iC．－4＋3i D．4－3i【解析】選C.由于復(fù)數(shù)z＝3－4i＝3＋(－4)i的實(shí)部為3，虛部為－4，所求復(fù)數(shù)為－4＋3i.6．(多選題)若i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是()A．eq\f(i,2)是分?jǐn)?shù)B．eq\r(3)i是無(wú)理數(shù)C．－i2不是虛數(shù)D．若a∈R，則(a2＋1)i是虛數(shù)【解析】選CD.由于i是虛數(shù)單位，則eq\f(i,2)，eq\r(3)i都是虛數(shù)，A，B都不正確；－i2＝1是實(shí)數(shù)，不是虛數(shù)，C正確；若a∈R，則a2＋1≥1，所以(a2＋1)i是虛數(shù)，D正確．二、填空題(每小題5分，共10分)7．(2024·杭州高一檢測(cè))若復(fù)數(shù)m－3＋(m2－9)i≥0，則實(shí)數(shù)m的值為________．【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)不能比較大小，所以m－3＋(m2－9)i為實(shí)數(shù)，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－3≥0,m2－9＝0))解得m＝3，所以實(shí)數(shù)m的值為3.答案：38．已知復(fù)數(shù)z＝cosθ＋isinθ，θ∈[0，2π]，若z為純虛數(shù)，則θ＝________．【解析】由復(fù)數(shù)z＝cosθ＋isinθ，θ∈[0，2π]為純虛數(shù)，得cosθ＝0，sinθ≠0，θ∈[0，2π]，所以θ＝eq\f(π,2)或eq\f(3π,2).答案：eq\f(π,2)或eq\f(3π,2)三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(m－3,m＋2)＋eq\r(m2－m)i，(m∈R)是虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝eq\f(m－3,m＋2)＋eq\r(m2－m)i，(m∈R)是虛數(shù)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋2≠0,m2－m>0))，解得m<0或m>1且m≠－2.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－2)∪(－2，0)∪(1，＋∞).10．(2024·南京高一檢測(cè))設(shè)復(fù)數(shù)z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i.(1)當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，z是實(shí)數(shù)？(2)當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，z是純虛數(shù)？【解析】(1)當(dāng)m滿意m2＋3m＋2＝0，且m2－2m－2>0，即m＝－2或－1時(shí)，z是實(shí)數(shù)；(2)當(dāng)m滿意m2＋3m＋2≠0，且m2－2m－2＝1，即m＝3時(shí)，z是純虛數(shù)．(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分，共25分，多選題全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)1．復(fù)數(shù)z＝2－i的實(shí)部與虛部的差為()A．－1B．1C．2D．3【解析】選D.復(fù)數(shù)z＝2－i＝2＋(－1)i的實(shí)部為2，虛部為－1，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的差為3.2．假如C，R，I分別表示復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集和純虛數(shù)集，其中C為全集，則()A．C＝R∪IB．R∪I＝{0}C．R＝C∩ID．R∩I＝?【解析】選D.復(fù)數(shù)包括實(shí)數(shù)和虛數(shù)，所以實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集無(wú)交集．所以R∩I＝?.故選D.3．(多選題)下列命題中為真命題的是()A．復(fù)數(shù)肯定是虛數(shù)B．實(shí)數(shù)肯定是復(fù)數(shù)C．復(fù)數(shù)的平方數(shù)肯定是非負(fù)實(shí)數(shù)D．實(shí)數(shù)的虛部為0，純虛數(shù)的實(shí)部為0，虛部不為0【解析】選BD.因?yàn)閷?shí)數(shù)和虛數(shù)統(tǒng)稱為復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)不肯定是虛數(shù)，A是假命題；實(shí)數(shù)肯定是復(fù)數(shù)，B是真命題；由于i2＝－1，復(fù)數(shù)的平方數(shù)可以是負(fù)實(shí)數(shù)，C是假命題；實(shí)數(shù)的虛部為0，純虛數(shù)的實(shí)部為0，虛部不為0，D是真命題．4．(2024·北京高一檢測(cè))若a＋bi≠c＋di(a，b，c，d∈R)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)≠b且c≠d B．a(chǎn)≠b或c≠dC．a(chǎn)≠c且b≠d D．a(chǎn)≠c或b≠d【解析】選D.當(dāng)a＝c且b＝d時(shí)，有a＋bi＝c＋di，當(dāng)a＝c時(shí)b＝d，有一個(gè)不成立時(shí)，就有a＋bi≠c＋di.5．(2024·北京高一檢測(cè))若a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則“ab＝0”是“復(fù)數(shù)a－bi為純虛數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】選B.ab＝0時(shí)，a＝0或b＝0，復(fù)數(shù)a－bi為純虛數(shù)時(shí)，a＝0且b≠0，那么“ab＝0”是“復(fù)數(shù)a－bi為純虛數(shù)”的必要不充分條件．二、填空題(每小題5分，共15分)6．復(fù)數(shù)2i，3－i，3－i2，i－1中，不同于另外三個(gè)的一個(gè)復(fù)數(shù)是______．【解析】復(fù)數(shù)2i，3－i，3－i2，i－1中，3－i2＝4是實(shí)數(shù)，不同于其他三個(gè)虛數(shù)．答案：3－i27．假如(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，其中x，y為實(shí)數(shù)，則2x＋y＝________．【解析】因?yàn)?x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，x，y∈R，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2x＋3y,y－1＝2y＋1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝－2))，所以2x＋y＝6.答案：68．若復(fù)數(shù)z＝(a＋1)＋(1－a)i(a∈R)的實(shí)部與虛部都大于0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【解析】由a＋1>0，1－a>0，解得－1<a<1.答案：(－1，1)三、解答題(每小題10分，共30分)9．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求實(shí)數(shù)m的值．【解析】因?yàn)镸∪P＝P，所以MP，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝－1，,m2＋m－2＝0，))解得m＝1；由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝0，,m2＋m－2＝4，))解得m＝2.綜上可知m＝1或m＝2.10．已知復(fù)數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)．(1)z為實(shí)數(shù)；(2)z為虛數(shù)；(3)z為純虛數(shù)．【解析】(1)z＝a＋bi為實(shí)數(shù)，a≠0，b＝0；若z為實(shí)數(shù)，則m2－2m－15＝0，解得m＝－3或m＝5；(2)z＝a＋bi為虛數(shù)，b≠0；若z為虛數(shù)，則m2－2m－15≠0，解得m≠－3或m≠5；(3)z＝a＋bi為純虛數(shù)，a＝0，b≠0.若z為純虛數(shù)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝0，,m2－2m－15≠0，))解得m＝－2.11．定義運(yùn)算＝ad－bc，