海南省2024-2025學年高三數(shù)學上學期第一次月考試題

PAGE嘉積中學2024—2024學年度第一學期高三年級第一次月考數(shù)學科試題（時間：120分鐘滿分：150分）歡迎你參與這次測試，祝你取得好成果！一、單選題1．設(shè)全集U是實數(shù)集R，，都是U的子集（如圖所示），則陰影部分所表示的集合為（

）A．B．C．D．2．已知函數(shù)，，若的圖象如圖所示，則可能是（

）A． B．C． D．3．圓：與圓：的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切4．已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A．B．C． D．PAGE5．記，則（

）A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點為F，A為拋物線C上一點，直線AF交拋物線C的準線l于點B，且，則（

）A． B．4 C． D．67．噴泉是流淌的藝術(shù)，奇妙絕倫的噴泉給人以無限的享受，若不考慮空氣阻力，當噴泉水柱以與水平方向夾角為的速度v噴向空氣中時，水柱在水平方向上移動的距離為，能夠達到的最高高度為（如圖所示，其中g(shù)為重力加速度）若，則H與D的比值為（

）A． B． C． D．8．中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有表有廣，而上有表無廣．芻，草也，甍，屋蓋也”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．芻甍字面意思為茅草屋頂．”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，四邊形為正方形，為兩個全等的等腰梯形，，則此芻甍的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．PAGE二、多選題9．已知i為虛數(shù)單位，C為復數(shù)集，下列命題中正確的是（

）A．若x，，則的充要條件是B．是純虛數(shù)C．若，，，則D．當時，復數(shù)是純虛數(shù)10．已知點P是的中線BD上一點（不包含端點）且，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．11．已知正四棱錐的側(cè)面是邊長為6的正三角形，點M在棱PD上，且，點Q在底面及其邊界上運動，且面，則下列說法正確的是（

）A．點Q的軌跡為線段B．與CD所成角的范圍為C．的最小值為D．二面角的正切值為12．信息技術(shù)編程中會用到“括號序列”，一個括號序列是由若干個左括號和若干個右括號組成．合法括號序列可以按如下方式定義：①序列中第一個位置為左括號；②序列中左括號與右括號個數(shù)相同；③從序列第一個位置起先隨意截取一個連續(xù)片段，該片段中左括號的個數(shù)不少于右括號的個數(shù)．例如（）（（））和（）（）都是合法括號序列，而（））（，）（）和（））（（）都不是合法括號序列．一個合法括號序列中包含的左括號和右括號的個數(shù)之和稱為該序列的長度．若A和B都是括號序列，則AB表示將B拼接在A后得到的括號序列．依據(jù)以上信息，下列說法中正確的是（

）A．假如A，B是合法括號序列，則也是合法括號序列B．假如是合法括號序列，則A，B肯定都是合法括號序列C．假如是合法括號序列，則A也是合法括號序列D．長度為8的合法括號序列共有14種PAGE三、填空題13．雙曲線的漸近線方程為，則________．14．2024年10月26日國務院印發(fā)《2030年前碳達峰行動方案》，要求我國二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值．低碳生活已經(jīng)深化民心，新能源汽車備受歡迎，下表是某地區(qū)近5個月新能源汽車的銷售量統(tǒng)計表：月份代號x12345銷售量y（萬輛）0.40.60.91.21.4若依據(jù)表中數(shù)據(jù)求得的x與y的線性回來方程為，則________．15．若關(guān)于x的方程有解，則實數(shù)a的取值范圍為________．16．設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿意，則數(shù)列的前100項之和為_______．四、解答題17．已知等比數(shù)列滿意，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．18．在中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，，若，（1）求角C的大??；（2）若，求的值．PAGE19．2024年6月5日神州十四號放射升空，神舟十四號任務期間，將全面完成以天和核心艙、問天試驗艙和夢天試驗艙為基本構(gòu)型的太空空間站建立等多項科研任務，并將接著開展天宮課堂．某?！昂娇蘸教臁鄙鐖F針對學生是否有愛好收看天宮課堂進行了一項調(diào)查，獲得了如下數(shù)據(jù)：感愛好不感愛好合計男生人數(shù)29332女生人數(shù)21728合計501060（1）是否有95%的把握認為“是否有愛好收看天宮課堂與性別有關(guān)”？（2）從不感愛好的10人中隨機抽取兩人做進一步宣揚，設(shè)抽到的女生人數(shù)為X，求X的概率分布．參考公式：獨立性檢驗統(tǒng)計量，其中．臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．在三棱柱中，，平面平面，E，F(xiàn)分別為線段的中點．（1）求證：；答案第=page11頁，共=sectionpages22頁（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，且，求三棱錐的體積．21．已知，，平面內(nèi)一動點滿意．（1）求點運動軌跡的軌跡方程；（2）已知直線與曲線交于，兩點，當點坐標為時，恒成立，摸索究直線的斜率是否為定值？若為定值懇求出該定值，若不是定值請說明理由．22．已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.過點作曲線的兩條切線，切點坐標分別為.（1）若，求的值；（2）證明：隨著的增大而增大.參考答案：1．B【分析】題圖中陰影部分表示集合，即可求【詳解】題圖中陰影部分表示集合.故選：B2．C【分析】推斷函數(shù)的奇偶性，再計算，由圖象知函數(shù)為過原點的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)定義推斷選項即可.【詳解】，是偶函數(shù)，且.，，是奇函數(shù)且，由圖象知函數(shù)是奇函數(shù)且，對于A，，，，函數(shù)不是奇函數(shù)，故錯誤；對于B，，無意義，函數(shù)不過原點，故錯誤；對于C，，，，函數(shù)是奇函數(shù)，故正確；對于D：，無意義，圖象不過原點，故錯誤.故選：C3．A【分析】依據(jù)圓心距以及圓的半徑確定正確選項.【詳解】圓：的圓心為，半徑為.圓：的圓心為，半徑為.，，所以兩圓相交.故選：A4．A【分析】依據(jù)的單調(diào)性可得，再由的符號，推斷a，b，c的大小.【詳解】由，而為增函數(shù)，答案第=page11頁，共=sectionpages22頁所以，而，故.故選：A5．B【分析】利用賦值法求二次項系數(shù)和，令求出，再令即可求解.【詳解】由題意可知，令，得，令，得，所以.故選：B.6．D【分析】依據(jù)拋物線的定義及三角形平行線分線線段成比例定理即可求解.【詳解】由題意可知，過點作交于點，直線交軸于點,如圖所示由，得，即.在中，，由，得，即，所以,即,所以,由拋物線的定義知，.故選：D.7．B【分析】先表示出，再用二倍角公式進行化簡即可求解.【詳解】因為，，所以.故選：B答案第=page11頁，共=sectionpages22頁8．C【分析】設(shè)，取中點為N，設(shè)，求出即得解.【詳解】解：設(shè)，取中點為N，由題意知，球心O在直線上，由可得，設(shè)，則，解得，故，所以外接球的表面積.故選：C9．BD【分析】A、C應用特別值法推斷；B、D依據(jù)純虛數(shù)定義推斷即可.【詳解】A：若，，則，錯誤；B：由，則，故是純虛數(shù)，正確；C：若，，則，錯誤；D：由，則，，故為純虛數(shù)，正確.故選：BD10．AC【分析】可以證明.所以選項A正確，選項B錯誤；利用基本不等式證明選項C正確；利用基本不等式和對數(shù)函數(shù)的運算和性質(zhì)證明選項D錯誤.【詳解】解：因為，所以,又三點共線，所以.所以選項A正確，選項B錯誤；，所以（當且僅當時等號成立），所以選項C正確；因為，（當且僅當時等號成立）所以，所以選項D錯誤.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁故選：AC11．ACD【分析】作出與面平行且過的平面，即可得出點Q的軌跡推斷A，當點在處時，異面直線所成角小于可推斷B，當時求出可推斷C，作出二面角的平面角求正切值推斷D即可.【詳解】對于A，取點,，使得，，連接,，如圖，由線段成比例可得，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又平面，，所以平面平面，故當點時，總有面，所以點Q的軌跡為線段，故A正確；對于B，由知與CD所成角即為與NE所成角，在中，，由余弦定理可得，由，可知，即運動到點時，異面直線所成的角小于，故B錯誤；對于C，當時，最小，此時，故C正確；對于D，二面角即平面與底面所成的銳角，連接相交于，連接，取點H，使得，連接MH，過H作于G，連接，如圖，答案第=page11頁，共=sectionpages22頁由正四棱錐可知，面，由，知，，由可得，，面，，又，，平面，，即為二面角的平面角，，故D正確.故選：ACD12．AD【分析】依據(jù)合法括號序列的定義可推斷A；舉反例可說明B,C的正誤；分類探討，考慮在前面四個位置上左括號的個數(shù)，算出符合條件的合法括號序列共有14種，推斷D.【詳解】出題意知假如A，B是合法括號序列，則也是合法括號序列,A正確;對于B,AB為（（））（）為合法括號序列，但取A為（（，B為））（）明顯都不是合法括號序列，故B錯誤；對于C,假如是合法括號序列，比如（）（）為合法括號序列，但A為）（，不是合法括號序列，故C錯誤；對于D選項，由題意知第一個位置為左括號，最終一個位置為右括號，分類考慮：（1）當前4個位置都為左括號時，則后4個位置都為右括號，故滿意條件序列有1個；（2）當前4個位置有3個左括號時，則第2，3，4個位置任取兩個位置是左括號，第5，6，7個位置任取一個位置是右括號，故滿意條件序列共有個；（3）當前4個位置有2個左括號時，則第2或第3個位置為左括號，第5個位置肯定為左括號，第6，7個位置有一個為左括號，滿意條件序列共有個，綜上，共有個，D正確，答案第=page11頁，共=sectionpages22頁故選：AD．13．##0.25【分析】依據(jù)方程表示雙曲線可得，化為標準方程，得到，由可求出結(jié)果.【詳解】由表示雙曲線，可知，化為標準方程為，所以，，所以，，所以，所以.故答案為：.14．##0.26【分析】依據(jù)回來直線經(jīng)過樣本點中心可求出結(jié)果.【詳解】,,由，得，得.故答案為：.15．16．4950【分析】先探討函數(shù)的性質(zhì)，再依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得，最終求和即可.【詳解】的定義域為，且，所以為R上的奇函數(shù).又因為在上都是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，依據(jù)為R上的奇函數(shù)，從而可知為R上的增函數(shù)，答案第=page11頁，共=sectionpages22頁所以為R上單調(diào)遞增奇函數(shù)，所以，得，即，故．故答案為：17．（1）；（2）則．設(shè)——①則——②①②，得，所以．所以．【點睛】本題考查了等差數(shù)列求和、分組求和法、裂項相消法求和、錯位相減法求和，考查了數(shù)學運算實力和邏輯推理實力，屬于中檔題目.18．（1）（2）【分析】（1）利用推出a，b，c的關(guān)系，利用余弦定理求出C的大小即可.（2）由正弦定理可得，得出，將化簡得，進而求出答案.【詳解】解：（1），則，.由余弦定理得，故有.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁（2），，即.【點睛】本題考查了平行向量與共線向量，余弦定理、正弦定理的運用.19．(1)沒有95%的把握認為“是否有愛好收看天宮課堂與性別有關(guān)”(2)答案見解析【分析】（Ⅰ）求出，從而沒有的把握認為“是否有愛好收看天宮課堂與性別有關(guān)”；（Ⅱ）從不感愛好的女生人數(shù)的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學期望．(1)解：提出假設(shè)：是否有愛好收看天宮課堂與性別無關(guān)

依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得

因為．而，所以沒有95%的把握認為“是否有愛好收看天宮課堂與性別有關(guān)”.(2)解：依題意，隨機變量X的可能取值為0，1，2，

隨機變量X的概率分布表如下：X012P答案第=page11頁，共=sectionpages22頁20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證線線垂直，再證明線面垂直，從而可得線線垂直；（2）建立空間直角坐標系，依據(jù)題中的條件得，再將問題轉(zhuǎn)化為求即可.（1）∵，E為AC的中點，∴，又∵平面平面，平面平面，∴平面，且平面，∴，∵，∴，又，∴平面，又平面，∴．（2）如圖，以為坐標原點，分別以為x，z軸正方向，所外建立空問直角坐標系，設(shè)，則，.設(shè)平面的法向量，則，即是，解得，由題意：，即，解得或，∵，∴，由有，可知,∴.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁21．(1)(2)是定值；【分析】對于小問1，設(shè)點，代入，整理化簡得點軌跡方程；對于小問2，設(shè)出直線：，聯(lián)立曲線的方程，結(jié)合韋達定理，代入，整理得到和的關(guān)系，進而推斷直線是否過定點．（1）設(shè)，則，所以點軌跡方程為：．（2）明顯直線不垂直于軸，故設(shè)：，，代入并整理得：，∴，整理得：，若，此時過，不合題意；若，即符合題意，故直線的斜率為．22．(1)(2)證明見解析【分析】(1)由導數(shù)的幾何意義求切線方程，由點在切線上列方程求答案第=page11頁，共=sectionpages22頁的值；(2)由導數(shù)的幾何意義可得，是方程的兩根，設(shè)由此可得，證明隨著的增大而增大，隨著的增大而增大，由