湖南省長沙市2024屆高三上學(xué)期1月新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷

湖南省長沙市2024屆高三上學(xué)期1月新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合M={x|x<1}，N={x|xA．M=N B．M?N C．N?M D．M∩N=?2．復(fù)數(shù)z=iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若拋物線y2=ax的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，A．?2 B．2 C．?4 D．44．下圖是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖象，則該函數(shù)的解析式可以是（）A．y=2sin(12x+C．y=2sin(2x+π3)5．已知甲盒中有3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，乙盒中有2個(gè)紅球和1個(gè)黃球.現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)抽取1個(gè)球放入乙盒中，攪拌均勻后，再從乙盒中抽取1個(gè)球，此球恰為紅球的概率是（）A．38 B．920 C．586．若tan2α+4tan(α+A．?45 B．?25 C．7．已知直線y=a與函數(shù)f(x)=ex，g(x)=lnx的圖象分別相交于A，B兩點(diǎn).設(shè)k1為曲線y=f(x)在點(diǎn)A處切線的斜率，k2為曲線A．1e B．1 C．e D．8．在平面四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn).若AB=2，CD=3，且EF?AB=4A．172 B．212 C．422二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（）A．y=ex?C．y=tan2x 10．某彗星的運(yùn)行軌道是以太陽為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.測得軌道的近日點(diǎn)（距離太陽最近的點(diǎn)）與太陽中心的距離為d1，遠(yuǎn)日點(diǎn)（距離太陽最遠(yuǎn)的點(diǎn)）與太陽中心的距離為dA．軌道的焦距為d2+dC．軌道的短軸長為2d1d211．在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P為線段A．存在點(diǎn)P，使得BB1B．存在點(diǎn)P，使得B1P⊥C．當(dāng)點(diǎn)P不是BD1的中點(diǎn)時(shí)，都有m//D．當(dāng)點(diǎn)P不是BD1的中點(diǎn)時(shí)，都有m⊥12．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前nA．若T8=B．若T8=C．若a1=1024，且T10為數(shù)列D．若a1>0，且T10>T三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X123P0.10.70.2則數(shù)學(xué)期望E(X)=.14．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(2)=1，則不等式f(x)>5?2x的解集為.15．已知A(4，1)，B(2，2)，C(0，3)，若在圓x2+y2=16．已知正四棱錐P?ABCD的頂點(diǎn)均在球O的表面上.若正四棱錐的體積為1，則球O體積的最小值為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知數(shù)列{an}滿足a（1）證明：數(shù)列{a（2）求數(shù)列{an}的前n18．如圖1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=23，將△ABD沿矩形的對(duì)角線BD進(jìn)行翻折，得到如圖2所示的三棱錐A?BCD圖1圖2（1）當(dāng)AB⊥CD時(shí)，求AC的長；（2）當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時(shí)，求平面ABC和平面ACD的夾角的余弦值.19．某廠為了考察設(shè)備更新后的產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率，質(zhì)檢部門根據(jù)有放回簡單隨機(jī)抽樣得到的樣本測試數(shù)據(jù)，制作了如下列聯(lián)表：產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)品非優(yōu)質(zhì)品更新前2416更新后4812附：χP(0.0500.0100.001x3.8416.63510.828（1）依據(jù)小概率值α=0.（2）如果以這次測試中設(shè)備更新后的優(yōu)質(zhì)品頻率作為更新后產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率.質(zhì)檢部門再次從設(shè)備更新后的生產(chǎn)線中抽出5件產(chǎn)品進(jìn)行核查，核查方案為：若這5件產(chǎn)品中至少有3件是優(yōu)質(zhì)品，則認(rèn)為設(shè)備更新成功，提高了優(yōu)質(zhì)率；否則認(rèn)為設(shè)備更新失敗.①求經(jīng)核查認(rèn)定設(shè)備更新失敗的概率p；②根據(jù)p的大小解釋核查方案是否合理.20．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長分別為a，b，c，且滿足sinB+（1）證明：a2（2）如圖，點(diǎn)D在線段AB的延長線上，且|AB|=3，|BD|=1，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究|CD|?|CA|是否為定值？21．已知函數(shù)f(x)=axln（1）若f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：（2）證明：(ln22．已知雙曲線x2?y23=1與直線l：y=kx+m（k≠±3）有唯一的公共點(diǎn)P，直線l與雙曲線的兩條漸近線分別交于M（1）探求參數(shù)k，m滿足的關(guān)系式；（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，證明：∠MFP=∠NFO.

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：集合M={x|x<1}，N={x|x2<1}={x|-1<x<1}故答案為：C.【分析】根據(jù)集合的子集的定義求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：z=i2?i=故答案為：B.【分析】根據(jù)已知，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，求解即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：拋物線y2=ax的焦在x軸的正半軸上，且p=a2，所以故答案為：D.【分析】由題意知拋物線y2=ax的焦在x軸的正半軸上，且p=a4．【答案】C【解析】【解答】解：根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖象，可得A=2，34T=34×2πω=故答案為：C.【分析】由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ，可得函數(shù)的解析式.5．【答案】D【解析】【解答】解：甲盒中有3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，乙盒中有2個(gè)紅球和1個(gè)黃球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)抽取1個(gè)球放入乙盒中，攪拌均勻后，再從乙盒中抽取1個(gè)球，此球恰為紅球的概率為：P=故答案為：D.【分析】利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出結(jié)果.6．【答案】A【解析】【解答】解：tan2α+4tan(α+π4)=0，整理得2tanα1-tan2α+4+4tanα1-tanα=0，故故答案為：A.【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求解即可.7．【答案】A【解析】【解答】解：直線y=a與函數(shù)f(x)=ex，g(x)=lnx的圖象分別相交于A，B兩點(diǎn)，可知a>0，并且xA=lna，xB=ea，f'(x)=ex，

g'(x)=1x，可得k1=elna=a，k2=1ea，所以k1k2=aea，

令h(x)=xex，h'(x)=1-xex，令1-x故答案為：A.【分析】求解解得橫坐標(biāo)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解斜率，然后推出k1k2的表達(dá)式，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解最值即可.8．【答案】B【解析】【解答】解：已知如圖所示：

設(shè)G為AC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理，可得GF//AB，且GF=12AB=1，GE//CD，且GE=12CD=32，又EF→=EG→+GF→，

且EF→·AB→=4，所以EF→·【分析】根據(jù)EF→·AB→=49．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、fx=ex?e?x，其定義域?yàn)镽，有f-x=e-x?ex=-ex?e-x=-fx，f(x)為奇函數(shù)，A正確；故答案為：ACD.【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性，綜合可得答案.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：由題意可得a+c=d2，a-c=d1，可得2a=d1+d2，2c=d2-d1，

A、焦距為d2-d1，A錯(cuò)誤；

B、離心率e=2c2a=d2?d1d2+d1，B正確；故答案為：BC.

【分析】由題意可得橢圓的長軸長，短軸長，焦距，進(jìn)而判斷出A，B，C的真假，當(dāng)d111．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、當(dāng)P與D1重合時(shí)，顯然BB1//DD1，從而易得BB1//面A1DD1，A正確；

B、∵B1在左側(cè)面內(nèi)的射影為A1，又點(diǎn)P為線段BD1上的動(dòng)點(diǎn)，BD1在左側(cè)面內(nèi)的射影為AD1，∴P在左側(cè)面內(nèi)的射影在AD1上，又A1與線段AD1上的點(diǎn)的連線始終與A1D不垂直，∴根據(jù)三垂線定理可知B1P與A1D不垂直，∴B1P與面A1DP不垂直，B錯(cuò)誤；

C、當(dāng)點(diǎn)P不是BD1的中點(diǎn)時(shí)，∵A1D//B1C，∴易知A1D//平面B1CP，從而可得平面A1DP與平面B1CP的交線m//A1D，從而可得m//面A1B1CD，C正確；

D、由C選項(xiàng)分析可知m//A1D，又易知A1D⊥面ABD1，∴m⊥面ABD1，D正確；故答案為：ACD.【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，三垂線定理，線面平行的判定定理與性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理，即可分別求解.12．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、若T8=T12，則有T12T8=a9a10a11a12=1，結(jié)合a9a12=a10a11，可得a10a11=±1，A錯(cuò)誤；

B、若T8=T12，則有T12T8=a9a10a11a12=1，可知T20=a1a2a3a4a17a18a19a20=(a9a10a11a12)5=1，B正確；

C、若a1=1024，且T10為數(shù)列{Tn}的唯一最大項(xiàng)，則公比q>0，a10>1且a11<1，即1024q9>11024q10<1，解得12故答案為：BCD.【分析】根據(jù)題意利用等比數(shù)列的通項(xiàng)與性質(zhì)，對(duì)各項(xiàng)中的結(jié)論依次進(jìn)行驗(yàn)證，即可求解.13．【答案】2.1【解析】【解答】解：根據(jù)隨機(jī)變量X的分布列可得，E(X)=1×0.1+2×0.7+3×0.2=2.1.故答案為：2.1.【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解即可.14．【答案】(2【解析】【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)g(x)=f(x)+2x-5，函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，y=2x-5也是定義在R上的增函數(shù)，

故g(x)是定義在R上的增函數(shù)，又由f(2)=1，則g(2)=f(2)+2x2-5=0，故f(x)>5-2x→f(x)+2x-5>0→g(x)>g(2)→x>2，

則原不等式的解集為(2，故答案為：(2，【分析】根據(jù)題意，設(shè)g(x)=f(x)+2x-5，分析可得g(x)是定義在R上的增函數(shù)且g(2)=0，由此可得原不等式等價(jià)于g(x)>g(2)，結(jié)合單調(diào)性可得答案.15．【答案】[2【解析】【解答】解：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由A(4，1)，B(2，2)，C(0，3)，點(diǎn)P滿足|PA|2+|PB|2+|PC|2=13，

可得(x-4)2+(y-1)2+(x-2)2+(y-2)2+(x-0)2+(y-3)2=13，化簡可得x2+y2-4x-4y+7=0，即(x-2)2+(y-2)2=1，

即點(diǎn)P在以(2，2)為圓心，1為半徑的圓上，

因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2+y2=r故答案為：[22【分析】由題意設(shè)出點(diǎn)P(x，y)，結(jié)合點(diǎn)P滿足|PA|216．【答案】27【解析】【解答】解：如圖所示：

設(shè)正四棱錐P-ABCD的底面邊長為a，高為h，球的半徑為R，由正四棱錐P-ABCD的體積為V=13a2h=1，得a2h=3，在Rt△AOO1中，有AO2=AO12+OO12，即R2=22a2+h-R2，即h2-2Rh+a22=0，化簡得2R=h+32h2，令fh=h+32故答案為：2716【分析】根據(jù)體積表示出棱錐的高與外接球半徑的等量關(guān)系，利用函數(shù)求最值即可.17．【答案】（1）證明：由an+1可知數(shù)列{an+n}（2）解：由（1）可知，an+n=2?從而S=2(1?【解析】【分析】(1)由等比數(shù)列的定義：若an+1an18．【答案】（1）解：由AB⊥CD，BC⊥CD，且AB∩BC=B，可得CD⊥平面ABC，則AC⊥CD.在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理，AC=A（2）解：如圖，過A點(diǎn)作AO⊥BD于點(diǎn)O，易知AO=3由平面ABD⊥平面BCD，可知AO⊥平面BCD.在平面BCD中，過O點(diǎn)作BD的垂線為x軸，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BD，AO所在直線分別為y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，3)，B(0有AB=(0，?1，?3)設(shè)平面ABC的法向量m=(x1令z1=1，解得其中一個(gè)法向量設(shè)平面ACD的法向量n=(x2令x2=1，解得其中一個(gè)法向量從而cos?即平面ABC和平面ACD夾角的余弦值為313【解析】【分析】(1)要求AC，可考慮解三角形ACD，因AD，CD已知，故想到求∠ACD，結(jié)合條件可證AC⊥CD即得；

(2)利用面面垂直構(gòu)建平面BCD的垂線AO，從而建系，求相關(guān)量，得各點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出兩個(gè)平面的法向量，運(yùn)用兩空間向量的夾角公式計(jì)算即得.19．【答案】（1）解：零假設(shè)為H0由列聯(lián)表可計(jì)算χ2=100×我們可以推斷H0（2）解：根據(jù)題意，設(shè)備更新后的優(yōu)質(zhì)率為0.8.可以認(rèn)為從生產(chǎn)線中抽出的5件產(chǎn)品是否優(yōu)質(zhì)是相互獨(dú)立的.①設(shè)X表示這5件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)，則X～B(5，p=P(X≤2)=②實(shí)際上設(shè)備更新后提高了優(yōu)質(zhì)率.當(dāng)這5件產(chǎn)品中的優(yōu)質(zhì)品件數(shù)不超過2件時(shí)，認(rèn)為更新失敗，此時(shí)作出了錯(cuò)誤的判斷，由于作出錯(cuò)誤判斷的概率很小，則核查方案是合理的.【解析】【分析】(1)先計(jì)算出χ2的值，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想對(duì)照臨界值得結(jié)論；

(2)①根據(jù)二項(xiàng)分布的有關(guān)計(jì)算公式，求出對(duì)應(yīng)的概率；②20．【答案】（1）證明：由sinB+sinC=2則b+c=2a?a2（2）解：根據(jù)cos∠ABC+cos∠CBD=0即4a2?從而|CD|=b+2，故|CD|?|CA|=2為定值.【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理，可將sinB+sinC=2sinA21．【答案】（1）解：易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞).由f(x)=0，可得設(shè)g(x)=alnx?x+1x，則且g(x)與f(x)有相同的零點(diǎn)個(gè)數(shù).思路1：令φ(x)=?x2+ax?1，x>0當(dāng)?2≤a≤2時(shí)，Δ≤0，則φ(x)≤0，即g'(x)≤0，可得g(x)在則g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)a<?2時(shí)，顯然φ(x)<0，則g'(x)<0，可得g(x)在(0，當(dāng)a>2時(shí)，由φ(x)=0，解得x1=a?a2當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，當(dāng)x∈(x2，+∞)時(shí)，φ(x)<0，即不難得知g(x2)>g(1)=0，g(4a2)=aln綜上，可知a∈(?∞，思路2：令φ(x)=?x2+ax?1當(dāng)a≤0時(shí)，φ(x)在(0，+∞)單調(diào)遞減，有φ(x)<φ(0)=?1，即可得g(x)在(0，+∞)單調(diào)遞減，則當(dāng)a>0時(shí)，φ(x)若a≤2，φ(x)≤0，則g'(x)≤0，可得g(