2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章第02講兩條直線的位置關(guān)系(八大題型)(講義)(學(xué)生版+解析)

第02講兩條直線的位置關(guān)系目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識(shí)點(diǎn)1：直線平行與垂直的判定 4知識(shí)點(diǎn)2：三種距離 4解題方法總結(jié) 5題型一：兩直線位置關(guān)系的判定 6題型二：兩直線的交點(diǎn)與距離問題 8題型三：有關(guān)距離的最值問題 9題型四：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 11題型五：點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱 11題型六：線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 12題型七：線關(guān)于線對(duì)稱 13題型八：直線系方程 1304真題練習(xí)·命題洞見 1405課本典例·高考素材 1506易錯(cuò)分析·答題模板 17易錯(cuò)點(diǎn)：兩平行直線間的距離公式應(yīng)用錯(cuò)誤 17答題模板：已知兩直線平行或垂直求參數(shù) 17

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）兩條直線的平行與垂直（2）兩直線的交點(diǎn)與距離問題2022年上海卷第7題，5分2020年III卷第8題，5分2020年上海卷第7題，5分高考對(duì)兩條直線的位置關(guān)系的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，備考時(shí)應(yīng)熟練掌握兩條直線的位置關(guān)系、距離公式、對(duì)稱問題等，特別要重視兩條直線的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式這兩個(gè)考點(diǎn)．復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直．（2）能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．（3）掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離．

知識(shí)點(diǎn)1：直線平行與垂直的判定兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示．兩直線方程平行垂直（斜率存在）（斜率不存在）或或中有一個(gè)為0，另一個(gè)不存在．【診斷自測(cè)】（多選題）已知兩條直線，的方程分別為與，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則兩條平行直線之間的距離為C．若，則 D．若，則直線，一定相交知識(shí)點(diǎn)2：三種距離1、兩點(diǎn)間的距離平面上兩點(diǎn)的距離公式為．特別地，原點(diǎn)O（0，0）與任一點(diǎn)P（x，y）的距離2、點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離特別地，若直線為l：x=m，則點(diǎn)到l的距離；若直線為l：y=n，則點(diǎn)到l的距離3、兩條平行線間的距離已知是兩條平行線，求間距離的方法：（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離．（2）設(shè)，則與之間的距離注：兩平行直線方程中，x，y前面對(duì)應(yīng)系數(shù)要相等．4、雙根式雙根式型函數(shù)求解，首先想到兩點(diǎn)間的距離，或者利用單調(diào)性求解．【診斷自測(cè)】（多選題）已知點(diǎn)到直線的距離為3，則實(shí)數(shù)等于（

）A．0 B． C．3 D．2解題方法總結(jié)1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有可得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為2、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，則垂直平分，所以，且為中點(diǎn)，又因?yàn)樵谥本€上，故可得，解出即可．3、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；法二：求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．4、直線關(guān)于直線對(duì)稱求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對(duì)稱直線第一步：聯(lián)立算出交點(diǎn)第二步：在上任找一點(diǎn)（非交點(diǎn)），利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的秒殺公式算出對(duì)稱點(diǎn)第三步：利用兩點(diǎn)式寫出方程5、常見的一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．6、過定點(diǎn)直線系過已知點(diǎn)的直線系方程（為參數(shù)）．7、斜率為定值直線系斜率為的直線系方程（是參數(shù)）．8、平行直線系與已知直線平行的直線系方程（為參數(shù)）．9、垂直直線系與已知直線垂直的直線系方程（為參數(shù)）．10、過兩直線交點(diǎn)的直線系過直線與的交點(diǎn)的直線系方程：（為參數(shù)）．題型一：兩直線位置關(guān)系的判定【典例1-1】（湖北省“宜荊荊恩”2024屆高三9月起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試題）已知兩條直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例1-2】已知，，直線和垂直，則的最小值為（

）A． B． C． D．【方法技巧】【解題方法總結(jié)】判斷兩直線的位置關(guān)系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設(shè)（不全為0），（不全為0），則：當(dāng)時(shí)，直線相交；當(dāng)時(shí)，直線平行或重合，代回檢驗(yàn)；當(dāng)時(shí)，直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶．【變式1-1】直線與直線相交，則實(shí)數(shù)的值為（）A．或 B．或C．且 D．且【變式1-2】點(diǎn)為直線上不同的兩點(diǎn)，則直線與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．重合 D．不確定【變式1-3】（2024·高三·廣東·開學(xué)考試）已知直線，直線，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【變式1-4】（2024·高三·上海寶山·開學(xué)考試）已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在，使得B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．對(duì)任意的，都有題型二：兩直線的交點(diǎn)與距離問題【典例2-1】（2024·高三·江蘇蘇州·開學(xué)考試）已知直線與直線交于，則原點(diǎn)到直線距離的最大值為（

）A．2 B． C． D．1【典例2-2】若直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧】?jī)牲c(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計(jì)算，特別注意點(diǎn)到直線距離公式的結(jié)構(gòu)．【變式2-1】已知點(diǎn)，，，則的面積為．【變式2-2】已知平面上點(diǎn)和直線，點(diǎn)P到直線l的距離為d，則.【變式2-3】已知直線，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為.【變式2-4】已知點(diǎn)，若直線l過點(diǎn)，且A、B到直線l的距離相等，則直線l的方程為.【變式2-5】，與直線平行，則直線與的距離為.【變式2-6】若恰有兩組的實(shí)數(shù)對(duì)滿足關(guān)系式，則符合題意的的值為.【變式2-7】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線和與x軸圍成的三角形是等腰三角形，則k的取值不可能為（

）A． B． C． D．題型三：有關(guān)距離的最值問題【典例3-1】我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”事實(shí)上有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，根據(jù)上述觀點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．3 C． D．4【典例3-2】設(shè)，其中.則的最小值為（

）A．8 B．9 C． D．【方法技巧】數(shù)學(xué)結(jié)合，利用距離的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化．【變式3-1】已知，，，為四個(gè)實(shí)數(shù)，且，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．5【變式3-2】已知為直線上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．【變式3-3】的最小值為（

）A． B． C． D．【變式3-4】已知實(shí)數(shù)，滿足，，，則的最小值是．【變式3-5】已知點(diǎn)分別在直線與直線上，且，點(diǎn)，，則的最小值為.【變式3-6】（多選題）已知兩點(diǎn)，點(diǎn)是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．存在使最小 B．存在使最小C．存在使最小 D．存在使最小【變式3-7】（多選題）已知直線和三點(diǎn)，，，過點(diǎn)C的直線與x軸、y軸的正半軸交于M，N兩點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（

）A．P在直線l上，則的最小值為B．直線l上一點(diǎn)使最大C．當(dāng)最小時(shí)的方程是D．當(dāng)最小時(shí)的方程是【變式3-8】已知點(diǎn)在直線，點(diǎn)在直線上，且，的最小值為（

）A． B． C． D．5【變式3-9】過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)M，則的最大值是（

）A． B．3 C． D．【變式3-10】已知，為實(shí)數(shù)，代數(shù)式的最小值是.題型四：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【典例4-1】直線l經(jīng)過點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，.【典例4-2】已知，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則.【方法技巧】求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得【變式4-1】已知點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的長(zhǎng)度為.【變式4-2】設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，的中點(diǎn)是，則等于【變式4-3】已知直線l與直線及直線分別交于點(diǎn)P，Q．若PQ的中點(diǎn)為點(diǎn)，則直線l的斜率為．【變式4-4】已知直線與直線和的交點(diǎn)分別為，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為.題型五：點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱【典例5-1】將一張坐標(biāo)紙對(duì)折，如果點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)與點(diǎn)重合.【典例5-2】點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【方法技巧】求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)方法一：（一中一垂），即線段的中點(diǎn)M在對(duì)稱軸上，若直線的斜率存在，則直線的斜率與對(duì)稱軸的斜率之積為－1，兩個(gè)條件建立方程組解得點(diǎn)方法二：先求經(jīng)過點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線（法線），然后由得線段的中點(diǎn)，從而得【變式5-1】若直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱，則直線恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【變式5-2】一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射后經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【變式5-3】在等腰直角三角形ABC中，，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光從點(diǎn)P出發(fā)經(jīng)反射后又回到點(diǎn)P，反射點(diǎn)為Q，R，若光線QR經(jīng)過的重心，則.題型六：線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【典例6-1】直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為．【典例6-2】直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為．【方法技巧】求直線l關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的直線求解方法是：在已知直線l上取一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱得，再利用，由點(diǎn)斜式方程求得直線的方程（或者由，且點(diǎn)到直線l及的距離相等來求解）．【變式6-1】直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為．【變式6-2】直線恒過定點(diǎn)，則直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為．【變式6-3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸正方向平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關(guān)于點(diǎn)（2，3）對(duì)稱，則直線l的方程是.題型七：線關(guān)于線對(duì)稱【典例7-1】若直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的一般式方程為.【典例7-2】直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的傾斜角是．【方法技巧】求直線l關(guān)于直線對(duì)稱的直線若直線，則，且對(duì)稱軸與直線l及之間的距離相等．此時(shí)分別為，由，求得，從而得．若直線l與不平行，則．在直線l上取異于Q的一點(diǎn)，然后求得關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，再由兩點(diǎn)確定直線（其中）．【變式7-1】已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為，則直線的方程為．【變式7-2】若直線l與直線的夾角平分線為，則直線l的方程為.【變式7-3】直線：關(guān)于直線：的對(duì)稱直線方程為．【變式7-4】直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線的方程為.題型八：直線系方程【典例8-1】過兩直線和的交點(diǎn)且過原點(diǎn)的直線方程為．【典例8-2】經(jīng)過點(diǎn)和兩直線；交點(diǎn)的直線方程為.【方法技巧】利用直線系方程求解．【變式8-1】已知兩直線和的交點(diǎn)為，則過兩點(diǎn)的直線方程為.【變式8-2】設(shè)直線經(jīng)過和的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為.【變式8-3】已知直線的方程為，求坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離的最大值.1．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（

）A．1 B．2 C． D．42．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為（

）A． B． C． D．3．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅲ））點(diǎn)(0，﹣1)到直線距離的最大值為（

）A．1 B． C． D．21．已知點(diǎn)和，點(diǎn)P在x軸上，且為直角，求點(diǎn)P的坐標(biāo).2．已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是，，，，求證：四邊形ABCD為矩形．3．如圖，已知直線與直線，在上任取一點(diǎn)A，在上任取一點(diǎn)B，連接AB，取AB的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)C，過點(diǎn)C作的平行線，求與間的距離．4．三條直線，與相交于一點(diǎn)，求a的值．5．已知AO是邊BC的中線，用坐標(biāo)法證明．6．已知，．（1）求證：，并求使等式成立的條件．（2）說明上述不等式的幾何意義．7．已知為任意實(shí)數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，方程表示什么圖形？圖形有何特點(diǎn)？易錯(cuò)點(diǎn)：兩平行直線間的距離公式應(yīng)用錯(cuò)誤易錯(cuò)分析：應(yīng)用兩平行直線間的距離公式一定要注意兩平行直線的方程對(duì)應(yīng)x，y的系數(shù)相等時(shí)，才可利用兩平行線間的距離公式求解.【易錯(cuò)題1】，與直線平行，則直線與的距離為.【易錯(cuò)題2】?jī)善叫兄本€與之間的距離為．答題模板：已知兩直線平行或垂直求參數(shù)1、模板解決思路當(dāng)需要通過兩直線的平行或垂直關(guān)系來求解參數(shù)的值時(shí)，一般的做法是首先考察這兩條直線的斜率。如果兩條直線平行，那么它們的斜率相等；如果兩條直線垂直，那么它們的斜率之積為-1。這里需要特別注意，當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，斜率不存在，此時(shí)應(yīng)單獨(dú)考慮。2、模板解決步驟第一步：將兩條直線的方程均化成斜截式．第二步：根據(jù)兩直線平行或垂直，列出方程（組）．第三步：解方程（組），求出參數(shù)的值，由兩直線平行求參數(shù)后要檢驗(yàn)兩直線是否重合．【典型例題1】已知直線，若，則．【典型例題2】已知直線和垂直且，則的最小值為.第02講兩條直線的位置關(guān)系目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識(shí)點(diǎn)1：直線平行與垂直的判定 4知識(shí)點(diǎn)2：三種距離 5解題方法總結(jié) 5題型一：兩直線位置關(guān)系的判定 7題型二：兩直線的交點(diǎn)與距離問題 9題型三：有關(guān)距離的最值問題 14題型四：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 23題型五：點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱 25題型六：線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 27題型七：線關(guān)于線對(duì)稱 29題型八：直線系方程 3104真題練習(xí)·命題洞見 3305課本典例·高考素材 3406易錯(cuò)分析·答題模板 37易錯(cuò)點(diǎn)：兩平行直線間的距離公式應(yīng)用錯(cuò)誤 37答題模板：已知兩直線平行或垂直求參數(shù) 37

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）兩條直線的平行與垂直（2）兩直線的交點(diǎn)與距離問題2022年上海卷第7題，5分2020年III卷第8題，5分2020年上海卷第7題，5分高考對(duì)兩條直線的位置關(guān)系的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，備考時(shí)應(yīng)熟練掌握兩條直線的位置關(guān)系、距離公式、對(duì)稱問題等，特別要重視兩條直線的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式這兩個(gè)考點(diǎn)．復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直．（2）能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．（3）掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離．

知識(shí)點(diǎn)1：直線平行與垂直的判定兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示．兩直線方程平行垂直（斜率存在）（斜率不存在）或或中有一個(gè)為0，另一個(gè)不存在．【診斷自測(cè)】（多選題）已知兩條直線，的方程分別為與，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則兩條平行直線之間的距離為C．若，則 D．若，則直線，一定相交【答案】AD【解析】?jī)蓷l直線，的方程分別為與，它們不重合，若，則，得，檢驗(yàn)符合，故A選項(xiàng)正確；若，由A選項(xiàng)可知，：，直線的方程可化為，故兩條平行直線之間的距離為，故B選項(xiàng)不正確；若，則，得，故C選項(xiàng)不正確；由A選項(xiàng)知，當(dāng)時(shí)，，所以若，則直線，一定相交，故D選項(xiàng)正確.故選：AD.知識(shí)點(diǎn)2：三種距離1、兩點(diǎn)間的距離平面上兩點(diǎn)的距離公式為．特別地，原點(diǎn)O（0，0）與任一點(diǎn)P（x，y）的距離2、點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離特別地，若直線為l：x=m，則點(diǎn)到l的距離；若直線為l：y=n，則點(diǎn)到l的距離3、兩條平行線間的距離已知是兩條平行線，求間距離的方法：（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離．（2）設(shè)，則與之間的距離注：兩平行直線方程中，x，y前面對(duì)應(yīng)系數(shù)要相等．4、雙根式雙根式型函數(shù)求解，首先想到兩點(diǎn)間的距離，或者利用單調(diào)性求解．【診斷自測(cè)】（多選題）已知點(diǎn)到直線的距離為3，則實(shí)數(shù)等于（

）A．0 B． C．3 D．2【答案】AB【解析】依題意，即,解得或.故選：AB.解題方法總結(jié)1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有可得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為2、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，則垂直平分，所以，且為中點(diǎn)，又因?yàn)樵谥本€上，故可得，解出即可．3、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；法二：求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．4、直線關(guān)于直線對(duì)稱求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對(duì)稱直線第一步：聯(lián)立算出交點(diǎn)第二步：在上任找一點(diǎn)（非交點(diǎn)），利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的秒殺公式算出對(duì)稱點(diǎn)第三步：利用兩點(diǎn)式寫出方程5、常見的一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．6、過定點(diǎn)直線系過已知點(diǎn)的直線系方程（為參數(shù)）．7、斜率為定值直線系斜率為的直線系方程（是參數(shù)）．8、平行直線系與已知直線平行的直線系方程（為參數(shù)）．9、垂直直線系與已知直線垂直的直線系方程（為參數(shù)）．10、過兩直線交點(diǎn)的直線系過直線與的交點(diǎn)的直線系方程：（為參數(shù)）．題型一：兩直線位置關(guān)系的判定【典例1-1】（湖北省“宜荊荊恩”2024屆高三9月起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試題）已知兩條直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【典例1-2】已知，，直線和垂直，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，直線，，且，，即．則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為8，故選：B．【方法技巧】【解題方法總結(jié)】判斷兩直線的位置關(guān)系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設(shè)（不全為0），（不全為0），則：當(dāng)時(shí)，直線相交；當(dāng)時(shí)，直線平行或重合，代回檢驗(yàn)；當(dāng)時(shí)，直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶．【變式1-1】直線與直線相交，則實(shí)數(shù)的值為（）A．或 B．或C．且 D．且【答案】A【解析】由直線與直線相交，得，即，解得且，所以實(shí)數(shù)k的值為且.故選：D【變式1-2】點(diǎn)為直線上不同的兩點(diǎn)，則直線與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．重合 D．不確定【答案】A【解析】由點(diǎn)為直線上不同的兩點(diǎn)，則直線與直線的斜率存在時(shí)一定為，可以把這兩個(gè)斜率看成直線上兩點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率的倒數(shù)，由已知可得，則，即兩直線不可能平行與重合，則只能相交;若直線與直線的斜率有一個(gè)不存在，則另一個(gè)斜率必存在，也能判定兩直線相交；故選：A.【變式1-3】（2024·高三·廣東·開學(xué)考試）已知直線，直線，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)榛?，所以是的充分不必要條件．故選：A．【變式1-4】（2024·高三·上海寶山·開學(xué)考試）已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在，使得B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．對(duì)任意的，都有【答案】A【解析】對(duì)于A，表示過定點(diǎn)，且斜率不為的直線，集合表示直線上所有的點(diǎn)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，由得：，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)，即時(shí)，直線與平行，，解得：；綜上所述：當(dāng)時(shí)，或，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則且直線與重合，，方程組無(wú)解，，D正確.故選：D.題型二：兩直線的交點(diǎn)與距離問題【典例2-1】（2024·高三·江蘇蘇州·開學(xué)考試）已知直線與直線交于，則原點(diǎn)到直線距離的最大值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】A【解析】因?yàn)閮芍本€交于，則，即，且，則；由原點(diǎn)到直線的距離由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí).即兩直線重合時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大.故選：B.【典例2-2】若直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即交點(diǎn)為，因?yàn)榻稽c(diǎn)在第一象限，所以.故選：A【方法技巧】?jī)牲c(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計(jì)算，特別注意點(diǎn)到直線距離公式的結(jié)構(gòu)．【變式2-1】已知點(diǎn)，，，則的面積為．【答案】5【解析】設(shè)邊上的高為，則就是點(diǎn)C到AB所在直線的距離．易知．由兩點(diǎn)式可得邊所在直線的方程為，即．點(diǎn)到直線的距離，所以的面積為．故答案為：5【變式2-2】已知平面上點(diǎn)和直線，點(diǎn)P到直線l的距離為d，則.【答案】/4.5【解析】依題意，直線，而點(diǎn)，所以.故答案為：【變式2-3】已知直線，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為.【答案】【解析】直線，即，由,解得，，所以直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)直線l與直線AP垂直時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最大，最大值為，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故答案為：【變式2-4】已知點(diǎn)，若直線l過點(diǎn)，且A、B到直線l的距離相等，則直線l的方程為.【答案】或【解析】依題意，到直線的距離相等.的中點(diǎn)為，當(dāng)過以及時(shí)，直線的方程為.直線的斜率為，當(dāng)直線過并與平行時(shí)，直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.故答案為：或【變式2-5】，與直線平行，則直線與的距離為.【答案】【解析】因?yàn)?/，所以，解得，，，由兩平行直線的距離公式可得：，故答案為：【變式2-6】若恰有兩組的實(shí)數(shù)對(duì)滿足關(guān)系式，則符合題意的的值為.【答案】/【解析】可以看成點(diǎn)到直線：的距離，可以看成點(diǎn)到直線：的距離，由已知可得，，：不過原點(diǎn)，又由恰有兩組的實(shí)數(shù)對(duì)滿足關(guān)系式，所以可以看成有且僅有兩條直線滿足，直線方程：，所以滿足題意的直線：第一條是線段的垂直平分線，當(dāng)：是的垂直平分線時(shí)，因?yàn)椋?，符合題意；第二條只能取自與直線平行的兩條直線中的一條，且此時(shí)另一條直線過原點(diǎn)，此時(shí)第二條直線的方程為，所以此時(shí)，即，符合題意；所以.故答案為：.【變式2-7】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線和與x軸圍成的三角形是等腰三角形，則k的取值不可能為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令直線的傾斜角分別為，則，當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在x軸上時(shí)，，；當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在直線上時(shí)，或，因?yàn)?，且，解得，所以，或；?dāng)圍成的等腰三角形底邊在直線上時(shí)，，則.故選：D．題型三：有關(guān)距離的最值問題【典例3-1】我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”事實(shí)上有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，根據(jù)上述觀點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【解析】，表示平面上點(diǎn)與點(diǎn)，的距離和，連接，與軸交于，此時(shí)直線方程為，令，則的最小值為，此時(shí)故選：C．【典例3-2】設(shè)，其中.則的最小值為（

）A．8 B．9 C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則表示：，，則直線的方程為，令，則，所以直線與軸相交于點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)點(diǎn)P為時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為9.故選：B.【方法技巧】數(shù)學(xué)結(jié)合，利用距離的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化．【變式3-1】已知，，，為四個(gè)實(shí)數(shù)，且，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．5【答案】A【解析】設(shè)，則，所以，而可看做軸上動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離和，如圖，由圖可知當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，最小，最小值為，所以的最小值為.故選：D【變式3-2】已知為直線上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．【答案】A【解析】如圖，為點(diǎn)到原點(diǎn)和到點(diǎn)的距離之和，即．設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則得，即．易得，當(dāng)A，，三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，且最小值為．故選：A．【變式3-3】的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知，，設(shè)，則的幾何意義為的值，如圖，作點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，此時(shí)取得最小值，為.而，即的最小值為，所以的最小值為.故選：D【變式3-4】已知實(shí)數(shù)，滿足，，，則的最小值是．【答案】/【解析】依題意，方程、分別表示以原點(diǎn)為圓心，2、3為半徑的圓，令，即點(diǎn)分別在、上，如圖，顯然，，即有，，取線段中點(diǎn)，連接，則，因此點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，而，即表示點(diǎn)到直線的距離和的倍，過分別作直線的垂線，垂足分別為，過作垂直于直線于點(diǎn)，于是，，，原點(diǎn)到直線的距離，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)取等號(hào)，所以.故答案為：【變式3-5】已知點(diǎn)分別在直線與直線上，且，點(diǎn)，，則的最小值為.【答案】【解析】易知，作出圖象如下，過點(diǎn)作直線，則，直線，過作直線，與直線交于點(diǎn)，易知四邊形為平行四邊形，故，且到直線的距離等于到的距離，設(shè)，則，解得或（舍，所以，而，且（定值），故只需求出的最小值即可，顯然，故的最小值為．故答案為：．【變式3-6】（多選題）已知兩點(diǎn)，點(diǎn)是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．存在使最小 B．存在使最小C．存在使最小 D．存在使最小【答案】ABD【解析】對(duì)于A：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)為與交點(diǎn)時(shí)滿足題意，又因?yàn)?，即，所以，所以，所以，故A正確；對(duì)于B：設(shè)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最小值，此時(shí)，所以，故B正確；對(duì)于C：如下圖，根據(jù)與的位置關(guān)系可判斷出有最大值，無(wú)最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，取等?hào)時(shí)，即為垂直平分線與的交點(diǎn)，因?yàn)榇怪逼椒志€方程為，即，所以，所以，所以，故D正確；故選：ABD.【變式3-7】（多選題）已知直線和三點(diǎn)，，，過點(diǎn)C的直線與x軸、y軸的正半軸交于M，N兩點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（

）A．P在直線l上，則的最小值為B．直線l上一點(diǎn)使最大C．當(dāng)最小時(shí)的方程是D．當(dāng)最小時(shí)的方程是【答案】AC【解析】對(duì)于A：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值.A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最大值，又，即，聯(lián)立，解得，即直線l上一點(diǎn)使最大，B正確；對(duì)于C：設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，即，C正確；對(duì)于D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，即，D錯(cuò)誤.故選：BC.【變式3-8】已知點(diǎn)在直線，點(diǎn)在直線上，且，的最小值為（

）A． B． C． D．5【答案】A【解析】由已知表示點(diǎn)Mx1,y表示點(diǎn)Nx2,y所以，過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)橹本€的方程為，，所以，又直線與直線平行，，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，最小值為，因?yàn)檫^點(diǎn)與直線垂直的直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以的最小值為，故選：D.【變式3-9】過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)M，則的最大值是（

）A． B．3 C． D．【答案】B【解析】由題意知過定點(diǎn),動(dòng)直線即過定點(diǎn)，對(duì)于直線和動(dòng)直線滿足，故兩直線垂直，因此點(diǎn)M在以為直徑的圓上，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為，故選：C【變式3-10】已知，為實(shí)數(shù)，代數(shù)式的最小值是.【答案】10【解析】設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)分別為連線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：10.題型四：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【典例4-1】直線l經(jīng)過點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，.【答案】【解析】設(shè)Aa,0，，∵P為AB中點(diǎn)，∴，解得，，即，，所以故答案為：.【典例4-2】已知，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則.【答案】【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知：，，解得：，，.故答案為：.【方法技巧】求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得【變式4-1】已知點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的長(zhǎng)度為.【答案】【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，，則為直角三角形，且為斜邊，故.故答案為：【變式4-2】設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，的中點(diǎn)是，則等于【答案】【解析】根據(jù)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，且的中點(diǎn)是，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到A，B的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，且的中點(diǎn)是，所以，所以，故答案為：【變式4-3】已知直線l與直線及直線分別交于點(diǎn)P，Q．若PQ的中點(diǎn)為點(diǎn)，則直線l的斜率為．【答案】【解析】設(shè)，則．由點(diǎn)Q在直線上，得，．故．所以直線l的斜率為，所以故答案為【變式4-4】已知直線與直線和的交點(diǎn)分別為，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為.【答案】【解析】因?yàn)橹本€與直線和的交點(diǎn)分別為，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式可得，解得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.故答案為：.題型五：點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱【典例5-1】將一張坐標(biāo)紙對(duì)折，如果點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)與點(diǎn)重合.【答案】【解析】已知點(diǎn)與點(diǎn)，可知線段的中點(diǎn)為，且，則線段的中垂線的斜率，則線段的中垂線方程為，即，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以所求點(diǎn)為.故答案為：.【典例5-2】點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)所求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，故點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D.【方法技巧】求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)方法一：（一中一垂），即線段的中點(diǎn)M在對(duì)稱軸上，若直線的斜率存在，則直線的斜率與對(duì)稱軸的斜率之積為－1，兩個(gè)條件建立方程組解得點(diǎn)方法二：先求經(jīng)過點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線（法線），然后由得線段的中點(diǎn)，從而得【變式5-1】若直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱，則直線恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，故直線恒過定點(diǎn).故選：C【變式5-2】一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射后經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，化簡(jiǎn)得，解得，故反射光線過點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程為.故選：B.【變式5-3】在等腰直角三角形ABC中，，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光從點(diǎn)P出發(fā)經(jīng)反射后又回到點(diǎn)P，反射點(diǎn)為Q，R，若光線QR經(jīng)過的重心，則.【答案】【解析】依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB為x軸，直線AC為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，的重心G的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，則點(diǎn)P關(guān)系y軸對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，顯然直線BC的方程為，于是，解得，即點(diǎn)，由光的反射定律知，光線過點(diǎn)，也過點(diǎn)，而光線經(jīng)過的重心，因此點(diǎn)共線，則有，整理得，解得，所以.故答案為：題型六：線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【典例6-1】直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為．【答案】【解析】在直線上取點(diǎn)、，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線的斜率為，所以，所求直線方程為，即.故答案為：.【典例6-2】直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為．【答案】【解析】在對(duì)稱直線上任取一點(diǎn),設(shè)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，由于在直線上，所以，即，故答案為：【方法技巧】求直線l關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的直線求解方法是：在已知直線l上取一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱得，再利用，由點(diǎn)斜式方程求得直線的方程（或者由，且點(diǎn)到直線l及的距離相等來求解）．【變式6-1】直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為．【答案】【解析】設(shè)為上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)樵谥本€l上，所以，即直線的方程為．故答案為：【變式6-2】直線恒過定點(diǎn)，則直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為．【答案】【解析】由得：，當(dāng)時(shí)，，；設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為，，解得：或（舍），直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為.故答案為：.【變式6-3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸正方向平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，沿y軸負(fù)方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關(guān)于點(diǎn)（2，3）對(duì)稱，則直線l的方程是.【答案】6x－8y＋1＝0【解析】根據(jù)平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直線：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根據(jù)對(duì)稱解得b＝，計(jì)算得到答案.由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，則直線l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直線方程為y＝k（x－3－1）＋b＋5－2即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝，∴直線l的方程為y＝x＋b，直線l1為y＝x＋＋b取直線l上的一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)（2，3）的對(duì)稱點(diǎn)為，，解得b＝.∴直線l的方程是，即6x－8y＋1＝0.故答案為：6x－8y＋1＝0題型七：線關(guān)于線對(duì)稱【典例7-1】若直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的一般式方程為.【答案】【解析】設(shè)直線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，因?yàn)橹本€與直線關(guān)于直線對(duì)稱，所以在直線上，即，得到直線的一般式方程為故答案為：【典例7-2】直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的傾斜角是．【答案】【解析】直線，故直線的斜率等于，設(shè)直線的傾斜角等于，則，且，故，同理直線的傾斜角為，所以直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的傾斜角是．故答案為：.【方法技巧】求直線l關(guān)于直線對(duì)稱的直線若直線，則，且對(duì)稱軸與直線l及之間的距離相等．此時(shí)分別為，由，求得，從而得．若直線l與不平行，則．在直線l上取異于Q的一點(diǎn)，然后求得關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，再由兩點(diǎn)確定直線（其中）．【變式7-1】已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為，則直線的方程為．【答案】.【解析】由題意知，設(shè)直線，在直線上取點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，將代入的方程得，所以直線的方程為.故答案為：【變式7-2】若直線l與直線的夾角平分線為，則直線l的方程為.【答案】【解析】由題意可得直線l與直線關(guān)于直線對(duì)稱，由于直線上的任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)橐阎本€，則的方程是，即，故答案為：.【變式7-3】直線：關(guān)于直線：的對(duì)稱直線方程為．【答案】【解析】設(shè)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線為，由，解得，則點(diǎn)在直線上；在直線上取一點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，即，所以直線的方程為，即．故答案為：【變式7-4】直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線的方程為.【答案】【解析】設(shè)為所求直線上一點(diǎn)，它關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則可得，由題可得在直線上，所以，整理可得所求的對(duì)稱直線方程為.故答案為：.題型八：直線系方程【典例8-1】過兩直線和的交點(diǎn)且過原點(diǎn)的直線方程為．【答案】【解析】令所求直線為，又直線過原點(diǎn)，則，所以所求直線為.故答案為：【典例8-2】經(jīng)過點(diǎn)和兩直線；交點(diǎn)的直線方程為.【答案】【解析】設(shè)所求直線方程為，點(diǎn)在直線上，，解得，所求直線方程為，即．故答案為：.【方法技巧】利用直線系方程求解．【變式8-1】已知兩直線和的交點(diǎn)為，則過兩點(diǎn)的直線方程為.【答案】【解析】依題意兩直線和的交點(diǎn)為，所以在直線上，所以過兩點(diǎn)所在直線方程為.故答案為：【變式8-2】設(shè)直線經(jīng)過和的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為.【答案】或【解析】方法一：由，得，所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（14，10）,由題意可得直線的斜率為1或-1，所以直線的方程為或，即或.方法二：設(shè)直線的方程為，整理得，由題意，得，解得或，所以直線的方程為或.故答案為：或.【變式8-3】已知直線的方程為，求坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離的最大值.【答案】【解析】直線的方程為，即令，解得：所以直線恒過定點(diǎn)，所以原點(diǎn)到直線的距離，即