江蘇省無錫市錫山區(qū)查橋中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4

第頁無錫市查橋中學(xué)九年級數(shù)學(xué)單元練習(xí)一．選擇題（每題3分，共30分）1.下列方程中是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的定義，根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫一元二次方程，逐一判斷即可求解，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、滿足一元二次方程的定義，是一元二次方程，符合題意；、含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；、未知數(shù)的最高次數(shù)是，不是一元二次方程，不符合題意；、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意；故選：．2.將方程配方后，原方程可變形為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【詳解】解：．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查利用配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步驟是解答本題的關(guān)鍵．3.已知的兩個(gè)根為、，則的值為（）A.2 B.－2 C.3 D.－3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求解．【詳解】解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4.如圖，是⊙的直徑，若弧AC所對的圓心角的度數(shù)是，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了弧、弦、圓心角之間的關(guān)系、等邊對等角、三角形的內(nèi)角和定理，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．根據(jù)等邊對等角，得出，即，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可得出的度數(shù)．【詳解】解：∵所對的圓心角的度數(shù)是；∴；∵；∴；故選：C．5.如圖，C，D是上直徑AB兩側(cè)的兩點(diǎn)，設(shè)，則（）A.85° B.75° C.70° D.65°【答案】B【解析】【分析】由是直徑可得，由可知，再根據(jù)圓周角定理可得的度數(shù)，即可得出答案．【詳解】解：是的直徑，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，由是直徑求出是解題的關(guān)鍵．6.已知有一個(gè)長為8，寬為6的矩形，能夠把這個(gè)矩形完全蓋住的最小圓形紙片的半徑是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)矩形的性質(zhì)及圓周角定理可證得AC是外接圓的直徑，再根據(jù)勾股定理即可求得AC，據(jù)此即可求得．【詳解】解：最小圓形紙片是的外接圓，如圖，，是外接圓的直徑，∴該圓直徑為，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，證得AC是外接圓的直徑是解決本題的關(guān)鍵．7.如圖，已知點(diǎn)A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（）A.（0，0） B.（2，3） C.（5，2） D.（1，4）【答案】C【解析】【分析】利用網(wǎng)格特點(diǎn)作AB和BC的垂直平分線，它們的交點(diǎn)P即為△ABC外接圓的圓心．【詳解】解：如圖，△ABC外接圓的圓心為P點(diǎn)，其坐標(biāo)為（5，2）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．8.已知⊙O的半徑是一元二次方程的一個(gè)根，點(diǎn)A與圓心O的距離為6，則下列說法正確在是（）A.點(diǎn)A在⊙O外 B.點(diǎn)A在⊙O上 C.點(diǎn)A在⊙O內(nèi) D.無法判斷【答案】A【解析】【分析】先求方程的根，可得r的值，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法可求解．【詳解】解：∵，∴＝﹣1，＝4，∵⊙O的半徑為一元二次方程的根，∴r＝4，∵6＞4，∴點(diǎn)A在⊙O外，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解決此類問題可通過比較點(diǎn)到圓心的距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定．9.如圖，已知⊙O的半徑為5cm，弦AB的長為8cm，P是AB的延長線上一點(diǎn)，BP＝2cm，則OP等于（）A.2cm B.3cm C.cm D.cm【答案】D【解析】【分析】過O作OC⊥AB于C，根據(jù)垂徑定理求出AC、BC，根據(jù)勾股定理求出OC，根據(jù)勾股定理求出OP即可．【詳解】過O作OC⊥AB于C，則∠OCP＝∠ACO＝90°，∵OC⊥AB，OC過O，∴AC＝BC＝AB＝×8cm＝4cm，∵BP＝2cm，∴PC＝BC+BP＝6cm，在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC＝＝＝3（cm），在Rt△PCO中，由勾股定理得：OP＝＝＝3（cm），故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：垂直于弦的直徑平分弦．10.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，F(xiàn)是線段AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A的⊙F交AB于點(diǎn)D，E是線段BC上一點(diǎn)，且ED=EB，則EF的最小值為（）A.3 B.2 C. D.2【答案】B【解析】【詳解】分析：作FG⊥AB于G，EH⊥AB于H，F(xiàn)I⊥EH于I，則FI=GH．由垂徑定理得到AG=DG=AD，由等腰三角形三線合一得到DH=HB=DB，從而得到GH=DG+DH=AB=，由EF≥FI，即可得到結(jié)論．詳解：作FG⊥AB于G，EH⊥AB于H，F(xiàn)I⊥EH于I，∴FGHI是矩形，∴FI=GH．∵FG⊥AB，F(xiàn)為圓心，∴AG=DG=AD．∵ED=EB，EH⊥AB，∴DH=HB=DB，∴GH=DG+DH=AD+DB=AB=，∴FI=．∵EF≥FI，∴EF≥．∴EF的最小值為．故選B．點(diǎn)睛：本題考查了垂徑定理和等腰三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是得出EF≥FI．二．填空題（每空3分，共24分）11.一元二次方程x2＝2x的解為________．【答案】x1＝0，x2＝2【解析】【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】移項(xiàng)得x2－2x=0，即x（x－2）=0，解得x=0或x=2．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．12.如果關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是___．【答案】【解析】【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)鍵可得：從而列不等式可得答案．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．13.已知圓錐底面半徑為4cm，母線長為5cm，則圓錐的側(cè)面積為____________cm2．【答案】【解析】【分析】圓錐的側(cè)面積＝×底面半徑×母線長，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．【詳解】∵圓錐的底面半徑長為4cm，母線長為5cm，∴圓錐的側(cè)面積＝×4×5＝20cm2，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面積的求法，掌握相應(yīng)公式是解題的關(guān)鍵．14.如圖，已知的半徑為，點(diǎn)是外一點(diǎn)，且．若是的切線，為切點(diǎn)，連結(jié)，則_______．【答案】【解析】【分析】本題考查圓的切線性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)圓的切線性質(zhì)可得是直角三角形，再利用勾股定理即可得到本題答案．【詳解】解：∵是的切線，為切點(diǎn)，∴，在中，，，∴，故答案為：．15.如圖，兩邊平行的刻度尺在半徑為的⊙上移動(dòng)，當(dāng)刻度尺的一邊與直徑重合時(shí)，另一邊與圓相交．若兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)恰好為“”和“”（單位：），則刻度尺的寬為__________．【答案】3【解析】【分析】如圖，AB＝12－4＝8cm，過O作OC⊥AB于C，則BC＝AB＝4，連接OB，在RtOBC中，利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：如圖，，過作于點(diǎn)，由垂徑定理得：垂直平分，則，連接，中：cm，即寬為．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．16.如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，圖中的兩條弦AB＝CD，則∠ABD＝______．【答案】##45度

【解析】【分析】根據(jù)方格特點(diǎn)可知，利用同一個(gè)圓中同弧或等弧所對的圓周角相等可知，，進(jìn)而得出．【詳解】解：如圖，連接AD，BC，設(shè)CD與AB交于點(diǎn)E，由網(wǎng)格特點(diǎn)知，．∵AB＝CD，∴．根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可知．∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理，掌握“同弧或等弧所對的圓周角相等”是解題的關(guān)鍵．17.如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長線交于點(diǎn)E，若AB＝2DE，∠E＝18°，則∠AOC的度數(shù)為___．【答案】##度【解析】【分析】連接證明利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形的外角的性質(zhì)證明從而可得答案.【詳解】解：連接AB是⊙O的直徑,AB＝2DE，∠E＝18°，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握“等邊對等角，三角形的外角的性質(zhì)”是解題的關(guān)鍵.18.如圖，點(diǎn)O是半圓的圓心，D是以AB為直徑的半圓上的一點(diǎn)，以O(shè)D為對角線作正方形OCDE，經(jīng)過C，E的直線分別與半圓弧交于F，G．已知CE=6，則FG的長為______．【答案】【解析】【分析】如圖所示，連接OD交FG于H，連接OF，由正方形的性質(zhì)得到OD⊥CE，OD=CE=6，OD=2OH，由垂徑定理得到FG=2FH，再利用勾股定理求出FH的長即可得到答案．詳解】解：如圖所示，連接OD交FG于H，連接OF，∵四邊形OCDE是正方形，∴OD⊥CE，OD=CE=6，OD=2OH，∴FG=2FH，OH=3，OF=OD=6，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共76分）19.解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），（2），（3）無實(shí)數(shù)根（4），【解析】【分析】（1）先化成，開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可；（3）求出的值，再代入公式求出即可；（4）移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．【小問1詳解】解：，，，解得：，；【小問2詳解】，，，解得：，；【小問3詳解】，，，，，故方程無實(shí)數(shù)根；【小問4詳解】，，，，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄒ辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵．20.關(guān)于x的一元二次方程x2－（k－3）x－2k＋2＝0（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩根分別為x1，x2，且x1＋x2＋x1x2＝2，求k的值．【答案】（1）見解析（2）-3【解析】【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式可得出Δ=（k+1）2≥0，由此可證出方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可以得到x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，再將它們代入x1+x2+x1x2=2，即可求出k的值．【小問1詳解】證明：∵Δ=b2-4ac=[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；【小問2詳解】解：由根與系數(shù)關(guān)系得x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，∵x1+x2+x1x2=2，∴k-3+（-2k+2）=2，解得k=-3．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，用到的知識點(diǎn)：（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根；（4）x1+x2=-，x1?x2=．21.如圖，⊙中，弦與相交于點(diǎn),,連接.求證：⑴；⑵.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）由AB=CD知，即，據(jù)此可得答案；（2）由知AD=BC，結(jié)合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可證△ADE≌△CBE，從而得出答案．【詳解】證明（1）∵AB=CD，∴，即，∴；（2）∵，∴AD=BC，又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE=CE．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓心角、弧、弦三者的關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．22.如圖，在Rt△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O在AB上，⊙O經(jīng)過A、D兩點(diǎn)，交AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑是2cm，E是弧AD的中點(diǎn)，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號）【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接OD，只要證明OD∥AC即可解決問題；（2）連接OE，OE交AD于K．只要證明△AOE是等邊三角形即可解決問題．【詳解】（1）連接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切線．（2）連接OE，OE交AD于K．∵，∴OE⊥AD．∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°，∴△AKO≌△AKE，∴AO=AE=OE，∴△AOE是等邊三角形，∴∠AOE=60°，∴S陰=S扇形OAE﹣S△AOE22．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、扇形的面積、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．23.超市銷售某商品，每件盈利元，平均每天可達(dá)到件．為盡快減少庫存，現(xiàn)準(zhǔn)備降價(jià)以促進(jìn)銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：一件商品每降價(jià)元，平均每天可多售出件．（1）當(dāng)一件商品降價(jià)元時(shí)，每天銷售量可達(dá)到件，每天共盈利元；（2）在上述條件不變銷售正常情況下，每件商品降價(jià)多少元時(shí)超市每天盈利可達(dá)到元？（3）在上述條件不變，銷售正常情況下，超市每天盈利最高可以多少元？【答案】（1），；（2）每件商品降價(jià)元或元時(shí)，超市每天盈利可達(dá)到元；（3）銷售正常情況下，超市每天盈利最高可以達(dá)到元．【解析】【分析】（）根據(jù)“一件商品每降價(jià)元，平均每天可多售出件”即可求出每天銷售量，根據(jù)銷售量乘以每件盈利即可得到每天共盈利的錢數(shù)；（）設(shè)每件商品降價(jià)元時(shí)超市每天盈利可達(dá)到元，根據(jù)銷售量乘以每件盈利即可得到每天共盈利的錢數(shù)，列出方程求解即可；（），根據(jù)題意得到與的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；本題考查了一元二次方程及二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意，列出方程和函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．小問1詳解】解：當(dāng)一件商品降價(jià)元時(shí)，每天銷售量可達(dá)到：（件），每天共盈利為：（元），故答案為：，；【小問2詳解】解：設(shè)每件商品降價(jià)元時(shí)超市每天盈利可達(dá)到元，依題意得，，方程整理得，，解得，，答：每件商品降價(jià)元或元時(shí)，超市每天盈利可達(dá)到元；【小問3詳解】解：設(shè)每件商品降價(jià)元時(shí)，超市每天盈利為元，則，∵，∴時(shí)，有最大值，（元），答：銷售正常情況下，超市每天盈利最高可以達(dá)到元．24.在中，，點(diǎn)在以為直徑的半圓內(nèi)．請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）．（1）在圖1中作弦，使；（2）在圖2中以為邊作一個(gè)45°的圓周角．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）分別延長、交半圓于、，利用圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)可得到，則可判斷；（2）在（1）基礎(chǔ)上分別延長、，它們相交于，則連接交半圓于，然后證明，從而根據(jù)圓周角定理可判斷．【詳解】解：（1）如下圖：分別延長、交半圓于、，線段為所求弦．理由如下：∵AB=AC,∴∠B=∠C，又∵，∴∠F=∠C，∴∠C=∠F，∴EF∥BC