人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)幾何九大模型（含答案）

———人教數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)幾何模型一、8字模型結(jié)論:①∠A+∠B=∠C+∠D;②AB+CD＜AD+BC斜8字型（蝴蝶型）燕尾型1、如圖，已知D是△ABC的BC邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DF⊥AB，交AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E，∠A=56°，∠D=30°，則∠ACB的度數(shù)為_(kāi)________2、如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為_(kāi)________3、求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝_________1題2題3題燕尾（飛鏢）模型結(jié)論：∠BDC=∠A+∠B+∠C1、將一副直角三角板如圖放置,使兩直角邊重合,則∠1的度數(shù)為_(kāi)_________2、如圖，是一塊不規(guī)則的紙片,∠ABC=∠DEF=80°,則∠A+∠C+∠D+∠F的度數(shù)為_(kāi)_________3、如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=.1題2題3題A字模型結(jié)論：∠DBC+∠ECB=180°+∠A1、在△ABC中，∠A=75°，直線DE交AB于D，交AC于E，則∠BDE+∠CED=（）A.180°B.215°C.235°D.255°2、在△ABC中，E、F分別是AB，AC上的點(diǎn)，則∠1+∠2=224°，則∠A=（）A.17°B.44°C.68°D.無(wú)法確定1題2題老鷹捉小雞模型結(jié)論：∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE，翼下兩角之和等于上下兩角之和1、如圖，把△ABC沿EF折疊，疊合后的圖形如圖所示，若∠A=60°，∠1=95，則∠2的度數(shù)為（）A.24°B.25°C.30°D.35°2、如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，若∠B=60°，∠C=80°，則∠1＋∠2等于（）A.40°B.60°C.80°D.140°1題2題五、雙角平分線模型結(jié)論：雙內(nèi)角平分線雙外角平分線內(nèi)外角平分線∠D=90°+∠A∠D=90°-∠A∠D=∠A如圖，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2；∠A2016BC和∠A2016CD的平分線交于點(diǎn)A2017，求∠A2017的度數(shù)____________。2、如圖1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=82°，則∠BEC=；若∠A=a°，則∠BEC=?！咎骄俊浚?）如圖2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A=a°，則∠BEC=；（2）如圖3，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC和∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖4，O是外角∠DBC與外角∠BCE的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。六、角平分線輔助線模型：特征及做法圖示結(jié)論做法：往角兩邊做垂直AP=BP，OA=OB,△APO≌△BPO特征：在平分線上的垂直做法：延長(zhǎng)△AOB為等腰三角形做法：平行△OQP為等腰三角形做法：截長(zhǎng)補(bǔ)短△APO≌△BPO1.如圖，在△ABC中：∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2，求證：AB＝AC＋CD2.如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，求△EDF的面積．3.感知：如圖1，AD平分∠BAC，∠B十∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：如圖2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求證：DB＝DC應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a；則AB一AC＝______（用含a的代數(shù)式表示）.一線三垂直模型（證明全等作為突破點(diǎn)）1.如圖，已知矩形中，E是AD上的一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn)，，且，，矩形的周長(zhǎng)為32cm，求AE的長(zhǎng)．2.如圖，在中，,，CF交AB于點(diǎn)E，，，若，，求CF的長(zhǎng).3.在△ABC中，

，，直線

經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于，于E.

（1）當(dāng)直線

繞點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①

≌

；②

.

（2）當(dāng)直線

繞點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，說(shuō)明理由.

八、“手拉手”全等模型在直線ABC的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD：結(jié)論：△ABE≌△DBCAE=DCAE與DC的夾角為60?！鰽GB≌△DFB△EGB≌△CFBBH平分∠AHCGF∥AC1、如果兩個(gè)等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：△ABE≌△DBCAE=DCAE與DC的夾角為60。AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H,BH平分∠AHC2、如果兩個(gè)等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD，證明：(1)△ABE≌△DBC(2)AE=DC(3)AE與DC的夾角為60。（4）AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H,BH平分∠AHC九、將軍飲馬中四大模型——最短路徑問(wèn)題題型一求兩條線段和的最小值題型二求兩條線段差的最大值題型三求三條線段和的最小值（雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題）題型四最值問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用【知識(shí)梳理】一兩定點(diǎn)在直線的異側(cè)問(wèn)題1作法圖形原理在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB的和最小。連接AB，與直線l的交點(diǎn)P即為所求。兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)PA+PB的和最小。二兩定點(diǎn)在直線的同側(cè)問(wèn)題2：將軍飲馬作法圖形原理在直線l上找一點(diǎn)P,使得PA+PB的和最小。作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C，連AC，與直線l的交點(diǎn)P即為所求。化折為直；兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)PA+PB的和AC最小。三兩動(dòng)點(diǎn)一定點(diǎn)問(wèn)題問(wèn)題3：兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)作法圖形原理點(diǎn)P在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OA邊上找一點(diǎn)C,在OB邊上找一點(diǎn)D,使得PC+PD+CD和最小。作P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P1，作P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P2，連接P1P2。兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)PC+PD+CD的和最小。四造橋選址問(wèn)題問(wèn)題4：造橋選址作法圖形原理直線m∥n，在m，n上分別求點(diǎn)M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。將點(diǎn)A鄉(xiāng)向下平移MN的長(zhǎng)度得A1，連A1B，交n于點(diǎn)N，過(guò)N作NM⊥m于M。兩點(diǎn)之間，線段最短，此時(shí)AM+MN+BN的最小值為A1B+MN。【題型1：兩定一動(dòng)——作圖】1、（2023?海淀區(qū)一模）在一條沿直線鋪設(shè)的電纜兩側(cè)有甲、乙兩個(gè)小區(qū)，現(xiàn)要求在上選取一點(diǎn)P，向兩個(gè)小區(qū)鋪設(shè)電纜．下面四種鋪設(shè)方案中，使用電纜材料最少的是（

）A．B．C．D．【題型2：造橋選址問(wèn)題】2、如圖,和B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上造一座橋MN,使從A到B的路徑AMNB最短的是假定河的兩岸是平行線,橋與河岸垂直)()【題型3：兩定一動(dòng)-求周長(zhǎng)/線段和最小值/角度】3、如圖，是等邊三角形，D，E分別是邊的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值是（

）A．2B．4C．8D．164、如圖，直線是中邊的垂直平分線，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)．若，，，則周長(zhǎng)的最小值是（）A．9B．10C．10.5D．115、如圖，MN是等邊三角形ABC的一條對(duì)稱軸，D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PD最小時(shí)，∠PCD的度數(shù)是（）A．30°B．15°C．20°D．35°【題型4：兩動(dòng)一定-求周長(zhǎng)/線段和最小值/角度】6、如圖，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于直線OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)，線段MN交OA，OB于點(diǎn)E，F(xiàn)。若MN＝20cm，求△PEF的周長(zhǎng)；若∠AOB＝35°，求∠EPF的度數(shù)．7、如圖，四邊形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求∠EAF的度數(shù)答案解析一、8字模型1、∠ACD+∠D=∠A+∠AFE即∠ACD+30=56+90°，∠ACD=116°，∠ACB=180-116=64°2、∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于兩個(gè)中間三角形的內(nèi)角和，即360°3、二燕尾（飛鏢）模型根據(jù)模型，∠1=對(duì)頂角=30°+45°+90°=165°3、∠B+∠F=115°-∠A∠C+∠E=115°-∠D∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠A+∠D+115°-∠A+115°-∠D=230°三A字模型選C∠BDE+∠CED=180°+∠A=180+75=255選B∠A=∠1+∠2-180=224-180=44°四老鷹捉小雞模型選B延長(zhǎng)B’E,C’F交于M,∠1+∠2=∠M+∠A且∠M=∠A，∠2=60+60-95=25°選C∠1＋∠2=∠A’+∠A=2∠A=2x(180°-60-80)=80°五、雙角平分線模型結(jié)論：1、2、六、角平分線輔助線模型：1、證明：方法1：在AB上取AE=AC，連接DE，∵AE=AC，∠1=∠2，且AD=AD，∴△ACD≌△AED（SAS），∴ED=CD，∠AED=∠C=2∠B，又∵∠AED=∠B+∠BDE，∴∠B=∠BDE，∴EB=ED，即△BED為等腰三角形．∴BE=ED=CD，∴AB=AE+EB=AC2、3、一線三垂直模型1、2、3、解：（1）證明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ADC和△CEB中，∠ADC＝∠BEC，∠DAC＝∠ECB，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∴△ADC≌△CEB∴AD=CE，CD=BE，∵DE=CD+CE，∴DE=AD+BE；（2）不成立，理由如下，由（1）可得，同理可證△ADC≌△CEB，∴CD=BE，AD=CE，∵DE=CE-CD，∴DE=AD-BE．八、手拉手模型1、2、九、將軍飲馬模型1．A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得出答案．【詳解】解：甲、乙位于直線的兩側(cè)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接甲、乙兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)之間線段最短的公理，解題的關(guān)鍵是分析題中兩點(diǎn)的位置是在直線的同側(cè)還是異側(cè)，在異側(cè)連接兩點(diǎn)即可，在同側(cè)需做其中一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)再連接．2．B【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短即可得．【詳解】解：由兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短可知，煤炭加工廠到兩個(gè)村莊路徑最短的是：

．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短，熟練掌握兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短是解3．C【分析】連接，由對(duì)稱性知，，則，當(dāng)P、B、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，從而求得最小值．【詳解】解：連接，如圖，由對(duì)稱性知，，∴，當(dāng)P、B、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為線段的長(zhǎng)．∵是等邊三角形，D，E分別是邊的中點(diǎn)，∴，即的最小值為8；故選：C．4．A【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，所以周長(zhǎng).【詳解】∵直線m是中邊的垂直平分線,∴∴周長(zhǎng)∵兩點(diǎn)之間線段最短∴∴的周長(zhǎng)∵，∴周長(zhǎng)最小為故選：A5．C【分析】作點(diǎn)E關(guān)于AD對(duì)稱的點(diǎn)M，連接CM，與AD交于點(diǎn)F，推出EF+CF最小時(shí)即為CM，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得結(jié)果．【詳解】解：作點(diǎn)E關(guān)于AD對(duì)稱的點(diǎn)M，連接CM，與AD交于點(diǎn)F，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴M在AB上，∴MF=EF，∴EF+CF=MF+CF=CM，即此時(shí)EF+CF最小，且為CM，∵AE=2，∴AM=2，即點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，∴∠ECF=30°，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，找到CM是解題的關(guān)鍵．6.解：因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是點(diǎn)P關(guān)于直線OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)，所以ME＝PE，NF＝PF.所以PE＋EF＋PF＝ME＋EF＋NF＝MN＝20cm，即△PEF的周長(zhǎng)是20cm.解：如圖，設(shè)MP與OA相交于點(diǎn)R，PN與OB相交于點(diǎn)T.由(1)知ME＝PE，PF＝NF，所以∠M＝∠EPM，∠N＝∠FPN.所以∠PEF＝2∠M，∠PFE＝2∠N.因?yàn)椤螾RE＝∠PTF＝90°，所以在四邊形OTPR中，∠MPN＋∠AOB＝180°.因?yàn)椤螹PN＋∠M＋∠N＝180°，所以∠M＋∠N＝∠AOB＝35°.所以∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)