江蘇省部分校2025屆高三上學期12月質(zhì)量測試數(shù)學試卷（含答案）

2024—2025學年第一學期高三12月質(zhì)量測試數(shù)學注意事項：本卷考試時間為120分鐘，滿分為150分。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則A． B． C． D．2．已知復數(shù)滿足，則A． B． C． D．3．已知平面向量，，滿足，，，，則的最小值為A．1 B． C．3 D．44．在銳角三角形ABC中，，則的范圍是A． B． C． D．5．已知三棱錐滿足，，，且其表面積為24，若點（正投影在內(nèi)部）到，，的距離相等，則三棱錐的體積為A．B．C． D．6．對于函數(shù)，若存在，使，則稱點與點是函數(shù)的一對“隱對稱點”.若函數(shù)的圖象存在三對“隱對稱點”，則實數(shù)的取值可以是A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為A．9 B．10 C．11 D．128．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則A．B．C．D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．判斷下列命題中正確的有A．對于回歸分析，相關系數(shù)的絕對值越大，說明擬合效果越好B．將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差恒不變C．已知隨機變量X服從二項分布，若，，則D．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布，若，則10．已知函數(shù)，的定義域均為，若存在函數(shù)，使得函數(shù)，在上有，，，恒成立，則稱，為一組“雙向奔赴”函數(shù).下列各組函數(shù)中，符合“雙向奔赴”函數(shù)的有A．，， B．，，C．，， D．，，11．已知曲線．點，，則以下說法正確的是A．曲線C不存在點P，使得B．曲線C關于原點對稱C．直線與曲線C沒有交點D．點Q是曲線C上在第三象限內(nèi)的一點，過點Q向作垂線，垂足分別為A，B，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，若雙曲線的左支上一點滿足，以為圓心的圓與的延長線相切于點，且，則雙曲線的離心率為.13．已知函數(shù)（為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象在點A（e,1）處的切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個公共點，則實數(shù)的取值范圍是_____.14．某校高三1班10名同學、高三2班20名同學、高三3班10名同學參加“強國有我”演講比賽，采用隨機抽簽的方式確定出場順序，每位同學依次出場．記“高三1班全部學生完成比賽后，高三2班和高三3班都有學生尚未完成比賽”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）在面積為S的中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）若，求周長的最大值；（2）若為銳角三角形，且AB邊上的高h為2，求面積的取值范圍．16．（15分）已知橢圓離心率為，左、右頂點分別為A、B，點P、Q為橢圓上異于A、B的兩點，設直線、的斜率分別為、．已知面積的最大值為2，且過定點．（1）設和的面積分別為、，求的最大值；（2）求證：為定值，并求出該定值．17．（15分）在空間幾何體中，四邊形均為直角梯形．如圖，設，．（1）求證：平面平面；（2）若二面角的余弦值為，求的值．18．（17分）已知函數(shù)．（1）是否存在實數(shù)a使得在上有唯一最小值，如果存在，求出a的值；如果不存在，請說明理由；（2）已知函數(shù)有兩個不同的零點，記的兩個零點是．①求證：；②求證：．19．（17分）已知數(shù)列P為有窮正整數(shù)數(shù)列．若數(shù)列P滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列P為m的k減數(shù)列：①；②對于，使得的正整數(shù)對有k個.（1）寫出所有4的1減數(shù)列；（2）若存在m的6減數(shù)列，證明：；（3）若存在2024的k減數(shù)列，求k的最大值.

2024—2025學年度第一學期高三質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學參考答案和評分標準注：解答題如有不同解題過程，酌情給分。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。題號12345678答案DACADBCD二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。題號91011答案ABDBDACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12． 13． 14．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）（1）由和正弦定理，三角形面積公式得，，因，故得，，由余弦定理，，因，則；···················3分由余弦定理，，即，整理得，，當且僅當時等號成立，即，于是，，即當時，周長的最大值為；··············6分（2）由可得，由正弦定理，，即得，，,·············8分則,················10分由為銳角三角形可得，，解得，·····················11分則，由正弦函數(shù)的圖象知，，故得，即面積的取值范圍為.·········································13分16．（15分）（1）當點為橢圓短軸頂點時，的面積取最大值，且最大值為，由題意可得，解得，所以橢圓的標準方程為.·············3分設點、.若直線的斜率為零，則點、關于軸對稱，不合題意.·······················4分設直線的方程為，由于直線不過橢圓的左、右頂點，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，，··································6分所以，，················8分，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，所以，，當且僅當時，等號成立，則的最大值為.····10分（2）由（1），，所以······················12分，即為定值，定值為.··························································15分17．（15分）（1）如圖建立空間直角坐標系，設，則，（0＜x＜4，z>0）因為，所以，所以，，，，，·····2分設平面的法向量為，則，取，設平面的法向量為，則，取，······5分因為，所以，所以平面平面；·······7分（2）設平面的法向量為，則，取，····8分設二面角的平面角為，所以，···········10分所以，即，解得或（舍），則，··············································12分所以，即，又，所以.·······15分18．（17分）（1）由題意知，則，當時，，在上單調(diào)遞增，沒有最小值；當時，令，則（負值舍去），當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增；··················2分故當時，取最小值，·即，解得，故存在實數(shù)使得在上有唯一最小值；··························4分（2）①因為，令，即得，由題意知的兩個零點是，即，則，則，··········································6分要證，即證，即，即證，即，由于，故，即證，即證，···············8分令，設，則恒成立，即在上單調(diào)遞增，且，故，即成立，故；···································································10分②由于，令，則，令，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，故，·············································12分函數(shù)有兩個不同的零點，即的兩個零點是，則，由于，故，函數(shù)在處的切線方程分別為，且在內(nèi)，在內(nèi)，先證：，即，即，令，，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，故，···············15分再證：，即，令，則恒成立，即在單調(diào)遞減，則，令，則可設；令，則，則可得，即.······················17分19．（17分）（1）由題意得，則或，故所有4的1減數(shù)列有數(shù)列和數(shù)列3，1.······································2分（2）因為對于，使得的正整數(shù)對有個，且存在的6減數(shù)列，所以，得.·····································4分①當時，因為存在的6減數(shù)列，所以數(shù)列中各項均不相同，所以.②當時，因為存在的6減數(shù)列，所以數(shù)列各項中必有不同的項，所以.若，滿足要求的數(shù)列中有四項為1，一項為2，所以，不符合題意，所以.③當時，因為存在的6減數(shù)列，所以數(shù)列各項中必有不同的項，所以.綜上所述，若存在的6減數(shù)列，則.········································8分（3）若數(shù)列中的每一項都相等，則，若，所以數(shù)列存在大于1的項，若末項，將拆分成個1后變大，所以此時不是最大值，所以.當時，若，交換的順序后變?yōu)椋源藭r不是最大值，所以.·····································································10分若，所以，所以將改為，并在數(shù)列末尾添加一項1，所以變大，所以此時不是最大值，所以.········································12分若數(shù)列P中存在相鄰的兩項，設此時P中有項為2，將改為2，并在數(shù)列末尾添加