四川省攀枝花市仁和區(qū)2024-2025學年高三上學期第三次聯(lián)考數(shù)學檢測試題（含解析）

四川省攀枝花市仁和區(qū)2024-2025學年高三上學期第三次聯(lián)考數(shù)學檢測試題第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若，則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.已知空間向量，，若，則（）A. B. C.32 D.4.若，則（）A. B.1 C. D.或5.“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.在三角形內(nèi)到其三個頂點的距離之和最小的點稱為“費馬點”.意大利數(shù)學家托里拆利發(fā)現(xiàn)：當?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點即為費馬點，在中，若，且，則該三角形的費馬點到各頂點的距離之和為（）A B.C. D.7.已知函數(shù)若方程有6個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A B.C. D.8.已知某圓臺的側面展開圖如圖所示，其中，若此圓臺的上、下底面圓周都在球的球面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知為三條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題一定正確的是（）A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10.已知平面向量均為單位向量，且，則（）A. B.C. D.在上的投影向量為11.已知函數(shù)有2個零點，則（）A. B.C D.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知正數(shù)滿足，則的最小值為________.13.已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項和為，則________.14.已知曲線在點處的切線方程為，且函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，則實數(shù)的取值范圍是_________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，函數(shù)是奇函數(shù)，.（1）求實數(shù)的值；（2）若，使得，求實數(shù)的取值范圍.16.在△中，內(nèi)角的對邊分別是，且.（1）求證：；（2）若，且是邊的中點，求的最小值.17.已知四棱錐中，°，平面平面，.點分別在線段上，且四點共面，.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的余弦值.18.已知數(shù)列的前項和分別為，其中為等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的前項和；（2）在（1）的條件下，比較與0.7的大小關系，并說明理由.19.定義：記函數(shù)導函數(shù)為f'x，若f'x在區(qū)間上單調(diào)遞增，則稱為區(qū)間上的凹函數(shù)；若f'x在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).已知函數(shù).（1）求證：為區(qū)間上的凹函數(shù)；（2）若為區(qū)間的凸函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證：當時，.四川省攀枝花市仁和區(qū)2024-2025學年高三上學期第三次聯(lián)考數(shù)學檢測試題第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】解不等式化簡集合，再利用交集的定義求出結果.【詳解】依題意，，則.故選：D.2.若，則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【正確答案】A【分析】由復數(shù)的乘除法運算化簡復數(shù)，再由復數(shù)的幾何意義可得出答案.【詳解】由題意得，，故復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點為，位于第一象限，故選.3.已知空間向量，，若，則（）A B. C.32 D.【正確答案】D【分析】由向量平行的坐標表示代入計算，即可得到結果.【詳解】由可得，解得，則.故選.4.若，則（）A. B.1 C. D.或【正確答案】C【分析】根據(jù)誘導公式可得，化弦為切即可求解.【詳解】由題意得，，則.故選:.5.“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列為遞增數(shù)列的定義求得的范圍，再由充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由“數(shù)列為遞增數(shù)列”，得，所以恒成立，所以，由得，由不一定有，故“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選.6.在三角形內(nèi)到其三個頂點的距離之和最小的點稱為“費馬點”.意大利數(shù)學家托里拆利發(fā)現(xiàn)：當?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點即為費馬點，在中，若，且，則該三角形的費馬點到各頂點的距離之和為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)“費馬點”的定義以及正余弦定理可求得結果.【詳解】設的內(nèi)角所對的邊分別為，因為，所以由正弦定所得，又，所以，由余弦定理得，所以，所以頂點為費馬點，故點到各頂點的距離之和為，故選.7.已知函數(shù)若方程有6個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】方程有6個不同的實數(shù)根等價于有2個不同的實數(shù)解，再結合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；【詳解】作出圖像，令，則方程有6個不同的實數(shù)根等價于有2個不同的實數(shù)解，且，則，解得，故選.8.已知某圓臺的側面展開圖如圖所示，其中，若此圓臺的上、下底面圓周都在球的球面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由對應關系可得圓臺上、下底面圓半徑分別為，進而計算出圓臺的高，設球心到點所在的底面的距離為，表示到點所在底面的距離，利用球半徑相等建立等量關系，解方程即可得到結果.【詳解】設圓臺的上、下底面圓半徑分別為，由題意得，，，解得.如圖，設圓臺的上、下底面圓心分別為，則圓臺的高為.設球的半徑為，球心到點所在的底面的距離為，則到點所在的底面的距離為，由題意得，，解得，所以球的表面積為.故選:.思路點睛：本題考查圓臺外接球綜合問題，具體思路如下：（1）利用側面展開圖和圓臺對應關系可確定上、下底面圓半徑和圓臺母線長，進而求出圓臺的高度.（2）分別利用上、下底面圓半徑結合勾股定理表示球的半徑，建立等量關系即可得到結果.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知為三條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題一定正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】AD【分析】根據(jù)線面、面面關系可判斷AD；舉反例可判斷BC.【詳解】對于A，，，所以或，而，故，故正確；對于B，如圖，長方體中，，則，故B錯誤；對于C，如圖，長方體中，，則，故C錯誤；對于D，若α//β，，則，而，故，故正確.故選：AD.10.已知平面向量均為單位向量，且，則（）A. B.C. D.在上的投影向量為【正確答案】BCD【分析】對兩邊平方可判斷；對兩邊平方可判斷；求出，，由向量的夾角公式計算可判斷出C；由投影向量定義可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以，則，故錯誤；對于B，因為，所以，故正確；對于C，因為，所以，所以，則，故C正確；對于D，因為，，所以在上的投影向量為，故正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)有2個零點，則（）A. B.C. D.【正確答案】AD【分析】令可將題意轉化為，設，求出的單調(diào)性，奇偶性和對稱性，求出的最小值可判斷A，B；由可得可判斷C；由題意可得出，令，求出φx的單調(diào)性可得可判斷D.【詳解】，令，，則，即為偶函數(shù)，當時，，且，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以關于x=1對稱，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，解得，故正確，故錯誤；由知，，故C錯誤；由知，，令，，即φx在上單調(diào)遞減，所以，所以，故正確.故選.方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數(shù)法：將問題轉化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數(shù)y=gx的圖象的交點問題.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知正數(shù)滿足，則的最小值為________.【正確答案】20【分析】由基本不等式的乘“1”法求解即可；【詳解】由題意得，，當且僅當，即，時等號成立.故20.13.已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項和為，則________.【正確答案】【分析】分別求得，即可得到數(shù)列的周期，代入計算，即可得到結果.【詳解】由題意得，，，，，所以為周期數(shù)列，所以.故14.已知曲線在點處的切線方程為，且函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，則實數(shù)的取值范圍是_________．【正確答案】【分析】結合題意求出，由在區(qū)間上沒有零點，可得（），結合解不等式即可求解.【詳解】由題意得，，因為，所以，則，所以，所以，解得，故，則，令，，解得，因為在區(qū)間上沒有零點，所以（），解得，因為，所以，解得，由，得，所以，因為，所以或，當時，；當時，.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故方法點睛：三角函數(shù)中的求法：函數(shù)在內(nèi)無零點，可知.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，函數(shù)是奇函數(shù)，.（1）求實數(shù)的值；（2）若，使得，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）3（2）【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義代入計算，然后檢驗，即可得到結果；（2）根據(jù)題意，將問題轉化為，再由函數(shù)的單調(diào)性可得，由二次函數(shù)的值域可得，代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】因為函數(shù)奇函數(shù)，所以，即，即，解得，因為，所以.當時，，此時的定義域為，關于原點對稱，滿足題意.綜上，.【小問2詳解】由題意得，，由（1）知，，易得上單調(diào)遞增，故.，當時，，所以，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為.16.在△中，內(nèi)角的對邊分別是，且.（1）求證：；（2）若，且是邊的中點，求的最小值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由同角三角函數(shù)的商數(shù)關系，兩角和的正弦定理可得，最后由正弦定理即可證明；（2）由余弦定理得可得，再將代入結合基本不等式可求出的最小值.【小問1詳解】設△內(nèi)角，、、的對邊分別是、、∵，∴，整理得，由正弦定理得.【小問2詳解】∵，且是邊的中點，∴，由余弦定理得，，則.∵，∴，由，得（當且僅當時等號成立.），∴，∴，故的最小值為.17.已知四棱錐中，°，平面平面，.點分別在線段上，且四點共面，.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)得到平面.進而說明，得到//.再結合//，即可求證；（2）建系，由面面夾角的向量法即可求解.【小問1詳解】因為平面平面平面，平面平面，所以平面.因為平面，平面，所以.在△中，，由，可得，所以，因為.所以為的中點.因為°，故//.因為平面，所以//平面.因為平面平面，所以//.所以//，所以為的中點.又，所以.【小問2詳解】分別以直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以.設平面的向量為，則，即令，則，于是.因為平面，且∥，所以平面，所以.由（1）可知，而，平面，所以平面，所以是平面的一個法向量.則.故平面與平面所成角的余弦值為.18.已知數(shù)列的前項和分別為，其中為等比數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的前項和；（2）在（1）的條件下，比較與0.7的大小關系，并說明理由.【正確答案】（1）（2），理由見解析【分析】（1）利用得到，累加法計算的通項公式，利用等比數(shù)列前項和公式計算的通項公式，錯位相減法求結果.（2）通過分析得到，得到中各項與的關系，即可比較與0.7的大小關系.【小問1詳解】當時，，則；當時，；當時，，相減得，，整理得，即，累加可得，，即，故.綜上所述，.由可知等比數(shù)列的公比不為1，則，解得，故，解得，則.由題意得，，故，，故，故.【小問2詳解】因為，所以，當時，因為，所以，當時，.綜上所述，.19.定義：記函數(shù)的導函數(shù)為f'x，若f'x在區(qū)間上單調(diào)遞增，則稱為區(qū)間上的凹函數(shù)；若f'x在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).已知函數(shù).（1）求證：為區(qū)間上的凹函數(shù)；（2）若為區(qū)間的凸函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證：當時，.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，利用為區(qū)間0,+∞上的凹函數(shù)的定義證明；（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，利用為區(qū)間0,+∞上的凹函數(shù)的定義求解；（3）由題意得到，分，，討論證明；【小問1詳解】由題意得，，記f'x的導函數(shù)為f則，所以f'x在區(qū)間0,+所以為區(qū)間0,+∞上的凹函數(shù).【小問2詳解】由題意得，，