第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（壓軸題專練）-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)單元速記（人教A版必修第一冊）

PAGE1第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（壓軸題專練）題型一：求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域1．（23-24高一上·遼寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)，若對于使得，則的一個可能的取值為.【答案】（答案不唯一）【分析】轉(zhuǎn)化為值域的包含關(guān)系，分類討論后列式求解，【詳解】若對于使得，設(shè)，，則，的對稱軸為，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，而，顯然不滿足題意，②當(dāng)時，，則在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，，而在上單調(diào)遞減，，故時滿足題意，③當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，，由解得，綜上，當(dāng)且時，對于使得，故答案為：（答案不唯一）2．（23-24高一上·河南三門峽·期末）已知函數(shù)滿足，有．(1)求的解析式；(2)若，函數(shù)，且，，使，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過列方程組的方法來求得的解析式；（2）先求得的值域，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得的值域，由此列不等式來求得的取值范圍.【詳解】（1），將x替換成，得，聯(lián)立兩式，，解得．（2）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，對于，不妨取，則，因?yàn)?，所以，，則，即，故在1,+∞上單調(diào)遞增，又在0,+∞上單調(diào)遞增，且在0,+∞上恒成立，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以?,2上單調(diào)遞增，且恒成立，所以在1,2上單調(diào)遞增，則，，因?yàn)?，，使，所以的值域是的值域的子集．故，即，解得（?fù)值舍去），所以．【點(diǎn)睛】求解兩個函數(shù)相等的恒成立、存在性問題，可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域的包含關(guān)系，列不等式來進(jìn)行求解.求解對鉤型函數(shù)的單調(diào)性、值域等問題，可以先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的值域（或最值）.3．（23-24高二下·福建福州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，.(1)求函數(shù)的值域；(2)設(shè)函數(shù)，若對，，，求實(shí)數(shù)a取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用基本不等式求函數(shù)值域；（2）將問題轉(zhuǎn)化為的值域?yàn)橹涤虻淖蛹蠼?【詳解】（1）∵，又∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，即函數(shù)的值域?yàn)?（2）∵，設(shè)，因?yàn)?，所以，函?shù)在上單調(diào)遞增，∴，即，設(shè)時，函數(shù)的值域?yàn)锳.由題意知，∵函數(shù)①當(dāng)，即時，函數(shù)在上遞增，則，即，∴②當(dāng)時，即時，函數(shù)在上的最大值為，中的較大者，而且，不合題意，③當(dāng)，即時，函數(shù)在上遞減，則，即，滿足條件的不存在，綜上所述，實(shí)數(shù)a取值范圍為.【點(diǎn)睛】對于雙變量雙函數(shù)類似，，的問題轉(zhuǎn)化為值域包含值域的問題.題型二：根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域求參數(shù)1．（23-24高一下·湖南·階段練習(xí)）已知的值域?yàn)?，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】考慮時，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到取值范圍，此時不成立，舍去，再考慮，結(jié)合基本不等式求出函數(shù)值域，A錯誤；考慮，求出與時的函數(shù)值取值范圍，進(jìn)而得到不等式，求出答案.【詳解】①若，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，此時，則，又不成立，所以此時不成立，排除選項(xiàng)D；②若當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則函數(shù)的值域，滿足；排除選項(xiàng)A；③若，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，此時，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又函數(shù)的值域滿足，則解得.綜上所述：.故選：C.2．（23-24高一上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)值域?yàn)?，利用指?shù)函數(shù)和一次函數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及畫出函數(shù)圖像分析即可解決問題.【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，要使得函數(shù)值域?yàn)?，則恒成立，令，如圖所示：

由圖可知有兩個交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，所以若要，則，也即函數(shù)的值域?yàn)闀r，則實(shí)數(shù)的取值范圍為：，故選：D.3．（23-24高一下·湖南·期中）已知，函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，求出在對應(yīng)區(qū)間上的值域，分類討論解不等式即可求出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以時，即時，，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所以時，且.由不等式，解得不等式等價于時，，設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以時，等價于，即，由不等式，解得，所以時，的解集為，綜上，的取值范圍是，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性求得該分段函數(shù)值域，再利用值域間的包含關(guān)系解不等式可得結(jié)果.4．（23-24高一上·江蘇南京·期中）已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】利用函數(shù)的最值求出，通過函數(shù)的值域，求出的取值范圍【詳解】，則在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值0，由，得或，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)闀r，，故答案為：題型三：根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式1．（23-24高一下·安徽淮北·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】依題寫出函數(shù)，判斷其奇偶性，將不等式等價轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到對數(shù)不等式，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解之即得.【詳解】由題意，當(dāng)時，，則，即函數(shù)是偶函數(shù).因時，函數(shù)單調(diào)遞增，則，故得，即，故，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解抽象不等式，屬于較難題.解決此類問題的思路在于，根據(jù)所給的函數(shù)判斷其奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)的這些性質(zhì)將抽象不等式化成具體不等式求解即得.2．（2024高一·全國）當(dāng)為何值時，不等式恰有一個解．【答案】．【分析】令，則，將原不等式化為，記，判斷在上單調(diào)遞增且f1=0，從而得到，即恰有一個解，然后利用判別式求解即可.【詳解】令，則，原不等式化為，因?yàn)椋?，所以，記，因?yàn)椋遗c在上均單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且f1=0，所以不等式的解為，即原問題轉(zhuǎn)化為恰有一個解，根據(jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)可知方程有兩個相等的根，所以，解得．3．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函數(shù)且的圖象過點(diǎn).(1)求不等式的解集；(2)已知，若存在，使得不等式對任意恒成立，求的最小值.【答案】(1)；(2)6.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出值及函數(shù)，再解對數(shù)不等式即得.（2）利用函數(shù)的單調(diào)性脫去法則并變形，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立求解即得.【詳解】（1）依題意，，解得，則，，不等式，即，解得，則有，即，所以原不等式的解集為.（2）當(dāng)時，，又在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，不等式恒成立，等價于恒成立，即恒成立，當(dāng)時，，得，設(shè)函數(shù)，其圖象開口向上，對稱軸方程為，而，即，又對任意恒成立，則，于是在上的最小值為，原問題轉(zhuǎn)化為：存在，使得，即，由于，則，要使成立，只需，解得，又，所以的最小值為6.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義區(qū)間為，①若，總有成立，則；②若，總有成立，則；③若，使得成立，則；④若，使得成立，則.4．（23-24高一上·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù)（，且）．(1)若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求實(shí)數(shù)的值；(2)在（1）的條件下，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)互為反函數(shù)得，再由過定點(diǎn)求解；（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式在閉區(qū)間上的恒成立問題，結(jié)合二次函數(shù)圖象建立不等式組求解可得.【詳解】（1）由函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則為的反函數(shù)，即（，且），又過，則有，解得；（2）由（1）知在為減函數(shù)，則，且，由題意，首先不等式在有意義，設(shè)，函數(shù)單調(diào)遞增，則，則，此時也滿足.不等式可化為，則有，，則有在恒成立，設(shè)，函數(shù)圖象開口向上，則，解得，滿足.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型四：指數(shù)函數(shù)最值與不等式綜合問題1．（23-24高二下·山東青島·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)k的值；(2)若對，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由求出參數(shù)并檢驗(yàn)即可得解；（2）分離參數(shù)并通過換元法可得，故只需求出不等式右邊的最小值即可得解.【詳解】（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，解得，此時符合題意．（2）原問題即為，即恒成立，則，設(shè)，則，，∴當(dāng)時，y取得最小值26，要使不等式在上恒成立，則，2．（23-24高一上·山東棗莊·期中）已知函數(shù)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若時，關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)得到，再驗(yàn)證即可；（2）變換得到，設(shè)，根據(jù)均值不等式計(jì)算得到，即可得到m的范圍.【詳解】（1）是奇函數(shù)，且定義域?yàn)?，所以，即，解?，，所以是奇函數(shù)，故.（2），，恒成立，得，因?yàn)?，所以，則，所以，設(shè)，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，又，所以，故，所以，即.3．（23-24高一上·山東濟(jì)寧·期中）設(shè)函數(shù)，是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).(1)確定的值.(2)若，判斷并證明的單調(diào)性；(3)若，使得對一切恒成立，求出的范圍.【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）首先求出的值，即可得到函數(shù)解析式，再利用單調(diào)性的定義證明即可；（3）依題意可得對恒成立，由，即可得到，從而得解.【詳解】（1）因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則，而，解得，所以的值是.（2）由（1）得，是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，又，則，即，又，解得，則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)且，則，因?yàn)?，則，即，，于是得，即，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.（3）當(dāng)時，，因?yàn)?，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以的取值范圍為.4．（23-24高一上·天津?yàn)I海新·期中）已知函數(shù)，．(1)證明函數(shù)在上單調(diào)遞減；(2)若，，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若關(guān)于x的不等式：在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）利用定義法作差變形判斷得到結(jié)論即可；（2）轉(zhuǎn)化為即可得到答案；（3）轉(zhuǎn)化為，再設(shè)新函數(shù)求出右邊最小值即可.【詳解】（1）證明：任取，，,,即函數(shù)在上單調(diào)遞減.（2）由（1）的結(jié)論知在上單調(diào)遞減，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以若，使得，則即，解得.（3）由題意得在上有解，即在上有解，所以，設(shè)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，在單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.題型五：求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域1．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）若函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出的值域，再借助二次函數(shù)求出的值域，最后利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解即得.【詳解】由可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，令，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：D2．（23-24高一上·浙江杭州·階段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用換元法和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可求得函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，令，則，又在上單調(diào)遞增，則，則函數(shù)的值域?yàn)楣蔬x：B3．（23-24高一上·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，解不等式；(2)若函數(shù)的圖象過點(diǎn)，求函數(shù)的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時，利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出不等式的解集；（2）由可求出的值，再化簡函數(shù)的解析式，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)可得出函數(shù)的值域.【詳解】（1）解：當(dāng)時，．由，得，得，得，解得．故不等式的解集是．（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，即，解得．所以．所以，則．因?yàn)椋瑒t，，所以的值域?yàn)椋?．（23-24高三上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)解不等式；(2)設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇偶性的定義直接可得參數(shù)值，進(jìn)而可判斷函數(shù)的單調(diào)性，解不等式；（2）由（1）可得的值域，再利用換元法設(shè)，可得的值域，根據(jù)，列不等式可得解.【詳解】（1）由已知函數(shù)需滿足，當(dāng)時，函數(shù)的定義域?yàn)?，又函?shù)為奇函數(shù)，所以，即在上恒成立，即，（舍），當(dāng)時，，函數(shù)的定義域?yàn)?，又函?shù)為奇函數(shù)，所以，，此時，滿足，為奇函數(shù)，成立，所以，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，解得；（2）由（1）得在的值域，又，設(shè)，，則，當(dāng)時，取最小值為，當(dāng)時，取最大值為，即在上的值域，又對任意的，總存在，使得成立，即，所以，解得.題型六：根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域求參數(shù)1．（23-24高一上·天津·階段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)镽．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合一元二次不等式求解即得.【詳解】由函數(shù)的值域?yàn)镽，得的值域包含正實(shí)數(shù)集，因此，解得或，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D2．（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知函數(shù)在上的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則函數(shù)在上的值域?yàn)榈葍r于在上，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋?，又，，所以，即，解得：且，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.3．（23-24高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）設(shè)函數(shù)的值域是，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】設(shè)的值域?yàn)锳，分析可得，分和兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)分析求解.【詳解】設(shè)的值域?yàn)锳，若函數(shù)的值域是，可得，若，可得的值域?yàn)?，符合題意；若，可得，解得；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍.題型七：根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式1．（23-24高一上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，且．(1)求的解析式；(2)已知，討論在上的最小值；(3)若當(dāng)時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）設(shè)，代入得到值，計(jì)算，得到方程組，解出值，即可得到解析式；（2）分，和討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可得到其最小值；（3）不等式化簡為，分和討論，當(dāng)時，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到不等式組，解出即可.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，所以，則因?yàn)?，所以解得故．?）．當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)且，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以．綜上，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．（3）不等式可化簡為．因?yàn)?，所以．要使時，恒成立，顯然時不可能．當(dāng)時，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，則函數(shù)在單調(diào)遞增，故解得．綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問屬于軸定區(qū)間動問題，對其分類討論的情況需要結(jié)合其開口方向，所問的是最大值還是最小值，抓住對稱軸這一關(guān)鍵位置，數(shù)形結(jié)合討論最值，第三問是一個函數(shù)恒成立問題，本問需要對進(jìn)行分類討論，尤其是當(dāng)時，需要構(gòu)造新函數(shù)，利用其單調(diào)性得到不等式組.2．（23-24高一上·山西朔州·階段練習(xí)）已知.(1)若，求的取值范圍；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)；(2).【分析】（1）求函數(shù)的定義域，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而求的取值范圍；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求最值，將問題轉(zhuǎn)化為求參數(shù)范圍.【詳解】（1）由解析式知：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，可得：，解得，綜上，的取值范圍是.（2）令，設(shè)，則，又，，故，即，函數(shù)g(x)在單調(diào)遞增.∵在上單調(diào)遞增﹐∴f(x)在上單調(diào)遞增，由，即，為增函數(shù).故設(shè)，則在上單調(diào)遞增，∴，即有.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，首先根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法確定的單調(diào)性，并求其最值，再將恒成立問題化為求范圍.3．（23-24高一上·貴州六盤水·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中且.(1)若，，求不等式的解集；(2)若，，求b的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到的單調(diào)性，再分類討論即可；（2）首先得到，再轉(zhuǎn)化為單調(diào)性問題，最后對分類討論即可.【詳解】（1）當(dāng)時，.由，解得或，所以的定義域?yàn)?因?yàn)椋詾榕己瘮?shù).因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時，此時函數(shù)單調(diào)遞增，且，原不等式成立.當(dāng)，即時，，因?yàn)?，則，解得，所以.而恒成立，即當(dāng)時，不等式無解，綜上，原不等式的解集是.（2）因?yàn)?，且，所以，又因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增.當(dāng)時，是減函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)在其定義域的的右側(cè)區(qū)間上單調(diào)遞減，與在上單調(diào)遞增不符.當(dāng)時，要使在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，且在上恒成立，所以，解得.綜上，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第一問的關(guān)鍵是得到復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，再合理分類討論；第二問的關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，再對進(jìn)行分類討論即可.題型八：對數(shù)函數(shù)最值與不等式綜合問題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)且．(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若且存在，使得成立，求的最小整數(shù)值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，得到在上是增函數(shù)，且，即可求解；（2）由，的得到，把不等式，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合題意，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，設(shè)，由且，可得函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，又由函數(shù)定義域可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）解：由，可得，又由，可得，所以，即，因?yàn)榇嬖?，使得成立，可得，所以?shí)數(shù)的最小整數(shù)值是．2．（23-24高一上·廣東汕頭·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象與（，且）的圖象關(guān)于直線對稱，且的圖象過點(diǎn)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若成立，求的取值范圍；(3)若對，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)，即可代入求解，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（3）根據(jù)單調(diào)性求解最值，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，且）的圖象過點(diǎn)，所以，解得，所以．又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與的圖象關(guān)于對稱，所以．（2）因?yàn)闉閮?nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即，則解得，所以的取值范圍為．（3）對于，，對，恒成立，所以．即實(shí)數(shù)的取值范圍是．3．（23-24高一下·廣東深圳·期末）已知函數(shù)（且）在上的最大值為.(1)求的值；(2)當(dāng)時，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）分和兩種情況討論，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出最大值，列方程解出的值；（2）將代入不等式，參變分離化簡，并求出的最大值，可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，舍去；綜上可知，；（2）由（1）得，，當(dāng)時，，即，化簡得，構(gòu)造，和分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.4．（23-24高一上·江西上饒·期末）已知函數(shù)，.(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(2)若對一切實(shí)數(shù)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)為上的偶函數(shù)，證明見解析(2)【分析】（1）判斷出函數(shù)為上的偶函數(shù)，然后利用函數(shù)奇偶性的定義證明可得結(jié)論；（2）利用參變量分離法可得出，利用基本不等式可求得的取值范圍，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：為上的偶函數(shù)，證明如下：對任意的，，故函數(shù)的定義域?yàn)?，，因此，函?shù)為上的偶函數(shù).（2）解：，，，即對一切實(shí)數(shù)恒成立，則，即，即對一切實(shí)數(shù)恒成立，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，，即，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型九：判斷函數(shù)零點(diǎn)（方程根）個數(shù)1．（2024·新疆·二模）已知函數(shù)滿足且，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．5 D．10【答案】B【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，畫出函數(shù)圖象找交點(diǎn)個數(shù)即可.【詳解】由題意，知4為函數(shù)的一個周期且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．當(dāng)時，由函數(shù)的解析式，兩出函數(shù)的大致圖象如圖所示．當(dāng)時，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有一個交點(diǎn)；當(dāng)時，總有．而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且，，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上沒有交點(diǎn)．綜上，函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)為1．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是“以形助數(shù)”，在解題時要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解．2．（23-24高一下·云南·階段練習(xí)）定義為不超過的最大整數(shù)，如，，，.已知函數(shù)滿足：對任意..當(dāng)時，，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)為（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)條件求得函數(shù)在上的解析式，將函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化成函數(shù)與在上的交點(diǎn)個數(shù)問題，理解的含義即得.【詳解】當(dāng)x∈0,2時，，因?yàn)閷θ我鈞∈R，，所以.當(dāng)時，，則，因，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則.即如圖作出函數(shù)在上的圖象.由圖知，在上，函數(shù)，則可取三個值.因函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)，即函數(shù)與在上的交點(diǎn)個數(shù)，故只需分別求函數(shù)與直線在上的交點(diǎn)個數(shù)即可.①顯然，函數(shù)與直線在上有5個交點(diǎn)，即此時，函數(shù)有等5個零點(diǎn)；②由圖，函數(shù)與直線在上有3個交點(diǎn)，此時函數(shù)有3個零點(diǎn)，由，可得；由，可得，即函數(shù)有共3個零點(diǎn)；③由圖，函數(shù)與直線在上有1個交點(diǎn)，此時函數(shù)有1個零點(diǎn)，由可得，即此時，函數(shù)有1個零點(diǎn)為3.綜上，函數(shù)在上共有-4，-2，0，1，2，，3，，4等9個零點(diǎn).故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于分段函數(shù)問題，應(yīng)本著分段函數(shù)分段考慮的原則，由題設(shè)解析式推理到給定區(qū)間上的解析式，作出其圖象；對于函數(shù)的零點(diǎn)問題，一般可轉(zhuǎn)化成對應(yīng)方程的根的個數(shù)問題，或者拆分成兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題去解決.3．（23-24高一上·上?！て谀┮阎瑒t方程的實(shí)數(shù)根個數(shù)不可能為（

）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【答案】A【分析】作出的圖象，令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)作出的圖象，再對分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程（具體到每種類型時為常數(shù)）的解的個數(shù)問題.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時，則在1,2上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，當(dāng)時，所以在0,1上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，，，作出的圖象，如圖所示：令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在0,1，上單調(diào)遞減，在，1,+∞上單調(diào)遞增，且，，則的圖象如下所示：①當(dāng)時，令或，則關(guān)于的方程有兩個實(shí)數(shù)解，關(guān)于的方程的方程也有兩個實(shí)數(shù)解，即此時對應(yīng)的個數(shù)為，（以下處理方法類似）；②當(dāng)時，令或或，此時對應(yīng)的個數(shù)為6；③當(dāng)時，令或或或，此時對應(yīng)的個數(shù)為；④當(dāng)時，或或或，此時對應(yīng)的個數(shù)為；⑤當(dāng)時，或或，此時對應(yīng)的個數(shù)為；⑥當(dāng)時，或，此時對應(yīng)的個數(shù)為3；⑦當(dāng)時，，此時對應(yīng)的個數(shù)為2.綜上可知，實(shí)數(shù)根個數(shù)不可能為5個.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是作出的圖象，再對分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程（具體到每種類型時為常數(shù)）的根的問題.4．（多選）（23-24高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（

）A．為偶函數(shù) B．的圖象沒有對稱中心C．的增區(qū)間為 D．方程有5個實(shí)數(shù)解【答案】ACD【分析】由題意可判斷函數(shù)的周期，結(jié)合時的解析式，即可作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，即可判斷A，B，C；將方程的解的個數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)知和的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題，即可判斷D.【詳解】由題意知定義在上的函數(shù)滿足，即2為函數(shù)的周期，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故結(jié)合函數(shù)的周期，作出其圖象如圖：

結(jié)合圖象可知為偶函數(shù)，A正確；結(jié)合圖象可知為的對稱中心，B錯誤；對于C，結(jié)合圖象知的增區(qū)間為，正確，對于D，作出函數(shù)方程的圖象，由圖象可知和的圖象有5個交點(diǎn)，故方程有5個實(shí)數(shù)解，D正確，

故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的奇偶性以及周期性和方程的解的問題，綜合性較強(qiáng)，解答的關(guān)鍵是明確函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合性質(zhì)和解析式作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，解決問題.題型十：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)（方程根）個數(shù)求參數(shù)1．（24-25高三上·浙江·開學(xué)考試）已知函數(shù)若恰有三個不同實(shí)根，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題，一般需要用換元法，再結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行討論.【詳解】令，則，①當(dāng)時，的圖象如圖所示

若恰有三個不同實(shí)根，則一定要有兩個不同的根，所以，設(shè)的兩根為且則一定有所以解得當(dāng)時，如圖所示，若恰有三個不同實(shí)根，則必須有，即解得

②當(dāng)時，或時，只有一個根，此時不能有三個不同實(shí)根.③當(dāng)時，，、的圖象如圖所示，

若有三個不同的實(shí)根則，即，此不等式無解綜上所述：故選：D.2．（23-24高一下·云南昆明·期末）設(shè)函數(shù)，，若曲線與曲線有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】利用分段函數(shù)結(jié)合分段函數(shù)和二次函數(shù)的圖象求解.【詳解】當(dāng)時，當(dāng)時函數(shù)圖象示意圖為則與有兩個零點(diǎn)知a的取值范圍是.故答案為：3．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，若函?shù)有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合列不等式組求解即可.【詳解】函數(shù)有三個零點(diǎn)，則方程即有三個根，所以函數(shù)y=fx與函數(shù)有三個交點(diǎn)，由作出函數(shù)的圖象如圖：若函數(shù)y=fx與過原點(diǎn)直線有三個交點(diǎn)，如圖：則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．4．（23-24高一上·浙江寧波·自主招生）已知函數(shù)．(1)在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象；(2)若方程有3個解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)圖象見解析(2)【分析】（1）去絕對值得出分段函數(shù)，根據(jù)函數(shù)解析式畫圖即可；（2）將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合即可求解．【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，圖象如圖所示．

（2），所以方程有3個解即為函數(shù)與有三個交點(diǎn)，由圖象可知，．

題型十一：新定義題1．（23-24高二下·河北石家莊·期末）設(shè)函數(shù)的定義域，若對任意，均有成立，則稱為“無奇”函數(shù)．(1)判斷函數(shù)①和②是否為“無奇”函數(shù)，說明理由；(2)若函數(shù)是“無奇”函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)①不是，②是，理由見解析；(2)【分析】（1）由，結(jié)合“無奇”函數(shù)的定義即可判斷①；由恒成立，即可判斷②；（2）若函數(shù)不是“無奇”函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為方程有解，參變分離并換元后，可求得實(shí)數(shù)的取值范圍，最后求其補(bǔ)集即得.【詳解】（1）對于函數(shù)①，因，符合f?x=?fx，故不是“無奇”函數(shù)；對于②，由因，故恒成立，即是“無奇”函數(shù).（2）假設(shè)不是“無奇”函數(shù)，則方程有解，即，即有解.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，因，則，，從而，，即需使，得，因函數(shù)是“無奇”函數(shù)，故或.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)新定義的應(yīng)用，屬于較難題.解題思路主要有二，判斷函數(shù)是否為“無奇”函數(shù)，只需要檢測是否恒成立即可；要由函數(shù)為“無奇”函數(shù)求參問題，一般采用從對立面考慮，將問題轉(zhuǎn)化成方程有解問題，通過參變分離法，又進(jìn)一步變成求相應(yīng)函數(shù)的值域問題.2．（24-25高三上·山西晉中·階段練習(xí)）對于函數(shù)，，如果存在實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)，那么我們稱為，的“HC函數(shù)”．(1)已知，，試判斷是否為，的“HC函數(shù)”．若是，請求出實(shí)數(shù)a，b的值；若不是，請說明理由；(2)已知，，為，的“HC函數(shù)”且，．若關(guān)于x的方程有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)在后續(xù)學(xué)習(xí)中，我們將學(xué)習(xí)如下重要結(jié)論：“對于任意的正實(shí)數(shù)a，b，都有，當(dāng)且僅當(dāng)時，式中的等號成立”．我們將這個結(jié)論稱為“基本不等式”．請利用“基本不等式”，解決下面的問題：已知，，為，的“HC函數(shù)”（其中），的定義域，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值4．若對任意正實(shí)數(shù)，，且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．【答案】(1)存在，，使得是為，的“HC函數(shù)”(2)(3)10【分析】（1）利用已知定義即可求解；（2）根據(jù)題意可得，對于方程可得，換元結(jié)合二次函數(shù)分析求解；（3）先設(shè)的解析式，根據(jù)已知定義以及條件求出，的值，再把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，利用基本不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）若是，的“函數(shù)”，所以，則，解得，，所以存在，，使得是為，的“HC函數(shù)”.（2）由題意可知：，對于方程，即，即，令，則，則，對于，可